Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Toạ độ của vectơ).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Hình chiếu vuông góc của một điểm lên trục có tọa độ là
Hình chiếu vuông góc của điểm lên trục có tọa độ
Chọn đáp án B. Đáp án: B

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Cấp số cộng với công sai có số hạng tổng quát là
Vậy
Chọn đáp án B. Đáp án: B

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Đường thẳng có vectơ chỉ phương là
Từ phương trình đường thẳng ta có vecto chỉ phương của đường thẳng là
Chọn đáp án C. Đáp án: C

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Một số công thức nguyên hàm:
Tính chất của nguyên hàm:
Ta có
Chọn đáp án D. Đáp án: D

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phép tính luỹ thừa với số mũ thực).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
(vì hai vế đều dương nên ta bình phương hai vế)

Chọn đáp án B. Đáp án: B

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian).
Mức độ: Thông hiểu.
Xét lần lượt các đáp án:
Vì và hai vectơ ngược hướng nên Suy ra loại A.
B. Theo quy tắc hình bình hành, ta có
Suy ra Suy ra loại B.
C. Suy ra C đúng.
D. Vì Suy ra loại D.
Chọn đáp án C. Đáp án: C

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phép tính lôgarit).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Quy tắc tính lôgarit: với
Ta có Đáp án: D

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Các phép biến đổi lượng giác).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại lý thuyết công thức cộng:
Chọn đáp án C. Đáp án: C

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Thể tích khối tròn xoay: Cho hàm số liên tục, không âm trên đoạn Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường quay quanh trục tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng
Áp dụng CT tính thể tích trong tích phân ta có

Chọn đáp án A. Đáp án: A

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:
Thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài tập của các em học sinh là

Chọn đáp án A. Đáp án: A

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có
Khi đó
Chọn đáp án A. Đáp án: A

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Định nghĩa: Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa và hình chiếu của nó trên mặt phẳng

Ta có suy ra là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng và hình chiếu của điểm trên mặt phẳng là điểm Do đó là hình chiếu của \[SC\] trên mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là
Chọn đáp án B. Đáp án: B

a) Sai. Ta có tọa độ của vectơ là
b) Đúng. Tọa độ của điểm là
c) Đúng. Tọa độ của điểm là
Tọa độ của vectơ là
d) Đúng. Gọi tọa độ của là
Ta có
Vì nên
Vậy

Tỉ lệ mắc bệnh chung trong làng chính là xác suất của “gặp người mắc bệnh trong làng” “gặp được nam trong làng”
a) Đúng.

b) Sai.

Ta có sơ đồ cây sau:

c) Sai.
Ta có:
d) Sai.

a) Sai.
Lợi nhuận = Tổng doanh thu – Tổng chi phí
Vì mỗi ngày nhà máy sản xuất và bán ra được xe mô tô với giá mỗi chiếc là 60 triệu đồng nên tổng doanh thu nhà máy thu được mỗi ngày là (triệu đồng).
Suy ra lợi nhuận mỗi ngày của nhà máy là
(triệu đồng)
b) Đúng.
Lợi nhuận lớn nhất nhà máy thu được trong một ngày bằng max.
(Vì và mỗi ngày nhà máy có thể sản xuất tối đa 150 chiếc xe mô tô nên
Khảo sát hàm số trên đoạn
Ta có

Bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại nhưng do đó giá trị lớn nhất của hàm số là một trong 2 giá trị đạt tại 2 số tự nhiên ngay cạnh (2 phía) với số là hoặc
Ta có suy ra
Vậy lợi nhuận lớn nhất nhà máy thu được trong một ngày là 1320 triệu đồng.
c) Đúng.
Để không bị lỗ thì lợi nhuận phải lớn hơn hoặc bằng không tức
Ta có tại các điểm
Kết hợp với bảng biến thiên thu được ở phần c), ta có

