Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Vectơ có độ dài là
Lời giải chi tiết:
Ta có
Chọn đáp án C. Đáp án: C

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số nhân).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Cấp số nhân là một dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi (gọi là công bội). Cho cấp số nhân có số hạng đầu là và công bội là Số hạng tổng quát (với được tính theo công thức:
Lời giải chi tiết:
Ta có
Chọn đáp án D. Đáp án: D

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Nhận biết.
Công thức sử dụng:
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Chọn đáp án B. Đáp án: B

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tính đơn điệu của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Hàm số đồng biến trong khoảng mà đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải. Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trong khoảng
Chọn đáp án A. Đáp án: A

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Thể tích một số hình khối: khối chóp).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Công thức tính thể tích khối chóp: với là diện tích đáy và là chiều cao của khối chóp. Từ đó suy ra
Lời giải chi tiết:
Chiều cao của khối chóp :
Chọn đáp án B. Đáp án: B

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Bất phương trình logarit).
Mức độ: Thông hiểu.
Nhắc lại: Với bất phương trình
Điều kiện xác định
Với bất phương trình tương đương
Với bất phương trình tương đương
Lời giải chi tiết:
Điều kiện xác định:
Ta có
Kết hợp với điều kiện suy ra
Vậy bất phương trình có tập nghiệm
Chọn đáp án C. Đáp án: C

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Nhận biết.
Vì nên
Chọn đáp án C. Đáp án: C

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Đường tiệm cận của đồ thị hàm số: Đường tiệm cận ngang).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Định nghĩa: Đường thẳng được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Do đó đồ thị đã cho có đường tiệm cần ngang là
Chọn đáp án C. Đáp án: C

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phép tính luỹ thừa với số mũ thực).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại:
Lời giải chi tiết:
Ta có
Chọn đáp án D. Đáp án: D

Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Hoán vị).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Định nghĩa hoán vị: Cho tập hợp gồm phần tử Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự phần tử của tập hợp được gọi là một hoán vị của phần tử đó. Số cách sắp xếp phần tử của tập hợp là
Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 7 người vào một hàng dọc? Đáp án: Có cách.
Lời giải chi tiết:
Số cách sắp xếp 6 bạn học sinh vào 6 ghế kê thành hàng ngang là cách.
Chọn đáp án D. Đáp án: D

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Mẫu số liệu có độ lớn là Vị trí của trung vị là Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng là nhóm chứa trung vị.
Lời giải chi tiết:
Độ lớn của mẫu số liệu là
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng và nhóm đó là (vì là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn 20 (cụ thể với tần số tích lũy bằng 23)).
Chọn đáp án D. Đáp án: D

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Nhận biết.
• Thế vào phương trình đường thẳng :

• Thế vào phương trình đường thẳng :

• Thế vào phương trình đường thẳng :

• Thế vào phương trình đường thẳng :

Chọn đáp án C. Đáp án: C

Từ giả thiết bài cho, ta có xác suất do bị bỏng nhiệt là
Suy ra xác suất do bị bỏng hóa chất là
a) Đúng.
b) Sai.
Xác suất bị biến chứng trong bỏng nhiệt là 20%
Xác suất bị biến chứng trong bỏng hóa chất là 40%
c) Sai.

Ta có sơ đồ cây như hình vẽ. Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất biến bệnh án bị biến chứng là

d) Sai.
Áp dụng công thức Bayes, ta có xác suất của bệnh án bị biến chứng do bỏng nhiệt là

a) Đúng.
Nhiệt độ tại điểm A trên thành ống là
(vì nên luôn dương, do đó Các công thức nguyên hàm sử dụng: Suy ra
b) Sai.
Vì bên trong ống, nhiệt độ nước được duy trì ở mức nên tại (tức điểm nằm trên đường tròn trong ống) thì (theo công thức
c) Sai.
Bán kính ngoài (tức khoảng cách từ đến tâm của mặt cắt là nên nhiệt độ ngoài mặt ống bằng
Lưu ý: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
d) Sai.
Vì bán kính ngoài là nên nhiệt độ bề ngoài của ống là
Nhiệt độ bề ngoài của ống không vượt quá
Vậy để nhiệt độ bề ngoài của ống không vượt quá thì ta nên thiết kế ống với bán kính ngoài tối thiểu là

Trước khi tiến hành giải quyết các mệnh đề a, b, c, d liên quan đến tọa độ trong không gian, ta cần xác định hệ trục chuẩn cho bài toán.
Note: Hệ tọa độ được tạo thành bởi ba trục số vuông góc với nhau từng đôi một tại điểm gốc
Gọi là tâm của mặt phẳng Để thỏa mãn điều kiện các trục trong hệ tọa độ và tọa độ các điểm ta gắn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ là điểm trục trùng với đường trung trực của đoạn thẳng trục trùng với đường trung trực của đoạn thẳng trục trùng với đường thẳng (tham khảo hình vẽ).

a) Đúng.
Theo cách gắn hệ trục tọa độ, Lại có là chiều cao của hình chóp tứ giác đều nên Suy ra
Ta có suy ra
b) Đúng.
Gợi ý: Dựa vào dữ kiện để xác định giá trị
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là nên suy ra là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình tham số là

Suy ra
c) Đúng.
Note: Trong hệ trục tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng có tọa độ là
Gọi là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng
Khi đó
Vì độ cao tại điểm bằng 10 mét nên

Trong tam giác vuông tại ta có
d) Sai.
Chiều dài của đoạn đường bằng (Vì đơn vị trên các trục tính bằng mét nên chiều dài của sẽ bằng với tính toán trên hệ trục tọa độ).
Ta có nên
Để xác định được độ dài đoạn ta cần xác định tọa độ điểm
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là nên suy ra cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình tham số là
Suy ra
Khi đó sin góc tạo bởi đường thẳng (có vectơ chỉ phương là và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là là

Từ hình vẽ ở phần c, ta có
Suy ra
(vì cả vế trái và phải đều luôn dương nên ta thực hiện bình phương hai vế; nên

(vì
Suy ra
Vậy chiều dài của đoạn đường bằng

a) Tập xác định của hàm số là
Suy ra mệnh đề a) sai.
b)
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Hàm số đã cho đồng biến khi
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
Suy ra mệnh đề c) đúng.
d)
Bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên, suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1.
Suy ra mệnh đề d) sai.

Nhắc lại:
Hình chóp cụt tứ giác đều có 2 mặt đáy là hình vuông song song với nhau; 4 mặt bên là các hình thang cân bằng nhau; chiều cao là đoạn thẳng nối tâm của hai đáy và vuông góc với hai đáy.
Thể tích hình chóp cụt tứ giác đều: với là chiều cao của hình chóp cụt (khoảng cách giữa hai đáy), là diện tích đáy bé và là diện tích đáy lớn.
Thể tích lượng đất bác Bình đã đổ vào chậu (tạo thành hình chóp cụt đều) bằng với thể tích của hình chóp cụt tứ giác đều có chiều cao bằng chiều cao của chậu. Do đó ta đi xác định các giá trị còn thiếu là chiều cao
Vì chiều cao của đất bằng chiều cao của chậu nên
Diện tích đáy bé (hình vuông cạnh 20 cm) nên có diện tích
Mô tả mặt cắt dọc của chậu cảnh và kí hiệu như hình vẽ.

Gọi độ dài cạnh của đáy lớn là
Từ hình vẽ, ta có
Trong tam giác vuông ta có
Trong tam giác vuông ta có
Suy ra độ dài đáy lớn là
Suy ra
Vậy thể tích của lượng đất cần tính là
Note:
Điền đáp án: 14,5.

Gọi số tiền mà ông An đầu tư vào cổ phiếu, trái phiếu và quỹ tương trợ lần lượt là (tỉ đồng).
Số lợi nhuận ông nhận được từ khoản đầu tư cổ phiếu là (tỉ đồng).
Tương tự ông nhận được lợi nhuận tỉ đồng từ khoản đầu tư trái phiếu, tỉ đồng từ khoản đầu tư vào quỹ tương trợ.
Do tổng lợi nhuận là 1,23 tỉ đồng nên
Tổng số tiền đầu tư vào cổ phiếu và trái phiếu bằng với số tiền đầu tư vào quỹ tương trợ thì
Ta có hệ phương trình:
Vậy ông An đầu tư 4,5 tỉ đồng vào trái phiếu.

Gọi là khối lượng muối sau phút và là thể tích nước trong bể sau phút.
Giả thiết cho: “Biết rằng nồng độ muối trong bể sau phút (được tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là một hàm số ” nên (gam/lít).
Đổi lít; 1 giờ = 60 phút
Giả thiết cho:
Cứ 1 phút thì ta bơm được 20 (lít) nước muối nên sau phút thì ta bơm được (lít)
Vậy thể tích nước trong bể sau phút (bằng tổng của thể tích nước ban đầu và thể tích nước muối được bơm sau phút) là (lít).
Do ban đầu bể chỉ chứa nước tinh khiết (tức chưa chứa bất kì gam muối nào) nên khối lượng muối ban đầu bằng 0. Khi đó khối lượng muối sau phút là (gam), với là số gam muối có trong 20 lít.
Suy ra nồng độ muối sau phút là (gam/lít).
Vì tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là nên
Suy ra
Vậy nồng độ muối (gam/lít) trong bể sau khi bơm được 1 giờ phút là
(gam/lít)
Lưu ý: Trong hàm số thì được tính bằng phút do đó cần đổi đơn vị về phút trước khi tính toán.
Điền đáp án: 3,75

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Yêu cầu bài toán: Tính (làm tròn đến hàng phần trăm của cm).
Gợi ý: Dựa vào định nghĩa của nguyên hàm: với
Ta có


Từ hình vẽ, ta thấy

Giá trị hàm số tại điểm tức (do hai đầu và cách nhau 6 mét) bằng 0
Từ giả thiết: “tại điểm chính giữa, tấm ván bị võng xuống 8 cm” tức tại điểm (vì thì
(vì vị trí này nằm dưới trục hoành nên mang giá trị âm)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Suy ra
Vậy tại điểm cách O theo phương ngang 2 mét, tấm ván bị võng xuống
Điền đáp án: 6,95.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Xác suất của biến cố).
Mức độ: Vận dụng (9+).
Khi trên đoạn thẳng và lấy thêm trên mỗi đoạn 11 điểm thì trên có 12 điểm (không tính điểm và trên có 12 điểm (không tính điểm Suy ra trên hai đoạn và có tất cả 24 điểm (không tính điểm
Khi đó số cách chọn ngẫu nhiên 3 điểm từ các điểm trên đoạn và (không tính điểm là
Gọi là biến cố “3 điểm được chọn tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với đường thẳng hoặc ”
Gọi là “Điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam (tạo thành khi lấy 3 điểm) và tiếp xúc với hoặc ”
TH1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác tâm tiếp xúc với tại cắt trục tại hai điểm và

Khi đó
Gọi là trung điểm của
Suy ra tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là
Ta có
Từ đó ta tìm được các cặp thỏa mãn là
Mỗi cặp thỏa mãn tương ứng với một giá trị nên có tất cả 5 bộ ba thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2: Đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc tâm với tại cắt trục tại hai điểm và
Thực hiện tương tự TH1, ta cũng tìm được 5 bộ ba thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Suy ra số TH có lợi cho biến cố là
Vậy xác suất cần tìm là
Suy ra
Điền đáp án: 4048.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt cầu)
Mức độ: Vận dụng (9+)

Gọi là tâm của hình vuông là bán kính của hình cầu tâm
Dữ kiện bài toán:
Giả sử Suy ra
Theo tính chất trong hình vuông, ta có

Vì là trung điểm của nên và
Với nên loại.
Với thỏa mãn.
Suy ra Vì nên
Trong tam giác vuông ta có
Ta có Suy ra
Ta có (với

Điền đáp án: 514.