Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1032406]: Một công ty chuyên sản xuất ván trượt tuyết dự đoán rằng, số lượng ván trượt bán ra mỗi tháng (tính bằng nghìn chiếc) trong 12 tháng tới được mô hình hóa bởi hàm số (nghìn chiếc) trong đó là thời gian tính bằng tháng kể từ thời điểm bây giờ . Doanh số thấp nhất trong 12 tháng tới dự tính khoảng bao nhiêu nghìn chiếc mỗi tháng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Số lượng ván trượt bán ra mỗi tháng trong 12 tháng tới được mô hình hóa bởi hàm số (nghìn chiếc) , là thời gian tính bằng tháng kể từ thời điểm bây giờ .
b) Yêu cầu:
- Doanh số thấp nhất trong 12 tháng tới dự tính khoảng bao nhiêu nghìn chiếc mỗi tháng?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:



+)
Ta có:
là cực đại của hàm số trên.
+)
Ta có:
là cực tiểu của hàm số trên.
+) Vì nên ta có: Vậy doanh số thấp nhất là 21,5 nghìn chiếc.
Điền đáp án: 21,5.
Câu 2 [1020766]: Một máy hiện sóng thường hiển thị một đường cong răng cưa. Đường cong này có dạng hình sin với các chu kỳ và biên độ thay đổi (như hình vẽ). Nhà khoa học đã mô hình hóa chu kì đầu tiên của sóng đó qua phương trình với (giây) là thời gian truyền sóng và là độ cao của sóng có đơn vị cm.
a) Đúng. Vì:

Ta có:

Vậy
b) Sai. Vì:


c) Sai. Vì:
Trong giây đầu tiên, tốc độ chuyển động của sóng bằng 0 tại các thời điểm là:




Vậy nên trong giây đầu tiên, tốc độ chuyển động của sóng bằng 0 tại 3 thời điểm.
d) Đúng. Vì:
Trong giây đầu tiên, sóng cao nhất là
Từ ý c) ta có
Ta có:




Vậy sóng cao nhất là tại thời điểm giây.
Câu 3 [1032407]: Một máy quay ghi hình tên lửa được phóng thẳng đứng từ bệ phóng. Máy được đặt cách bệ phóng 30 m . Quả tên lửa cao 20 m , được phóng lên theo phương thẳng đứng. Gọi (radian) là góc quan sát của máy quay quan sát quả tên lửa, (mét) là khoảng cách từ đáy của quả tên lửa đến bệ phóng (tham khảo như hình vẽ).
a) Đúng.
Khoảng cách từ máy quay đến đáy quả tên lửa bằng .
b) Sai.

c) Sai.



d) Sai.

Ta có:

Dấu “=” xảy ra
Sử dụng dữ liệu sau để trả lời Câu 4, Câu 5 và Câu 6.
Một bờ hồ hình bán nguyệt có bán kính bằng 2 km, đường kính PR. Từ điểm P anh Tài chèo một chiếc thuyền với vận tốc 3 km/h đến điểm Q trên bờ hồ, rồi đi bộ dọc theo bờ hồ đến vị trí R với vận tốc 6 km/h. Gọi α là góc , tính theo đơn vị radian.
Câu 4 [1024525]: Xác định và theo biến (Trình bày tự luận)
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
Một bờ hồ hình bán nguyệt có bán kính bằng 2 km , đường kính .
Từ điểm anh Tài chèo một chiếc thuyền với vận tốc đến điểm trên bờ hồ, rồi đi bộ dọc theo bờ hồ đến vị trí với vận tốc .
- Gọi là góc , tính theo đơn vị radian.
b) Yêu cầu:
- Xác định và theo biến .
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng định lý cos và công thức độ dài đường còn trong hình tròn.
Phần 3. Giải chi tiết
+)



+)
Câu 5 [1024526]: Mô hình hóa thời gian anh Tài di chuyển từ đến theo cách trên dưới dạng một hàm số theo biến (Trình bày tự luận)
Câu 6 [1024527]: Tính thời gian di chuyển ngắn nhất của anh Tài theo cách trên. Làm tròn đến hàng phần mười.
Ta có:





Vì Không có giá trị .

