Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm: Độ lệch chuẩn)
Mức độ: Nhận biết
Nhắc lại: Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai số học của phương sai.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó bằng
Chọn đáp án A. Đáp án: A

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hàm số lôgarit).
Mức độ: Nhận biết.
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định là
Chọn đáp án B. Đáp án: B

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tính đơn điệu của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Gợi ý: Hàm số nghịch biến trên khoảng mà hoặc đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải.
Xét lần lượt các đáp án kết hợp với quan sát bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
Chọn đáp án A. Đáp án: A

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Nhận biết.
Tích chất của tích phân:
Ta có
Chọn đáp án D. Đáp án: D

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Đường thẳng và mặt phẳng song song).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Định lí 1: Nếu một đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nằm trên thì song song với
(Ta sẽ chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng dựa vào định lí trên)
Lời giải chi tiết:

Vì lần lượt là trung điểm của nên là đường trung bình của tam giác , do đó , lại có và nên .
Chọn đáp án D. Đáp án: D

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt cầu).
Mức độ: Thông hiểu.
Nhắc lại: Cho mặt cầu có tâm và bán kính Phương trình của mặt cầu là
Do đó để viết được phương trình mặt cầu thì ta đi xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết:
Ta có phương trình của mặt cầu có tâm và đi qua điểm

Suy ra phương trình mặt cầu đã cho là
Chọn đáp án A. Đáp án: A

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp).
Mức độ: Thông hiểu.
Nhắc lại:
Một số công thức nguyên hàm của một số hàm sơ cấp:
Tính chất của nguyên hàm:


Lời giải chi tiết:
(với là một hằng số)
Chọn đáp án D.
Đáp án: D

Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Tập hợp).
Mức độ: Nhận biết.
Phân tích điều kiện:
(không lấy dấu bằng tại Ta dùng dấu ngoặc đơn ( tại giá trị
(có lấy dấu bằng tại Ta dùng dấu ngoặc vuông ] tại giá trị
Kết hợp hai điều kiện trên, suy ra tập hợp là nửa khoảng
Lưu ý: Đáp án B chỉ liệt kê các số nguyên, trong khi đề bài cho (bao gồm cả số thập phân, phân số...), nên B là đáp án sai phổ biến nhất mà bạn cần tránh.
Chọn đáp án A. Đáp án: A

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Đường tiệm cận của đồ thị hàm số).
Mức độ: Thông hiểu.
Loại đáp án A,C vì đồ thị của 2 hàm số trên không có tiệm cận ngang.
Loại đáp án B vì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
Chọn đáp án D vì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
Chọn đáp án D. Đáp án: D

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Các phép biến đổi lượng giác).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có
Chọn đáp án A. Đáp án: A

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt phẳng).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có Vì mặt phẳng đã cho vuông góc với AB nên mặt phẳng này sẽ nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với là


Chọn đáp án A. Đáp án: A

a) Sai.
Nhắc lại: Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên nếu với mọi thuộc
Vì là một nguyên hàm của hàm số nên theo định nghĩa nguyên hàm, ta có
b) Đúng.

c) Sai.
Ta có
Suy ra

d) Đúng.
Để xác định giá trị cực tiểu của hàm số ta đi khảo sát hàm số trên
Ta có
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu của hàm số là

a) Sai. Ta có:
Vậy hay dãy số là một dãy số tăng.
b) Đúng. Ta có:

Vậy dãy số là một cấp số cộng với và
c) Đúng. Giả sử số là một số hạng thứ n của dãy số
Suy ra:
Vậy số là một số hạng thứ 60 của dãy số
d) Sai.
Ta có:
Suy ra:
Mà
Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai.

Đính chính: Để bài toán trở nên chặt chẽ hơn và không có dữ kiện thừa là "Biết chiều dài đường ống là 21 mét" nên nhóm tác giả đã sửa lại đề bài như trên web. Các em sửa lại đề bài như trên web nhé! Lỗi này sẽ được sửa ở lần tái bản tiếp theo. Cảm ơn các em.
a) Đúng.
Gọi là mặt phẳng chứa bức tường.
Theo giả thiết, ta có mặt phẳng chứa các điểm và vuông góc với mặt đất (tức mặt Suy ra mặt phẳng có hai cặp vectơ chỉ phương là (với là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Chọn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Suy ra phương trình mặt phẳng đi qua điểm là
b) Sai.
Ta có
Suy ra là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Mà ở đáp án phương trình lại có vectơ chỉ phương là do đó ta kết luận luôn b) sai.
c) Đúng.
Điểm
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình tham số là

Mà nên suy ra

d) Đúng.

