Câu 1 [1032368]: Các nhà khoa học nghiên cứu sự phát triển của cao su và chiều cao tăng thêm mỗi năm của cây cao su 
(cm) có độ tuổi là 
được mô hình hóa bởi hàm số
Ở thời điểm cây cao su có độ tuổi bao nhiêu năm thì chiều cao của năm đó tăng nhiều nhất?
(cm) có độ tuổi là được mô hình hóa bởi hàm số Ở thời điểm cây cao su có độ tuổi bao nhiêu năm thì chiều cao của năm đó tăng nhiều nhất?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Sự phát triển của cao su và chiều cao tăng thêm mỗi năm của cây cao su
có độ tuổi là 
được mô hình hóa bởi hàm số 
b) Yêu cầu:
- Ở thời điểm cây cao su có độ tuổi bao nhiêu năm thì chiều cao của năm đó tăng nhiều nhất?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng đạo hàm để khảo sát hàm số tìm cực trị.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
là cực đại của hàm số đã cho.
Vậy ở thời điểm cây cao su 32 tuổi thì chiều cao của năm đó tăng nhiều nhất.
Điền đáp án: 32.
a) Đề cho:
- Sự phát triển của cao su và chiều cao tăng thêm mỗi năm của cây cao su
có độ tuổi là được mô hình hóa bởi hàm số b) Yêu cầu:
- Ở thời điểm cây cao su có độ tuổi bao nhiêu năm thì chiều cao của năm đó tăng nhiều nhất?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng đạo hàm để khảo sát hàm số tìm cực trị.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
là cực đại của hàm số đã cho.
Vậy ở thời điểm cây cao su 32 tuổi thì chiều cao của năm đó tăng nhiều nhất.
Điền đáp án: 32.
Câu 2 [1032369]: Tỷ lệ phần trăm 
của người lớn ở Mỹ đáp ứng các hướng dẫn về hoạt động thể chất từ năm 2007 đến năm 2014 được mô hình hóa thông qua hàm số
trong đó n là năm, với 
tương ứng năm 2007. (Nguồn: Trung tâm Thống kê Y tế Quốc gia). Gọi 
là tỷ lệ phần trăm lớn nhất và 
là tỷ lệ phần trăm nhỏ nhất của người lớn ở Mỹ đáp ứng các hướng dẫn về hoạt động thể chất từ năm 2007 đến năm 2014. Tính 
(làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
của người lớn ở Mỹ đáp ứng các hướng dẫn về hoạt động thể chất từ năm 2007 đến năm 2014 được mô hình hóa thông qua hàm số trong đó n là năm, với tương ứng năm 2007. (Nguồn: Trung tâm Thống kê Y tế Quốc gia). Gọi là tỷ lệ phần trăm lớn nhất và là tỷ lệ phần trăm nhỏ nhất của người lớn ở Mỹ đáp ứng các hướng dẫn về hoạt động thể chất từ năm 2007 đến năm 2014. Tính (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Tỷ lệ phần trăm
của người lớn ở Mỹ đáp ứng các hướng dẫn về hoạt động thể chất từ năm 2007 đến năm 2014 được mô hình hóa thông qua hàm số 
trong đó 
là năm, với 
tương ứng năm 2007
- Gọi
là tỷ lệ phần trăm lớn nhất và 
là tỷ lệ phần trăm nhỏ nhất.
b) Yêu cầu:
- Tính
.
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng đạo hàm để khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
Điền đáp án: 69,0
a) Đề cho:
- Tỷ lệ phần trăm
của người lớn ở Mỹ đáp ứng các hướng dẫn về hoạt động thể chất từ năm 2007 đến năm 2014 được mô hình hóa thông qua hàm số trong đó là năm, với tương ứng năm 2007- Gọi
là tỷ lệ phần trăm lớn nhất và là tỷ lệ phần trăm nhỏ nhất.b) Yêu cầu:
- Tính
.Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng đạo hàm để khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
Điền đáp án: 69,0
Câu 3 [685482]: Từ một miếng bìa có độ dài hai cạnh lần lượt là 0,9 m và 1,5 m như hình bên dưới, bạn Duy cắt đi phần tô màu xám và gấp lại để được một hình hộp chữ nhật. Gọi 
là thể tích hình hộp chữ nhật được tạo thành. Giá trị 
để hình hộp tạo thành có thể tích lớn nhất là bao nhiêu?
là thể tích hình hộp chữ nhật được tạo thành. Giá trị để hình hộp tạo thành có thể tích lớn nhất là bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp:
Biểu diễn thể tích hình hộp chữ nhật theo biến
.