Vì
Ta có:
Thời gian chi chuyển ngắn nhất là phút khi .
Điền đáp án: 62,8
Câu 7 [1012529]: Một miếng thiếc hình tròn có bán kính 20 cm đã bị cắt bỏ 3 phần và để lại miền tô đậm như minh họa. Góc trong hình được đo bằng radian. Biết diện tích phần tô đậm được là: Tìm giá trị lớn nhất của (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có tính chất: 2 đường chéo của hình chữ nhật chia hình chữ nhật thành 4 hình tam giác có diện tích bằng nhau.
Diện tích phần tô đậm = Diện tích hình quạt tròn AOB + Diện tích 3 tam giác bằng nhau
+) Diện tích quạt tròn:
Áp dụng công thức tính diện tích quạt tròn (với góc tính bằng radian) là
+) Diện tích 3 tam giác:

Vậy thể tích phần tô đậm là
Để tìm giá trị lớn nhất của ta xét hàm số trên khoảng
Ta có

Vì xét trong khoảng nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất là
Lập bảng biến thiên của

Từ đó, suy ra hàm số đạt giá trị cực đại tại
Vậy giá trị lớn nhất là
Câu 8 [703025]: Hai hình chữ nhật bằng nhau, nội tiếp trong đường tròn tâm bán kính tạo thành một hình chữ thập đối xứng (như hình vẽ bên). Diện tích lớn nhất của hình chữ thập là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 2,47.
Ta kí hiệu các điểm trên hình như sau:

(Nhận xét: các đường chéo của 2 hình chữ nhật sẽ trùng với đường kính của đường tròn tâm .)
Đặt
Trong tam giác vuông ta có
Diện tích của hình chữ thập Diện tích hình vuông (là giao của 2 hình chữ nhật)

Xét hàm số trên khoảng
Ta có









Ta có
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ thập là
Câu 9 [1032408]: Cấu trúc tổ ong là một cấu trúc đặc biệt, mỗi lỗ ong là một lăng kính hình lục giác, một đầu hở còn một đầu tạo thành một góc tam diện. Ong đã xây các lỗ này với một cách làm tối ưu về diện tích bề mặt (đã sử dụng lượng sáp ong ít nhất để xây tổ). Người ta đã quan sát, nghiên cứu thì thấy rằng góc (rad) ở đỉnh nhất quán một cách đáng kinh ngạc, dựa trên cấu trúc hình học của lỗ ong người ta đã chứng minh được diện tích bề mặt của lỗ ong là với Mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đúng.


b) Sai.


c) Sai.
Ta có:


+)


+)
Không có giá trị .
d) Sai.
Theo ý c) ta có:
Diện tích tối thiểu là 3,55
Câu 10 [1032409]: Trong một tiết học, cô giáo yêu cầu bạn Đăng gấp một tờ giấy và tìm giá trị nhỏ nhất của nếp gấp với cách gấp như sau: Tờ giấy có dạng hình chữ nhật với chiều rộng bằng 20 cm , từ một điểm trên cạnh dài gấp tờ giấy lại và thu được miền diện tích được tô đậm như hình vẽ. Gọi là góc trên của nếp gấp (góc như hình). Bạn Đăng chứng minh được độ dài nếp gấp phụ thuộc vào góc theo phương trình với là các số thực.

a) __________.
b) __________.
c) Độ dài nếp gấp nhỏ nhất khi góc bằng__________. Làm tròn đến hàng phần mười của độ.
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Tờ giấy có dạng hình chữ nhật với chiều rộng bằng 20 cm , từ một điểm trên cạnh dài gấp tờ giấy lại và thu được miền diện tích được tô đậm như hình vẽ.
- Gọi là góc trên của nếp gấp (góc như hình).
- Độ dài nếp gấp phụ thuộc vào góc theo phương trình với là các số thực.
b) Yêu cầu:
- ?
- ?
- Độ dài nếp gấp nhỏ nhất khi góc bằng ?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất
Phần 3. Giải chi tiết
a) “Để đảm bảo bài toán chặt chẽ. Thầy xin phép thay đổi một chút ở điền kiện như sau “ là các số nguyên và ”.