Từ bảng trên, ta thấy (phần đồ thị nằm trên đường thẳng thì có giá trị lớn hơn 0, với hai điểm giao đạt giá trị bằng 0).
Vậy nhà máy cần sản xuất ít nhất 50 chiếc xe để không bị lỗ.
d) Đúng.
Gọi giá bán của mỗi chiếc xe là (triệu đồng).
Khi mỗi ngày bán được 150 chiếc xe thì doanh thu là (triệu đồng) và chi phí là (triệu đồng).
Suy ra lợi nhuận thu được khi bán 150 chiếc xe là (triệu đồng).
Để không bị lỗ thì
Vậy để không bị lỗ thì giá của mỗi chiếc xe khi này tối thiểu là 94 triệu đồng.

a) Đúng.
Vì là một nguyên hàm của hàm số nên theo định nghĩa nguyên hàm, ta có


b) Sai.
Quan sát hình vẽ, ta thấy độ cao lớn nhất của lớp đất bằng với giá trị cực đại của hàm số trên đoạn (vì hai lớp đất là đối xứng nhau qua trục nên giá trị cực đại ở cả hai lớp đất là như nhau nên ta chỉ cần xét 1 lớp đất là đủ).
Ta có
Vậy độ cao lớn nhất của lớp đất bằng
c) Đúng.
Nhắc lại: Ứng dụng của tích phân tính thể tích: Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng và vuông góc với trục Ox lần lượt tại Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với tại điểm cắt theo thiết diện là Khi đó, thể tích của vật thể là
Chú ý: Nếu không đổi với mỗi thì thể tích vật thể lúc này là

Nhận xét mặt cắt của nước trong kênh (mặt màu xanh dương đậm trong hình) không đổi với mỗi (vì kênh dài 400 m tính từ gốc tọa độ); và độ cao lớn nhất của nước trong kênh đúng bằng đỉnh của hai gò đất hai bên và bằng tung độ của điểm cực đại của hàm số tức bằng
Suy ra thể tích nước trong kênh là với là mặt cắt màu xanh dương trong hình.
Vì diện tích mặt cắt đối xứng qua trục tung nên diện tích sẽ bằng 2 lần diện tích nửa bên phải tức diện tích hình phẳng giới hạn bởi và các đường và bằng
Vậy thể tích nước trong kênh đào khi đạt độ cao lớn nhất là
d) Sai.
Gợi ý: Sử dụng mối quan hệ giữa góc nghiêng và hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số: với
Gọi là góc nghiêng của sườn dốc Ta có với là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số và
Vì xe cắt cỏ nằm trên sườn dốc của lớp đất có khả năng leo dốc tối đa là 40°, nên xe cắt cỏ này có thể leo hết sườn dốc của lớp đất trên nếu độ dốc tối đa của lớp đất nhỏ hơn 40° khi và chỉ khi
Do đó để xác định xem mệnh đề d) đúng hay sai, ta đi tìm giá trị lớn nhất với trên đoạn rồi so sánh với
Ta có


Ta có
So sánh ta được
Khi đó tan của góc nghiêng lớn nhất của sườn dốc là
Suy ra
Vậy xe cắt cỏ này không thể leo hết sườn dốc của lớp đất trên.

Điền đáp án: 95.
Gắn trục toạ độ như hình vẽ.

Gọi phương trình parabol đi qua 3 điểm là
Trục đối xứng của parabol là
Ta có parabol đi qua các điểm nên ta có hệ phương trình

Phương trình của parabol là
Ta có
Phương trình đường thẳng đi qua điểm là
Suy ra diện tích bể bơi bằng
Vậy số tiền cần trả để xây bể bơi là triệu đồng.

Điền đáp án: 3.

Kẻ
Suy ra
Xét tam giác vuông ta có
Vì là hình thoi nên ta có
Mà đều.
Suy ra
(Áp dụng công thức tính nhanh độ dài đường cao trong tam giác đều)

Đáp án:
Gọi là diện tích tam giác cần sơn màu mỗi lần tạo ra hình vuông thứ là diện tích hình vuông ban đầu.
Ta có
Tổng diện tích cần sơn là