Áp dụng bất đẳng thức AM–GM để tìm giá trị lớn nhất của thể tích.
✒️ Lời giải chi tiết:
Thể tích hình hộp chữ nhật được tạo thành là
.
Ta có
.
Áp dụng bất đẳng thức AM–GM suy ra
.
Dấu bằng xảy ra khi
.
.
🔑 Điền đáp án:
.
💡 Phương pháp:
Biểu diễn thể tích hình hộp chữ nhật theo biến
.Áp dụng bất đẳng thức AM–GM để tìm giá trị lớn nhất của thể tích.
✒️ Lời giải chi tiết:
Thể tích hình hộp chữ nhật được tạo thành là
.Ta có
.Áp dụng bất đẳng thức AM–GM suy ra
.Dấu bằng xảy ra khi
..🔑 Điền đáp án:
.
Câu 4 [693535]: Nhà máy 
chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy 
Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng 
cung cấp cho 
số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của 
(tối đa 
tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là 
tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là 
(triệu đồng). Cho phí để 
sản xuất 
tấn sản phẩm trong một tháng là 
triệu đồng (gồm 
triệu đồng chi phí cố định và 
triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm).
chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng cung cấp cho số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của (tối đa tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là (triệu đồng). Cho phí để sản xuất tấn sản phẩm trong một tháng là triệu đồng (gồm triệu đồng chi phí cố định và triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm).
a) Sai.
Chi phí để
sản xuất 
tấn sản phẩm trong một tháng là:
triệu đồng.
b) Đúng.
Số tiền
thu được khi bán 
tấn sản phẩm cho 
là:
triệu đồng.
c) Sai.
Lợi nhuận mà
thu được là:
.
d) Sai.
Xét hàm số
, 
ta có:
,
Ta có
Vậy
bán cho 
khoảng 
tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất bằng 
.
Chi phí để
sản xuất tấn sản phẩm trong một tháng là: triệu đồng.b) Đúng.
Số tiền
thu được khi bán tấn sản phẩm cho là: triệu đồng.c) Sai.
Lợi nhuận mà
thu được là:.d) Sai.
Xét hàm số
, ta có:, Ta có
Vậy
bán cho khoảng tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất bằng .
Câu 5 [1003009]: Một giáo viên theo dõi sự tiến bộ của học sinh qua thang đo điểm, được mô hình hóa bằng hàm số bậc ba 
với 
là các hệ số. Trong đó, 
là số tháng kể từ đầu năm học và 
là điểm trong tháng thứ 
Qua theo dõi, giáo viên ghi nhận tháng đầu tiên học sinh đạt 19 điểm, sau đó giảm trong tháng thứ hai và đến tháng thứ ba học sinh đạt mức thấp nhất trong ba năm học, là 3 điểm. Kể từ tháng thứ ba trở đi, điểm của học sinh tăng lên. Dựa vào mô hình trên, hãy tính điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu.
với là các hệ số. Trong đó, là số tháng kể từ đầu năm học và là điểm trong tháng thứ Qua theo dõi, giáo viên ghi nhận tháng đầu tiên học sinh đạt 19 điểm, sau đó giảm trong tháng thứ hai và đến tháng thứ ba học sinh đạt mức thấp nhất trong ba năm học, là 3 điểm. Kể từ tháng thứ ba trở đi, điểm của học sinh tăng lên. Dựa vào mô hình trên, hãy tính điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu.
Đáp số: 84.
Tháng đầu tiên học sinh đạt 19 điểm nên
(1).
Tháng thứ ba học sinh đạt mức thấp nhất trong ba năm học, là 3 điểm nên
Từ (1), (2), (3) suy ra:
Suy ra
Vậy điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu là
Tháng đầu tiên học sinh đạt 19 điểm nên
(1).
