Câu 1 [1042381]: Một thực tế là khi một sợi dây mềm được quấn quanh một hình trụ nhám, một lực nhỏ có độ lớn 
ở một đầu có thể đối kháng một lực lớn có độ lớn 
ở đầu bên kia. Hình vẽ dưới đây cho thấy đồ thị của 
(tính bằng pound, kí hiệu 
) so với 
(tính bằng radian), trong đó 
là độ lớn của lực có thể bị cản lại bởi một lực có độ lớn 
đối với một sợi dây và hình trụ nhất định. Người ta chứng minh được rằng 
trong đó hằng số 
được gọi là hệ số ma sát.
ở một đầu có thể đối kháng một lực lớn có độ lớn ở đầu bên kia. Hình vẽ dưới đây cho thấy đồ thị của (tính bằng pound, kí hiệu ) so với (tính bằng radian), trong đó là độ lớn của lực có thể bị cản lại bởi một lực có độ lớn đối với một sợi dây và hình trụ nhất định. Người ta chứng minh được rằng trong đó hằng số được gọi là hệ số ma sát.
a) Đúng.
Dựa theo đồ thị ta thấy
b) Sai.
Ta có:
với 
c) Đúng.
Ta có:
d) Đúng.
Theo ý c) ta có:
Mà
Dựa theo đồ thị ta thấy
b) Sai.
Ta có:
với c) Đúng.
Ta có:
d) Đúng.
Theo ý c) ta có:
Mà
Câu 2 [1023979]: Đối với ngành nuôi trồng thủy sản, việc kiểm soát lượng thuốc tồn dư trong nước là một nhiệm vụ quan trọng nhằm đáp ứng các tiêu chuẩn an toàn về môi trường. Khi nghiên cứu một loại thuốc trị bệnh trong nuôi trồng thuỷ sản, người ta sử dụng thuốc đó một lần và theo dõi nồng độ thuốc tồn dư trong nước kể từ lúc sử dụng thuốc. Kết quả cho thấy nồng độ thuốc 
(đơn vị: mg/lít) tồn dư trong nước tại thời điểm 
ngày 
kể từ lúc sử dụng thuốc, thoả mãn 
và 
trong đó 
là hằng số khác không. Đo nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm 
(ngày); 
(ngày) nhận được kết quả lần lượt là 
mg/lít; 
mg/lít. Cho biết 
(đơn vị: mg/lít) tồn dư trong nước tại thời điểm ngày kể từ lúc sử dụng thuốc, thoả mãn và trong đó là hằng số khác không. Đo nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm (ngày); (ngày) nhận được kết quả lần lượt là mg/lít; mg/lít. Cho biết
Nội dung kiến thức:
Toán lớp 12(Tích phân).
Mức độ:
a) Thông hiểu; b) Thông hiểu; c) Thông hiểu; d) Vận dụng
Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Cách 1:
Thay
vào phương trình 
ta được 
Chia cả hai vế cho
ta được 
Cách 2:
Vì
nên 
Nguyên hàm hai vế ta được
Lại có
Đồng nhất với (1) suy ra
với 
là một hằng số xác định.
b) Đúng.
Từ giả thiết bài cho, ta có
c) Sai.
Từ kết quả phần b), ta có
d) Sai.
Từ kết quả phần b), c) ta có
Nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại thời điểm
(ngày) bằng 
Toán lớp 12(Tích phân).
Mức độ:
a) Thông hiểu; b) Thông hiểu; c) Thông hiểu; d) Vận dụng
Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Cách 1:
Thay
vào phương trình ta được Chia cả hai vế cho
ta được Cách 2:
Vì
nên Nguyên hàm hai vế ta được
Lại có
Đồng nhất với (1) suy ra
với là một hằng số xác định.b) Đúng.
Từ giả thiết bài cho, ta có
c) Sai.
Từ kết quả phần b), ta có
d) Sai.
Từ kết quả phần b), c) ta có
Nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại thời điểm
(ngày) bằng
Câu 3 [1042382]: Để đánh giá khả năng hiếu khí của một người trên 10 tuổi, các nhà khoa học đã xây dựng mô hình 
với 
là khả năng hiếu khí của một người 
tuổi 
. Biết rằng khả năng hiếu khí trung bình trong độ tuổi từ 
(tuổi) đến 
(tuổi) được tính bởi công thức 
với là khả năng hiếu khí của một người tuổi . Biết rằng khả năng hiếu khí trung bình trong độ tuổi từ (tuổi) đến (tuổi) được tính bởi công thức
a) Sai.
b) Đúng.
c) Sai.
d) Sai.
b) Đúng.
c) Sai.
d) Sai.
Câu 4 [1042383]: Giá 
(đô la) của mỗi đơn vị hàng hóa nhất định được ước tính thay đổi với tốc độ 
trong đó 
(trăm) đơn vị là nhu cầu của người tiêu dùng (số lượng đơn vị được mua với giá đó). Giả sử có 400 đơn vị 
được yêu cầu khi giá là 30 đô la/đơn vị. Có bao nhiêu đơn vị được yêu cầu với giá 20 đô la/đơn vị (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
(đô la) của mỗi đơn vị hàng hóa nhất định được ước tính thay đổi với tốc độ trong đó (trăm) đơn vị là nhu cầu của người tiêu dùng (số lượng đơn vị được mua với giá đó). Giả sử có 400 đơn vị được yêu cầu khi giá là 30 đô la/đơn vị. Có bao nhiêu đơn vị được yêu cầu với giá 20 đô la/đơn vị (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Giá
(đô la) của mỗi đơn vị hàng hóa nhất định được ước tính thay đổi với tốc độ 
trong đó 
(trăm) đơn vị là nhu cầu của người tiêu dùng (số lượng đơn vị được mua với giá đó).
