Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1042308]: Sau khi ngừng tất cả quảng cáo cho một chiến dịch, từ năm 2010 nhà sản xuất nhận thấy rằng doanh số bắt đầu giảm theo hàm số với đại diện cho số lượng đơn vị đã bán và đại diện cho năm, với tương ứng với 2010. Vào năm 2014 đã có 300 nghìn đơn vị đã được bán. Năm đầu tiên mà số lượng đơn vị giảm xuống dưới 200 nghìn đơn vị là năm bao nhiêu?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Sau khi ngừng tất cả quảng cáo cho một chiến dịch, từ năm 2010 nhà sản xuất nhận thấy rằng doanh số bắt đầu giảm theo hàm số với đại diện cho số lượng đơn vị đã bán và đại diện cho năm, với tương ứng với 2010.
- Vào năm 2014 đã có 300 nghìn đơn vị đã được bán.
b) Yêu cầu:
- Năm đầu tiên mà số lượng đơn vị giảm xuống dưới 200 nghìn đơn vị là năm bao nhiêu?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dực vào dữ kiện đề bài tìm
- Giải bất phương trình
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:




Năm đầu tiên mà số lượng đơn vị giảm xuống dưới 200 nghìn đơn vị là năm 2016.
Điền đáp án: 2016.
Câu 2 [860841]: Nhiệt độ của một lò vi sóng sau khi bật lên (phút) được xác định bởi hàm số
.
Nhiệt độ của một lò vi sóng khác sau khi bật lên (phút) được xác định bởi hàm số
.
Hỏi nếu hai lò vi sóng của hai loại được bật lên cùng lúc thì sau bao nhiêu phút nhiệt độ của hai lò vi sóng bằng nhau (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Đáp số: 31.
Gọi (phút) là khoảng thời gian để sau khi bật lên cùng lúc thì nhiệt độ của cả hai lò bằng nhau.
Theo đề bài, ta có:

Vậy sau khi bật lên cùng lúc khoảng 31 phút thì nhiệt độ cả hai lò bằng nhau.
Câu 3 [862843]: Một sợi dây kim loại được treo giữa hai bức tường cách nhau 2 mét như hình vẽ. Độ cao so với mặt đất của mỗi điểm trên sợi dây này được cho bởi hàm số , trong đó (mét) là khoảng cách từ mỗi điểm trên sợi dây đến bức tường phía bên trái. Hỏi sợi dây sẽ gần với mặt đất một khoảng ngắn nhất là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến phần trăm)?
1.Phương pháp:
Để tìm khoảng cách ngắn nhất của sợi dây so với mặt đất, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
2.Cách giải:
2.1. Tìm đạo hàm bậc nhất của
Hàm số đã cho là .
Đạo hàm của theo là:
.
2.2. Giải phương trình
:




.

( thỏa mãn).
2.3.Lập Bảng biến thiên:

Vậy
3. Kết luận:
Sợi dây sẽ gần với mặt đất một khoảng ngắn nhất là mét.
Điền đáp án: 1,89.
Câu 4 [1042309]: Khi chế tạo cánh diều hình tứ giác, người ta sẽ tạo khung trước. Một khung cánh diều sẽ được làm từ sáu thanh gỗ. Lấy bốn thanh tạo thành viền ngoài đã được cắt theo độ dài với kích thức là (theo đơn vị cm) như hình vẽ và hai thanh gỗ còn lại là đường chéo. Khi diện tích cánh diều lớn nhất thì tổng độ dài hai thanh gỗ còn lại bằng (cm). Tính
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- 4 thanh gỗ tạo thành viền ngoài đã được cắt theo độ dài với kích thức là (theo đơn vị cm ) như hình vẽ và hai thanh gỗ còn lại là đường chéo.
- Khi diện tích cánh diều lớn nhất thì tổng độ dài hai thanh gỗ còn lại bằng
b) Yêu cầu:
- Tính
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng công thức diện tích tam giác và đánh giá dựa trên
Phần 3. Giải chi tiết