Tháng thứ ba học sinh đạt mức thấp nhất trong ba năm học, là 3 điểm nên
Từ (1), (2), (3) suy ra:
Suy ra
Vậy điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu là
Câu 6 [1041529]: Một người tham gia bộ môn trượt tuyết, người đó lấy đà từ điểm A đến điểm B (điểm B cách mặt đất 18,9 mét) sau đó quỹ đạo chuyển động sẽ có dạng một đồ thị hàm số bậc ba. Xét trên hệ tọa độ 
trục 
là độ cao của quỹ đạo, trục 
là khoảng cách theo phương ngang , đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng mét, đồ thị quỹ đạo chuyển động đạt cực tiểu tại 
, đạt cực đại tại điểm 
và tiếp đất tại điểm 
(tham khảo như hình vẽ). Tính 
trục là độ cao của quỹ đạo, trục là khoảng cách theo phương ngang , đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng mét, đồ thị quỹ đạo chuyển động đạt cực tiểu tại , đạt cực đại tại điểm và tiếp đất tại điểm (tham khảo như hình vẽ). Tính
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một người tham gia bộ môn trượt tuyết, người đó lấy đà từ điểm
đến điểm 
(điểm 
cách mặt đất 18,9 mét) sau đó quỹ đạo chuyển động sẽ có dạng một đồ thị hàm số bậc ba.
- Điểm
là điểm cực tiểu, điểm 
là điểm cực đại và tiếp đất tại điểm 
.
b) Yêu cầu:
- Tính
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Gọi phương trình tổng quát của hàm số bậc 3, sau đó thay tọa độ các điểm vào để tìm hệ số.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
Điểm
là điểm cực tiểu và điểm
là điểm cực đại của đồ thị hàm số trên
Điểm
Từ (I) và (II)
Điền đáp án: 2376
a) Đề cho:
- Một người tham gia bộ môn trượt tuyết, người đó lấy đà từ điểm
đến điểm (điểm cách mặt đất 18,9 mét) sau đó quỹ đạo chuyển động sẽ có dạng một đồ thị hàm số bậc ba. - Điểm
là điểm cực tiểu, điểm là điểm cực đại và tiếp đất tại điểm .
b) Yêu cầu:
- Tính
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Gọi phương trình tổng quát của hàm số bậc 3, sau đó thay tọa độ các điểm vào để tìm hệ số.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
Điểm
là điểm cực tiểu và điểm là điểm cực đại của đồ thị hàm số trên Điểm
Từ (I) và (II)
Điền đáp án: 2376
Câu 7 [693782]: Độ cứng 
của một thanh gỗ hình chữ nhật tỉ lệ thuận với tích của chiều rộng 
và bình phương chiều dài 
của nó (theo đơn vị cm). Biết rằng nếu thanh gỗ có chiều dài là 6cm, chiều rộng là 3cm thì độ cứng của nó bằng 
Một khúc gỗ hình tròn có đường kính là 
người ta cắt thành một thanh gỗ hình chữ nhật như hình vẽ bên.
của một thanh gỗ hình chữ nhật tỉ lệ thuận với tích của chiều rộng và bình phương chiều dài của nó (theo đơn vị cm). Biết rằng nếu thanh gỗ có chiều dài là 6cm, chiều rộng là 3cm thì độ cứng của nó bằng Một khúc gỗ hình tròn có đường kính là người ta cắt thành một thanh gỗ hình chữ nhật như hình vẽ bên.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp: Áp dụng định lý Pythagore để thiết lập mối liên hệ giữa
và 
; biểu diễn độ cứng 
theo một biến; xét miền xác định; dùng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Áp dụng định lý Pythagore ta có
b) Sai.
Độ cứng
của một thanh gỗ hình chữ nhật tỉ lệ thuận với tích của chiều rộng 
và bình phương chiều dài 
Với thanh gỗ có
cm, 
cm thì 
Vậy
c) Sai.
Từ
suy ra 
Do
nên 
d) Đúng.
