Quay lại
Đáp án
Câu 1 [251943]: Một gương Iõm có mặt cắt hình parabol như Hình, có tiêu điểm cách đỉnh . Cho biết bề sâu của gương là , tính khoảng cách (theo đơn vị cm).
59.PNG
Tiêu điểm cách đỉnh Tiêu điểm có tọa độ
Phương trình parabol (P):
Ta có điểm nên thay tọa độ vào phương trình , ta được:
Vậy khoảng cách là .
Câu 2 [583261]: Một cái cầu có dây cáp treo hình parabol, cầu dài và được nâng đỡ bởi những thanh thẳng đứng treo từ cáp xuống, thanh dài nhất là thanh ngắn nhất là (Hình vẽ). Tính chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu (viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét).
56.PNG
57.PNG
Theo bài ra ta có: điểm có tọa độ .
Gọi phương trình của parabol (P) là .
Vì nên thay tọa độ điểm vào phương trình , ta được:

Phương trình (P) là:
Độ dài đoạn chính là chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu .
Gọi , vì nên thay tọa độ vào phương trình , ta được: .

Vậy thanh cáp cách điểm giữa cầu có chiều dài là
Câu 3 [1042198]: Một cái đèn ngủ trong phòng có mặt phản xạ là một parabol như hình vẽ. Trên hệ tọa độ đơn vị trên mỗi trục tính bằng cm, parabol có tiêu điểm tại điểm và đường kính của tiêu cự là cm. Tìm độ dài đường kính (theo đơn vị cm) cách tiêu điểm 20 cm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một cái đèn ngủ trong phòng có mặt phản xạ là một parabol như hình vẽ.
- Parabol có tiêu điểm và đường kính của tiêu cự là
b) Yêu cầu:
- Tìm (theo đơn vị cm ) cách tiêu điểm 20 cm.
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Viết dạng tổng quát của phương trình parabol, dùng dữ kiện đề bài để tìm ra
Phần 3. Giải chi tiết

Phương trình chính tắc của parabol là
Điểm




Điền đáp án: 33,2.
Câu 4 [1042199]: Nước đang chảy ra từ một ống nằm ngang cách mặt đất 16 mét xuống một con sông. Trên hệ tọa độ đơn vị trên mỗi trục tính bằng mét, trục là mặt sông, trục thể hiện chiều cao của dòng chảy. Dòng nước chảy xuống có dạng một parabol với đỉnh nằm tại đầu ống và chạm mặt biển tại điểm (tham khảo hình vẽ). Viết phương trình cho quỹ đạo của dòng nước.
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Nước đang chảy ra từ một ống nằm ngang cách mặt đất 16 mét xuống một con sông.
- Dòng nước chảy xuống có dạng một parabol với đỉnh nằm tại đầu ống và chạm mặt biển tại điểm
b) Yêu cầu:
- Viết phương trình cho quỹ đạo của dòng nước?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Viết phương trình tổng quát của parabol, sau đó thay tọa độ các điểm đã cho để tìm hệ số.
Phần 3. Giải chi tiết
Phương trình parabol có trục đối xứng là và có đỉnh tại có dạng
Ta có:

Câu 5 [1042200]: Kính viễn vọng Hale được đặt tại Đài quan sát Mount Palomar có gương phản xạ với chiều dài 500 cm, được chế tạo theo hình parabol để thu ánh sáng từ các vì sao và hội tụ tại tiêu điểm chính, tức tiêu điểm của parabol. Gương này có độ sâu lớn nhất là 10 cm ở trung tâm. Biết rằng độ dài tiêu cự của gương parabol này tức khoảng cách từ đỉnh của parabol đến tiêu điểm là (cm). Tính
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Kính viễn vọng có gương phản xạ với chiều dài 500 cm , được chế tạo theo hình parabol .
- Gương này có độ sâu lớn nhất là 10 cm ở trung tâm.
- Độ dài tiêu cự của gương parabol này tức khoảng cách từ đỉnh của parabol đến tiêu điểm là
b) Yêu cầu:
- Tính
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Lập được phương trình tổng quát của parabol trên dựa trên dữ kiện đề bài.
- Gọi dạng chính tắc của phương trình parabol từ đó tìm ra tiêu cự.
Phần 3. Giải chi tiết


Phương trình tổng quát của parabol có dạng có tiêu điểm
Điểm


Điền đáp án: 3125.

