Đáp án Bài 7 - Đề thi online: Bài tập tự luyện số 3

Câu 1 [1042293]: Một tên lửa được phóng thẳng đứng lên với tốc độ không đổi là 1200 m/s. Một máy ảnh được đặt tại một điểm cách chân bệ phóng 1000 m. Trong suốt quá trình bay, máy ảnh này luôn quay để theo dõi tên lửa, tạo thành một góc nâng là

(radian) (tham khảo như hình vẽ).

a) Đúng.
Vì tên lửa được phóng thẳng đứng lên với tốc độ không đổi là

nên khoảng cách giữa tên lửa và mặt đất sau

(giây) là

b) Sai.

c) Đúng.

d) Đúng.
Ta có:

Tại thời điểm cách mặt đất 5 km ta có

(radian/ giây)

Câu 2 [1042294]: Vào lúc 12 giờ trưa, tàu A cách tàu B 12 kilomet về phía Bắc. Tàu A đang di chuyển về phía Bắc với vận tốc 12 km/h và tiếp tục di chuyển như vậy cả ngày. Tàu B đang di chuyển về phía Đông với vận tốc 8 km/h và tiếp tục di chuyển như vậy cả ngày. Ngày hôm đó tầm nhìn xa là

km. Gọi

(km) là quãng đường mà hai tàu di chuyển được sau

giờ.

a) Đúng.

Quãng đường tàu A đi được trong 1 giờ là

Khoảng cách giữa 2 tàu lúc 13 giờ là

b) Sai.
Trường hợp 1: Quãng đường tàu A đi được theo hướng Bắc nhỏ hơn 12 km

Khoảng cách giữa 2 tàu được xác định bởi công thức

Trường hợp 2: Quãng đường tàu A đi được theo hướng Bắc lớn hơn 12 km.

Khoảng cách giữa 2 tàu được xác định bởi công thức

c) Đúng.
Vì tâm nhìn xa là 7km nên ta có

Hai tàu nhìn thấy nhau trong

phút.
d) Sai.
Ta có:

Theo câu c) thời điểm hai tàu bắt đầu nhìn thấy nhau là

Tốc độ thay đổi khoảng cách là

Sử dụng thông tin dưới đây để trả lời Câu 3 và Câu 4:

Một bể nước ban đầu chứa 200 lít nước muối với nồng độ 20 gam mỗi lít. Sau đó, người ta đổ dung dịch có nồng độ 5 gam muối trên mỗi lít dung dịch vào bể với tốc độ 200 ml/phút. Gọi C(t) là nồng độ muối trong bể (gam/lít) sau t (phút), t = 0 tương ứng với thời điểm bắt đầu đổ muối vào bể.

Câu 3 [1042295]: Phương trình

có dạng nào sau đây?

A,

B,

C,

D,

Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một bể nước ban đầu chứa 200 lít nước muối với nồng độ 20 gam mỗi lít.
- Sau đó, người ta đổ dung dịch có nồng độ 5 gam muối trên mỗi lít dung dịch vào bể với tốc độ 200 ml/phút.
- Gọi

là nồng độ muối trong bể (gam/lít) sau

(phút),

tương ứng với thời điểm bắt đầu đổ muối vào bể.
b) Yêu cầu:
- Phương trình

có dạng nào sau đây?
- Tại thời điểm nồng độ muối trong bể đạt 17 gam mỗi lít thì tốc độ giảm của nồng độ muối trong bể bằng

gam/lít mỗi phút? Tính

Phần 2. Hướng dẫn tư duy
Dựa vào dữ kiện đề bài để tìm khối lượng và thể tích dung dịch sau

phút:, từ đó suy ra nồng độ.
Phần 3. Giải chi tiết
+) Thể tích nước muối trong bể sau

phút:
- Ban đầu, bể chứa 200 lít nước.
- Người ta đổ thêm dung dịch với tốc độ 200 ml/phút, tức là 0,2 lít/phút.
- Thể tích nước trong bể sau

phút là

(lít).
+) Lượng muối trong bể sau

phút:
- Ban đầu, bể chứa 200 lít nước muối với nồng độ 20 gam/lít.
- Lượng muối ban đầu là

(gam).
- Dung dịch được đổ vào có nồng độ 5 gam/lít và tốc độ 0,2 lít/phút.
- Lượng muối được thêm vào sau

phút là

(gam).
- Tổng lượng muối trong bể sau

phút là

(gam).