Xét hàm số
Ta có
Giải
ta được 
hoặc 
Trong miền
suy ra 
🔑 Điền đáp án: Độ cứng lớn nhất là
khi 
💡 Phương pháp: Áp dụng định lý Pythagore để thiết lập mối liên hệ giữa
và ; biểu diễn độ cứng theo một biến; xét miền xác định; dùng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất.✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Áp dụng định lý Pythagore ta có
b) Sai.
Độ cứng
của một thanh gỗ hình chữ nhật tỉ lệ thuận với tích của chiều rộng và bình phương chiều dài Với thanh gỗ có
cm, cm thì Vậy
c) Sai.
Từ
suy ra Do
nên d) Đúng.
Xét hàm số
Ta có
Giải
ta được hoặc Trong miền
suy ra 🔑 Điền đáp án: Độ cứng lớn nhất là
khi
Câu 8 [693321]: Trong một ngày, tổng chi phí để một xưởng sản xuất 
(kg) thành phẩm được cho bởi hàm số 
(nghìn đồng). Biết giá bán mỗi kilôgam thành phẩm là 513 nghìn đồng và công suất tối đa của xưởng là 20 kg trong một ngày. Khối lượng thành phẩm xưởng nên sản xuất trong một ngày là bao nhiêu để lợi nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất?
(kg) thành phẩm được cho bởi hàm số (nghìn đồng). Biết giá bán mỗi kilôgam thành phẩm là 513 nghìn đồng và công suất tối đa của xưởng là 20 kg trong một ngày. Khối lượng thành phẩm xưởng nên sản xuất trong một ngày là bao nhiêu để lợi nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất?
Lợi nhuận xưởng thu được trong một ngày khi sản xuất x (kg) thành phẩm là:
với 
Ta có:
hoặc 
(loại).
Ta có bảng biến thiên:
Do đó
Vậy
thì lợi nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất.
với
Ta có:
hoặc (loại).
Ta có bảng biến thiên:
Do đó
Vậy
thì lợi nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất.
Câu 9 [1032379]: Nhà máy 
chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy 
Hai nhà máy thoả thuận rằng, hàng tháng nhà máy 
cung cấp cho nhà máy
số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của 
(tối đa 
tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là 
tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là 
(triệu đồng). Chi phí để 
sản xuất 
tấn sản phẩm trong một tháng gồm 
triệu đồng chi phí cố định và 
triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm. Nhà máy
cần bán cho nhà máy
bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được lớn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy Hai nhà máy thoả thuận rằng, hàng tháng nhà máy cung cấp cho nhà máy số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của (tối đa tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là (triệu đồng). Chi phí để sản xuất tấn sản phẩm trong một tháng gồm triệu đồng chi phí cố định và triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm. Nhà máy cần bán cho nhà máy bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được lớn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Nhà máy
cung cấp cho nhà máy 
số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của 
(tối đa 100 tấn sản phẩm)
- Nếu số lượng đặt hàng là
tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là 
(triệu đồng).
- Chi phí để
sản xuất 
tấn sản phẩm trong một tháng gồm 100 triệu đồng, chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm.
b) Yêu cầu:
- Nhà máy
cần bán cho nhà máy 
bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được lớn nhất?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Lập hàm lợi nhuận sau đó dùng đạo hàm để khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất.
Phần 3. Giải chi tiết
Lợi nhuận mà
thu được là:
.
Xét hàm số
, 
ta có:
,
Ta có:
Vậy
bán cho 
khoảng 
tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất bằng 
.
Điền đáp án: 70,7.
a) Đề cho:
- Nhà máy
cung cấp cho nhà máy số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của (tối đa 100 tấn sản phẩm)
- Nếu số lượng đặt hàng là
tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là (triệu đồng). - Chi phí để
sản xuất tấn sản phẩm trong một tháng gồm 100 triệu đồng, chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm. b) Yêu cầu:
- Nhà máy
cần bán cho nhà máy bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được lớn nhất? Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Lập hàm lợi nhuận sau đó dùng đạo hàm để khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất.
Phần 3. Giải chi tiết
Lợi nhuận mà
thu được là:
.
Xét hàm số
, ta có:
,
Ta có:
Vậy
bán cho khoảng tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất bằng .