Câu 6 [1042201]: Hệ thống định vị toàn cầu xác định vị trí của một vật thể thông qua khoảng cách từ nó đến các vệ tinh trong quỹ đạo quanh Trái Đất. Trong tình huống hai chiều như hình vẽ, vệ tinh A có tọa độ là , vệ tinh B có tọa độ là (đơn vị trên các trục tọa độ tính bằng kilomet). Trên mặt đất có 2 vị trí thỏa mãn khoảng cách từ điểm đó đến vệ tinh A, vệ tinh B lần lượt là 26 km và 20 km. Biết rằng hai vị trí đó có tọa độ là và tính độ dài (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
-
-
b) Yêu cầu:
- Tính
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng định lý cosin trong tam giác.
Phần 3. Giải chi tiết

Ta có:



Điền đáp án: 39,4.
Câu 7 [1042202]: Ném đĩa là một môn thể thao thi đấu trong thế vận hội Olympic mùa hè. Khi thực hiện cú ném, vận động viên thường quay lưng lại với hướng ném, sau đó xoay ngược chiều kim đồng hồ một vòng rưỡi của đường tròn để lấy đà rồi thả tay ra khỏi đĩa. Giả sử đĩa chuyển động trên một đường tròn tâm bán kính trong mặt phẳng tọa độ (đơn vị trên hai trục là mét). Đến điểm đĩa được ném đi (hình vẽ). Trong những giây đầu tiên ngay sau khi được ném đi, quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa có phương trình là với là các số thực. Tính

Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Đĩa chuyển động trên một đường tròn tâm bán kính 0,8 trong mặt phẳng tọa độ
- Đến điểm đĩa được ném đi (hình vẽ).
- Trong những giây đầu tiên ngay sau khi được ném đi, quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa có phương trình là với
b) Yêu cầu:
- Tính
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Phương trình quỹ đạo chuyển động của đĩa chính là đường thẳng tiếp tuyến tại của đường tròn tâm
Phần 3. Giải chi tiết
Phương trình quỹ đạo chuyển động của đĩa chính là đường thẳng tiếp tuyến tại của đường tròn tâm
Phương trình quỹ đạo có vecto tiếp tuyến là và đi qua điểm có dạng



Điền đáp án: 14,79.
Câu 8 [1042203]: Một cửa sổ “hình mặt trời” phía trên cửa chính được xây dựng với thiết kế là nửa trên của một hình elip. Cửa sổ cao 50 cm và và đáy rộng 200 cm (tham khảo như hình vẽ). Tại vị trí cách trung điểm của đáy 60cm theo phương ngang có chiều cao bằng bao nhiêu centimet?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một cửa sổ "hình mặt trời" phía trên cửa chính được xây dựng với thiết kế là nửa trên của một hình elip.
- Cửa sổ cao 50 cm và và đáy rộng 200 cm (tham khảo như hình vẽ).
b) Yêu cầu:
- Tại vị trí cách trung điểm của đáy 60 cm theo phương ngang có chiều cao bằng bao nhiêu centimet?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Viết phương trình elip.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
Phương trình elip là
Thay vào phương trình elip trên ta được
Điền đáp án: 40.
Câu 9 [1042204]: Một máy tán sỏi sử dụng mặt phản xạ hình elip để phá vỡ sỏi thận mà không cần phẫu thuật. Một bugi trong mặt phản xạ tạo ra sóng năng lượng tại một tiêu điểm của elip. Mặt phản xạ hướng các sóng này tới viên sỏi thận được đặt tại tiêu điểm còn lại với đủ năng lượng để phá vỡ viên sỏi (tham khảo như hình vẽ).

