Quay lại
Đáp án
Câu 1 [584268]: Công ti truyền hình cáp Vista hiện có 100000 thuê bao. Mỗi thuê bao đang trả cước thuê bao 40 USD mỗi tháng. Một cuộc khảo sát cho thấy cứ mỗi lần giảm dolla cước thuê bao, công ti có thể có thêm 1000 thuê bao. Để doanh thu thu được là tối đa, công ti cần xác định mức cước thuê bao mỗi tháng là bao nhiêu USD?
Điền đáp án: 32,5.
Gọi là số lần giảm 0,25 dolla.
Cước thuê bao hàng tháng lúc này là với (do mức cước không thể âm), và số thuê bao mới là .
Do đó, tổng số thuê bao là
Hàm doanh thu được cho bởi


Đạo hàm , ta được
Vì tập xác định của là khoảng đóng [0; 160], nên đạt cực đại tại hoặc tại các điểm đầu mút của đoạn [0; 160].
Ta có:



Vậy doanh thu tối đa khi
Cước thuê bao mỗi tháng là USD.
Câu 2 [1030390]: Một cửa hàng trung bình bán được 100 cái tivi mỗi tháng với giá 14 triệu đồng một cái. Chủ cửa hàng nhận thấy rằng, nếu giảm giá bán mỗi cái 500 ngàn đồng thì số lượng tivi bán ra sẽ tăng thêm 10 cái mỗi tháng. Gọi số tiền giảm giá là triệu đồng với. Mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đúng.
Giá sau giảm là (triệu đồng)
b) Sai.
Số lượng bán sau giảm là:
c) Đúng.
Doanh thu là: Với điều kiện
d) Đúng.
Với chi phí nhập là 6 triệu/chiếcTổng chi phí được là
Ta có lợi nhuận:
Xét hàm lợi nhuận có dạng parabol lõm xuống vì hệ số âm, nên nó sẽ đạt lợi nhuận lớn nhất tại đỉnh
Đỉnh parabol là:
Lợi nhuận lớn nhất là: triệu đồng)
Vậy lợi nhuận lớn nhất cửa hàng đó thu về là 845 triệu đồng.
Câu 3 [584274]: Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 laptop mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng laptop bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 chiếc mỗi tuần. Biết rằng chi phí hằng tuần được xác định bằng hàm (triệu đồng), trong đó là số laptop bán ra trong tuần. Khi lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất thì số sản phẩm bán ra là bao nhiêu?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Trung bình bán được 1000 laptop/ tuần với giá 14 triệu đồng /chiếc.
- Nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng laptop bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 chiếc mỗi tuần.
- Chi phí hằng tuần được xác định bằng hàm (triệu đồng), là số laptop bán ra trong tuần.
b) Yêu cầu:
- Khi lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất thì số sản phẩm bán ra là bao nhiêu?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Lập hàm lợi nhuận sau đố dùng đạo hàm để tìm cực trị.
Phần 3. Giải chi tiết
Gọi là số lần giảm giá bán đi 0,5 triệu đồng/ chiếc.
Số tiền bán mỗi chiếc sau khi giảm giá là
Số laptop bán được mỗi tuần sau khi giảm giá là
Lợi nhuận của nhà sản xuất là


là cực đại của hàm số trên.
Điền đáp án: 2200
Câu 4 [1030392]: Bác Tôm có một cái ao có diện tích để nuôi cá. Vụ vừa qua bác nuôi với mật độ và thu được tất cả tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá thu được bác ấy cứ giảm đi con/m2 thì tương ứng sẽ có mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm Gọi ( ) là mật độ cá của cái ao sau thay đổi. Mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đúng.
b) Sai.
Gọi là số lần giảm mật độ.