Điền đáp án: 70,7.
Câu 10 [1041530]: Có một đề xuất nhằm cung cấp một hệ thống giao thông công cộng nội đô nhanh hơn, hiệu quả hơn và “thân thiện” hơn với môi trường bằng cách sử dụng taxi điện. Đề xuất này đòi hỏi phải lắp đặt các nguồn điện tại nhiều địa điểm khác nhau vì taxi chỉ có thể hoạt động trong một khoảng thời gian giới hạn trước khi sạc lại. Một tài xế đang đi trên đường thì xe cảnh báo sắp hết điện. Đồ thị dưới đây cho thấy tốc độ 
(m/s) mà taxi sẽ duy trì cho đến khi được sạc lại. Đường cong trên tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 
. Gọi 
với 
là quãng đường mà tài xế di chuyển sau 
(giây) kể từ thời điểm xe báo sắp hết điện.
a)
b)
c) Quãng đường mà tài xế đi thêm được từ lúc cảnh báo cho đến khi dừng hẳn là ________ mét.
(m/s) mà taxi sẽ duy trì cho đến khi được sạc lại. Đường cong trên tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng . Gọi với là quãng đường mà tài xế di chuyển sau (giây) kể từ thời điểm xe báo sắp hết điện. a)
b)
c) Quãng đường mà tài xế đi thêm được từ lúc cảnh báo cho đến khi dừng hẳn là ________ mét.
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Đường cong trên tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 900.
-
là quãng đường mà tài xế di chuyển sau t (giây) kể từ thời điểm xe báo sắp hết điện.
b) Yêu cầu:
- Tính
- Tính
- Quãng đường mà tài xế đi thêm được từ lúc cảnh báo cho đến khi dừng hẳn là bao nhiêu mét.
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
-Dùng dữ kiện đề bài để tìm các ẩn
Phần 3. Giải chi tiết
a)
Đường cong trên tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 900 .
Từ (1) và (2)
b)
c) Quãng đường mà tài xế đi thêm được từ lúc cảnh báo cho đến khi dừng hẳn là
a) Đề cho:
- Đường cong trên tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 900.
-
là quãng đường mà tài xế di chuyển sau t (giây) kể từ thời điểm xe báo sắp hết điện. b) Yêu cầu:
- Tính
- Tính
- Quãng đường mà tài xế đi thêm được từ lúc cảnh báo cho đến khi dừng hẳn là bao nhiêu mét.
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
-Dùng dữ kiện đề bài để tìm các ẩn
Phần 3. Giải chi tiết
a)
Đường cong trên tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 900 .
Từ (1) và (2)
b)
c) Quãng đường mà tài xế đi thêm được từ lúc cảnh báo cho đến khi dừng hẳn là
Câu 11 [693208]: Cho miếng bìa hình chữ nhật với kích thước 
. Bạn Huy cắt bỏ hai hình vuông nhỏ có cạnh là 
và hai hình chữ nhật (phần gạch sọc như hình vẽ) rồi gấp theo đường nét đứt và dán các mép để được một cái hộp. Gọi 
là chiều cao của cái hộp đó.
. Bạn Huy cắt bỏ hai hình vuông nhỏ có cạnh là và hai hình chữ nhật (phần gạch sọc như hình vẽ) rồi gấp theo đường nét đứt và dán các mép để được một cái hộp. Gọi là chiều cao của cái hộp đó.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Biểu diễn các kích thước của hộp theo biến
, lập biểu thức thể tích, dùng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất. Với diện tích miếng bìa, thay giá trị 
tương ứng vào biểu thức diện tích.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Đáy của hộp lần lượt có kích thước là
và 
.
b) Đúng.
Biểu thức thể tích của hộp là
.
.
c) Sai.
Xét hàm số
.
.
.
Bảng biến thiên của hàm số được minh họa như hình sau:
Dựa vào bảng biến thiên, thể tích lớn nhất của hộp là
.
d) Đúng.
Diện tích miếng bìa cần cắt là
.
.
Để thể tích hộp lớn nhất thì
.
.
