Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1003393]: Tập đoàn X đang lên kế hoạch xây dựng khu đô thị tại một khu vực. Để đánh giá tác động đến hiện trạng hạ tầng, tập đoàn đưa ra mức dự báo quy mô dân số theo công thức trong đó, tính theo năm (kể từ thời điểm hiện tại) và tính theo nghìn người. Theo đánh giá này thì hiện tại dân số là [[20528849]] nghìn người và trong tương lai xa, dân số sẽ tiến dần đến ngưỡng [[20528853]] nghìn người.
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Dân số hiện tại là (nghìn người).
Trong tương lai xa, dân số sẽ tiến dần đến (nghìn người).
Câu 2 [1041532]: Các loài thực vật phù du diễn ra quá trình trình nhanh hay chậm phụ thuộc vào cường độ ánh sáng chiếu vào nó và tốc độ quang hợp của nó được mô hình hóa theo hàm số trong đó là cường độ ánh sáng (được tính bằng nghìn SI). Với cường độ ánh sáng bằng bao nhiêu nghìn SI thì tốc độ quang hợp là lớn nhất?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Cường độ ánh sáng chiếu vào nó và tốc độ quang hợp của nó được mô hình hóa theo hàm số trong đó là cường độ ánh sáng (được tính bằng nghìn SI ).
b) Yêu cầu:
- Với cường độ ánh sáng bằng bao nhiêu nghìn SI thì tốc độ quang hợp là lớn nhất?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng đạo hàm để tìm cực trị.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:

là cực đại của hàm số .
Cường độ ánh sáng bằng 2 nghìn SI thì tốc độ quang hợp là lớn nhất.
Điền đáp án: 2.
Câu 3 [1041533]: Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau giờ khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được tính xấp xỉ bởi hàm số
a) Đúng.
Ta có:
b) Sai.
Ta có:
c) Đúng.
Ta có:
là cực tiểu của hàm số

Nồng độ oxygen trong hồ nước không vượt quá .
d) Sai.
Tốc độ thay đổi nồng độ oxygen trong hồ là



Ta có:
Tốc độ thay đổi nồng độ oxygen trong hồ lớn nhất bằng 1,875 mg/l/ giờ
Câu 4 [1003016]: Một xưởng thủ công mỹ nghệ sản xuất loại chụp đèn trang trí dạng hình chóp cụt tứ giác đều. Gọi là độ dài cạnh đáy lớn (đơn vị:dm). Tính toán cho thấy tổng chi phí vật liệu (tính bằng nghìn đồng) cho một chụp đèn là (nghìn đồng). Thời gian sản xuất cho một chụp đèn được xác định là (giờ). Xưởng muốn xác định kích thước để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất, nhằm tối ưu hóa hiệu quả sử dụng thời gian và vật liệu. Hãy tìm giá trị của
Đáp án: 6
Gọi hàm chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là
Ta có
Ta có bảng biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta thấy đạt GTNN bằng khi
Vậy để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất thì
Câu 5 [695593]: Người ta muốn thiết kế một lồng nuôi cá có bề mặt hình chữ nhật bao gồm phần mặt nước có diện tích bằng 54 m² và phần đường đi xung quanh với kích thước (đơn vị: m) như hình vẽ:
📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai” dạng bảng. Khi trả lời câu hỏi này, học sinh cần chú ý đến các phát biểu theo thứ tự từ trên xuống dưới. Rất có thể các phát biểu trước là gợi ý để trả lời các phát biểu sau. Thí sinh cần chọn hoặc đúng hoặc sai cho tất cả các ý trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
a) Đúng.
Kích thước hình chữ nhật phần mặt nước là và với
b) Sai.
Diện tích phần mặt nước là nên
c) Sai.
Diện tích cả lồng nuôi cá là
Diện tích phần đường đi là
d) Đúng.
Xét hàm số
Ta có (loại) hoặc (thoả mãn).
Tính giá trị của tại điểm cực trị, ta có diện tích phần đường đi nhỏ nhất khi và có diện tích
Câu 6 [382825]: Một cốc chứa dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ được trộn vào cốc. Gọi nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn từ bình chứa, kí hiệu là
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).