- Giả sử có 400 đơn vị (
) được yêu cầu khi giá là 30 đô la/đơn vị.
b) Yêu cầu:
- Có bao nhiêu đơn vị được yêu cầu với giá 20 đô la/đơn vị?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tìm nguyên hàm của
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
Mà
trăm 
Điền đáp án: 409.
a) Đề cho:
- Giá
(đô la) của mỗi đơn vị hàng hóa nhất định được ước tính thay đổi với tốc độ trong đó (trăm) đơn vị là nhu cầu của người tiêu dùng (số lượng đơn vị được mua với giá đó). - Giả sử có 400 đơn vị (
) được yêu cầu khi giá là 30 đô la/đơn vị. b) Yêu cầu:
- Có bao nhiêu đơn vị được yêu cầu với giá 20 đô la/đơn vị?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tìm nguyên hàm của
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
Mà
trăm Điền đáp án: 409.
Câu 5 [703002]: Trên một mặt hồ phẳng rộng 
mét vuông, một đợt tảo lam độc hại phát triển với tốc độ tỷ lệ thuận với căn bậc hai kích thước hiện tại của nó. Nếu ta gọi 
là diện tích của đợt tảo này sau 
ngày thì 
(trong đó 
là hằng số thực).
Khi mới phát hiện, đợt tảo này bao phủ
mặt hồ. Diện tích của nó tăng gấp đôi trong 
ngày tiếp theo, hỏi sau bao ngày tính từ lúc phát hiện đợt tảo này phủ kín mặt hồ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
mét vuông, một đợt tảo lam độc hại phát triển với tốc độ tỷ lệ thuận với căn bậc hai kích thước hiện tại của nó. Nếu ta gọi là diện tích của đợt tảo này sau ngày thì (trong đó là hằng số thực).Khi mới phát hiện, đợt tảo này bao phủ
mặt hồ. Diện tích của nó tăng gấp đôi trong ngày tiếp theo, hỏi sau bao ngày tính từ lúc phát hiện đợt tảo này phủ kín mặt hồ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Điền đáp án: 32.
Ta có
Theo giả thiết, ta có
Suy ra
Để tảo phủ kín mặt hồ thì
Vậy sau 32 ngày thì tảo sẽ phủ kín mặt hồ.
Ta có
Theo giả thiết, ta có
Suy ra
Để tảo phủ kín mặt hồ thì
Vậy sau 32 ngày thì tảo sẽ phủ kín mặt hồ.
Câu 6 [1042384]: Trong một số phản ứng của một chất trong cơ thể, tốc độ thay đổi lượng chất theo thời gian tỷ lệ thuận với lượng chất hiện có. Đối với sự chuyển hóa của thuốc trong máu bệnh nhân, nếu 
là lượng thuốc trong máu bệnh nhân sau 
giờ kể từ lúc tiêm thuốc thì ta có phương trình 
. Ban đầu bệnh nhân đó được tiêm thuốc vào máu với nồng độ 100 (mg/L), sau bao nhiêu phút thì nồng độ thuốc trong máu giảm còn 50 (mg/L) (làm tròn
kết quả đến hàng phần mười)?
là lượng thuốc trong máu bệnh nhân sau giờ kể từ lúc tiêm thuốc thì ta có phương trình . Ban đầu bệnh nhân đó được tiêm thuốc vào máu với nồng độ 100 (mg/L), sau bao nhiêu phút thì nồng độ thuốc trong máu giảm còn 50 (mg/L) (làm tròn
kết quả đến hàng phần mười)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Nếu
là lượng thuốc trong máu bệnh nhân sau 
giờ kể từ lúc tiêm thuốc thì ta có phương trình 
- Ban đầu bệnh nhân đó được tiêm thuốc vào máu với nồng độ
b) Yêu cầu:
- Sau bao nhiêu phút thì nồng độ thuốc trong máu giảm còn
?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng nguyên hàm để tìm
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
Mà
+)
giờ 
phút.
Điền đáp án: 69,3.
a) Đề cho:
- Nếu
là lượng thuốc trong máu bệnh nhân sau giờ kể từ lúc tiêm thuốc thì ta có phương trình - Ban đầu bệnh nhân đó được tiêm thuốc vào máu với nồng độ
b) Yêu cầu:
- Sau bao nhiêu phút thì nồng độ thuốc trong máu giảm còn
?Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng nguyên hàm để tìm
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
Mà
+)
giờ phút.Điền đáp án: 69,3.
Câu 7 [1042385]: Khi lặn dưới biển càng sâu thì cường độ của ánh sáng càng giảm. Một thợ lặn nếu lặn ở độ sâu 
mét dưới bề mặt đại dương thì cường độ ánh sáng 
tại vị trí đó thỏa mãn phương trình vi phân 
với 
Với kinh nghiệm lặn của anh ta thì khi lặn xuống độ sâu 6 mét thì cường độ ánh sáng giảm đi một nửa so với cường độ ánh sáng ở ngang mực nước biển. Thợ lặn ở độ sâu bao nhiêu mét thì sẽ có cường độ ánh sáng giảm còn 70% so với cường độ ánh sáng ở ngang mực nước biển (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
mét dưới bề mặt đại dương thì cường độ ánh sáng tại vị trí đó thỏa mãn phương trình vi phân với Với kinh nghiệm lặn của anh ta thì khi lặn xuống độ sâu 6 mét thì cường độ ánh sáng giảm đi một nửa so với cường độ ánh sáng ở ngang mực nước biển. Thợ lặn ở độ sâu bao nhiêu mét thì sẽ có cường độ ánh sáng giảm còn 70% so với cường độ ánh sáng ở ngang mực nước biển (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Nếu lặn ở độ sâu
mét dưới bề mặt đại dương thì cường độ ảnh sáng 
tại vị trí đó thỏa mãn 
với 
- Khi lặn xuống độ sâu 6 mét thì cường độ ánh sáng giảm đi một nửa so với cường độ ánh sáng ở ngang mực nước biển.
b) Yêu cầu:
- Thợ lặn ở độ sâu bao nhiêu mét thì sẽ có cường độ ánh sáng giảm còn
so với cường độ ánh sáng ở ngang mực nước biển?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng nguyên hàm để tìm
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
(
là cường độ ánh sáng ở ngang mực nước biển)
Mà
Điền đáp án: 3,09.
a) Đề cho:
- Nếu lặn ở độ sâu
mét dưới bề mặt đại dương thì cường độ ảnh sáng tại vị trí đó thỏa mãn với - Khi lặn xuống độ sâu 6 mét thì cường độ ánh sáng giảm đi một nửa so với cường độ ánh sáng ở ngang mực nước biển.
b) Yêu cầu:
- Thợ lặn ở độ sâu bao nhiêu mét thì sẽ có cường độ ánh sáng giảm còn
so với cường độ ánh sáng ở ngang mực nước biển?Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng nguyên hàm để tìm
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
( là cường độ ánh sáng ở ngang mực nước biển) Mà
Điền đáp án: 3,09.