🔑 Điền đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng
💡 Phương pháp:
Biểu diễn các kích thước của hộp theo biến
, lập biểu thức thể tích, dùng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất. Với diện tích miếng bìa, thay giá trị tương ứng vào biểu thức diện tích.✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Đáy của hộp lần lượt có kích thước là
và .b) Đúng.
Biểu thức thể tích của hộp là
..c) Sai.
Xét hàm số
...Bảng biến thiên của hàm số được minh họa như hình sau:
Dựa vào bảng biến thiên, thể tích lớn nhất của hộp là
.d) Đúng.
Diện tích miếng bìa cần cắt là
..Để thể tích hộp lớn nhất thì
..🔑 Điền đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng
Câu 12 [694662]: Một máy bay đang bay ở độ cao 
khi bắt đầu hạ cánh xuống một đường băng sân bay cách máy bay một khoảng 
theo phương ngang, như hình vẽ. Giả sử đường bay hạ cánh của máy bay là đồ thị của một hàm đa thức bậc ba 
trong đó 
và 
là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
khi bắt đầu hạ cánh xuống một đường băng sân bay cách máy bay một khoảng theo phương ngang, như hình vẽ. Giả sử đường bay hạ cánh của máy bay là đồ thị của một hàm đa thức bậc ba trong đó và là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
a) Sai.
và 
là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số nên 
b) Sai.
Ta có:
Đồ thị hàm số đi qua
nên 
Đồ thị hàm số đi qua
nên 
c) Đúng.
Ta có:
d) Sai.
Ta có:
Vậy một đường thẳng tiếp xúc với đường bay tại vị trí
có hệ số góc khác 
và là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số nên b) Sai.
Ta có:
Đồ thị hàm số đi qua
nên Đồ thị hàm số đi qua
nên c) Đúng.
Ta có:
d) Sai.
Ta có:
Vậy một đường thẳng tiếp xúc với đường bay tại vị trí
có hệ số góc khác
Câu 13 [694295]: Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ 
là một phần của đồ thị hàm số bậc ba 
(tham khảo hình vẽ bên). Vị trí điểm cực đại là 
với đơn vị của hệ trục là 
và vị trí điểm cực tiểu là gốc tọa độ 
Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình 
Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét ? (làm tròn đến một chữ số thập phân sau dấu phẩy)
là một phần của đồ thị hàm số bậc ba (tham khảo hình vẽ bên). Vị trí điểm cực đại là với đơn vị của hệ trục là và vị trí điểm cực tiểu là gốc tọa độ Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét ? (làm tròn đến một chữ số thập phân sau dấu phẩy)
Điền đáp án: 
Do hà số đạt cực đại tại
và đạt cực tiểu tại 
nên 
có hai nghiệm 
và 
Ta có
đi qua điểm 
nên 
đi qua điểm 
nên 
Suy ra
tại 
và 
Gọi vị trí đặt cầu là điểm
thuộc đồ thị hàm số 
.
Ta có phương trình mặt đường là
Độ dài cây cầu là:
Lập bảng biến thiên tại
để tìm min của hàm số 
nhỏ nhất bằng 
khi 
Vậy độ dài cây cầu ngắn nhất là
Do hà số đạt cực đại tại
và đạt cực tiểu tại nên có hai nghiệm và
Ta có
đi qua điểm nên
đi qua điểm nên
Suy ra
tại và
Gọi vị trí đặt cầu là điểm
thuộc đồ thị hàm số .
Ta có phương trình mặt đường là
Độ dài cây cầu là:
Lập bảng biến thiên tại
để tìm min của hàm số
nhỏ nhất bằng khi
Vậy độ dài cây cầu ngắn nhất là
Câu 14 [583264]: Từ hình vuông có cạnh bằng 
người ta cắt bỏ các tam giác vuông cân tạo thành hình tô đậm như hình vẽ. Sau đó người ta gập thành hình hộp chữ nhật không nắp. Tính thể tích lớn nhất của khối hộp.