💡 Phương pháp: Lập biểu thức khối lượng và thể tích dung dịch sau khi trộn, xây dựng hàm nồng độ , giải phương trình, xét đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu và giới hạn của hàm số.

✒️Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Khối lượng dung dịch trong cốc sau khi trộn từ bình chứa là
Thể tích dung dịch trong cốc sau khi trộn từ bình chứa là
Nồng độ trong cốc sau khi trộn từ bình chứa là
b) Sai.

c) Sai.

Vậy là hàm số nghịch biến trên
d) Đúng.
Vì và nên nồng độ trong cốc giảm theo nhưng luôn lớn hơn

🔑 Điền đáp án: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng.
Câu 7 [1032390]: Một con cá bơi ngược dòng với vận tốc v (đơn vị km/h) so với dòng nước và dòng chảy có vận tốc 9 km/h. Dựa trên một mô hình toán học về mức tiêu thụ năng lượng ta có tổng năng lượng E cần thiết để bơi một quãng đường 16 km được cho bởi phương trình Các nhà sinh học thấy rằng cá di cư luôn cố gắng tối thiểu hóa năng lượng cần thiết để bơi một khoảng cách cố định. Con cá bơi với tận tốc lớn hơn vận tốc dòng chảy bao nhiêu phần trăm để đạt năng lượng tối thiểu?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một con cá bơi ngược dòng với tốc độ (đơn vị ) so với dòng nước và dòng chảy có tốc độ .
- Tổng năng lượng cần thiết để bơi một quãng đường 16 km được cho bởi phương trình .
b) Yêu cầu:
- Con cá bơi với tận tốc lớn hơn vận tốc dòng chảy bao nhiêu phần trăm để đạt năng lượng tối thiểu?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng đạo hàm để tìm cực trị.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:

là cực tiểu của hàm số .
Con cá bơi với tận tốc lớn hơn vận tốc dòng chảy 50% để đạt năng lượng tối thiểu.
Điền đáp án: 50.
Câu 8 [700891]: Giả sử cường độ ánh sáng của một nguồn điểm tỉ lệ thuận với cường độ của nguồn sáng đó và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ nguồn sáng. Hai nguồn điểm có cường độ lần lượt là và cách nhau 90 cm. Xét một điểm nằm trên đoạn thẳng nối hai nguồn, cường độ ánh sáng tại điểm đó nhỏ nhất thì điểm đó cách nguồn có cường độ bằng bao nhiêu centimet ( cho biết cường độ sáng tại điểm bằng tổng cường độ sáng mỗi nguồn tại điểm đó)?
Điền đáp án: 30.
Ta có công thức tính cường độ ánh sáng của một nguồn điểm là trong đó: là cường độ ánh sáng của một nguồn điểm, là cường độ của nguồn sáng, là khoảng cách của điểm đó đến nguồn sáng.
Gọi là khoảng cách từ đến nguồn có cường độ là
Vì cường độ sáng tại điểm bằng tổng cường độ sáng mỗi nguồn tại điểm đó nên suy ra cường độ sáng tại điểm là ="" =""






Bảng biến thiên

Vậy cường độ ánh sáng tại điểm đó nhỏ nhất khi
Câu 9 [1032392]: Một nhà máy sản xuất thuốc nhuộm hoạt động tại khu vực gần một dòng sông lớn. Trong quá trình sản xuất, nhà máy này thải ra một lượng chất ô nhiễm đáng kể vào môi trường, gây ảnh hưởng nghiêm trọng đến chất lượng nước và sức khỏe cộng đồng. Để cải thiện tình hình và tuân thủ các quy định về bảo vệ môi trường, nhà máy đã quyết định đầu tư vào một hệ thống xử lý nước thải hiện đại. Chi phí để loại bỏ chất ô nhiễm từ nguồn nước thải được mô hình hóa bởi hàm số phân thức sau: (triệu đồng), Mệnh đề sau đúng hay sai?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp: Lập biểu thức hàm chi phí và hàm lợi nhuận , từ đó tính giá trị cụ thể, xét điều kiện xác định, giải bất phương trình và khảo sát cực trị bằng đạo hàm.
✒️Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Ta có .
b) Đúng.
không xác định.
Không thể loại bỏ chất ô nhiễm.
c) Đúng.
.
.
d) Đúng.
Lợi nhuận cho việc loại bỏ chất ô nhiễm là .
.
.
Đây là điểm cực đại của hàm số .
(triệu đồng).
🔑 Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng.
Câu 10 [1032399]: Trong hệ trục tọa độ cho đồ thị hàm số mô tả chuyển động của hai tàu đánh cá và (đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng ). Biết quỹ đạo chuyển động của hai tàu luôn thuộc về hai nhánh khác nhau của đồ thị Tính khoảng cách ngắn nhất (đơn vị ) giữa hai tàu đánh cá và (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Cho đồ thị hàm số mô tả chuyển động của hai tàu đánh cá và .
- Quỹ đạo chuyển động của hai tàu luôn thuộc về hai nhánh khác nhau của đồ thị .
b) Yêu cầu:
- Tính khoảng cách ngắn nhất
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Lập hàm biểu diễn khoảng cách
- Sử dụng bất đẳng thức Cosi để đánh giá.
Phần 3. Giải chi tiết
Bước 1. Lập hàm biểu diễn khoảng cách
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là và đường tiệm cận xiên
Giả sử thuộc vào nhánh ; thuộc vào nhánh .