Độ dài các trục lớn và nhỏ của elip lần lượt là 28 cm và 16 cm. Hỏi khoảng cách từ bugi đến viên sỏi là bao nhiêu cm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một bugi trong mặt phản xạ tạo ra sóng năng lượng tại một tiêu điểm của elip.
- Mặt phản xạ hướng các sóng này tới viên sỏi thận được đặt tại tiêu điểm còn lại với đủ năng lượng để phá vỡ viên sỏi (tham khảo như hình vẽ).
- Độ dài các trục lớn và nhỏ của elip lần lượt là 28 cm và 16 cm .
b) Yêu cầu:
- Khoảng cách từ bugi đến viên sỏi là bao nhiêu cm?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tìm độ dài tiêu cự của elip.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:

Điền đáp án: 23,0
Câu 10 [252963]: Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol (hình vẽ). Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là và chiều sâu ( bằng khoảng cách từ đến ). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm . Viết phương trình chính tắc của parabol đó.
84.PNG
Phương trình chính tắc của parabol có dạng:
Vì nên khoảng cách từ đến trục là
khoảng cách từ đến khoảng cách từ đến trục
Parabol đi qua hay
Vậy phương trình chính tắc của Parabol là:
Câu 11 [251944]: Một bộ thu năng lượng mặt trời để làm nóng nước được làm bằng một tấm thép không gỉ có mặt cắt hình parabol (hình vẽ). Nước sẽ chảy thông qua một dường ống nằm ở tiêu điểm của parabol.
60.PNG
a) Viết phương trình chính tắc của parabol.
b) Tính khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol.
a. Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:
61.PNG
Phương trình parabol (P) có dạng:
Ta có: nên thay tọa độ điểm vào phương trình , ta được:
Vậy phương trình chính tắc của parabol là: .
b. Vị đường ống nằm ở tiêu điểm của nên khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol bằng:
Câu 12 [1042205]: Một vệ tinh bay theo quỹ đạo tròn cách mặt đất 160 kilomet có vận tốc không đổi bằng km/h. Khi vận tốc được tăng lên thì vệ tinh đạt được vận tốc tối thiểu cần thiết để thoát khỏi lực hấp dẫn của Trái Đất và sẽ đi theo một quỹ đạo là một parabol với tâm Trái Đất là tiêu điểm (tham khảo như hình vẽ). Quy ước rằng Trái Đất là hình cầu có bán kính bằng 6400. Xét hệ tọa độ như hình vẽ dưới, quỹ đạo parabol có phương trình là với là các số thực. Tính
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một vệ tinh bay theo quỹ đạo tròn cách mặt đất 160 km có vận tốc không đổi bằng
- Khi vận tốc được tăng lên thì vệ tinh đạt được vận tốc tối thiểu cần thiết để thoát khỏi lực hấp dẫn của Trái Đất và sẽ đi theo một quỹ đạo là một parabol với tâm Trái Đất là tiêu điểm
- Bán kính Trái Đất là 6400 km.
- Phương trình quỹ đạo parabol là
b) Yêu cầu:
- Tính
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Từ phương trình quỹ đạo và dữ kiện đề bài suy ra được mối liên hệ giữa
Phần 3. Giải chi tiết
Bán kính chuyển động của vệ tinh là
Phương trình quỹ đạo parabol là có đỉnh là và tiêu điểm là
Mà sau khi tăng tốc đến quỹ đạo là một parabol với tâm Trái Đất là tiêu điểm
Tại thời điểm tăng tốc, vệ tinh đang ở vị trí trên cùng của quỹ đạo tròn nên điểm thuộc parabol


Điền đáp án: 1640.
Câu 13 [1042206]: Trong một khu vườn có hình elip với độ dài trục lớn bằng 8 mét, độ dài trục bé bằng 6 mét, bác Linh xây dựng một vườn hoa có dạng hình chữ nhật, sao cho hình chữ nhật đó nội tiếp elip. Diện tích lớn nhất của vườn hoa đó bằng bao nhiêu mét vuông?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Trong một khu vườn có hình elip với độ dài trục lớn bằng 8 mét, độ dài trục bé bằng 6 mét, bác Linh xây dựng một vườn hoa có dạng hình chữ nhật, sao cho hình chữ nhật đó nội tiếp elip.
b) Yêu cầu:
- Diện tích lớn nhất của vườn hoa đó bằng bao nhiêu mét vuông?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Gọi tọa độ điểm thuộc elip , từ đó tính được diện tích vườn hoa
- Dùng bất đẳng thức để đánh giá tìm giá trị lớn nhất.
Phần 3. Giải chi tiết

Phương trình elip:
Giả sử


Ta có:

Dâu “=” xảy ra
Điền đáp án: 24.
Câu 14 [251650]: Một cột trụ hình hypebol (hình), có chiều cao , chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng , đỉnh cột và đáy cột đều rộng . Tính độ rộng của cột ở độ cao (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).
20.PNG
Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm chính giữa hai cột, trục Oy đi qua điểm chính giữa, hai bên cột lần lượt nằm về hai phía của trục tung (như hình vẽ)
- Phương trình hypebol (H) có dạng: cắt trục hoành tại hai điểm và , nên .
(H) đi qua điểm có tọa độ nên:
Vậy phương trình là:
.- Ở độ cao thì khoảng cách từ vị trí đó đến trục hoành là , tương ứng ta có tung độ điểm đó là
Suy ra độ rộng của cột là:
Câu 15 [583260]: Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình là (Hình vẽ). Biết chiều cao của tháp là và khoảng cách từ nóc tháp đến tấm đối xứng của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc của tháp (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).
54.PNG
55.PNG
Theo bài ra ta có:
Thay vào phương trình ta được:
Bán kính nóc bằng
Câu 16 [558479]: Được biết các vân giao thoa sóng trên bề mặt chất lỏng có hình dạng là các đường Hypebol nhận hai nguồn và là tiêu điểm. Gọi là một điểm nằm trên đường vân giao thoa sóng cực đại và cách đường trung trực của một đoạn Xác định khoảng cách từ điểm đến biết và (viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
v60.png
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ trùng với trung điểm của
Gọi phương trình chính tắc của hypebol nhận làm tiêu điểm là

Vì nên
Có tọa độ của hai tiêu điểm và lần lượt là và
và nên
Thay vào ta được:

Vậy điểm M cách đoạn 0,98 cm.
Câu 17 [558186]: Một tòa tháp (hình bên) có mặt cắt là một đường hypebol và có chiều cao chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng đỉnh tháp và đáy tháp đáy tháp có độ rộng đều bằng Độ rộng của tòa tháp ở độ cao bằng bao nhiêu (kết quả tính theo đơn vị mét và làm tròn đến hàng phần chục)?
taaaaa613.png
Gắn hệ trục tọa độ như hình bên, 1 đơn vị đo tương ứng
Phương trình chính tắc của hypebol
Theo giả thiết ta có
Mặt khác đi qua nên ta có
Độ rộng của tháp ở độ cao ứng với điểm nên ta có
Suy ra độ rộng của tháp ở độ cao là
Đáp án:
Câu 18 [1042207]: Một chiếc thuyền du lịch di chuyển từ hòn đảo 1 đến một điểm tham quan sau đó lại di chuyển đến hòn đảo thứ 2. Hai hòn đảo này cách nhau 20 kilomet và lượng nhiên liệu trên chiếc thuyền đủ cho hành trình dài 32 kilomet. Khi đó ta có thể thấy rằng vùng di chuyển của con thuyền sẽ bị giới hạn bởi một đường Elip. Trên hệ tọa độ đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilomet, ta gán điểm là tâm của elip trên. Độ dài trục bé của Elip là . Tính
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Khi đó ta có thể thấy rằng vùng di chuyển của con thuyền sẽ bị giới hạn bởi một miền Elip.
- Độ dài trục lớn bằng 32, độ dài tiêu cự là 20.
- Trên hệ tọa độ đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilomet, ta gán điểm là tâm của elip trên.
- Độ dài trục bé của Elip là
b) Yêu cầu:
- Tính
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng công thức
Phần 3. Giải chi tiết



Điền đáp án: 2496.
Câu 19 [1042208]: Hệ thống dẫn đường bằng sóng radio tầm xa cho máy bay và tàu thuyền sử dụng các xung đồng bộ được phát đi bởi các trạm phát sóng A và B. Biết rằng hai trạm phát sóng A và B cách nhau 480 km, một con tàu đang di chuyển luôn có hiệu khoảng cách giữa nó và hai trạm A và B bằng 288 km. Trên hệ tọa độ đơn vị trên các trục tính bằng kilomet, hai trạm A và B được đặt tại vị trí có các tọa độ lần lượt là và (tham khảo như hình vẽ). Viết phương trình thể hiện đường đi của con tàu.
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Hai trạm phát sóng và cách nhau 480 km.
- Một con tàu đang di chuyển luôn có hiệu khoảng cách giữa nó và hai trạm và bằng 288 km.
- Trên hệ tọa độ đơn vị trên các trục tính bằng km, hai trạm và được đặt tại vị trí có các tọa độ lần lượt là và
- Viết phương trình thể hiện đường đi của con tàu.
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tìm độ dài trục lớn của hypebol.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:


Phương trình đường đi chính là phương trình của hypebol:
Câu 20 [558465]: Trên bờ biển có hai trạm thu phát tín hiệu và cách nhau người ta xây một cảng biển cho tàu hàng neo đậu là một nửa hình elip nhận làm trục lớn và có tiêu cự bằng Một con tàu hàng nhận tín hiệu đi vào cảng biển sao cho hiệu khoảng cách từ nó đến và luôn là Khi neo đậu tại cảng thì khoảng cách từ con tàu đến bờ biển là bao nhiêu km (viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
v52.png
Chọn hệ trục toạ độ như hình trên, trong đó ứng với 1 đơn vị.
Do nên thuộc hypebol
Cảng biển xây theo hình elip có trục lớn là và tiêu cự là
Khi con tàu neo đậu thì chính là tại vị trí
Lúc này toạ độ của thoả mãn hệ
Khi đó khoảng cách từ con tàu đến bờ biển là
Câu 21 [1042209]: Trên hệ tọa độ , có hai trạm phát sóng được đặt cách nhau 100 km tại các điểm và trên một bờ biển thẳng. Một con tàu đang di chuyển song song với bờ biển và cách bờ biển 200 km. Nếu hai trạm phát sóng phát một xung tín hiệu đồng thời, nhưng xung từ trạm được tàu nhận sớm hơn giây so với xung từ trạm Biết rằng các xung tín hiệu di chuyển với tốc độ ánh sáng (m/s), tính khoảng cách giữa con tàu và trạm phát sóng theo đơn vị kilomet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Trên hệ tọa độ có hai trạm phát sóng được đặt cách nhau 100 km tại các điểm và trên một bờ biển thẳng.
- Một con tàu đang di chuyển song song với bờ biển và cách bờ biển 200 km .
- Nếu hai trạm phát sóng phát một xung tín hiệu đồng thời, nhưng xung từ trạm được tàu nhận sớm hơn giây so với xung từ trạm
- Các xung tín hiệu di chuyển với tốc độ ánh sáng
b) Yêu cầu:
- Tính khoảng cách giữa con tàu và trạm phát sóng theo đơn vị km?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dựa vào dữ kiện đề bài viết phương trình chuyển động của tàu có dạng là 1 hypebol.
Phần 3. Giải chi tiết
Đổi
Phương trình chuyển động của tàu có dạng hypebol.
Gọi vị trí hiện tại của tàu là điểm (do con tàu đang di chuyển song song với bờ biển và cách bờ biển 200 km nên tung độ là 200)
Gọi là thời gian nhận xung của tàu
Thời gian nhận xung của tàu là giây
Ta có:
Mà

Phương trình chuyển động của tàu là

Thay vào phương trình hypebol trên ta được:



Điền đáp án: 201.
Câu 22 [1042210]: Trong một khu vực trên biển có hai trạm định vị vô tuyến được đặt tại điểm tại điểm A và B cách nhau 1000 km. Một chiếc tàu tại vị trí P nhận tín hiệu từ trạm A trước tín hiệu từ trạm B một khoảng là giây. Biết rằng các tín hiệu thì hai trạm truyền với tốc độ không đổi là trong không khí là (m/s). Gọi (đơn vị giây) lần lượt là thời gian truyền tín hiệu từ trạm A và trạm B đến con tàu. Xét hệ tọa độ như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng km).
a) Sai.
Vì chiếc tàu tại vị trí nhận tín hiệu từ trạm trước tín hiệu từ trạm một khoảng là 0,002 giây nên
b) Đúng.
Đổi
c) Sai.