Sử dụng thông tin sau để trả lời Câu 8, 9 và 10:
Một con tàu từ trạng thái nghỉ di chuyển trên biển với quỹ đạo là một đường thẳng. Sau t giây kể từ lúc tàu bắt đầu di chuyển, quãng đường tàu đi được là s(t) mét và tốc độ tại thời điểm đó là v(t) (m/s). Mối liên hệ giữa quãng đường và tốc độ được cho như sau: Với 100 mét đầu di chuyển ta có v2 (t) = 4s(t) (1), trên quãng đường 100 mét đến 400 mét tiếp theo ta có v(t) = 0,2s(t).
Câu 8 [1042386]: Phương trình quãng đường vật đi được theo phương trình (1) là
A, 
B, 
C, 
D, 
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một con tàu từ trạng thái nghỉ di chuyển trên biển với quỹ đạo là một đường thẳng.
- Với 100 mét đầu di chuyển ta có
(1), trên quãng đường 100 mét đến 400 mét tiếp theo ta có 
b) Yêu cầu: Phương trình quãng đường vật đi được theo phương trình (1) là
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng nguyên hàm.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
Mà
Chọn đáp án A. Đáp án: A
a) Đề cho:
- Một con tàu từ trạng thái nghỉ di chuyển trên biển với quỹ đạo là một đường thẳng.
- Với 100 mét đầu di chuyển ta có
(1), trên quãng đường 100 mét đến 400 mét tiếp theo ta có b) Yêu cầu: Phương trình quãng đường vật đi được theo phương trình (1) là
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng nguyên hàm.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
Mà
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 9 [1042387]: Thời gian con tàu di chuyển từ trạng thái nghỉ cho đến khi dừng hẳn bằng bao nhiêu giây (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một con tàu từ trạng thái nghỉ di chuyển trên biển với quỹ đạo là một đường thẳng.
- Với 100 mét đầu di chuyển ta có
(1), trên quãng đường 100 mét đến 400 mét tiếp theo ta có 
b) Yêu cầu: Thời gian con tàu di chuyển từ trạng thái nghỉ cho đến khi dừng hẳn bằng bao nhiêu giây?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng nguyên hàm.
Phần 3. Giải chi tiết
Theo câu 8 [1042386] ta có:
Gọi
lần lượt là thời gian đi hết quãng đường 100 mét đầu tiên, từ 100 mét đến 400 mét
Thời gian đi hết quãng đường 100 mét đầu tiên là
Ta có:
Mà
Thời gian đi hết quãng đường từ 100 mét đến 400 mét là
Điền đáp án: 16,9.
a) Đề cho:
- Một con tàu từ trạng thái nghỉ di chuyển trên biển với quỹ đạo là một đường thẳng.
- Với 100 mét đầu di chuyển ta có
(1), trên quãng đường 100 mét đến 400 mét tiếp theo ta có b) Yêu cầu: Thời gian con tàu di chuyển từ trạng thái nghỉ cho đến khi dừng hẳn bằng bao nhiêu giây?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng nguyên hàm.
Phần 3. Giải chi tiết
Theo câu 8 [1042386] ta có:
Gọi
lần lượt là thời gian đi hết quãng đường 100 mét đầu tiên, từ 100 mét đến 400 métThời gian đi hết quãng đường 100 mét đầu tiên là
Ta có:
Mà
Thời gian đi hết quãng đường từ 100 mét đến 400 mét là
Điền đáp án: 16,9.
Câu 10 [1042388]: Tốc độ của con tàu tại thời điểm di chuyển được 15 giây bằng bao nhiêu m/s (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một con tàu từ trạng thái nghỉ di chuyển trên biển với quỹ đạo là một đường thẳng.
- Với 100 mét đầu di chuyển ta có
(1), trên quãng đường 100 mét đến 400 mét tiếp theo ta có 
.
b) Yêu cầu:
- Tốc độ của con tàu tại thời điểm di chuyển được 15 giây bằng bao nhiêu
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng đạo hàm.
Phần 3. Giải chi tiết
Điền đáp án: 54,4.
Theo câu 9 [1042387]: ta có
a) Đề cho:
- Một con tàu từ trạng thái nghỉ di chuyển trên biển với quỹ đạo là một đường thẳng.
- Với 100 mét đầu di chuyển ta có
(1), trên quãng đường 100 mét đến 400 mét tiếp theo ta có .
b) Yêu cầu:
- Tốc độ của con tàu tại thời điểm di chuyển được 15 giây bằng bao nhiêu
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng đạo hàm.
Phần 3. Giải chi tiết
Điền đáp án: 54,4.
Theo câu 9 [1042387]: ta có
Câu 11 [775940]: Một bể nước hình hộp chữ nhật cao 1 m và có đáy là hình vuông cạnh 
Ban đầu bể đầy nước. Người ta mở một cái vòi ở đáy, nước chảy ra với tốc độ tỷ lệ thuận với căn bậc hai của độ cao của nước tại bất kì thời điểm nào. Giả sử độ cao của nước trong bể tại thời điểm 
là 
và 
là thể tích của nước hiện tại sau 
phút mở vòi thì ta có 
Biết rằng, mực nước giảm 19 cm sau 2 phút, hỏi sau bao nhiêu phút thì bể cạn nước.