Dấu bằng xảy ra

Tổng độ dài 2 thanh gỗ còn lại là
Điền đáp án: 1734.
Câu 5 [1042310]: Một công ty lọc nước đã đăng ký bằng sáng chế cho một quy trình độc đáo để loại bỏ chất ô nhiễm khỏi một thùng nước đồng thời với việc thêm nước bị ô nhiễm nhiều hơn để lọc. Tỉ lệ chất ô nhiễm trong thùng nước được mô hình hóa bằng hàm số và lượng nước (ml) trong thùng là trong đó là thời gian tính bằng phút kể từ lúc bắt đầu lọc. Sau bao nhiêu phút lọc thì nồng độ ô nhiễm trong thùng nước là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Tỉ lệ chất ô nhiễm trong thùng nước được mô hình hóa bằng hàm số và lượng nước trong thùng là trong đó là thời gian tính bằng phút kể từ lúc bắt đầu lọc.
b) Yêu cầu:
- Sau bao nhiêu phút lọc thì nồng độ ô nhiễm trong thùng nước là lớn nhất?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất.
Phần 3. Giải chi tiết
Giả sử chất ô nhiễm ban đầu là
Nồng độ ô nhiễm trong thùng nước là

là cực đại của hàm số trên.
Điền đáp án: 7,3.
Câu 6 [1002999]: Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí và cách nhau 4 km. Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng cách trung điểm của đoạn thẳng một khoảng 4 km. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước đến một vị trí nằm giữa đoạn thẳng sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy và (hình vẽ). Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu km (không làm
tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 7,46
Phần giải chi tiết:
Đặt độ dài suy ra
Ta có:
Tổng độ dài đoạn ống dẫn nước là:
Xét hàm số: với ta cần tìm
Ta có:

Ta có: Do đó,
Câu 7 [1042311]: Giá (đô la) của mỗi đơn vị hàng hóa của doanh nghiệp A được mô hình hóa thông qua phương trình trong đó là số lượng đơn vị được mua với giá đó (tính bằng trăm). Biết rằng có 400 đơn vị được yêu cầu khi giá là 30 đô la/đơn vị.
a) Đúng.
Ta có:

b) Đúng.


c) Sai.
Doanh thu được xác định bởi phương trình
d) Sai.
Ta có:

là cực đại của hàm số trên.
Doanh thu của doanh nghiệp A đạt cực đại nếu bán với giá đô la.
Câu 8 [1042312]: Một rào chắn bê tông có tiết diện là một tam giác cân, chạy song song với một bức tường. Chiều cao của rào chắn là 1 mét, độ dài của đáy là 2,4 mét và rào chắn được đặt trên mặt đất phẳng với đáy cách tường 0,3 mét. Một thanh kim loại thẳng, cứng, có đường kính không đáng kể, có một đầu chạm đất, đầu kia tựa vào tường và tiếp xúc với đỉnh của rào chắn (tham khảo hình vẽ). Hỏi chiều dài nhỏ nhất mà thanh kim loại có thể đạt được là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một rào chắn bê tông có tiết diện là một tam giác cân, chạy song song với một bức tường.
- Chiều cao của rào chắn là 1 mét, độ dài của đáy là 2,4 mét và rào chắn được đặt trên mặt đất phẳng với đáy cách tường 0,3 mét.
- Một thanh kim loại thẳng có một đầu chạm đất, đầu kia tựa vào tường và tiếp xúc với đỉnh của rào chắn.
b) Yêu cầu:
- Chiều dài nhỏ nhất mà thanh kim loại có thể đạt được là bao nhiêu mét?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Lập hàm chiều dài của thanh kim loại, sau đó dùng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất.
Phần 3. Giải chi tiết

Đặt
Ta có:

Đặt
Xét hàm số
với
khi

Điền đáp án: 3,51.
Câu 9 [1044793]: Khi thả một quả bóng từ đỉnh một toà tháp xuống, nó chạm đất sau 3 giây. Sau đó, quả bóng nảy lên trước khi chạm đất lần nữa 4 giây sau đó. Chiều cao tính bằng mét của quả bóng so với mặt đất sau giây tuân theo một hàm số liên tục trên như sau: Độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt được sau lần nảy đầu tiên là bao nhiêu mét?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Khi thả một quả bóng từ đỉnh một toà tháp xuống, nó chạm đất sau 3 giây.
- Sau đó, quả bóng nảy lên trước khi chạm đất lần nữa 4 giây sau đó.
- Chiều cao tính bằng mét của quả bóng so với mặt đất sau giây tuân theo một hàm số liên tục trên như sau:

b) Yêu cầu:
- Độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt được sau lần nảy đầu tiên là bao nhiêu mét?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Thay tọa độ các điểm trên hình vẽ để tìm hàm
Phần 3. Giải chi tiết
Vì hàm số liên tục trên và quả bóng chạm đất sau 3 giây nên ta có
Trên :
Điểm đều thuộc


Độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt được sau lần nảy đầu tiên là
Điền đáp án: 20.
Câu 10 [1042313]: Một cái hồ rộng có hình chữ nhật. Tại một góc nhỏ của hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí cách bờ là 1 m và cách bờ là 8 m, rồi dùng một cây sào ngăn một góc nhỏ của hồ để thả bèo (tham khảo hình vẽ). Cây sào chạm vào hai bờ và đi qua cây cọc (bỏ qua đường kính của sào). Gọi là hình chiếu của xuống đường thẳng . Đặt
a) Đúng.