Có
Khối lượng cá thành phẩm là
c) Đúng.
Doanh thu của bác Tôm là



là cực trị của hàm số trên
d) Đúng.
Do
luông nghịch biến


Bác Tôm nên giữ mật độ giống cá để đạt doanh thu lớn nhất.
Câu 5 [1030400]: [Sở Phú Thọ]: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết sản phẩm tổng số tiền doanh nghiệp thu được là và tổng chi phí là (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là (nghìn đồng) Giá trị của bằng bao nhiêu nghìn đồng để nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng nhận được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó?
Điền đáp án: 284.
Thuế phụ thu cho đơn vị là
Lợi nhuận doanh nghiệp là:
Xét hàm lợi nhuận là Parabol với hệ số âm, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh
Doanh thu thuế nhà nước thu được là:
Tương tự hàm số đạt lớn nhất tại đỉnh parabol: (nghìn đồng)
Vậy 284 nghìn đồng là mức thuế tối ưu để Nhà nước thu được doanh thu lớn nhất
Câu 6 [1030401]: Giả sử một chiếc xe tải khi di chuyển với tốc độ km/h sẽ tiêu thụ nhiên liệu ở mức lít mỗi kilomet. Biết rằng giá nhiên liệu là 23 nghìn đồng mỗi lít. Tốc độ (km/h) của xe tải trên một tuyến đường cao tốc bị hạn chế trong khoảng . Công ty trả lương cho người lái xe tải là 700 nghìn đồng mỗi giờ, để tổng chi phí mà công ty phải trả (gồm lương của lái xe và chi phí nhiên liệu) nhỏ nhất thì tốc độ di chuyển của xe tải bằng bao nhiêu km/h? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Điền đáp án: 67,3.
Tiêu hao nhiên liệu: (l/km)
Giá xăng 23 nghìn/lít
Lương của người lái là 700 nghìn/giờ
Suy ra chi phí trên 1 km là nghìn
Tổng chi phí trên 1 km là


Vậy tốc độ di chuyển của xe để tổng chi phí công ty trả nhỏ nhất là 67,3 km/h
Câu 7 [584278]: Một cửa hàng cà phê sắp khai trương đang nghiên cứu thị trường để định giá bán cho mỗi cốc cà phê. Sau khi nghiên cứu, người quản lý thấy rằng nếu bán với giá 20000 đồng một cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ bán được 2000 cốc, còn từ mức giá 20000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì sẽ bán ít đi 100 cốc. Biết chi phí nguyên vật liệu để pha một cốc cà phê không thay đổi là 18000 đồng. Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc cà phê với giá bao nhiêu nghìn đồng để đạt lợi nhuận lớn nhất? (đơn vị nghìn đồng)
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Nếu bán với giá 20 000 đồng một cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ bán được 2000 cốc
- Từ mức giá 20 000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì sẽ bán ít đi 100 cốc.
- Chi phí nguyên vật liệu để pha một cốc cà phê không thay đổi là 18 000 đồng.
b) Yêu cầu:
- Cửa hàng phải bán mỗi cốc cà phê với giá bao nhiêu nghìn đồng để đạt lợi nhuận lớn nhất?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Lập hàm lợi nhuận sau đố dùng đạo hàm để tìm cực trị.
Phần 3. Giải chi tiết
Gọi là số lần tăng giá bán thêm 1000 đồng/ cốc.
Số tiền bán mỗi cốc sau khi tăng giá là

Số cốc bán được mỗi tháng sau khi tăng giá là
Lợi nhuận của nhà sản xuất là



là cực đại của hàm số trên.
Cần bán mỗi cốc với giá tiền là đồng để đạt được lợi nhuận lớn nhất.
Điền đáp án: 29.
Câu 8 [695526]: Một nhà sản xuất đồ dùng sinh hoạt có chi phí cố định là 150 triệu đồng mỗi tháng và chi phí biến đổi là 15 triệu đồng cho một nghìn đồ dùng (tức là chi phí để sản xuất một nghìn đồ dùng là 15 triệu đồng). Giả sử là số lượng đồ dùng, tính bằng nghìn sản phẩm được sản xuất trong mỗi tháng và nhà sản xuất chỉ có thể sản xuất tối đa 300 nghìn sản phẩm trong một tháng.
a) Đúng.
b) Sai.
Tổng doanh thu của nhà sản suất trong 1 tháng là
c) Đúng.
Lợi nhuận nhà sản suất kiếm được mỗi 1 tháng là
d) Sai.
Xét hàm số
là điểm cực đại của đồ thị hàm số trên.
Lợi nhuận tối đa mà nhà sản suất thu được mỗi tháng là
Câu 9 [390979]: Một doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe máy với chi phí mua vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán với giá 40 (triệu đồng) mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua là 2000 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra sẽ tăng thêm 800 chiếc. Để sau khi đã thực hiện việc giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất thì doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu triệu đồng. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục. 
Gọi triệu đồng là số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá,
Khi đó: Lợi nhuận thu được khi bán một chiếc xe là: ( đồng).
Số xe mà doanh nghiệp sẽ bán được trong một năm là: (chiếc).
Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được trong một năm là:

Có:
Xét hàm số trên đoạn có bảng biến thiên sau:
TO.9.png
Để sau khi đã thực hiện việc giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất thì doanh nghiệp phải định giá bán mới là: (triệu đồng).
Câu 10 [1030395]: Một doanh nghiệp tư nhân chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung vào chiến lược kinh doanh xe X với chi phí mua vào một chiếc là 30 triệu đồng và bán ra với giá 35 triệu đồng. Với giá bán này, số lượng xe mà khách hàng đã mua trong một năm là 400 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe X đang bán, doanh nghiệp dự định giảm giá bán. Bộ phận nghiên cứu thị trường ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 100 chiếc. Hỏi theo đó, giá bán mới là bao nhiêu triệu đồng thì lợi nhuận thu được đạt 2 tỷ đồng?
Điền đáp án: 34.
Gọi là số lần giảm giá bán
Khi đó giá bán mới là
Số lượng bán được là
Lợi nhuận
Để lợi nhuận đạt 2 tỷ đồng, ta có phương trình



Với tức phải giảm 1 lần bán, khi đó giá mới là 34 triệu đồng
Vậy giá bán mới là 34 triệu đồng thì lợi nhuận thu được đạt 2 tỷ đồng.
Câu 11 [1030398]: [Sở Hưng Yên 2025]: Một cơ sở sản xuất quần áo trẻ em đang bán mỗi bộ quần áo với giá 80 nghìn đồng một bộ và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 1200 bộ quần áo. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhuận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lí thấy rằng nếu từ mức giá 80 nghìn đồng mà cứ mỗi lần tăng thêm 5 nghìn đồng mỗi bộ quần áo thì mỗi tháng sẽ bán ít đi 100 bộ. Biết vốn sản xuất một bộ quần áo không thay đổi là 50 nghìn đồng. Để lợi nhuận thu được lớn nhất thì cơ sở sản xuất đưa ra giá bán cho một bộ quần áo là bao nhiêu? (đơn vị: nghìn đồng).
Điền đáp án: 95.
Đặt lần tăng giá
Suy ra giá bán là (nghìn/bộ) và số lượng bán được là (bộ)
Lợi nhuận mỗi bộ
Tổng lợi nhuận là:
Ta có:
Suy ra giá bán khi đó là (nghìn đồng)
Vậy giá bán là 95 nghìn đồng để lợi nhuận thu được lớn nhất.
Câu 12 [1030399]: Thầy Nguyên muốn cải thiện thu nhập bằng cách kinh doanh thêm đồ uống trà sữa. Sau khi khảo sát thị trường, thầy ước tính là nếu giá 1 ly trà sữa 20 (ngàn đồng) thì trung bình hàng tháng có khoảng 1000 lượt khách tới uống nước tại quán, trung bình mỗi khách lại trả thêm 10 (ngàn đồng) tiền bánh tráng trộn để ăn kèm. Nay thầy muốn tăng thêm mỗi ly trà sữa 5 (ngàn đồng) thì sẽ mất khoảng 100 khách trong tổng số trung bình. Hỏi giá 1 ly trà sữa nên là bao nhiêu nghìn đồng để tổng thu nhập lớn nhất (giả sử tổng thu chưa trừ vốn).
Điền đáp án: 30.
Đặt lần tăng giá
Suy ra giá bán là (nghìn/ly) và số lượng bán được là (ly)
Vì mỗi khách mua thêm 10 nghìn bánh tráng trộn nên
Tổng thu là:

Ta có:
Suy ra giá bán khi đó là (nghìn đồng)
Vậy giá bán là 30 nghìn đồng để tổng thu được lớn nhất.
Câu 13 [1041525]: Một người bán buôn Thanh Long Đỏ ở Lập Thạch – Vĩnh Phúc nhận thấy rằng: Nếu bán với giá đồng mỗi kilogram thì mỗi tuần có khách đến mua và mỗi khách mua trung bình Cứ tăng giá đồng mỗi kilogram thì khách mua hàng tuần giảm đi và khi đó khách lại mua ít hơn mức trung bình , và như vậy cứ giảm giá nghìn mỗi kilogram thì số khách mua hàng tuần tăng thêm và khi đó khách lại mua nhiều hơn mức trung bình Biết rằng người đó phải nộp tổng các loại thuế là nghìn mỗi kilogram. Gọi là số lần tăng hoặc giảm giá.
a) Xác định hàm giá của mỗi kilogram Thanh Long theo biến . (điền vào ô trống)
b) Xác định hàm lợi nhuận hàng tuần trước thuế theo biến . (điền vào ô trống)
c) Người đó phải bán với giá mỗi là bao nhiêu nghìn đồng để lợi nhuận thu được sau thuế hàng tuần là lớn nhất?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Nếu bán với giá 20 000 đồng mỗi kilogram thì mỗi tuần có 90 khách đến mua và mỗi khách mua trung bình 60
- Cứ tăng giá 2000 đồng mỗi kilogram thì khách mua hàng tuần giảm đi và khi đó khách lại mua ít hơn mức trung bình , và như vậy cứ giảm giá 2000 nghìn mỗi kilogram thì số khách mua hàng tuần tăng thêm và khi đó khách lại mua nhiều hơn mức trung bình
- Người đó phải nộp tổng các loại thuế là 2200 nghìn mỗi kilogram.
- Gọi là số lần tăng hoặc giảm giá.
b) Yêu cầu:
- Xác định hàm giá của mỗi kilogram Thanh Long theo biến .
- Xác định hàm lợi nhuận hàng tuần trước thuế theo biến .
- Người đó phải bán với giá mỗi là bao nhiêu nghìn đồng để lợi nhuận thu được sau thuế hàng tuần là lớn nhất?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng đạo hàm tìm để tìm cực trị.
Phần 3. Giải chi tiết
a) Hàm giá mỗi kg thanh long theo biến là ( nghìn đồng)
b) Số lượng khách hàng mỗi tuần đến mua là
Số lượng kg trung bình mỗi khách mua là
Lợi nhuận hàng tuần trước thuế là (nghìn đồng)
c) Lợi nhuận sau thuế là




là cực đại của hàm số trên.
Cần bán với giá 22 000 đồng/ kg để đạt được lợi nhuận lớn nhất.
Vậy cần bán giá mỗi kg là 22 nghìn đồng để thu được lợi nhuận lớn nhất.
Điền đáp án: 22.
Câu 14 [693691]: Giám đốc của show diễn ca nhạc “ATSH” đang xác định mức vé vào cửa cho đêm biểu diễn dự kiến vào tháng 12/2024 tại Hà Nội. Theo kinh nghiệm nhiều năm tổ chức show diễn của mình, giám đốc đã xác định được rằng: Nếu giá vé vào cửa là 85 USD/vé thì trung bình có 15 000 khán giả đến xem. Mỗi lần tăng giá vé thêm 10 USD/vé thì số khán giả đến xem sẽ giảm đi 1 000 người. Mỗi lần giảm giá vé đi 10 USD/vé thì số khán giả đến xem sẽ tăng lên 1 000 người. Biết rằng, trung bình mỗi khán giả đến xem còn giúp show diễn có thêm 5 USD từ các dịch vụ đi kèm và mỗi khá giả vào xem phải có 1 vé vào cửa. Hỏi giám đốc chọn giá vé vào cửa cho show diễn này là bao nhiêu USD/vé để tổng số tiền thu được sau đêm diễn (gồm tổng tiền bán vé và tiền thu từ các dịch vụ đi kèm) là lớn nhất?
Đáp án: 115 USD/vé.
Gọi là số lần tăng giá vé ( có thể là số âm nếu giảm giá).
Giá vé là USD/vé.
Số khán giả là (người).
Doanh thu từ vé là USD.
Doanh thu từ dịch vụ đi kèm là USD.
Tổng doanh thu là:

Để tìm giá trị làm cho lớn nhất, ta tính đạo hàm của theo và cho đạo hàm bằng 0:

Cho ta được:

Ta tính đạo hàm cấp hai:
Vì đạo hàm cấp hai âm, nên là điểm cực đại.
Khi giá vé là USD/vé.
Câu 15 [1030396]: Một nhà máy chế biến cà phê bán trong nước và xuất khẩu ra nước ngoài. Nếu giá vốn sản xuất mỗi kg cà phê là USD thì sản lượng nhà máy sản xuất được là (kg) và lượng tiêu thụ trong nước là (kg). Phần cà phê còn dư được xuất khẩu với giá cố định là USD mỗi kg. Biết rằng với mỗi kg cà phê xuất khẩu thì nhà máy phải chịu mức thuế là USD. Lợi nhuận từ xuất khẩu và thuế thu được từ Nhà nước luôn giữ tỷ lệ bằng 4: 1. Hãy tìm giá trị của để lợi nhuận từ xuất khẩu đạt giá trị lớn nhất. Tính
Điền đáp án: 1710.
Sản lượng xuất khẩu là:
Giá xuất khẩu cố định là 1900 USD/kg
Lợi nhuận là
Xét tỉ lệ lợi nhuận – thuế là 4 : 1



Ta lại xét hàm lợi nhuận:




Khi đó
Vậy
Câu 16 [1030397]: Một công ty sản xuất hai sản phẩm là sản phẩm A và sản phẩm B. Biết số tiền thu được khi bán sản phẩm A là đồng/sản phẩm; số tiền thu được khi bán từ 1 đến 100 sản phẩm B là đồng/sản phẩm, từ 101 đến 200 sản phẩm B là đồng/sản phẩm, từ 201 đến 300 sản phẩm B là đồng/sản phẩm… số tiền thu được khi bán thêm 100 sản phẩm B giảm đúng đồng/sản phẩm so với 100 sản phẩm đã bán ngay trước đó. Biết chi phí khi sản xuất sản phẩm cả A và B đều là đồng/sản phẩm. Giả sử trong một tuần tổng hai sản phẩm của công ty sản xuất và bán ra đúng Gọi lần lượt là số sản phẩm A và B công ty bán ra trong một tuần. Trong một tuần mức lợi nhuận của công ty có thể đạt được lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Số tiền thu được khi bán sản phẩm A là 50 000 đồng/sản phẩm;
- Số tiền thu được khi bán từ 1 đến 100 sản phẩm B là 55 000 đồng/sản phẩm, tiền thu được khi bán thêm 100 sản phẩm B giảm đúng 1 000 đồng/sản phẩm so với 100 sản phẩm đã bán ngay trước đó.
- Chi phí khi sản xuất sản phẩm cả A và B đều là 30 000 đồng/sản phẩm.
- Trong một tuần tổng hai sản phẩm của công ty sản xuất và bán ra đúng 2000.
b) Yêu cầu:
- Trong một tuần mức lợi nhuận của công ty có thể đạt được lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Lập bảng giá bán mỗi sản phẩm từ đó suy ra được số sản phẩm A và B cần bán.
Phần 3. Giải chi tiết

Dựa theo bảng trên ta thấy doanh thu đạt được lớn nhất khi bán 500 sản phẩm B và 1500 sản phẩm A

Tổng doanh thu từ 2 sản phẩm là (nghìn đồng)

Lợi nhuận lớn nhất là nghìn đồng= 41,5 triệu đồng

Điền đáp án: 41,5.