người ta cắt bỏ các tam giác vuông cân tạo thành hình tô đậm như hình vẽ. Sau đó người ta gập thành hình hộp chữ nhật không nắp. Tính thể tích lớn nhất của khối hộp. A, 
B, 
C, 
D, 
Đặt kích thước các cạnh như hình vẽ
Ta có
với 
Thể tích của khối hộp tạo thành là
Ta có
Ta có bảng biến thiên:
Vậy:
khi 
,
Đáp án: A
Ta có
với Thể tích của khối hộp tạo thành là
Ta có
Ta có bảng biến thiên:
Vậy:
khi , Đáp án: A
Câu 15 [5978]: Bạn A có một tấm bìa hình tròn (như hình vẽ), bạn ấy muốn dùng tấm bìa đó tạo thành một cái phễu hình nón, vì vậy bạn phải cắt bỏ phần quạt tròn 
rồi dán hai bán kính 
và 
lại với nhau. Gọi 
là góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu. Giá trị của 
để thể tích phễu lớn nhất là (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
rồi dán hai bán kính và lại với nhau. Gọi là góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu. Giá trị của để thể tích phễu lớn nhất là (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Phễu chính là khối nón có độ dài đường sinh 
Chuẩn hoá 
Gọi
lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nón.
="" Ta có 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Độ dài cung tròn
là 
chính bằng chu vi đường tròn đáy của khối nón.
Khi đó
Chuẩn hoá Gọi
lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nón.="" Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Độ dài cung tròn
là chính bằng chu vi đường tròn đáy của khối nón.Khi đó
Câu 16 [1032374]: Một thùng chứa ngô được thiết kế bao gồm một phần hình trụ bằng lưới thép ở dưới và phía trên là mái hình nón bằng tôn có bán kính bằng với bán kính của phần trụ (tham khảo như hình vẽ). Chiều cao của mái bằng một phần ba chiều cao của toàn bộ công trình. Chi phí mua lưới thép bằng 100 nghìn đồng mỗi mét vuông và chi phí mua mái tôn bằng 80 nghìn đồng mỗi mét vuông. Người nông dân muốn xây dựng một thùng chưa ngô như trên và yêu cầu thể tích của thùng là 
Chi phí tối thiểu mà người nông dân cần bỏ ra là bao nhiêu triệu đồng (chỉ tính tiền mua vật liệu bao xung quanh thùng ngô)
Chi phí tối thiểu mà người nông dân cần bỏ ra là bao nhiêu triệu đồng (chỉ tính tiền mua vật liệu bao xung quanh thùng ngô)
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một thùng chứa ngô được thiết kế bao gồm một phần hình trụ bằng lưới thép ở dưới và phía trên là mái hình nón bằng tôn có bán kính bằng với bán kính của phần trụ (tham khảo như hình vẽ).
- Chiều cao của mái bằng
chiều cao của toàn bộ công trình.
- Chi phí mua lưới thép bằng 100 nghìn đồng
và chi phí mua mái tôn bằng 80 nghìn đồng 
.
- Thể tích của thùng là
.
b) Yêu cầu:
- Chi phí tối thiểu mà người nông dân cần bỏ ra là bao nhiêu triệu đồng (chỉ tính tiền mua vật liệu bao xung quanh thùng ngô)
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng công thức thể tích, diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón.
- Lập hàm chi phí sau đó sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số tìm giá trị nhỏ nhất.
Phần 3. Giải chi tiết
Bước 1. Thiết lập hàm chi phí
Thể tích mái tôn hình nón là
Thể tích của phần trụ là
Thể tích của thùng là
nên ta có:
Diện tích xung quanh của hình nón là
Diện tích xung quanh của hình trụ là
.
Chi phí mà người nông dân cần bỏ ra là
Bước 2. Sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số tìm giá trị nhỏ nhất.
Đặt
là cực tiểu của hàm số đã cho.
nghìn đồng 
triệu đồng
Bước 3. Kết luận
Điền đáp án: 10,2.
a) Đề cho:
- Một thùng chứa ngô được thiết kế bao gồm một phần hình trụ bằng lưới thép ở dưới và phía trên là mái hình nón bằng tôn có bán kính bằng với bán kính của phần trụ (tham khảo như hình vẽ).
- Chiều cao của mái bằng
chiều cao của toàn bộ công trình. - Chi phí mua lưới thép bằng 100 nghìn đồng
và chi phí mua mái tôn bằng 80 nghìn đồng .