Kẻ
Có


b) ( theo câu a)
c) .
Ta có:

Đặt

nhỏ nhất khi đạt giá trị lớn nhất.



tại
.
Câu 11 [1032412]: Một ống thép được mang qua hành lang rộng 3 mét, nhưng ở ngã rẽ hành lang có một khúc quẹo vuông góc dẫn vào hành lang hẹp hơn rộng 2 mét. Giả sử ta coi đường kính của ống thép là không đáng kể. Gọi là góc tạo bởi giữa ống thép và bờ tường của hành lang (tham khảo như hình vẽ); là chiều dài của ống thép. Biết rằng độ dài lớn nhất của ống có thể mang được qua góc quẹo chính là giá trị nhỏ nhất của Khi đó góc bằng bao nhiêu độ? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- là góc tạo bởi giữa ống thép và bờ tường của hành lang, là chiều dài của ống thép.
-
b) Yêu cầu:
- Tìm khi đạt giá trị nhỏ nhất
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất
Phần 3. Giải chi tiết

Bước 1. Tìm hàm và tính


Bước 2. Giải phương trình đạo hàm bằng 0
+)
là cực tiểu của hàm số
Bước 3. Kết luận:
Điền đáp án 48,9.
Câu 12 [1032410]: Một tòa nhà trong thành phố cao 120 mét có gắn một tháp thông tin cao 12 mét ở trên đỉnh. Một chiếc ô tô đang di chuyển với tốc độ hướng về phía tòa nhà. Khi ô tô tiến gần đến tòa nhà, góc nhìn của tháp thay đổi (tham khảo như hình vẽ). Biết rằng thời điểm ban đầu, xe ô tô cách tòa nhà 400 mét. Khi di chuyển đến vị trí có góc nhìn lớn nhất thì chiếc ô tô dừng lại. Thời gian di chuyển của chiếc ô tô đó bằng bao nhiêu giây (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần muời)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
-
-
- là độ dài đoạn đường tại xe đi khi góc lớn nhất.
-
b) Yêu cầu:
- Tìm thời gian di chuyển của oto khi đạt giá trị lớn nhất.
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Xây dựng hàm chứa biến và sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất.
Phần 3. Giải chi tiết

Bước 1. Tìm hàm chứa biến
Ta sử dụng công thức


Bước 2. Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá.

Bước 3. Tìm dấu bằng xảy ra
Dấu “=” xảy ra
Thời gian di chuyển của ô tô là giây
Bước 4. Kết luận
Điền đáp án: 27,4.
Câu 13 [1032411]: Người ta muốn thiết kế cái máng có dạng hình lăng trụ tứ giác, mặt cách ngang của máng là một hình thang cân có độ dài 2 cạnh bên bằng đáy nhỏ và bằng 10 cm (tham khảo như hình vẽ). Gọi là góc nhọn tạo bởi cạnh bên và cạnh đáy của hình thang cân và là diện tích mặt cắt ngang của cái máng.

a) Chứng minh rằng diện tích mặt cắt ngang của máng được mô tả bởi hàm số:
b) Khảo sát đồ thị hàm số với
c) Với góc nào thì diện tích mặt cắt ngang lớn nhất?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Người ta muốn thiết kế cái máng có dạng hình lăng trụ tứ giác, mặt cách ngang của máng là một hình thang cân có độ dài 2 cạnh bên bằng đáy nhỏ và bằng 10 cm (tham khảo như hình vẽ).
- Gọi là góc nhọn tạo bởi cạnh bên và cạnh đáy của hình thang cân và là diện tích mặt cắt ngang của cái máng.
b) Yêu cầu:
- Chứng minh rằng diện tích mặt cắt ngang của máng được mô tả bởi hàm số:
- Khảo sát đồ thị hàm số với .
- Với góc nào thì diện tích mặt cắt ngang lớn nhất?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Biểu diễn các cạnh qua .
- Dùng đạo hàm để khảo sát hàm số.
Phần 3. Giải chi tiết
a) Ta có: ;

b) Xét trên :