b) Sai.

c) Sai.



d) Đúng.


là cực tiểu cảu hàm số trên
Câu 11 [390558]: Cần phải đặt một ngọn đèn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình tròn có bán kính Hỏi phải treo ở độ cao h bằng bao nhiêu mét để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C được biểu thị bởi công thức ( là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bà và là khoảng cách từ bóng đèn đến mép bàn) (viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
06.bsthuctien06.png
Dựa vào hình ảnh minh họa, ta có:

Đặt
Có:


Bảng biến thiên:
TO.15.png
Dựa vào bảng biến thiên, để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất thì giá trị của là:
Câu 12 [31027]: Một cái ao có hình (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn bán kính , người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiểu cây cầu biết:
- Hai bờ và nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại .
- Bờ là một phần của một parabol có đỉnh là điểm và có trục đối xứng là đoạn thẳng .
- Độ dài đoạn và lần lượt là và .
- Tâm của mảnh vườn cách đường thẳng và lần lượt là và .
(viết kết quả theo đơn vị mét, làm tròn đến hàng phần mười).
Gắn hệ trục toạ độ với Toạ độ tâm
Phương trình parabol có đỉnh là điểm đi qua là
Điểm
Độ dài cây cầu ngắn nhất
Xét hàm số trên suy ra
Vậy Độ dài cây cầu cần tính là
Câu 13 [702350]: Hình vẽ sau mô tả một con thuyền đang kéo một người đàn ông trượt ván bằng một đoạn dây dài mét. Xét trên hệ trục (đơn vị trên các hệ trục bằng mét), ban đầu con thuyền đang ở gốc tọa độ và di chuyển trên tia người đàn ông xuất phát từ điểm có tọa độ bị kéo theo và quãng đường di chuyển tạo thành một đường cong (tham khảo hình vẽ bên), bờ biển là đường thẳng Khi người đàn ông đến gần bờ biển nhất thì khoảng cách giữa người đàn ông và trục bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần trăm)? Biết rằng trong quá trình di chuyển, người đàn ông luôn hướng về phía thuyền, đoạn dây luôn căng và nằm trên tiếp tuyến của đường cong
Điền đáp án: 8,05.

Giả sử người đó ở vị trí là điểm mà tiếp tuyến tại song song với đường thẳng
Dựng
Dựa vào hình vẽ, ta có nên khoảng cách từ người đến bờ biển ngắn nhất khi tiếp tuyến tại song song với đường thẳng
Dựa vào hình, ta có:
(2 góc đồng vị)
(2 góc so le trong)
Suy ra
Thay lần lượt vào đường thẳng ta có

Xét tam giác vuông ta có

Xét tam giác vuông ta có
Câu 14 [694839]: Trong quang học, chúng ta đã biết đến định luật quang học về độ chiếu sáng. Nó được phát biểu như sau: Độ chiếu sáng từ một nguồn sáng đến một điểm cho bởi công thức trong đó là độ phát sáng của nguồn là góc phản xạ của ánh sáng lên người quan sát (coi rằng người quan sát nhìn thẳng xuống mặt bàn, xem hình vẽ).

Một đồng xu được đặt cách ngọn nến một khoảng Hỏi ngọn lửa của cây nến nên đặt ở độ cao bằng bao nhiêu cm để chiếu sáng rõ nhất đồng tiền xu nằm trên bàn (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Điền đáp án: 14,1.
+) Trong trường hợp này, chúng ta có thể thay đổi chiều cao của cây nến bằng cách tăng chiều cao của đế nên đặt khoảng cách từ chỗ nến cháy xuống mặt bàn.

Khi đó độ chiếu sáng:
Cách 1: Khảo sát hàm số
Khảo sát trong khoảng
Ta có

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra khi
Cách 2: Dùng Cosi:
Ta có
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Câu 15 [1003060]: Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều dài chiều rộng và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính Trong một lần bể bơi vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng rồi bơi tiếp đoạn thẳng với là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí và kết thúc chu trình. (tham khảo hình vẽ).

Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là vận tốc đi bộ là và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Đáp số: phút.

Đổi
Quãng đường Hoa đi hết một chu trình là
Tổng thời gian Hoa thực hiện một chu trình là
Do không đổi nên khi đạt giá trị lớn nhất.
Đặt
Suy ra
Xét hàm số
Ta có
Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng ta có
Vậy giây phút.
Câu 16 [696357]: Trong một trò chơi gấp giấy. Người ta muốn từ một tờ giấy hình chữ nhật gấp theo đường thẳng sao cho rơi vào mép cạnh (như hình vẽ).