Tổng tiền sơn là

Ta có tính chất: 2 đường chéo của hình chữ nhật chia hình chữ nhật thành 4 hình tam giác có diện tích bằng nhau.
Diện tích phần tô đậm = Diện tích hình quạt tròn AOB + Diện tích 3 tam giác bằng nhau
+) Diện tích quạt tròn:
Áp dụng công thức tính diện tích quạt tròn (với góc tính bằng radian) là
+) Diện tích 3 tam giác:

Vậy thể tích phần tô đậm là
Để tìm giá trị lớn nhất của ta xét hàm số trên khoảng
Ta có

Vì xét trong khoảng nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất là
Lập bảng biến thiên của

Từ đó, suy ra hàm số đạt giá trị cực đại tại
Vậy giá trị lớn nhất là

Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Xác suất của biến cố).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Vì mỗi người đều có 2 TH xảy ra là đứng hoặc ngồi nên số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố “không có hai người đứng cạnh nhau”.

Quan sát hình vẽ, ta thấy nếu có 5 người đứng thì sẽ luôn có hai người đứng cạnh nhau, do đó để không có hai người đứng cạnh nhau thì số người đứng phải nhỏ hơn hoặc bằng 4. Ta đi tìm số cách sắp xếp số người đứng này vào trong bàn 8 người sao cho không có hai người đứng cạnh nhau.
TH1: Không có ai đứng: Có 1 cách.
TH2: Có 1 người đứng: Có cách.
TH3: Có 2 người đứng:
Có cách chọn ra 2 người đứng trong 8 người, trong đó có 8 TH hai người đứng cạnh nhau (ở các cặp vị trí 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 7-8, 8-1).
Suy ra số cách để 2 người đứng và không ai đứng cạnh nhau là cách.
TH4: Có 3 người đứng:
Có cách chọn ra 3 người đứng trong 8 người, trong đó
Trường hợp chỉ có 2 người đứng cạnh nhau là cách (vì 2 người đứng cạnh nhau thì 1 người còn lại chỉ có thể chọn 1 trong 4 chỗ để đứng (lưu ý là 3 người ko đứng cạnh nhau): ví dụ khi hai người đứng cạnh nhau ở vị trí 1 và 2 thì người đứng còn lại chỉ có thể đứng ở 1 trong bốn vị trí 4, 5, 6, 7).
Trường hợp 3 người đứng cạnh nhau là 8 cách (ở các vị trí là 1-2-3, 2-3-4, 3-4-5, 4-5-6, 5-6-7, 6-7-8, 7-8-1, 8-1-2).
Suy ra số cách để 3 người đứng và không ai đứng cạnh nhau là cách.
TH5: Có 4 người đứng: Khi này ta chỉ có 2 cách để không có hai người đứng cạnh nhau (4 người đứng ở các vị trí 1, 3, 5, 7 hoặc 2, 4, 6, 8)
Suy ra tổng số cách để không có hai người đứng cạnh nhau là
Suy ra xác suất cần tính là
Vậy
Điền đáp án: 2465.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Vì tia sáng chiếu qua lối vào E và đâm xuyên vào kim tự tháp, cắt mặt trong của kim tự tháp tại điểm nên hay
Để xác định được độ dài tia sáng ta đi xác định tọa độ hai điểm
Bước 1: Xác định tọa độ điểm
Vì cách mặt đất 2 mét nên cao độ của điểm bằng 2;
Lại có cách điểm một khoảng 8 mét theo hướng của vectơ nên hoành độ của điểm trừ hoành độ của điểm bằng 8

Suy ra
Bước 2: Xác định tọa độ điểm (ta sẽ dựa vào để xác định điểm
Đầu tiên, ta viết phương trình mặt phẳng
Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Chọn là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Khi đó mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là

Tiếp theo, ta viết phương trình đường thẳng
Vì cách mặt đất 2 mét nên cao độ của điểm bằng 2;
Lại có cách điểm một khoảng 8 mét theo hướng của vectơ nên hoành độ của điểm trừ hoành độ của điểm bằng 8

Suy ra
Mà và là hai vectơ cùng phương nên ta có
Giải phương trình ta được
Thay vào ta được
Suy ra
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình tham số là

Mà nên ta có
Suy ra
Vậy độ dài tia sáng bằng
Điền đáp án: 33,1.