Ban đầu bể đầy nước. Người ta mở một cái vòi ở đáy, nước chảy ra với tốc độ tỷ lệ thuận với căn bậc hai của độ cao của nước tại bất kì thời điểm nào. Giả sử độ cao của nước trong bể tại thời điểm là và là thể tích của nước hiện tại sau phút mở vòi thì ta có Biết rằng, mực nước giảm 19 cm sau 2 phút, hỏi sau bao nhiêu phút thì bể cạn nước.
Điền đáp án: 20.
Vì bể nước có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao
và có đáy luôn là hình vuông cạnh 2 m nên thể tích của hình hộp tại thời điểm 
là 
Suy ra
Ta có
Nguyên hàm 2 vế, ta được
Ta có độ cao của nước tại thời điểm ban đầu bằng 1 m tức
nên ta có 
Suy ra
Lại có, sau 2 phút, mực nước giảm 19 cm (hay 0,19 m) thì độ cao của nước trong bể bằng
nên ta có 
Vậy
Bể cạn nước khi chiều cao của nước trong bể bằng 0 hay
Vậy sau 20 phút thì bể cạn nước.
Vì bể nước có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao
và có đáy luôn là hình vuông cạnh 2 m nên thể tích của hình hộp tại thời điểm là
Suy ra
Ta có
Nguyên hàm 2 vế, ta được
Ta có độ cao của nước tại thời điểm ban đầu bằng 1 m tức
nên ta có
Suy ra
Lại có, sau 2 phút, mực nước giảm 19 cm (hay 0,19 m) thì độ cao của nước trong bể bằng
nên ta có
Vậy
Bể cạn nước khi chiều cao của nước trong bể bằng 0 hay
Vậy sau 20 phút thì bể cạn nước.
Câu 12 [696436]: Theo định luật Torricelli tốc độ mà một bể chứa nước thoát nước tỷ lệ thuận với căn bậc hai độ sâu của chất lỏng trong bể trên mức của cống thoát nước: nếu 
là thể tích chất lỏng đã thoát ra tại thời điểm 
và 
là chiều cao của mặt chất lỏng trên cống thoát nước, thì 
. Đối với một bể hình trụ có chiều cao bằng 9 m và bán kính bằng 2 m. Giả sử ống thoát nước nằm ở đáy bể và bể ban đầu đầy nước. Sau 15 phút độ sâu của nước bằng 4 m. Sau 42 phút, thể tích chất lỏng còn lại trong bể bằng bao nhiêu lít (làm tròn kết quả đến đơn vị)?
là thể tích chất lỏng đã thoát ra tại thời điểm và là chiều cao của mặt chất lỏng trên cống thoát nước, thì . Đối với một bể hình trụ có chiều cao bằng 9 m và bán kính bằng 2 m. Giả sử ống thoát nước nằm ở đáy bể và bể ban đầu đầy nước. Sau 15 phút độ sâu của nước bằng 4 m. Sau 42 phút, thể tích chất lỏng còn lại trong bể bằng bao nhiêu lít (làm tròn kết quả đến đơn vị)?
Điền đáp án: 
Ta có bán kính hình trụ (bán kính
chiều cao 
), ban đầu mực nước cao bằng miệng bể (tức 
so với lỗ thoát ở đáy).
Định luật Torricelli dạng thể tích thoát ra là
Thể tích nước còn lại là
Thể tích đã chảy ra:
Suy ra:
Đặt hằng số
ta được 
Ta có phương trình :
(vì 
)
Tích phân 2 vế ta được:
Ban đầu,
thay vào phương trình trên ta được: 
x
Sau 15 phút, mực nước còn 4m:
Ta giải được
Vậy thể tích chất lỏng còn lại trong bể là :
lít.
Ta có bán kính hình trụ (bán kính
chiều cao ), ban đầu mực nước cao bằng miệng bể (tức so với lỗ thoát ở đáy). Định luật Torricelli dạng thể tích thoát ra là
Thể tích nước còn lại là
Thể tích đã chảy ra:
Suy ra:
Đặt hằng số
ta được Ta có phương trình :
(vì )Tích phân 2 vế ta được:
Ban đầu,
thay vào phương trình trên ta được: xSau 15 phút, mực nước còn 4m:
Ta giải được
Vậy thể tích chất lỏng còn lại trong bể là :
lít.
Câu 13 [1042389]: Một máy bay di chuyển trên đường băng bắt đầu chuyển động từ trạng thái nghỉ và tăng tốc theo công thức 
, trong đó a là gia tốc của vật đơn vị 
, v là tốc độ của vật đơn vị m/s tại thời điểm t giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Bỏ qua lực cản và ma sát trong quá trình chuyển động. Quãng đường mà máy bay đã đi được kể từ thời điểm ban đầu đến khi đạt tốc độ 270 km/h bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
, trong đó a là gia tốc của vật đơn vị , v là tốc độ của vật đơn vị m/s tại thời điểm t giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Bỏ qua lực cản và ma sát trong quá trình chuyển động. Quãng đường mà máy bay đã đi được kể từ thời điểm ban đầu đến khi đạt tốc độ 270 km/h bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một máy bay di chuyển trên đường băng bắt đầu chuyển động từ trạng thái nghỉ và tăng tốc theo công thức
trong đó 
là gia tốc của vật đơn vị 
là tốc độ của vật đơn vị 
tại thời điểm 
giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động.
b) Yêu cầu:
- Quãng đường mà máy bay đã đi được kể từ thời điểm ban đầu đến khi đạt tốc độ
bằng bao nhiêu mét?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tìm mối quan hệ giữa quãng đường và vận tốc dựa vào đạo hàm.