- Thể tích của thùng là
. b) Yêu cầu:
- Chi phí tối thiểu mà người nông dân cần bỏ ra là bao nhiêu triệu đồng (chỉ tính tiền mua vật liệu bao xung quanh thùng ngô)
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng công thức thể tích, diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón.
- Lập hàm chi phí sau đó sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số tìm giá trị nhỏ nhất.
Phần 3. Giải chi tiết
Bước 1. Thiết lập hàm chi phí
Thể tích mái tôn hình nón là
Thể tích của phần trụ là
Thể tích của thùng là
nên ta có:
Diện tích xung quanh của hình nón là
Diện tích xung quanh của hình trụ là
.
Chi phí mà người nông dân cần bỏ ra là
Bước 2. Sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số tìm giá trị nhỏ nhất.
Đặt
là cực tiểu của hàm số đã cho.
nghìn đồng triệu đồng
Bước 3. Kết luận
Điền đáp án: 10,2.
Câu 17 [1032418]: Một tên lửa bao gồm một phần hình trụ tròn đứng cao 
mét, phía trên là một hình nón có đường sinh gấp 
lần chiều cao và bán kính 
(mét) bằng với bán kính của phần trụ. Gọi 
(mét khối) là thể tích của của tên lửa (chỉ tính thể tích của phần khối trụ và khối nón) . Biết rằng diện tích xung quanh của tên lửa (chỉ tính diện tích xung quanh của phần hình nón và hình trụ) bằng 
Thể tích lớn nhất của tên lửa bằng bao nhiêu mét khối? Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
mét, phía trên là một hình nón có đường sinh gấp lần chiều cao và bán kính (mét) bằng với bán kính của phần trụ. Gọi (mét khối) là thể tích của của tên lửa (chỉ tính thể tích của phần khối trụ và khối nón) . Biết rằng diện tích xung quanh của tên lửa (chỉ tính diện tích xung quanh của phần hình nón và hình trụ) bằng Thể tích lớn nhất của tên lửa bằng bao nhiêu mét khối? Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một tên lửa bao gồm một phần hình trụ tròn đứng cao
mét, phía trên là một hình nón có đường sinh gấp 
lần chiều cao và bán kính 
(mét) bằng với bán kính của phần trụ.
- Gọi
(mét khối) là thể tích của của tên lửa.
- Diện tích xung quanh của tên lửa
.
b) Yêu cầu:
- Viết hàm
theo biến 
. (điền vào ô trống).
- Thể tích lớn nhất của tên lửa bằng bao nhiêu mét khối?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng công thức thể tích, diện tích xung quanh của hình trụ, hình nón.
- Dùng đạo hàm để khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất.
Phần 3. Giải chi tiết
a) Gọi đường sinh của hình nón là
, chiều cao của hình nón là 
.
Ta có:
Thể tích hình nón là
Diện tích xung quanh của tên lửa (chỉ tính diện tích xung quanh của phần hình nón và hình trụ) bằng
nên ta có:
Thể tích hình trụ là
.
b) Ta có:
là cực đại của hàm số 
.
Điền đáp án: 242.
a) Đề cho:
- Một tên lửa bao gồm một phần hình trụ tròn đứng cao
mét, phía trên là một hình nón có đường sinh gấp lần chiều cao và bán kính (mét) bằng với bán kính của phần trụ. - Gọi
(mét khối) là thể tích của của tên lửa.- Diện tích xung quanh của tên lửa
.b) Yêu cầu:
- Viết hàm
theo biến . (điền vào ô trống).- Thể tích lớn nhất của tên lửa bằng bao nhiêu mét khối?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng công thức thể tích, diện tích xung quanh của hình trụ, hình nón.
- Dùng đạo hàm để khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất.
Phần 3. Giải chi tiết
a) Gọi đường sinh của hình nón là
, chiều cao của hình nón là .Ta có:
Thể tích hình nón là
Diện tích xung quanh của tên lửa (chỉ tính diện tích xung quanh của phần hình nón và hình trụ) bằng
nên ta có: Thể tích hình trụ là
.b) Ta có:
là cực đại của hàm số .Điền đáp án: 242.