Chọn đáp án A. Đáp án: A

Câu 4 [1042296]: Một bể nước ban đầu chứa 200 lít nước muối với nồng độ 20 gam mỗi lít. Sau đó, người ta đổ dung dịch có nồng độ 5 gam muối trên mỗi lít dung dịch vào bể với tốc độ 200 ml/phút. Gọi C(t) là nồng độ muối trong bể (gam/lít) sau t (phút), t = 0 tương ứng với thời điểm bắt đầu đổ muối vào bể.Tại thời điểm nồng độ muối trong bể đạt 17 gam mỗi lít thì tốc độ giảm của nồng độ muối trong bể bằng a gam/lít mỗi phút? Tính

Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một bể nước ban đầu chứa 200 lít nước muối với nồng độ 20 gam mỗi lít.
- Sau đó, người ta đổ dung dịch có nồng độ 5 gam muối trên mỗi lít dung dịch vào bể với tốc độ 200 ml/phút.
- Gọi

là nồng độ muối trong bể (gam/lít) sau

(phút),

tương ứng với thời điểm bắt đầu đổ muối vào bể.
b) Yêu cầu:
- Phương trình

có dạng nào sau đây?
- Tại thời điểm nồng độ muối trong bể đạt 17 gam mỗi lít thì tốc độ giảm của nồng độ muối trong bể bằng

gam/lít mỗi phút? Tính

Phần 2. Hướng dẫn tư duy
Đạo hàm hàm nồng độ để tìm tốc độ giảm.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:

Tại thời điểm nồng độ muối trong bể đạt 17 gam/lít.

Điền đáp án: 2500.

Câu 5 [1042297]: Một hình chữ nhật có diện tích cố định bằng 192 mét vuông. Tại thời điểm chiều rộng của hình chữ nhật đó là 12 mét và đang tăng với tốc độ 3 m/s, khi đó chiều dài của hình chữ nhật trên đang giảm với tốc độ bao nhiêu m/s?

Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một hình chữ nhật có diện tích cố định bằng 192 mét vuông.
- Tại thời điểm chiều rộng của hình chữ nhật đó là 12 mét và đang tăng với tốc độ

b) Yêu cầu:
- Chiều dài của hình chữ nhật trên đang giảm với tốc độ bao nhiêu

?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Đạo hàm 2 vế hàm diện tích đề tìm tốc độ giảm của chiều dài.
Phần 3. Giải chi tiết
Gọi

lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật sau

giây.
Ta có :

Tốc độ giảm của chiều dài là

Điền đáp án: 4

Câu 6 [1042298]: Một hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 120 mét khối. Biết rằng chiều rộng, chiều dài của nó đều đang giảm với tốc độ 1,5 mét mỗi phút. Tại thời điểm chiều rộng bằng 4 mét, chiều dài bằng 6 mét thì chiều cao của hình hộp chữ nhật đó tăng với tốc độ bao nhiêu mét mỗi phút (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 120 mét khối.
- Chiều rộng, chiều dài của nó đều đang giảm với tốc độ 1,5 mét mỗi phút.
b) Yêu cầu:
- Tại thời điểm chiều rộng bằng 4 mét, chiều dài bằng 6 mét thì chiều cao của hình hộp chữ nhật đó tăng với tốc độ bao nhiêu mét mỗi phút ?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Đạo hàm 2 vế hàm chiều cao để tìm tốc độ tăng của chiều cao.
Phần 3. Giải chi tiết
Gọi

lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hình chữ nhật sau

phút.
Ta có:

Tốc độ tăng của chiều cao là

Điền đáp án: 3,13.

Sử dụng thông tin sau để trả lời Câu 7 và Câu 8:

Một chiếc máy bay đang bay ở độ cao cố định với tốc độ không đổi là 1000 km/h. Một tên lửa phòng không được bắn theo đường thẳng tạo với đường bay của máy bay một góc α để nó sẽ đâm trúng máy bay tại điểm P (xem hình minh họa). Thời điểm máy bay cách điểm va chạm P 4 km thì tên lửa cách P 6 km và đang bay với tốc độ 2000 km/h.