Mà

Phương trình hypebol là
d) Đúng.
Ta có:
Mà

Câu 23 [1042211]: Một chiếc gương hypebol được dùng trong một số kính thiên văn có tính chất như sau: khi một tia sáng chiếu vào tiêu điểm A nó sẽ được phản xạ đến tiêu điểm B. Trên hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng mét) tiêu điểm A có đọa độ và tiêu điểm B có đọa độ . Điểm lắp đặt ở mép trên của gương có tọa độ là (tham khảo như hình vẽ). Xác định độ lõm sâu nhất của gương (chính là khoảng cách ngắn nhất giữa tiêu điểm A đến hypebol) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Trên hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng mét) tiêu điểm và tiêu điểm
- Điểm lắp đặt ở mép trên của gương có tọa độ là
b) Yêu cầu:
- Xác định độ lõm sâu nhất của gương (chính là khoảng cách ngắn nhất giữa tiêu điểm đến hypebol)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Gọi phương trình tổng quát hypebol và sử dụng dữ kiện đề bài để tìm
Phần 3. Giải chi tiết
Gọi giao điểm của hypebol với trục là
Phương tình tổng quát của hypebol là
Mà





Điền đáp án: 9,17.
Câu 24 [1042212]: Một số sao chổi như sao chổi Halley có quỹ đạo elip quanh mặt trời. Một số khác chỉ đi qua hệ mặt trời một lần duy nhất theo quỹ đạo hyperbol với mặt trời chính là tiêu điểm. Hình vẽ sau mô tả một sao chổi đi qua hệ mặt trời với quỹ đạo như vậy. Trên hệ tọa độ đơn vị trên mỗi trục tính bằng kilomet, biết rằng khoảng cách gần nhất của sao chổi tới mặt trời là kilomet và đường đi trước khi vào hệ mặt trời vuông góc với đường đi sau khi rời hệ. Mặt trời cách gốc tọa độ (km), hãy xác định giá trị của (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Hình vẽ sau mô tả một sao chổi đi qua hệ mặt trời với quỹ đạo hypebol có mặt trời là tiêu điểm.
- Khoảng cách gần nhất của sao chổi tới tâm mặt trời là và đường đi trước khi vào hệ mặt trời vuông góc với đường đi sau khi rời hệ. Tâm mặt trời cách gốc tọa độ
b) Yêu cầu:
- Tính
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Gọi phương trình hypebol
- Tìm mối liên hệ giữa theo dữ kiện 2 đường tiệm cận vuông góc.
Phần 3. Giải chi tiết
Hypebol có hai đường tiệm cận và vuông góc với nhau và tạo với trục tọa độ góc


Khoảng cách gần nhất của sao chổi tới tâm mặt trời là nên ta có:


Điền đáp án: 10 925.
Câu 25 [1042213]: Trên hệ tọa độ một đường tròn có bán kính bằng lăn bên trong đường tròn tâm , bán kính (hai đường tròn luôn tiếp xúc trong). Biết rằng đường tròn cắt trục lần lượt tại và sao cho là đường kính của đường tròn . Một điểm có tung độ không âm nằm trên đoạn thẳng thỏa mãn . Tập hợp điểm tạo thành một đường cong . Viết phương trình đường cong
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Trên hệ tọa độ một đường tròn có bán kính bằng 3 lăn bên trong đường tròn tâm bán kính (hai đường tròn luôn tiếp xúc trong).
- Đường tròn cắt trục lần lượt tại và sao cho là đường kính của đường tròn
- Một điểm có tung độ không âm nằm trên đoạn thẳng thỏa mãn
- Tập hợp điểm tạo thành một đường cong
b) Yêu cầu:
- Viết phương trình đường cong
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Gọi tọa độ 2 giao điểm vs các trục tọa độ , sau đó tìm mỗi liên hệ tọa độ của điểm theo 2 giao điểm trên.
Phần 3. Giải chi tiết
Giả sử
Gọi
Ta có: +)

+)



Vậy phương trình tập hợp điểm là
Câu 26 [696445]: Cho hình elip tâm có độ dài trục bé bằng 10, độ dài trục lớn bằng 16. Một tam giác được xây dựng bằng cách vẽ 3 đường tiếp tuyến của elip tại (trong đó có cùng tung độ và tung độ dương, ) và cho ba đường thẳng đó cắt nhau tại (như hình vẽ). Diện tích tam giác nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: 208.
Phương trình elip có dạng

Phương trình tiếp tuyến của elip (E) tại điểm là
Đường thẳng cắt trục tại điểm , cắt đường thẳng tại điểm .

Diện tích tam giác là




Xét hàm số

là cực tiểu của hàm số .
đạt giá trị nhỏ nhất là