Phần 3. Giải chi tiết
Đổi
Ta có:
Điền đáp án: 1492.
a) Đề cho:
- Một máy bay di chuyển trên đường băng bắt đầu chuyển động từ trạng thái nghỉ và tăng tốc theo công thức
trong đó là gia tốc của vật đơn vị là tốc độ của vật đơn vị tại thời điểm giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động. b) Yêu cầu:
- Quãng đường mà máy bay đã đi được kể từ thời điểm ban đầu đến khi đạt tốc độ
bằng bao nhiêu mét?Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tìm mối quan hệ giữa quãng đường và vận tốc dựa vào đạo hàm.
Phần 3. Giải chi tiết
Đổi
Ta có:
Điền đáp án: 1492.
Câu 14 [1042390]: Một chiếc ô tô đang di chuyển trên đường thì thấy một vũng lầy, tại thời điểm t giây kể từ khi bắt đầu vào vũng lầy, tốc độ v (m/s) của nó giảm khi tọa độ vị trí s (mét) tăng theo mối quan hệ 
, trong đó k là một hằng số. Tại thời điểm 
, vật có tốc độ là 5 m/s và tọa độ vị trí của nó là 25 mét. Hãy xác định tốc độ của xe ô tô tại thời điểm 
giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị m/s).
, trong đó k là một hằng số. Tại thời điểm , vật có tốc độ là 5 m/s và tọa độ vị trí của nó là 25 mét. Hãy xác định tốc độ của xe ô tô tại thời điểm giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị m/s).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một chiếc ô tô đang di chuyển trên đường thì thấy một vũng lầy, tại thời điểm t giây kể từ khi bắt đầu vào vũng lầy, tốc độ
của nó giảm khi tọa độ vị trí 
(mét) tăng theo mối quan hệ 
trong đó 
là một hằng số.
- Tại thời điểm
vật có tốc độ là 
và tọa độ vị trí của nó là 25 mét.
b) Yêu cầu:
- Hãy xác định tốc độ của xe ô tô tại thời điểm
giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị 
)
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng nguyên hàm để tìm hàm
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
Mà
Mà
Điền đáp án: 4,04.
a) Đề cho:
- Một chiếc ô tô đang di chuyển trên đường thì thấy một vũng lầy, tại thời điểm t giây kể từ khi bắt đầu vào vũng lầy, tốc độ
của nó giảm khi tọa độ vị trí (mét) tăng theo mối quan hệ trong đó là một hằng số. - Tại thời điểm
vật có tốc độ là và tọa độ vị trí của nó là 25 mét. b) Yêu cầu:
- Hãy xác định tốc độ của xe ô tô tại thời điểm
giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị )Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng nguyên hàm để tìm hàm
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
Mà
Mà
Điền đáp án: 4,04.
Câu 15 [1042391]: Một loại kháng sinh được tiêm trực tiếp vào máu bệnh nhân với hàm lượng 
. Khi thuốc lưu thông qua cơ thể bệnh nhân và tác động lên vi khuẩn, nó bị loại bỏ khỏi máu với tốc độ tỷ lệ thuận với lượng thuốc trong máu tại thời điểm đó. Vì lượng máu trong cơ thể bệnh nhân không thay đổi, điều này có nghĩa là nồng độ 
(đơn vị 
) của kháng sinh trong máu được mô phỏng bởi phương trình vi phân: 
, 
tính bằng giờ kể từ lúc tiêm thuốc, 
Ước tính thể tích máu bệnh nhân bằng 5 lít.
. Khi thuốc lưu thông qua cơ thể bệnh nhân và tác động lên vi khuẩn, nó bị loại bỏ khỏi máu với tốc độ tỷ lệ thuận với lượng thuốc trong máu tại thời điểm đó. Vì lượng máu trong cơ thể bệnh nhân không thay đổi, điều này có nghĩa là nồng độ (đơn vị ) của kháng sinh trong máu được mô phỏng bởi phương trình vi phân: , tính bằng giờ kể từ lúc tiêm thuốc, Ước tính thể tích máu bệnh nhân bằng 5 lít.
a) Sai.
Hàm lượng ban đầu là
và thể tích máu bệnh nhân bằng 5 lít nên nồng độ ban đầu là 
( không phải hằng số 
)
b) Sai.
Mà
Vô lý vì 
c) Đúng.
Do
d) Sai.
Ta có:
Mà
Mà
Hàm lượng ban đầu là
và thể tích máu bệnh nhân bằng 5 lít nên nồng độ ban đầu là ( không phải hằng số )b) Sai.
Mà
Vô lý vì c) Đúng.
Do
d) Sai.
Ta có:
Mà
Mà
Câu 16 [861999]: Vì nước và dầu không hoà tan vào nhau nên nếu dầu đổ vào nước sẽ tạo thành một mảng hình trụ trên bề mặt nước. Bán kính 
của mảng này lan ra với tốc độ tỉ lệ thuận với chiều cao 
của mảng dầu. Giả sử một lít dầu bị đổ trên mặt hồ tĩnh lặng. Bán kính ban đầu của vết tràn là 20 cm và sau 2 giây nó tăng lên 50 cm. Hỏi sau bao nhiêu phút (làm tròn đến hàng phần mười) thì bán kính vết tràn đạt 5 mét?
của mảng này lan ra với tốc độ tỉ lệ thuận với chiều cao của mảng dầu. Giả sử một lít dầu bị đổ trên mặt hồ tĩnh lặng. Bán kính ban đầu của vết tràn là 20 cm và sau 2 giây nó tăng lên 50 cm. Hỏi sau bao nhiêu phút (làm tròn đến hàng phần mười) thì bán kính vết tràn đạt 5 mét?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số + Ứng dụng của tích phân).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Vì mảng dầu này lan có dạng hình trụ, nên ta có thể tích khối dầu
(thể tích này là không đổi)
Bán kính
của mảng dầu lan ra với tốc độ 
mà tốc độ lan ra 
tỉ lệ thuận với chiều cao 
của mảng dầu nên theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có 
Thay
vào biểu thức (*) ta được 
Vì
là 1 đại lượng không đổi nên đặt 
Khi đó
Nguyên hàm 2 vế, ta được
Từ giả thiết: bán kính ban đầu của vết tràn là 20 cm và sau 2 giây nó tăng lên 50 cm, ta có hệ phương trình
Đổi
Bán kính vết tràn đạt 4 m tương đương với
35,6 phút.