Bảng biến thiên:

c) Dựa theo câu b) ta thấy diện tích mặt ngang lớn nhất
Câu 14 [695203]: Một vườn hoa có chiều dài 15 mét được xây dựng giữa 2 tòa nhà ở 2 hướng Đông và Tây. Biết rằng 2 tòa nhà cách nhau 150 mét và độ cao của tòa nhà hướng Đông là 105 mét, độ cao của tòa nhà hướng Tây là 60 mét. Người ta tìm địa điểm trồng hoa cách tòa nhà ở hướng Tây x (mét) để thời gian chiếu sáng vào vườn hoa là lớn nhất. Giá trị của x bằng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Biết thời gian ánh sáng mặt trời chiếu vào vườn hoa đạt lớn nhất khi góc lớn nhất (như hình vẽ).


Điền đáp án:
Ta có:

Xét hàm số với
Ta có:


Bảng biến thiên:

Vậy giá trị của là
Câu 15 [1032413]: Khi một phím trên điện thoại phím bấm được nhấn, bàn phím tạo ra hai âm thanh thuần, một âm thanh có tần số thấp kết hợp với một âm thanh có tần số cao để tạo ra một sóng âm duy nhất xác định phím đó. Hình vẽ sau cho biết tần số thấp và tần số cao ứng với mỗi phím. Khi nhấn phím, sóng âm được tạo ra chuyển động theo phương trình trong đó tính bằng giây và tính bằng mm. Khi nhấn phím số 4, chuyển động của sóng cao nhất bằng bao nhiêu mm (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Khi nhấn phím, sóng âm được tạo ra chuyển động theo phương trình , trong đó tính bằng giây và tính bằng mm
b) Yêu cầu:
- Khi nhấn phím 4 , chuyển động của sóng cao nhất bằng bao nhiêu mm ?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Thay tần số vào phương trình đã cho rồi bấm máy tính.
Phần 3. Giải chi tiết
Điền đáp án: 2.
Ta có:
Đặt

Giả sử



là số lẻ, là số chẵn
Không tồn tại


Với

Câu 16 [1032414]: Một anh công nhân dùng đòn đẩy để phóng hòn đá sang phía bên kia bãi đất theo một góc so với mặt đất () và vận tốc phóng ban đầu là m/s. Nếu bỏ qua sức cản không khí, khoảng cách (mét) mà vật thể di chuyển lên mặt phẳng nghiêng được mô hình hóa thông qua hàm số Biết rằng đỉnh của bãi đất cao 1 mét và mặt nghiêng của bãi đất tạo với mặt đáy một góc 45 độ (xem hình minh họa). Xác định vận tốc phóng (m/s) tối thiểu để vật thể có thể vượt qua được đỉnh của bãi đất. (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Hàm số biểu diễn khoảng cách mà vật thể di chuyển lên mặt phẳng nghiêng : ()
- Đỉnh cao 1 m và tạo vs mặt đất 1 góc .
b) Yêu cầu:
- Tìm vận tốc tối thiểu để vượt qua đỉnh của bãi đất
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Để vượt qua đỉnh của bãi đất thì .
Phần 3. Giải chi tiết
Bước 1. Tìm hàm số ẩn mà lớn hơn hoặc bằng.

đạt giá trị nhỏ nhất
min
Bước 2. Xét hàm số chứa sau đó dùng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất
Xét



Mà là cực đại của hàm số trên.