Câu 7 [1042299]: Khi góc

thì khoảng cách giữa tên lửa và máy bay đang giảm với tốc độ bao nhiêu km/h (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một chiếc máy bay đang bay ở độ cao cố định với tốc độ không đổi là

- Một tên lửa phòng không được bắn theo đường thẳng tạo với đường bay của máy bay một góc

để nó sẽ đâm trúng máy bay tại điểm

.
- Thời điểm máy bay cách điểm va chạm

4 km thì tên lửa cách

và đang bay với tốc độ

b) Yêu cầu:
Khi góc

thì khoảng cách giữa tên lửa và máy bay đang giảm với tốc độ bao nhiêu km/h (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Đạo hàm hàm khoảng cách giữa tên lửa và máy bay để tìm tốc độ giảm.
Phần 3. Giải chi tiết

Ta có:

Vì khoảng cách từ A đến P và khoảng cách từ B đến P giảm

Với

Khoảng cách giữa tên lửa và máy bay đang giảm với tốc độ 2219 km/h.
Điền đáp án: 2219.

Câu 8 [1042300]: Khi góc

thì khoảng cách giữa tên lửa và máy bay đang giảm với tốc độ bao nhiêu km/h (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một chiếc máy bay đang bay ở độ cao cố định với tốc độ không đổi là

- Một tên lửa phòng không được bắn theo đường thẳng tạo với đường bay của máy bay một góc

để nó sẽ đâm trúng máy bay tại điểm

.
- Thời điểm máy bay cách điểm va chạm

4 km thì tên lửa cách

và đang bay với tốc độ

b) Yêu cầu:
Khi góc

thì khoảng cách giữa tên lửa và máy bay đang giảm với tốc độ bao nhiêu km/h (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Đạo hàm hàm khoảng cách giữa tên lửa và máy bay để tìm tốc độ giảm.
Phần 3. Giải chi tiết
Theo câu 7 [1042299] ta có:

Khoảng cách giữa tên lửa và máy bay đang giảm với tốc độ 2638 km/h.
Điền đáp án: 2638.

Câu 9 [1002637]: Một chiếc thang dài

mét tựa vào một bức tường thẳng đứng trên một mặt đất bằng phẳng. Khi đầu dưới của thang di chuyển (trên mặt đất) ra xa bức tường với vận tốc không đổi là

thì đầu trên cùng của thang sẽ trượt xuống dọc theo bức tường. Khi điểm đầu thang cách mặt đất 3 mét thì tốc độ di chuyển của nó bằng bao nhiêu (đơn vị: (m/s) và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đáp án: 5.66
Gọi

là thời gian di chuyển của điểm đầu dưới thang.
Quãng đường điểm dưới thang di chuyển là

Quãng đường thang trên thang di chuyển là

Khi điểm trên thang cách mặt đất

Tốc độ di chuyển của đầu trên thang là

Câu 10 [1042301]: Nếu một nhà máy sản xuất xe tải thuê

công nhân và có chi phí hoạt động hàng ngày là

đô la thì nhà máy có thể sản xuất

xe tải mỗi năm. Biết rằng số lượng công nhân đang tăng 1 người mỗi ngày và sản lượng vẫn giữ nguyên. Hỏi chi phí hoạt động hàng ngày đang giảm với tốc độ bao nhiêu đô la mỗi ngày tại thời điểm chi phí hoạt động là 10 000 đô la và số lượng công nhân là 40?

Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Nếu một nhà máy sản xuất xe tải thuê

công nhân và có chi phí hoạt động hàng ngày là

đô la thì nhà máy có thể sản xuất

xe tải mỗi năm.
- Số lượng công nhân đang tăng 1 người mỗi ngày và sản lượng vẫn giữ nguyên.
b) Yêu cầu:
- Hỏi chi phí hoạt động hàng ngày đang giảm với tốc độ bao nhiêu đô la mỗi ngày tại thời điểm chi phí hoạt động là 10 000 đô la và số lượng công nhân là 40 ?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Đạo hàm 2 vế hàm sản lượng.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:

( do sản lượng không đổi nên

)
Mà

Chi phí hoạt động hàng ngày đang giảm với tốc độ 375 đô la mỗi ngày.
Điền đáp án: 375.

Câu 11 [1042302]: Một ngọn hải đăng

nằm trên một hòn đảo nhỏ cách điểm A (là điểm gần bờ biển nhất) một đoạn

Đèn hải đăng chiếu sáng và điểm sáng của nó trên bờ biển là điểm

như hình vẽ. Biết rằng đèn của ngọn hải đăng quay với tốc độ 3 vòng mỗi phút. Tại thời điểm điểm sáng

cách ngọn hải đăng một khoảng 4 kilomet thì tốc độ di chuyển của điểm sáng bằng bao nhiêu km/h (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một ngọn hải đăng

nằm trên một hòn đảo nhỏ cách điểm

(là điểm gần bờ biển nhất) một đoạn 2 km.
- Đèn hải đăng chiếu sáng và điểm sáng của nó trên bờ biển là điểm

như hình vẽ.
- Đèn của ngọn hải đăng quay với tốc độ 3 vòng mỗi phút.
b) Yêu cầu:
- Tại thời điểm điểm sáng

cách ngọn hải đăng một khoảng 4 km thì tốc độ di chuyển của điểm sáng bằng bao nhiêu km/h?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Thiết lập hàm khoảng cách

theo

sau đó đạo hàm để tìm tốc độ di chuyển của

Phần 3. Giải chi tiết

Ta có:

Vì đèn của ngọn hải đăng quay với tốc độ 3 vòng mỗi phút.

rad/ phút
Có

km/ phút

Điền đáp án: 9048.

Câu 12 [1042303]: Một ngọn đèn chiếu sáng từ đỉnh một cột đèn cao

Một quả bóng đang rơi tự do cách cột đèn

theo phương ngang và tạo bóng lên một tòa nhà cách đó

như hình vẽ. Khi quả bóng cách mặt đất

thì nó đang rơi với tốc độ

Tại thời điểm đó, bóng của quả bóng đang chuyển động với tốc độ bao nhiêu m/s?

Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một ngọn đèn chiếu sáng từ đỉnh một cột đèn cao 20 m .
- Một quả bóng đang rơi tự do cách cột đèn 10 m theo phương ngang và tạo bóng lên một tòa nhà cách đó 30 m như hình vẽ.
- Khi quả bóng cách mặt đất 25 m thì nó đang rơi với tốc độ

b) Yêu cầu:
- Tại thời điểm đó, bóng của quả bóng đang chuyển động với tốc độ bao nhiêu

?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Thiết lập hàm độ cao bóng của quả bóng theo độ cao của quả bóng , sau đó đạo hàm để tìm tốc độ chuyển động.
Phần 3. Giải chi tiết

Gọi

là độ cao của quả bóng so với mặt đất

là khoảng cách của bóng so với mặt đất.
Theo định lý Talet ta có:

Vì quả bóng đang rời từ trên cao xuống với tốc độ

Tại thời điểm đó, bóng của quả bóng đang chuyển động xuống với tốc độ 24

Điền đáp án: 24.

Câu 13 [696289]: Tại một thời điểm nhất định, một máy bay bay về phía Đông với vận tốc 400 km/h vượt qua trực tiếp một ô tô đang di chuyển về phía Đông Nam một góc

với vận tốc 100 km/h trên một con đường thẳng, bằng phẳng. Nếu máy bay bay ở độ cao 1 km, thì khoảng cách giữa máy bay và ô tô đang tăng lên với tốc độ bao nhiêu (km/h) sau 36 giây kể từ khi máy bay vượt qua trực tiếp ô tô (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 323.
Gọi vận tốc máy bay là

vận tốc ô tô là

Từ hình vẽ ta có:

Đổi:

Sử dụng thông tin sau để trả lời Câu 14 và Câu 15:

Cà phê đang chảy từ bộ lọc hình nón vào bình cà phê hình trụ với tốc độ 160 cm³/s. Biết rằng bộ lọc có chiều cao bằng 16 cm và đường kính bằng 16 cm; đường kính đáy của bình cà phê bằng 16 cm.

Biết rằng ban đầu lượng cà phê trong bộ lọc cao 12 cm.

Câu 14 [1042304]: Tại thời điểm bình cà phê cao

cm, chiều cao cà phê trong bộ lọc đang giảm với tốc độ bao nhiêu cm/s (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Cà phê đang chảy từ bộ lọc hình nón vào bình cà phê hình trụ với tốc độ

- Bộ lọc có chiều cao bằng 16 cm và đường kính bằng 16 cm ; đường kính đáy của bình cà phê bằng 16 cm.
- Ban đầu lượng cà phê trong bộ lọc cao 12 cm.
b) Yêu cầu:
Tại thời điểm bình cà phê cao 2 cm, chiều cao cà phê trong bộ lọc đang giảm với tốc độ bao nhiêu

?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
Thiết lập hàm thể tích của bộ lọc theo chiều cao sau đó đạo hàm để tìm tốc độ giảm chiều cao.
Phần 3. Giải chi tiết

Gọi

là chiều cao cà phê trong bộ lọc theo thời gian

Theo định lý Talet ta có:

Thể tích cà phê tỏng bộ lọc theo thời gian

là

( do cà phê đang chảy từ bộ lọc hình nón vào bình cà phê hình trụ với tốc độ

)
Tại thời điểm bình cà phê cao 2 cm thì thể tích cà phê trong bình là

Thể tích cà phê còn lại trong bộ lọc lúc đó là

Chiều cao của cà phê trong bộ lọc lúc đó là

Chiều cao cà phê trong bộ lọc đang giảm với tốc độ

Điền đáp án: 6,1.