Điền đáp án: 35,6.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Vì mảng dầu này lan có dạng hình trụ, nên ta có thể tích khối dầu
(thể tích này là không đổi)Bán kính
của mảng dầu lan ra với tốc độ mà tốc độ lan ra tỉ lệ thuận với chiều cao của mảng dầu nên theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có Thay
vào biểu thức (*) ta được Vì
là 1 đại lượng không đổi nên đặt Khi đó
Nguyên hàm 2 vế, ta được
Từ giả thiết: bán kính ban đầu của vết tràn là 20 cm và sau 2 giây nó tăng lên 50 cm, ta có hệ phương trình
Đổi
Bán kính vết tràn đạt 4 m tương đương với
35,6 phút.Điền đáp án: 35,6.
Câu 17 [1042392]: Hình vẽ sau mô tả một con thuyền đang kéo một người đàn ông trượt ván bằng một đoạn dây dài 
mét. Xét trên hệ trục 
(đơn vị trên các hệ trục bằng mét), ban đầu con thuyền đang ở gốc tọa độ và di chuyển trên tia 
người đàn ông xuất phát từ điểm có tọa độ 
bị kéo theo và quãng đường di chuyển tạo thành một đường cong 
(tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng trong quá trình di chuyển, người đàn ông luôn hướng về phía thuyền, đoạn dây luôn căng và nằm trên tiếp tuyến của đường cong 
Tính 
(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
mét. Xét trên hệ trục (đơn vị trên các hệ trục bằng mét), ban đầu con thuyền đang ở gốc tọa độ và di chuyển trên tia người đàn ông xuất phát từ điểm có tọa độ bị kéo theo và quãng đường di chuyển tạo thành một đường cong (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng trong quá trình di chuyển, người đàn ông luôn hướng về phía thuyền, đoạn dây luôn căng và nằm trên tiếp tuyến của đường cong Tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Hình vẽ sau mô tả một con thuyền đang kéo một người đàn ông trượt ván bằng một đoạn dây dài 9 mét.
- Ban đầu con thuyền đang ở gốc tọa độ và di chuyển trên tia
người đàn ông xuất phát từ điểm có tọa độ 
bị kéo theo và quãng đường di chuyển tạo thành một đường cong 
.
- Trong quá trình di chuyển, người đàn ông luôn hướng về phía thuyền, đoạn dây luôn căng và nằm trên tiếp tuyến của đường cong
b) Yêu cầu:
- Tính
(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dựa vào dữ kiện đoạn dây dài 9 mét đẻ tìm mối quan hệ giữa tọa độ của người trượt và tàu kéo.
Phần 3. Giải chi tiết
Gọi vị trí của người trượt là
Tàu nằm trên trục
có tọa độ là 
Vì đoạn đây luôn được kéo căng và có độ dài là 9 mét
Đoạn dây nằm trên tiếp tuyến tại
nên hệ số góc của đoạn 
là
Mà
Điền đáp án: 7,38.
a) Đề cho:
- Hình vẽ sau mô tả một con thuyền đang kéo một người đàn ông trượt ván bằng một đoạn dây dài 9 mét.
- Ban đầu con thuyền đang ở gốc tọa độ và di chuyển trên tia
người đàn ông xuất phát từ điểm có tọa độ bị kéo theo và quãng đường di chuyển tạo thành một đường cong .- Trong quá trình di chuyển, người đàn ông luôn hướng về phía thuyền, đoạn dây luôn căng và nằm trên tiếp tuyến của đường cong
b) Yêu cầu:
- Tính
(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dựa vào dữ kiện đoạn dây dài 9 mét đẻ tìm mối quan hệ giữa tọa độ của người trượt và tàu kéo.
Phần 3. Giải chi tiết
Gọi vị trí của người trượt là
Tàu nằm trên trục
có tọa độ là Vì đoạn đây luôn được kéo căng và có độ dài là 9 mét
Đoạn dây nằm trên tiếp tuyến tại
nên hệ số góc của đoạn làMà
Điền đáp án: 7,38.
Câu 18 [702664]: Trong mạch 
cường độ dòng điện 
ampe luôn tăng và thay đổi thoả mãn: 
trong đó 
là độ tự cảm tính bằng henry, 
là điện trở tính bằng ôm, 
là độ giảm điện áp tính bằng vôn và 
là thời gian tính bằng giây.
Giả sử
và 
Tại thời điểm 
cường độ dòng điện 
Ta coi rằng khi 
thì cường độ dòng điện tiến tới giá trị giới hạn của nó. Hỏi sau bao nhiêu giây cường độ dòng điện đạt tới 
% giá trị giới hạn của nó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
cường độ dòng điện ampe luôn tăng và thay đổi thoả mãn: trong đó là độ tự cảm tính bằng henry, là điện trở tính bằng ôm, là độ giảm điện áp tính bằng vôn và là thời gian tính bằng giây.Giả sử
và Tại thời điểm cường độ dòng điện Ta coi rằng khi thì cường độ dòng điện tiến tới giá trị giới hạn của nó. Hỏi sau bao nhiêu giây cường độ dòng điện đạt tới % giá trị giới hạn của nó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Điền đáp án: 0,14.
Theo giả thiết ta có:
Thay số vào (*) ta có:
Lại có
ampe luôn tăng nên ta suy ra 
Ta có:
mà 
Ta có:
Với
thì 
Vậy
(s).
Theo giả thiết ta có:
Thay số vào (*) ta có:
Lại có
ampe luôn tăng nên ta suy ra Ta có:
mà Ta có:
Với
thì Vậy
(s).