Đặt


Bước 2. Sử dụng bất đẳng thức Cosi để đánh giá.
Ta có: và do


.
Bước 3. Kết luận.
Điền đáp án: 4,39.
Câu 11 [695056]: Một tờ giấy hình chữ nhật có kích thước được đặt trên một mặt phẳng. Một góc của tờ giấy được đặt trùng với cạnh dài đối diện (như hình vẽ) và giữ cố định trong khi làm phẳng tờ giấy. Đặt gọi độ dài của nếp gấp là
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Sử dụng các tính chất hình học tam giác vuông, quan hệ lượng trong tam giác và bất đẳng thức để biểu diễn độ dài theo biến .
Xét hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức độ dài cần tính.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Ta có .
b) Sai.
Có .
.
c) Đúng.
Có .
.
d) Đúng.
Từ suy ra .
.
.
Xét hàm số .
.


Dựa vào bảng biến thiên, đạt giá trị nhỏ nhất tại .
.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng
Câu 12 [702940]: Một chiếc phà chạy giữa đất liền và đảo Dedlos. Phà có công suất tối đa là xe hơi mỗi chuyến, nhưng việc tải gần hết công suất rất tốn thời gian. Biết rằng số lượng xe hơi đưa lên phà mỗi chuyến là và mất một khoảng thời gian là (giờ). Mỗi xe cần trung bình giây để dỡ xuống khi đến điểm đích. Thời gian di chuyển đến đảo và thời gian vòng về đều mất giờ. Nên tải bao nhiêu xe lên phà cho mỗi chuyến đi để lượng xe trung bình di chuyển qua lại đảo mỗi giờ đạt lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Để đưa được xe lên phà cần giờ.
Tổng thời gian để đưa xe qua đảo hoặc từ đảo về bằng (giờ).
Số xe di chuyển trung bình mỗi giờ bằng:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương và ta có
Suy ra
Dấu bằng xảy ra khi:
Vậy để lượng xe trung bình di chuyển qua lại đảo mỗi giờ đạt lớn nhất cần tải lên phà mỗi chuyến xe.
Điền đáp án:
Câu 13 [1032396]: Người ta muốn làm một sàn nổi hình vuông nối liền một sân khấu nổi trên mặt hồ có bờ là một nhánh đồ thị của hàm số với đất liền là nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng Biết sàn nổi hình vuông có hai đỉnh nằm trên hai đỉnh còn lại nằm trên

a) Chứng minh rằng đường thẳng là trục đối xứng của đường cong
b) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
c) Tính diện tích của mặt sàn nổi.
a) Ta có 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số là
Tâm đối xứng của đồ thị là điểm
Trục đối xứng của đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua điểm , cắt 2 nhánh của đồ thị và là đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường tiệm cận.