Bước 3. Kết luận
Điền đáp án: 29,3.
Câu 17 [1032415]: Một nhà thiết kế nghệ thuật trang trí có kế hoạch tiếp thị các quả cầu vàng được bao bọc trong các hình nón pha lê trong suốt. Mỗi quả cầu có bán kính cố định và sẽ được bao bọc trong một hình nón có chiều cao và bán kính (tức là khối cầu nội tiếp khối nón). Nhiều hình nón có thể được sử dụng để bao bọc quả cầu, mỗi hình nón có một góc nghiêng khác nhau gọi là góc (tham khảo như hình vẽ). Nếu nhà thiết kế sử dụng khối nón có thể tích lít để bao bọc khối cầu, thì bằng bao nhiêu?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Khối cầu tâm nội tiếp hình nón có bán kính
-
b) Yêu cầu:
- Tìm
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng dữ kiện thể tích, tính chất của đường tròn nội tiếp tam giác và công thức để tính.
Phần 3. Giải chi tiết

Ta có thể tích hình nón pha lê là
Vì cắt hình cầu tại điểm và vuông góc với bán kính hình cầu nên là đường tiếp tuyến của mặt cầu.
Tương tự, là đường tiếp tuyến của mặt cầu.
Suy ra là đường phân giác góc (theo tính chất của tiếp tuyến).

Trong tam giác vuông tại ta có :

Ta có:

Trong tam giác vuông tại ta có:


Thay vào thể tích của hình nón pha lê, ta được:






Đặt
Khi đó


(loại vì)
Điền đáp án: 0,75.
Câu 18 [1028037]: Hai ngôi nhà ven biển nằm cách nhau 16 kilomet trên một đoạn bãi biển thẳng, mỗi ngôi nhà cách một con đường nhựa song song với biển 2 kilomet. Trang có thể chạy bộ với tốc độ 16 kilomet mỗi giờ trên con đường nhựa, nhưng chỉ với tốc độ 6 kilomet mỗi giờ trên bãi biển. Vì có một con sông ngay giữa hai ngôi nhà, nên cô ấy phải chạy trên bãi biển ra đường, tiếp tục trên đường nhựa, và sau đó lại chạy trở lại trên cát để di chuyển từ ngôi nhà này đến ngôi nhà kia và quãng đường di chuyển trên cát là bằng nhau. Góc tạo bởi giữa 2 đường chạy của cô ấy là (tham khảo như hình vẽ)

a) Tính quãng đường mà Trang di chuyển trên đường nhựa nếu góc
b) Xác định thời gian (giờ) để Trang di chuyển từ ngôi nhà này đến ngôi nhà kia dưới dạng một hàm số theo biến
c) Thời gian Trang di chuyển ngắn nhất bằng bao nhiêu?




a)

Quãng đường Trang đi trên đường nhựa bằng 12 km.
b)





c)



Câu 19 [696345]: Độ xa mà một quả bóng bầu dục có thể bay từ khi rời tay người ném đến khi chạm đất được được mô hình hóa bởi phương trình trong đó (m/s) là vận tốc của quả bóng tính bằng mét trên giây và () là góc so với phương ngang mà quả bóng rời khỏi tay người ném. Biết người đó ném với vận tốc (m/s) () và khoảng cách xa nhất đo được là mét. Vận tốc khi ném của người đó bằng bao nhiêu m/s? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 5,69.



*ĐN:



+) (luôn đúng)
+)



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Câu 20 [1032416]: Trong một tiết học công nghệ bạn Hưng muốn thử thách bạn Hà, bạn Hưng vẽ một hình tam giác có độ dài và . Lấy một điểm trong miền tam giác thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: . Bạn Hưng yều cầu bạn Hà phải xác định diện tích lớn nhất của phần gạch chéo như hình vẽ. Gọi diện tích phần gạch chéo là , khi lớn nhất thì bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
-
-
-
b) Yêu cầu:
- Tính khi lớn nhất
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tính bằng cách trừ cách diện tích con trong
- Khảo sát hàm số theo để tìm giá trị lớn nhất.
Phần 3. Giải chi tiết
Bước 1. Tính bằng cách trừ cách diện tích con trong


Bước 2. Khảo sát hàm theo để tìm giá trị lớn nhất
Xét hàm ,





Bước 3. Kết luận
Điền đáp án: 0,91.