Câu 19 [696346]: Một quân nhân đang ở trong một chiếc xe tăng 
(loại quân sự) di chuyển dọc theo trục 
về phía gốc tọa độ. Tại thời điểm xe cách gốc tọa độ 4 km, và 10 phút sau xe cách gốc tọa độ 2 km. Tốc độ của xe (km/h) tỉ lệ nghịch với khoảng cách của xe (km) đến gốc tọa độ. Biết rằng một xe tăng địch đang chờ ở tại điểm 
trên trục 
nhưng có một bức tường cao dọc theo đường cong (tất cả khoảng cách tính bằng km) ngăn cản bạn nhìn thấy vị trí chính xác của nó. Tại thời điểm đầu tiên quân địch phát hiện xe tăng, tốc độ của xe tăng 
bằng bao nhiêu km/h (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
(loại quân sự) di chuyển dọc theo trục về phía gốc tọa độ. Tại thời điểm xe cách gốc tọa độ 4 km, và 10 phút sau xe cách gốc tọa độ 2 km. Tốc độ của xe (km/h) tỉ lệ nghịch với khoảng cách của xe (km) đến gốc tọa độ. Biết rằng một xe tăng địch đang chờ ở tại điểm trên trục nhưng có một bức tường cao dọc theo đường cong (tất cả khoảng cách tính bằng km) ngăn cản bạn nhìn thấy vị trí chính xác của nó. Tại thời điểm đầu tiên quân địch phát hiện xe tăng, tốc độ của xe tăng bằng bao nhiêu km/h (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Điền đáp án: 27,0.
Ta có đường cong
Xét tại thời điểm đầu tiên quân địch phát hiện xe tăng ta có phương trình tiếp tuyến của đường cong
có dạng:
Ta có tiếp tuyến đi qua điểm
điểm xe địch đứng
Tọa độ vị trí xe tăng ta lúc địch thấy tại điểm
là quãng đường xe đi, 
là khoảng cách từ xe đến O.
+
Ta có đường cong
Xét tại thời điểm đầu tiên quân địch phát hiện xe tăng ta có phương trình tiếp tuyến của đường cong
có dạng:Ta có tiếp tuyến đi qua điểm
điểm xe địch đứngTọa độ vị trí xe tăng ta lúc địch thấy tại điểm
là quãng đường xe đi, là khoảng cách từ xe đến O. +
Câu 20 [696488]: Định luật làm mát của Newton phát biểu rằng tốc độ làm mát của một vật tỉ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa vật đó và môi trường xung quanh, với điều kiện là chênh lệch này không quá lớn. Giả sử 
là nhiệt độ của vật thể (đơn vị: độ C) tại thời điểm 
(đơn vị: giờ) và 
là nhiệt độ của môi trường xung quanh, chênh lệch giữa nhiệt độ của vật thể và môi trường xung quanh là 
thì 
với 
là hằng số. Lúc 8 giờ sáng, nhiệt độ của một xác chết là 13°C. Đến 11 giờ sáng, nhiệt độ đã giảm xuống còn 9°C. Biết rằng nhiệt độ của một cơ thể sống là 37°C và nhiệt độ môi trường xung quanh không đổi ở mức 5°C. Hỏi lúc 11 giờ sáng, nạn nhân đã tử vong được bao nhiêu giờ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
là nhiệt độ của vật thể (đơn vị: độ C) tại thời điểm (đơn vị: giờ) và là nhiệt độ của môi trường xung quanh, chênh lệch giữa nhiệt độ của vật thể và môi trường xung quanh là thì với là hằng số. Lúc 8 giờ sáng, nhiệt độ của một xác chết là 13°C. Đến 11 giờ sáng, nhiệt độ đã giảm xuống còn 9°C. Biết rằng nhiệt độ của một cơ thể sống là 37°C và nhiệt độ môi trường xung quanh không đổi ở mức 5°C. Hỏi lúc 11 giờ sáng, nạn nhân đã tử vong được bao nhiêu giờ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Điền đáp án: 9.
Do
với 
là hằng số, lấy tích phân với cận từ 0 đến 
hai vế ta được 
Do đó,
hay 
Theo đề bài ta có:
Ta gọi
là khoảng thời gian từ lúc người đó chết đến 11h.
Chia vế cho vế ta được
Vậy lúc 11 giờ sáng, nạn nhân đã tử vong được 9 giờ.
Do
với là hằng số, lấy tích phân với cận từ 0 đến hai vế ta được Do đó,
hay Theo đề bài ta có:
Ta gọi
là khoảng thời gian từ lúc người đó chết đến 11h.Chia vế cho vế ta được
Vậy lúc 11 giờ sáng, nạn nhân đã tử vong được 9 giờ.
Câu 21 [703097]: Khi kim loại thiếc được giữ ở nhiệt độ dưới 
nó dần trở nên giòn và vỡ vụn thành bột màu xám. Các vật thể bằng thiếc cuối cùng sẽ tự vỡ vụn thành bột màu xám này nếu được giữ trong khí hậu lạnh trong nhiều năm. Người châu Âu, khi nhìn thấy các ống organ bằng thiếc trong nhà thờ của họ bị vỡ vụn cách đây nhiều năm, đã gọi hiện tượng này là bệnh dịch thiếc vì nó dường như lây lan, và quả thật là như vậy, vì bột màu xám là chất xúc tác cho sự hình thành của chính nó. Chất xúc tác cho một phản ứng hóa học là một chất điều khiển tốc độ phản ứng mà không trải qua bất kỳ sự thay đổi vĩnh viễn nào trong chính nó. Một phản ứng tự xúc tác là phản ứng có sản phẩm là chất xúc tác cho sự hình thành của chính nó. Phản ứng như vậy có thể diễn ra chậm ban đầu nếu lượng chất xúc tác hiện diện nhỏ và lại chậm dần vào cuối, khi hầu hết chất ban đầu đã được sử dụng hết. Nhưng ở giữa, khi cả chất và sản phẩm xúc tác của nó đều dồi dào, phản ứng diễn ra với tốc độ nhanh hơn.