Dựa theo hình vẽ ta thấy đường thẳng là trục đối xứng của đồ thị.
b) Trung điểm của chính là trung điểm của .
Mà
c) Có là trục đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.
Theo hình vẽ
Vì
Ta có



Câu 14 [1032398]: Xưởng gốm X chuyên sản xuất chậu bonsai nghệ thuật. Mỗi ngày, xưởng có thể sản xuất tối đa 150 chiếc chậu. Nếu xưởng sản xuất chiếc chậu và bán hết thì tổng doanh thu là (nghìn đồng). Chi phí mua nguyên vật liệu thô để sản xuất chiếc chậu khi chưa chiết khấu là (nghìn đồng). Chính sách chiết khấu mua nguyên vật liệu: nếu mua nguyên vật liệu cho từ 80 chiếc chậu trở lên thì giảm giá 15% trên tổng chi phí , mua ít hơn thì không được giảm giá. Chi phí bán hàng và marketing là (nghìn đồng). Chi phí nhân công và vận hành xưởng là (nghìn đồng). Hỏi lợi nhuận lớn nhất mỗi ngày là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị triệu đồng) ?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Mỗi ngày, xưởng có thể sản xuất tối đa 150 chiếc chậu.
- Nếu xưởng sản xuất chiếc chậu và bán hết thì tổng doanh thu là (nghìn đồng).
- Chi phí mua nguyên vật liệu thô để sản xuất chiếc chậu khi chưa chiết khấu là (nghìn đồng).
- Nếu mua nguyên vật liệu cho từ 80 chiếc chậu trở lên thì giảm giá 15% trên tổng chi phí , mua ít hơn thì không được giảm giá.
- Chi phí bán hàng và marketing là (nghìn đồng).
- Chi phí nhân công và vận hành xưởng là (nghìn đồng).
b) Yêu cầu:
- Lợi nhuận lớn nhất mỗi ngày là bao nhiêu triệu đồng?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Chia 2 trường hợp, lập hàm lợi nhuận sau đó dùng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất.
Phần 3. Giải chi tiết
Trường hợp 1:
Lợi nhuận mỗi ngày là




nghìn đồng 8 triệu đồng.
Trường hợp 2:
Lợi nhuận mỗi ngày là



là điểm cực đại của đồ thị hàm số .
nghìn đồng 11 triệu đồng.
Vậy lợi nhuận lớn nhất mỗi ngày là 11 triệu đồng.
Điền đáp án: 11.
Câu 15 [702530]: Hình vẽ sau mô tả một đường cong Agnesi và được xây dựng trong hệ tọa độ như sau: vẽ một đường tròn có tâm và bán kính bằng từ điểm kẻ một đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là điểm và cắt đường thẳng tại điểm Gọi là giao điểm của đường thẳng qua vuông góc với và đường thẳng qua vuông góc với. Tập hợp các điểm tạo thành một đường cong gọi là đường cong Agnesi. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc lớn nhất bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Điền đáp án:

Gọi là hình chiếu của lên là hình chiếu của lên
Tam giác vuông tại có là đường cao
Ta có:




Bảng biến thiên hàm số

Dựa vào BBT ta có:
Câu 16 [1042452]: Trên hệ tọa độ cho đường tròn tâm bán kính và đường cong (tham khảo hình vẽ). Biết rằng với một điểm bất kì nằm trên đường cong , đường thẳng cắt nửa đường tròn tại và cắt đường thẳng tại điểm sao cho Tính hệ số góc của đường cong tại điểm có hoành độ bằng .
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Trên hệ tọa độ , cho đường tròn tâm , bán kính và đường cong
- Với một điểm bất kì nằm trên đường cong , đường thẳng cắt nửa đường tròn tại và cắt đường thẳng tại điểm sao cho .
b) Yêu cầu:
- Tính hệ số góc của đường cong tại điểm có hoành độ bằng .
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tìm tọa độ giao điểm của phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm với đường tròn đã cho, sau đó dùng vecto để tìm tọa độ điểm , từ đó tìm được đường cong đi qua điểm .
Phần 3. Giải chi tiết“
Do có 1 chút lỗi nên thầy xin phép sửa câu hỏi thành “Tính hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ bằng 3/2. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm”
Phương trình đường tròn tâm , bán kinh bằng 1 có dạng
Đường thẳng đi qua 2 điểm có dạng
Thay vào phương trình đường tròn ta được:

Giao điểm của đường tròn và đường thẳng là điểm .
Giao điểm của và đường thẳng là điểm .
Gọi
Ta có:

Từ



Đường cong đi qua điểm có dạng


Điền đáp án: 5,2.