Biết chiều rộng diện tích nhỏ nhất có thể của phần gấp là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Điền đáp án: 3,46.

Đặt
Có:


Xét hàm số
là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số .
Câu 17 [693315]: Trong công viên, có một hồ nước hình bán nguyệt đường kính AB bằng 100 (m). Tại A và B người ta dựng hai bức tượng lần lượt cao 8 m và 10 m. Một người đứng trên phần cung tròn của bờ hồ muốn đặt máy ảnh cao 1,6 m để chụp toàn cảnh hai bức tượng. Gọi góc quan sát là góc tạo bởi hai tia nối vị trí đặt máy ảnh với hai đỉnh của các bức tượng. Khi người đó di chuyển trên phần cung tròn của bờ hồ thì góc quan sát lớn nhất bằng bao nhiêu độ (làm tròn hàng đơn vị)?
Điền đáp án: 89.

+) Kẻ
và là hình bình hành.
và
+)
Đặt
Có vuông tại

Ta chứng minh tương tự:
Kẻ


Ta có: tại
Câu 18 [693542]: Từ một miếng vật liệu hình tam giác vuông tại có Người ta muốn cắt từ đó ra 2 miếng hình vuông, mà mỗi hình vuông này đều có 2 đỉnh nằm trên cạnh huyền của tam giác còn đỉnh thứ 3 của mỗi hình nằm trên một cạnh khác của tam giác (như hình vẽ). Gọi diện tích các hình này là (đơn vị deximét vuông). Hãy tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích vật liệu được cắt ra (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Điền đáp án: 2,9.
Đặt

Ta có:



Câu 19 [703069]: Thiết kế đường cao tốc một đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi có độ dốc 6% và 4% sẽ được xây dựng giữa hai điểm cách nhau theo chiều ngang là 2000 feet (xem hình vẽ). Trong hệ toạ độ (đơn vị mỗi trục là feet (ft)) quan sát đường cong (vẽ bằng nét đứt) mô phỏng đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi, đường cong đó gợi nên hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba. Vì thế ta có chọn hàm số bậc ba sao cho trong hệ trục toạ độ đồ thị hàm số đó trên đoạn mô phỏng đoạn đường cao tốc cần thiết kế. Ta chọn theo nguyên tắc: Hệ số góc của tiếp tuyến tại và tại của đồ thị hàm số đó lần lượt bằng và Giả sử bằng cách đo đạc ta có (hình vẽ). Hỏi giao điểm của đường cao tốc với trục cách trục bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? (Biết feet là đơn vị đo độ dài và 1 feet = 0,3408 mét).
Điền đáp án: 17.
Ta có:
(1)
Có:
Vì hệ số góc của tiếp tuyến tại và tại của đồ thị hàm số đó lần lượt bằng và nên (2)
Từ (1) và (2)
Giao điểm của đường cao tốc với trục cách trục là
Câu 20 [1042314]: Trên sân vận động, người ta tổ chức một cuộc thi chạy thông minh. Sân vận động là hình chữ nhật có kích thước và Ở chính giữa sân người ta vẽ một hình tròn có tâm trùng với tâm của hình chữ nhật, bán kính bằng 25 m như hình vẽ. Lấy là một vị trí trên cạnh sao cho m. Mỗi vận động viên cần xuất phát từ một điểm trên đường tròn và chạy theo cung đường . Vận động viên thắng cuộc là người chạy với quãng đường ngắn nhất. Tính độ dài quãng đường ngắn nhất vận động viên phải chạy (đơn vị mét, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Hình chữ nhật có và
- Ở chính giữa sân người ta vẽ một hình tròn có tâm trùng với tâm của hình chữ nhật, bán kính bằng 25 m như hình vẽ.
-
- Mỗi vận động viên cần xuất phát từ một điểm trên đường tròn và chạy theo cung đường
- Vận động viên thắng cuộc là người chạy với quãng đường ngắn nhất.
b) Yêu cầu:
- Tính độ dài quãng đường ngắn nhất vận động viên phải chạy?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- nhỏ nhất nhỏ nhất
- Dùng bất dẳng thức Minkowski để tìm giá trị nhỏ nhất.
Phần 3. Giải chi tiết
Giả sử nằm trên trục nằm trên trục trong mặt phẳng
là trung điểm của
Đường tròn tâm bán kính 25m có phương trình là
Cung đường
nhỏ nhất nhỏ nhất
Gọi





Ta có bất đẳng thức Minkowski:
Dấu “=” xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức trên

nhỏ nhất bằng
Điền đáp án: 352.