Ta có
Suy ra
Vậy hoành độ điểm bằng

a) Sai.
Ở lần thứ nhất, trong bình có 3 quả bóng đỏ và 4 quả bóng trắng nên xác suất lấy được một quả bóng đỏ là
b) Đúng.
là xác suất lần thứ hai lấy ra 2 quả bóng đỏ biết lần thứ nhất lấy ra được 1 quả bóng trắng.
Để tính được xác suất lấy bóng ở lần thứ hai này, ta cần biết được trong bình ở lần thứ hai có bao nhiêu quả bóng trắng và bao nhiêu quả bóng đỏ.
Vì lần 1 lấy được quả bóng trắng nên nó sẽ được đưa trở lại bình. Do đó ở lần lấy bóng thứ hai, trong bình có 3 quả bóng đỏ và 4 quả bóng trắng (tổng cộng 7 quả bóng) nên xác suất lấy được 2 quả bóng đỏ ở lần thứ hai này là
c) Sai.
Suy luận tương tự phần b), ta tính được (vì trường hợp này: ở lần lấy thứ hai bình có (tổng cộng 9 quả) 3+2=5 quả bóng đỏ và 4 quả bóng trắng).
Từ các dữ kiện trên, ta có sơ đồ cây như sau:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có

d) Sai.
Gọi là biến cố: “2 quả bóng đó là hai quả bóng được cho thêm”
Xác suất cần tính là
Hai quả bóng đỏ được lấy ra ở lần thứ hai là hai quả bóng “được cho thêm vào” chỉ xảy ra khi lần thứ nhất lấy được bóng đỏ (tức là biến cố xảy ra). Lúc này bình có tổng cộng 9 quả bóng với 5 quả bóng đỏ (3 quả ban đầu; 2 quả thêm mới) và 4 quả bóng trắng.
Khi đó số cách lấy được 2 quả bóng đỏ là cách. Số cách lấy ra được 2 quả bóng đỏ (được cho thêm) là cách.
Suy ra xác suất để lần 2 lấy được 2 quả mới khi biết lần 1 lấy được bóng đỏ là

Theo công thức xác suất có điều kiện, ta có

Suy ra

Nội dung kiến thức: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn (chuyên đề học tập 12)
Mức độ: Vận dụng (8+)
Lợi nhuận = Tổng doanh thu – Tổng chi phí
Với giá bán nghìn đồng thì bán được sản phẩm mỗi ngày suy ra tổng doanh thu mỗi ngày là nghìn đồng.
Khi đó lợi nhuận hộ gia đình thu được mỗi ngày là
Suy ra
Yêu cầu bài toán là xác định
Khi đó bài toán đã cho trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số với
Ta có

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng 958.
Vậy lợi nhuận lớn nhất thu được trong một ngày của hộ gia đình này là 958 nghìn đồng.
Điền đáp án: 958.

Cách 1:

Trong mặt phẳng kẻ
Áp dụng định lý Thalès trong tam giác với ta có
Áp dụng định lý Thalès trong tam giác với ta có
Mà (vì nên

Suy ra
Vậy
Cách 2: Sử dụng định lí Menelaus

Trong mặt phẳng gọi

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác ta có:

Vậy
Điền đáp án: 9.

Gọi lần lượt là số lít nước mắm loại I, II xưởng đó sản xuất.
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình sau:
Miền nghiệm trong hệ phương trình được biểu diễn là miền không bị gạch trong hình sau:

Như vậy chúng ta có bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm với thỏa mãn hệ bất phương trình trên. Do đó chúng ta xét giá trị của tại các đỉnh và suy ra giá trị lớn nhất của là 4100000 đồng tại Vậy để thu được lãi nhiều nhất thì xưởng đó nên sản xuất 50 lít nước mắm loại I và 40 lít nước mắm loại II.
Điền đáp án: 90.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Yêu cầu bài toán: Tính thể tích của chiếc đèn ngủ (đơn vị (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Phân tích bài toán: Chiếc đèn ngủ gồm 2 phần:
Phần 1: Chao đèn: là khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng bị giới hạn bởi trục hoành và các đường thẳng Khi đó thể tích của chao đèn là
Phần 2: Đuôi đèn. Tương tự, thì đuôi đèn: là một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng bị giới hạn bởi đường tròn trục hoành và các đường thẳng Khi đó thể tích của chao đèn là
Hoặc thể tích đuôi đèn có thể được tính bằng thể tích khối cầu (bán kính 10 cm) trừ đi thể tích hai chỏm cầu bị mất ở hai đầu.
Ta đi tính chi tiết từng phần của chiếc đèn:
Chao đèn:
Dựa vào cách gắn hệ trục tọa độ và quan sát hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm nên ta có hệ phương trình
Suy ra
Vậy thể tích của phần chao đèn là
Đuôi đèn
Kí hiệu các điểm như hình vẽ.

Vì đường kính 2 đáy đều bằng 12 cm tức hai đáy của đuôi đèn cách đều tâm của hình cầu do đó tâm của mặt cầu thuộc trục (có hoành độ âm) và là trung điểm của đoạn thẳng
Suy ra
Vì đường kính 2 đáy đều bằng 12 nên bán kính của hai đáy bằng 6 hay
Phần đuôi đèn là một cung tròn của đường tròn đường kính 20 cm nên bán kính của đường tròn này bằng 10 hay
Trong tam giác vuông ta có

Suy ra tọa độ tâm
Đường tròn tâm bán kính có phương trình là
Suy ra
Khi đó đuôi đèn là một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng bị giới hạn bởi trục hoành và hai đường thẳng nên thể tích đuôi đèn là

Vậy thể tích của chiếc đèn ngủ bằng
Điền đáp án: 5828.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt phẳng).
Mức độ: Vận dụng (7+)
Yêu cầu bài toán: Tính độ dài
Ta có góc giữa mặt phẳng dốc và mặt đất (tức mặt phẳng bằng Mà nên lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và
Khi đó (vì góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đó).
Vì nên

Khi đó trong tam giác vuông tại ta có

Điền đáp án: 3,46.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Xác suất có điều kiện).
Mức độ: Vận dụng (9+).
Minh họa thí nghiệm: Ví dụ khi thực hiện thí nghiệm 1 lần: Con xúc xắc gieo được số 4 ta thực hiện lật lá bài ở vị trí số 4 và đặt lại vị trí cũ lúc này số xuất hiện trên 6 lá bài như hình vẽ sau:

Tổng trên 6 tấm thẻ lúc này là là một số lẻ.
Và sau khi ta thực hiện thí nghiệm này liên tiếp 3 lần thì được kết quả tổng trên 6 tấm thẻ là số chẵn.
Gọi là biến cố “Tổng các số xuất hiện trên cả 6 thẻ là số chẵn”.
là biến cố “Số 1 xuất hiện đúng 1 lần”.
Yêu cầu bài toán: Tính xác suất để số 1 xuất hiện đúng một lần khi gieo xúc xắc, biết tổng các số xuất hiện trên cả 6 thẻ là số chẵn (theo công thức xác suất điều kiện).
Nhận thấy khi số mặt xuất hiện trên xúc xắc là số chẵn thì tổng trên 6 tấm thẻ không thay đổi tính chẵn lẻ (vì khi lật một số chẵn thì ta vẫn được một số chẵn, do đó không làm thay đổi tính chẵn lẻ của tổng 6 tấm thẻ);
Khi số mặt xuất hiện trên xúc xắc là số lẻ thì tổng trên 6 tấm thẻ sẽ thay đổi tính chẵn lẻ (vì khi lật một số lẻ (vị trí lẻ) thì ta được một số chẵn và ngược lại, do đó làm thay đổi tính chẵn lẻ của tổng 6 tấm thẻ).
Vậy để sau khi thực hiện lật thẻ 3 lần và được tổng trên 6 tấm thẻ là số chẵn thì có 2 trường hợp xảy ra:
TH1: Thay đổi tính chẵn lẻ đúng 3 lần (tức 3 lần thí nghiệm gieo xúc xắc xuất hiện 3 mặt lẻ)
TH2: Thay đổi tính chẵn lẻ đúng 1 lần (tức 3 lần thí nghiệm gieo xúc xắc có 2 lần xuất hiện mặt chẵn và 1 lần xuất hiện mặt lẻ): LCC; CLC; CCL.
Ta đi tiến hành giải từng trường hợp.
TH1: Thay đổi tính chẵn lẻ đúng 3 lần
Ta có xác suất để gieo được số lẻ là
Suy ra xác suất cả 3 lần đều lẻ là
Xác suất số 1 xuất hiện đúng một lần là (vì số 1 có thể xuất hiện ở lần thí nghiệm thứ 1, 2, 3)
TH2:Thay đổi tính chẵn lẻ đúng 1 lần
Xác suất để 3 lần gieo được LCC là Xác suất số 1 xuất hiện đúng một lần là
Xác suất để 3 lần gieo được CLC là Xác suất số 1 xuất hiện đúng một lần là
Xác suất để 3 lần gieo được CCL là Xác suất số 1 xuất hiện đúng một lần là
Khi đó xác suất cần tính là

Điền đáp án: 49.