Trong một số trường hợp, thực nghiệm nghiên cứu tốc độ
của phản ứng phân rã một miếng thiếc 
(kg) tỷ lệ thuận với tích của lượng chất đã mất 
(kg) và lượng chất còn lại sau 
năm, tức là 
Hiện tại miếng thiếc đó có khối lượng 
(kg), sau bao nhiêu năm nữa miếng thiếc đó còn 
(kg)? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
nó dần trở nên giòn và vỡ vụn thành bột màu xám. Các vật thể bằng thiếc cuối cùng sẽ tự vỡ vụn thành bột màu xám này nếu được giữ trong khí hậu lạnh trong nhiều năm. Người châu Âu, khi nhìn thấy các ống organ bằng thiếc trong nhà thờ của họ bị vỡ vụn cách đây nhiều năm, đã gọi hiện tượng này là bệnh dịch thiếc vì nó dường như lây lan, và quả thật là như vậy, vì bột màu xám là chất xúc tác cho sự hình thành của chính nó. Chất xúc tác cho một phản ứng hóa học là một chất điều khiển tốc độ phản ứng mà không trải qua bất kỳ sự thay đổi vĩnh viễn nào trong chính nó. Một phản ứng tự xúc tác là phản ứng có sản phẩm là chất xúc tác cho sự hình thành của chính nó. Phản ứng như vậy có thể diễn ra chậm ban đầu nếu lượng chất xúc tác hiện diện nhỏ và lại chậm dần vào cuối, khi hầu hết chất ban đầu đã được sử dụng hết. Nhưng ở giữa, khi cả chất và sản phẩm xúc tác của nó đều dồi dào, phản ứng diễn ra với tốc độ nhanh hơn.Trong một số trường hợp, thực nghiệm nghiên cứu tốc độ
của phản ứng phân rã một miếng thiếc (kg) tỷ lệ thuận với tích của lượng chất đã mất (kg) và lượng chất còn lại sau năm, tức là Hiện tại miếng thiếc đó có khối lượng (kg), sau bao nhiêu năm nữa miếng thiếc đó còn (kg)? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 4,51.
Ta có:
Vì tại thời điểm
, miếng thiếc đó có khối lượng 
kg
Miếng thiếc đã mất 2 kg
Khi miếng thiếc còn 6 kg thì miếng thiếc đó đã mất đi 4 kg
năm.
Ta có:
Vì tại thời điểm
, miếng thiếc đó có khối lượng kg Miếng thiếc đã mất 2 kg Khi miếng thiếc còn 6 kg thì miếng thiếc đó đã mất đi 4 kg
năm.
Câu 22 [1042393]: Dân số của một nước đang phát triển tăng tự nhiên theo cấp số nhân với tốc độ là 
nghìn người/năm, trong đó 
là số năm tính từ năm 2000. Một nghiên cứu chỉ ra rằng có những lực cản tự nhiên tác động làm cho tốc độ tăng trưởng thực tế là 
nghìn người/năm thay vì tốc độ trên (
là hằng số thực). Vào năm 2011, dân số thực tế giảm đi 
nghìn người so với trường hợp tăng trưởng tự nhiên? Vào năm 2020, dân số thực tế giảm đi bao nhiêu nghìn người so với tăng trưởng tự nhiên (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
nghìn người/năm, trong đó là số năm tính từ năm 2000. Một nghiên cứu chỉ ra rằng có những lực cản tự nhiên tác động làm cho tốc độ tăng trưởng thực tế là nghìn người/năm thay vì tốc độ trên ( là hằng số thực). Vào năm 2011, dân số thực tế giảm đi nghìn người so với trường hợp tăng trưởng tự nhiên? Vào năm 2020, dân số thực tế giảm đi bao nhiêu nghìn người so với tăng trưởng tự nhiên (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Dân số của một nước đang phát triển tăng tự nhiên theo cấp số nhân với tốc độ là
nghìn người/năm, trong đó 
là số năm tính từ năm 2000.
- Những lực cản tự nhiên tác động làm cho tốc độ tăng trưởng thực tế là
nghìn người/năm thay vì tốc độ trên (
là hằng số thực).
- Vào năm 2011, dân số thực tế giảm đi 11 nghìn người so với trường hợp tăng trưởng tự nhiên.
b) Yêu cầu:
- Vào năm 2020, dân số thực tế giảm đi bao nhiêu nghìn người so với tăng trưởng tự nhiên?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tìm chênh lệch tốc dộ giữa 2 mô hình , sau đó dùng nguyên hàm để tìm chênh lệch dân số giữa 2 mô hình.
Phần 3. Giải chi tiết
Chênh lệch tốc độ giữa 2 mô hình trên là
Chênh lệch dân số giữa 2 mô hình trong khoảng thời gian 
là
Bấm máy tính phương trình trên ta được:
Dân số thực tế giảm đi so với tăng trưởng tự nhiên vào năm 2020 là
Điền đáp án: 43,2.
a) Đề cho:
- Dân số của một nước đang phát triển tăng tự nhiên theo cấp số nhân với tốc độ là
nghìn người/năm, trong đó là số năm tính từ năm 2000. - Những lực cản tự nhiên tác động làm cho tốc độ tăng trưởng thực tế là
nghìn người/năm thay vì tốc độ trên ( là hằng số thực). - Vào năm 2011, dân số thực tế giảm đi 11 nghìn người so với trường hợp tăng trưởng tự nhiên.
b) Yêu cầu:
- Vào năm 2020, dân số thực tế giảm đi bao nhiêu nghìn người so với tăng trưởng tự nhiên?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tìm chênh lệch tốc dộ giữa 2 mô hình , sau đó dùng nguyên hàm để tìm chênh lệch dân số giữa 2 mô hình.
Phần 3. Giải chi tiết
Chênh lệch tốc độ giữa 2 mô hình trên là
Chênh lệch dân số giữa 2 mô hình trong khoảng thời gian là Bấm máy tính phương trình trên ta được:
Dân số thực tế giảm đi so với tăng trưởng tự nhiên vào năm 2020 là
Điền đáp án: 43,2.