Câu 15 [1042305]: Cà phê đang chảy từ bộ lọc hình nón vào bình cà phê hình trụ với tốc độ 160

. Biết rằng bộ lọc có chiều cao bằng 16 cm và đường kính bằng 16 cm; đường kính đáy của bình cà phê bằng 16 cm. Biết rằng ban đầu lượng cà phê trong bộ lọc cao 12 cm. Tại thời điểm chiều cao trong hai bình bằng nhau thì chiều cao cà phê trong bộ lọc đang giảm với tốc độ bao nhiêu cm/s (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Cà phê đang chảy từ bộ lọc hình nón vào bình cà phê hình trụ với tốc độ

- Bộ lọc có chiều cao bằng 16 cm và đường kính bằng 16 cm ; đường kính đáy của bình cà phê bằng 16 cm.
- Ban đầu lượng cà phê trong bộ lọc cao 12 cm.
b) Yêu cầu: Tại thời điểm chiều cao trong hai bình bằng nhau thì chiều cao cà phê trong bộ lọc đang giảm với tốc độ bao nhiêu

?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
Dựa và dữ kiện đề bài để tìm ra chiều cao tại thời điểm chiều cao trong 2 bình bằng nhau, sau đó dựa vào kết quả ở câu 14 [1042304] để tìm tìm tốc độ giảm chiều cao.
Phần 3. Giải chi tiết
Tại thời điểm chiều cao trong hai bình bằng nhau nên ta giả sử chiều cao trong mỗi bình là

Thể tích cà phê trong bộ lọc khi đó là

Thể tích cà phê trong bình cà phê lúc đó là

Tổng 2 thể tích trên chính là thể tích ban đầu của bộ lọc trước khi chảy vào bình nên ta có:

Theo Câu 14 [1042304] ta có:

Chiều cao cà phê trong bộ lọc đang giảm với tốc độ

Điền đáp án: 40,8.

Câu 16 [1042306]: Lực

(tính bằng Newton) tác động lên vai người kéo theo góc

so với phương nằm ngang cần thiết để kéo một thùng hàng nặng

kilogram dọc theo bề mặt nằm ngang với vận tốc không đổi được biểu thị bởi công thức

với

là hằng số được gọi là hệ số ma sát trượt giữa thùng và bề mặt (xem hình minh họa). Biết rằng nếu thùng hàng nặng 70 kg thì hệ số ma sát trượt bằng

; ban đần góc kéo

và đang tăng với tốc độ không đổi

a) Đúng.
Ta có:

b) Sai.
Ta có:

Ta có hàm

luôn đồng biến trên

nên độ lớn của

sẽ càng giảm.
c) Đúng.
Ta có:

Đề

đạt giá trị nhỏ nhất thì

đạt giá trị lớn nhất.

là cực đại của hàm số trên.

Để độ lớn lực kéo nhỏ nhất thì người đó cần kéo với góc

d) Sai.
Đổi

rad,

rad.
Ta có:

Tại

rad

Sau 60 giây, độ lớn lực kéo đang tăng với tốc độ 0,08 N/s.

Câu 17 [1042307]: Một vệ tinh chuyển động với quỹ đạo hình elip xung quanh Trái Đất. Khoảng cách

(tính bằng kilomet) của nó từ tâm Trái Đất được cho bởi công thức

, trong đó

là góc được đo từ điểm trên quỹ đạo gần bề mặt Trái Đất nhất (xem hình minh họa). Tại thời điểm

góc

đang tăng với tốc độ

/phút, khi đó khoảng cách

thay đổi với tốc độ bao nhiêu km/phút (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một vệ tinh chuyển động với quỹ đạo hình elip xung quanh Trái Đất.
- Khoảng cách

(tính bằng kilomet) của nó từ tâm Trái Đất được cho bởi công thức

trong đó

là góc được đo từ điểm trên quỹ đạo gần bề mặt Trái Đất nhất.
b) Yêu cầu:
- Tại thời điểm

góc

đang tăng với tốc độ

phút, khi đó khoảng cách

thay đổi với tốc độ bao nhiêu km/phút?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Đạo hàm 2 vế hàm khoảng cách ta được tốc độ cần tìm.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có: