Câu 1 [1012165]: Điền số thích hợp vào chố trống.
Biết đường cong trong hình vẽ là một Parabol. Diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình bằng ________.
Biết đường cong trong hình vẽ là một Parabol. Diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình bằng ________.
Xét 
Từ đồ thị ta có hệ:
Từ đồ thị
Điền đáp án: 40.
Từ đồ thị ta có hệ:
Từ đồ thị
Điền đáp án: 40.
Câu 2 [151384]: Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ 
là 
như hình vẽ bên. Diện tích 
của mảnh đất Bernoulli bao nhiêu m2, biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ 
tương ứng với chiều dài 1 mét (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
là như hình vẽ bên. Diện tích của mảnh đất Bernoulli bao nhiêu m2, biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ tương ứng với chiều dài 1 mét (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ
là 
như hình vẽ bên.
b) Yêu cầu:
- Diện tích
của mảnh đất Bernoulli là bao nhiêu 
?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là
Dễ thấy diện tích mảnh đất Bernulli bao gồm diện tích 4 mảnh đất nhỏ bằng nhau. Xét diện tích
của mảnh đất nhỏ trong góc phẩn tư thứ nhất ta có:
Điền đáp án: 42.
a) Đề cho:
- Có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ
là như hình vẽ bên. b) Yêu cầu:
- Diện tích
của mảnh đất Bernoulli là bao nhiêu ?Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là
Dễ thấy diện tích mảnh đất Bernulli bao gồm diện tích 4 mảnh đất nhỏ bằng nhau. Xét diện tích
của mảnh đất nhỏ trong góc phẩn tư thứ nhất ta có:Điền đáp án: 42.
Câu 3 [695537]: Một người nông dân có một mảnh đất hình vuông 
cạnh bằng 8 m. Ông ta định chia mảnh đất thành ba phần, bởi các parabol đi qua các đỉnh của hình vuông như hình vẽ, biết rằng đỉnh của parabol cách cạnh hình vuông 2 m. Ông dự định trồng hoa trên phần diện tích giới hạn bởi các parabol và cạnh hình vuông (phần tô đậm), trồng cỏ trên phần diện tích còn lại. Chọn hệ trục 
sao cho 
cạnh bằng 8 m. Ông ta định chia mảnh đất thành ba phần, bởi các parabol đi qua các đỉnh của hình vuông như hình vẽ, biết rằng đỉnh của parabol cách cạnh hình vuông 2 m. Ông dự định trồng hoa trên phần diện tích giới hạn bởi các parabol và cạnh hình vuông (phần tô đậm), trồng cỏ trên phần diện tích còn lại. Chọn hệ trục sao cho
a) Sai.
Diện tích mảnh vườn là
b) Sai.
Phương trình parabol có dạng:
Ta có:
.
Tương tự, phương trình parabol thứ hai là
.
c) Sai.
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 
, đường thẳng 
và hai đường thẳng 
.
Diện tích đất trồng hoa là
Diện tích đất trồng cỏ:
Tỉ số diện tích đất trồng hoa và trồng cỏ:
.
d) Sai.
Tổng chi phí cần thiết cho cả khu vườn là
đồng.
Diện tích mảnh vườn là
b) Sai.
Phương trình parabol có dạng:
Ta có:
.Tương tự, phương trình parabol thứ hai là
.c) Sai.
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol , đường thẳng và hai đường thẳng .Diện tích đất trồng hoa là
Diện tích đất trồng cỏ:
Tỉ số diện tích đất trồng hoa và trồng cỏ:
.d) Sai.
Tổng chi phí cần thiết cho cả khu vườn là
đồng.
Câu 4 [153542]: [Đề ĐGNL ĐHSP HN 2024]: Bạn Bình vẽ một hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol sao cho các đỉnh và các giao điểm của hai parabol đó lần lượt là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật với hai kích thước là 6 cm và 4,5 cm (như hình vẽ). Diện tích của hình phẳng được tô màu đậm bằng bao nhiêu 
Ta đặt hình vào hệ trục như hình vẽ và chia đôi hình theo phương ngang ta được hình chữ nhật cạnh 2,5 cm và 6 cm.
Ta có đường cong bài cho có dạng parabol. Suy ra đường cong có phương trình là: 
Đường cong đi qua gốc tọa độ O và đi qua 2 điểm 
và 
Ta có hệ: 
Ta có diện tích nửa hình cần tìm có diện tích là tích phân của 
và 
với cận -3 và 3.
Vậy diện tích cần tìm là: 
Điền đáp án: 
Câu 5 [693091]: Ông Duy mua cho phòng ngủ của nhà mình một tấm gương phẳng có dạng như hình vẽ. Biết 
là hình chữ nhật nhận 
là trục đối xứng với 
m; 
m; 
m; hai cạnh cong 
là các đường parabol với đỉnh tương ứng là 
và 
giá của 
kính dùng để làm gương như trên là 300 000 đồng. Số tiền ông Duy mua tấm gương trên là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
là hình chữ nhật nhận là trục đối xứng với m; m; m; hai cạnh cong là các đường parabol với đỉnh tương ứng là và giá của kính dùng để làm gương như trên là 300 000 đồng. Số tiền ông Duy mua tấm gương trên là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Điền đáp án: 1,6.
Theo hình vẽ ta có:
Phương trình parabol đi qua 3 điểm
có dạng 
Thay tọa độ 3 điểm
vào phương trình parabol 
ta được:
Diện tích tấm gương trên là
Số tiền ông Duy mua tấm gương trên là
đồng = 1,6 triệu đồng.
Theo hình vẽ ta có:
Phương trình parabol đi qua 3 điểm
có dạng Thay tọa độ 3 điểm
vào phương trình parabol ta được:
Diện tích tấm gương trên là
Số tiền ông Duy mua tấm gương trên là
đồng = 1,6 triệu đồng.
Câu 6 [1042398]: Sau một trận lũ lụt, một vùng đất trũng đã hình thành một hồ nước tạm thời có hình dạng bất thường. Để đánh giá mức độ ngập úng và lập kế hoạch thoát nước, một nhóm khảo sát đã phác thảo biên dạng của vùng nước này thông qua mặt cắt ngang. Bờ phía trên được mô hình hóa bởi hàm số 
bờ phía dưới được mô hình hóa bởi hàm số 
. Đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng mét. Vùng nước này trải dài từ 
đến 
mét (tham khảo như hình vẽ). Tính diện tích mặt cắt ngang của hồ nước theo đơn vị mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
bờ phía dưới được mô hình hóa bởi hàm số . Đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng mét. Vùng nước này trải dài từ đến mét (tham khảo như hình vẽ). Tính diện tích mặt cắt ngang của hồ nước theo đơn vị mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Bờ phía trên được mô hình hóa bởi hàm số
bờ phía dưới được mô hình hóa bởi hàm số 
- Vùng nước này trải dài từ
đến 
mét (tham khảo như hình vẽ).
b) Yêu cầu:
- Tính diện tích mặt cắt ngang của hồ nước theo đơn vị mét vuông?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân để tính diện tích.
Phần 3. Giải chi tiết
Diện tích mặt cắt ngang của hồ nước là
Điền đáp án: 270.
a) Đề cho:
- Bờ phía trên được mô hình hóa bởi hàm số
bờ phía dưới được mô hình hóa bởi hàm số - Vùng nước này trải dài từ
đến mét (tham khảo như hình vẽ). b) Yêu cầu:
- Tính diện tích mặt cắt ngang của hồ nước theo đơn vị mét vuông?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân để tính diện tích.
Phần 3. Giải chi tiết
Diện tích mặt cắt ngang của hồ nước là
Điền đáp án: 270.
Câu 7 [1012167]: Sân chơi của một cụm dân cư có dạng hình chữ nhật với chiều dài 118 m, chiều rộng 46 m và hai trục đối xứng 
như hình vẽ. Người ta muốn trồng hoa ở hai đầu sân chơi đó, phần còn lại lát gạch. Khu trồng hoa (được tô đậm) gồm hai mảnh đối xứng nhau qua 
phần biên cong của mỗi mành là một phần của parabol nhận 
là trục đối xứng. Biết hai đỉnh của hai parabol cách nhau 40 m; giá trồng hoa là 25000 đồng/
và giá lát gạch gấp 5 lần giá trồng hoa.
a) Tính diện tích khu trồng hoa.
b) Tính tổng số tiền cần chỉ để hoàn thành việc trồng hoa và lát gạch cho sân chơi đó.
như hình vẽ. Người ta muốn trồng hoa ở hai đầu sân chơi đó, phần còn lại lát gạch. Khu trồng hoa (được tô đậm) gồm hai mảnh đối xứng nhau qua phần biên cong của mỗi mành là một phần của parabol nhận là trục đối xứng. Biết hai đỉnh của hai parabol cách nhau 40 m; giá trồng hoa là 25000 đồng/ và giá lát gạch gấp 5 lần giá trồng hoa. a) Tính diện tích khu trồng hoa.
b) Tính tổng số tiền cần chỉ để hoàn thành việc trồng hoa và lát gạch cho sân chơi đó.
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Sân chơi của một cụm dân cư có dạng hình chữ nhật với chiều dài 118 m , chiều rộng 46 m và hai trục đối xứng
như hình vẽ.
- Người ta muốn trồng hoa ở hai đầu sân chơi đó, phần còn lại lát gạch.
- Khu trồng hoa (được tô đậm) gồm hai mảnh đối xứng nhau qua
; phần biên cong của mỗi mành là một phần của parabol nhận 
là trục đối xứng.
- Hai đỉnh của hai parabol cách nhau 40 m ; giá trồng hoa là 25000 đồng
và giá lát gạch gấp 5 lần giá trồng hoa.
b) Yêu cầu:
- Tính tổng số tiền cần chỉ để hoàn thành việc trồng hoa và lát gạch cho sân chơi đó theo đơn vị triệu đồng?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng công thức diện tích parabol.
Phần 3. Giải chi tiết
Diện tích parabol đi qua 3 điểm 
là
Diện tích dùng để lát gạch là
Tổng số tiền cần chỉ để hoàn thành việc trồng hoa và lát gạch cho sân chơi là
triệu đồng
a) Đề cho:
- Sân chơi của một cụm dân cư có dạng hình chữ nhật với chiều dài 118 m , chiều rộng 46 m và hai trục đối xứng
như hình vẽ. - Người ta muốn trồng hoa ở hai đầu sân chơi đó, phần còn lại lát gạch.
- Khu trồng hoa (được tô đậm) gồm hai mảnh đối xứng nhau qua
; phần biên cong của mỗi mành là một phần của parabol nhận là trục đối xứng. - Hai đỉnh của hai parabol cách nhau 40 m ; giá trồng hoa là 25000 đồng
và giá lát gạch gấp 5 lần giá trồng hoa. b) Yêu cầu:
- Tính tổng số tiền cần chỉ để hoàn thành việc trồng hoa và lát gạch cho sân chơi đó theo đơn vị triệu đồng?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng công thức diện tích parabol.
Phần 3. Giải chi tiết
Diện tích parabol đi qua 3 điểm làDiện tích dùng để lát gạch là
Tổng số tiền cần chỉ để hoàn thành việc trồng hoa và lát gạch cho sân chơi là
triệu đồng
Câu 8 [159442]: Một biển quảng cáo có dạng hình vuông 
cạnh 
Trên tấm biển đó có các cung tròn tâm 
và tâm 
có cùng bán kính 
, hai cung tròn cắt nhau như hình vẽ.
Chi phí để sơn phần gạch chéo là
đồng/
, chi phí sơn màu đen là 
đồng 
, chi phí để sơn phần còn lại là 
đồng 
Hỏi số tiền để sơn bảng quảng cáo là __________ triệu đồng (viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục điền vào chỗ trống).
cạnh Trên tấm biển đó có các cung tròn tâm và tâm có cùng bán kính , hai cung tròn cắt nhau như hình vẽ.Chi phí để sơn phần gạch chéo là
đồng/, chi phí sơn màu đen là đồng , chi phí để sơn phần còn lại là đồng Hỏi số tiền để sơn bảng quảng cáo là __________ triệu đồng (viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục điền vào chỗ trống).
Chọn hệ tọa độ 
sao cho 
, 
thuộc tia 
, 
thuộc tia 
Suy ra cung tròn
là phần đồ thị của hàm số 
, cung tròn 
là phần đồ thị của hàm số 
với 
Xét phương trình
Diện tích phần gạch chéo là
Diện tích phần màu đen là
(
là bán kính hai đường tròn tâm 
và 
)
Diện tích phần còn lại là
Số tiền để sơn bảng quảng cáo là
(triệu đồng)
sao cho , thuộc tia , thuộc tia Suy ra cung tròn
là phần đồ thị của hàm số , cung tròn là phần đồ thị của hàm số với Xét phương trình
Diện tích phần gạch chéo là
Diện tích phần màu đen là
(là bán kính hai đường tròn tâm và )Diện tích phần còn lại là
Số tiền để sơn bảng quảng cáo là
(triệu đồng) Sử dụng thông tin sau để trả lời Câu 9 và Câu 10:
Hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau (x0, p0 ) của đồ thị hàm cầu p = D(x) và đồ thị hàm cung p = S (x) được gọi là điểm cân bằng. Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang p = p0 và đường thẳng đứng x = 0 là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang p = p0 và đường thẳng đứng x = 0 được gọi là thặng dư sản xuất, như trong hình bên.
Câu 9 [1042399]: Một mặt hàng móc khóa được bán ra thị trường 
sản phẩm. Khi đó hàm cầu và hàm cung lần lượt là: 
và 
Xác định thặng dư sản xuất của của mặt hàng trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
sản phẩm. Khi đó hàm cầu và hàm cung lần lượt là: và Xác định thặng dư sản xuất của của mặt hàng trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Hàm cầu liên quan đến giá
của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá 
của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất.
- Điểm cắt nhau
của đồ thị hàm cầu 
và đồ thị hàm cung 
được gọi là điểm cân bằng.
b) Yêu cầu:
Một mặt hàng móc khóa được bán ra thị trường
sản phẩm. Khi đó hàm cầu và hàm cung lần lượt là: 
và 
Xác định thặng du sản xuất của của mặt hàng trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
Thặng dư sản xuất của của mặt hàng trên là
Điền đáp án: 187.
a) Đề cho:
- Hàm cầu liên quan đến giá
của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất.- Điểm cắt nhau
của đồ thị hàm cầu và đồ thị hàm cung được gọi là điểm cân bằng. b) Yêu cầu:
Một mặt hàng móc khóa được bán ra thị trường
sản phẩm. Khi đó hàm cầu và hàm cung lần lượt là: và Xác định thặng du sản xuất của của mặt hàng trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?Phần 2. Hướng dẫn tư duy
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:
Thặng dư sản xuất của của mặt hàng trên là
Điền đáp án: 187.
Câu 10 [1042400]: Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hoá bởi: Hàm cầu: 
và hàm cung: 
trong đó 
là số đơn vị sản phẩm, 
là hằng số thực. Thặng dư sản xuất cho sản phẩm này là 68, điểm cân bằng có hoành độ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
và hàm cung: trong đó là số đơn vị sản phẩm, là hằng số thực. Thặng dư sản xuất cho sản phẩm này là 68, điểm cân bằng có hoành độ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Hàm cầu liên quan đến giá
của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá 
của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất.
- Điểm cắt nhau
của đồ thị hàm cầu 
và đồ thị hàm cung 
được gọi là điểm cân bằng.
b) Yêu cầu:
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hoá bởi: Hàm cầu
và hàm cung: 
trong đó 
là số đơn vị sản phẩm, 
là hằng số thực. Thặng dư sản xuất cho sản phẩm này là 68 , điểm cân bằng có hoành độ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
Phần 3. Giải chi tiết
với 
là tọa độ điểm cân bằng
Giao điểm của hai đồ thị hầm số có
+)
a) Đề cho:
- Hàm cầu liên quan đến giá
của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất.- Điểm cắt nhau
của đồ thị hàm cầu và đồ thị hàm cung được gọi là điểm cân bằng. b) Yêu cầu:
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hoá bởi: Hàm cầu
và hàm cung: trong đó là số đơn vị sản phẩm, là hằng số thực. Thặng dư sản xuất cho sản phẩm này là 68 , điểm cân bằng có hoành độ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?Phần 2. Hướng dẫn tư duy
Phần 3. Giải chi tiết
với là tọa độ điểm cân bằngGiao điểm của hai đồ thị hầm số có
+)
Câu 11 [1042401]: Một chủ sản xuất du thuyền buồm muốn thiết kế một cánh buồm mới để tối ưu hóa hiệu suất. Cánh buồm có hình dạng bất đối xứng, trên hệ tọa độ Oxy, đơn vị trên mỗi trục tính bằng mét, cánh buồm được mô tả là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. Đường cong phía trên (mép trên của buồm) được mô hình hóa bằng một hàm bậc hai có dạng 
và các điểm đo được trên mép trên có tọa độ là 
Đường cong phía dưới (mép dưới của buồm) được mô hình hóa bằng một hàm bậc ba có dạng 
và các điểm đo được trên mép dưới là 
Tính diện tích của cánh buồm theo đơn vị mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
và các điểm đo được trên mép trên có tọa độ là Đường cong phía dưới (mép dưới của buồm) được mô hình hóa bằng một hàm bậc ba có dạng và các điểm đo được trên mép dưới là Tính diện tích của cánh buồm theo đơn vị mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Đường cong phía trên (mép trên của buồm) được mô hình hóa bằng một hàm bậc hai có dạng
và các điểm đo được trên mép trên có tọa độ là 
- Đường cong phía dưới (mép dưới của buồm) được mô hình hóa bằng một hàm bậc ba có dạng
và các điểm đo được trên mép dưới là 
b) Yêu cầu:
- Tính diện tích của cánh buồm theo đơn vị mét vuông?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Viết phương trình hàm số sau đó dùng tích phân để tính diện tích.
Phần 3. Giải chi tiết
Hàm số bậc 2 đi qua 3 điểm
có dạng 
Hàm số bậc 3 đi qua 4 điểm
có dạng 
Xét
Diện tích của cánh buồm là
a) Đề cho:
- Đường cong phía trên (mép trên của buồm) được mô hình hóa bằng một hàm bậc hai có dạng
và các điểm đo được trên mép trên có tọa độ là - Đường cong phía dưới (mép dưới của buồm) được mô hình hóa bằng một hàm bậc ba có dạng
và các điểm đo được trên mép dưới là b) Yêu cầu:
- Tính diện tích của cánh buồm theo đơn vị mét vuông?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Viết phương trình hàm số sau đó dùng tích phân để tính diện tích.
Phần 3. Giải chi tiết
Hàm số bậc 2 đi qua 3 điểm
có dạng Hàm số bậc 3 đi qua 4 điểm
có dạng Xét
Diện tích của cánh buồm là
Câu 12 [596488]: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 
và trục nhỏ bằng 
được chia làm hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 
mỗi 
trồng cây con và 
mỗi 
trồng rau. Hỏi thu nhập của cả mảnh vườn là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
và trục nhỏ bằng được chia làm hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là mỗi trồng cây con và mỗi trồng rau. Hỏi thu nhập của cả mảnh vườn là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Điền đáp án: 24.
Gọi phương trình của elip là
.
Theo giả thiết, ta có
; 
.
Diện tích phần trồng cây con (phần gạch sọc) bằng
diện tích của elip trừ đi diện tích tam giác 
.
Do đó diện tích phần trồng cây con là
.
Diện tích phần trồng rau (phần không gạch sọc) bằng
diện tích elip cộng với diện tích tam giác 
.
Do đó diện tích phần trồng rau là
.
Thu nhập của cả mảnh vườn là
triệu đồng
Gọi phương trình của elip là
.Theo giả thiết, ta có
; .Diện tích phần trồng cây con (phần gạch sọc) bằng
diện tích của elip trừ đi diện tích tam giác .Do đó diện tích phần trồng cây con là
.Diện tích phần trồng rau (phần không gạch sọc) bằng
diện tích elip cộng với diện tích tam giác .Do đó diện tích phần trồng rau là
.Thu nhập của cả mảnh vườn là
triệu đồng
Câu 13 [778750]: Trong hệ toạ độ 
xét hình vuông 
có cạnh bằng 
ta vẽ các đường cong 
và 
Biết diện tích phần tô đậm bằng 
Tính diện tích miền không tô đậm nằm bên trong hình vuông.
xét hình vuông có cạnh bằng ta vẽ các đường cong và Biết diện tích phần tô đậm bằng Tính diện tích miền không tô đậm nằm bên trong hình vuông.
Điền đáp án: 5,25.
Diện tích miền không tô đậm nằm bên trong hình vuông = Diện tích hình vuông – Diện tích miền tô đậm.
Do đó, để tính được diện tích miền không tô đậm nằm bên trong hình vuông, ta cần đi tìm cạnh
của hình vuông.
Đường cong
đi qua điểm 
Khi đó đường cong
trở thành 
Tương tự, ta có đường cong
đi qua điểm 
Khi đó đường cong
trở thành 
Ta có diện tích phần tô đậm là
Suy ra diện tích cần tính bằng
Diện tích miền không tô đậm nằm bên trong hình vuông = Diện tích hình vuông – Diện tích miền tô đậm.
Do đó, để tính được diện tích miền không tô đậm nằm bên trong hình vuông, ta cần đi tìm cạnh
của hình vuông.Đường cong
đi qua điểm Khi đó đường cong
trở thành Tương tự, ta có đường cong
đi qua điểm Khi đó đường cong
trở thành Ta có diện tích phần tô đậm là
Suy ra diện tích cần tính bằng
Câu 14 [596476]: Cho đường tròn có đường kính bằng 
và 
elip lần lượt nhận 
đường kính vuông góc nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi elip đều bằng 
. Diện tích 
phần hình phẳng ở bên trong đường tròn và bên ngoài 
elip (phần gạch carô trên hình vẽ) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
và elip lần lượt nhận đường kính vuông góc nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi elip đều bằng . Diện tích phần hình phẳng ở bên trong đường tròn và bên ngoài elip (phần gạch carô trên hình vẽ) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Điền đáp án: 7,26.
Hai Elip lần lượt có phương trình:
và 
Tọa độ giao điểm của hai Elip trong góc phần tư thứ nhất là nghiệm phương trình:
Diện tích hình phẳng cần tìm:
Hai Elip lần lượt có phương trình:
và
Tọa độ giao điểm của hai Elip trong góc phần tư thứ nhất là nghiệm phương trình:
Diện tích hình phẳng cần tìm:
Câu 15 [878362]: Một cửa vòm có dạng hình parabol được lắp các tấm kính hình tròn đường kính 1 m và các tấm kính hình vuông có cạnh 1 m như hình vẽ. Phần còn lại của cửa được sơn màu trang trí với mức giá 1,2 triệu đồng/m2. Chi phí sơn màu là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Phương pháp:
Gắn hệ trục tọa độ tìm parabol và diện tích
Cách giải:
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Từ đường tròn đường kính 1 và hình vuông cạnh 1 suy ra
Ta có parabol đi qua
nên có phương trình 
Xét
Diện tích phần kính là
Diện tích parabol tạo với Ox là
Vậy cho phí sơn màu là
triệu đồng.
Đáp án: 8,1
Gắn hệ trục tọa độ tìm parabol và diện tích
Cách giải:
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Từ đường tròn đường kính 1 và hình vuông cạnh 1 suy ra
Ta có parabol đi qua
nên có phương trình Xét
Diện tích phần kính là
Diện tích parabol tạo với Ox là
Vậy cho phí sơn màu là
triệu đồng.Đáp án: 8,1
Câu 16 [1014219]: Cho hàm số bậc hai trên bậc nhất 
và parabol 
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số 
có đường tiệm cận đứng 
và đường tiệm cận xiên cắt parabol tại điểm 
. Ký hiệu các diện tích hình phẳng 
lần lượt 
là phần diện tích được tô đậm và 
là phần diện tích được giới hạn bởi nhánh phải của đồ thị với parabol như hình vẽ. Biết rằng giá trị 
và 
Tính giá trị của 
(kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần chục).
và parabol có đồ thị như hình vẽ. Hàm số có đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận xiên cắt parabol tại điểm . Ký hiệu các diện tích hình phẳng lần lượt là phần diện tích được tô đậm và là phần diện tích được giới hạn bởi nhánh phải của đồ thị với parabol như hình vẽ. Biết rằng giá trị và Tính giá trị của (kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần chục).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Cho hàm số bậc hai trên bậc nhất
và parabol 
có đồ thị như hình vẽ.
- Hàm số
có đường tiệm cận đứng 
và đường tiệm cận xiên cắt parabol tại điểm 
-
là phần diện tích được tô đậm và 
là phần diện tích được giới hạn bởi nhánh phải của đồ thị với parabol như hình vẽ.
- Giá trị
và 
b) Yêu cầu:
- Tính giá trị của
(kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần chục)
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tìm tiệm cận xiên sau đó đung tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Hàm số
có đường tiệm cận đứng 
Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
có dạng: 
Trong đó:
+)
+)
Phương trình parabol
đi qua 3 điểm 
có dạng 
Xét phương trình
Phương trình (1) có 1 nghiệm là 3 nên theo hệ thức Viet ta có nghiệm còn lại là
Có
+) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
đường thẳng 
và trục 
là
+)
+) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
đường thẳng 
và trục 
là
+)
+)
Xét phương trình
Điền đáp án: 0,9.
a) Đề cho:
- Cho hàm số bậc hai trên bậc nhất
và parabol có đồ thị như hình vẽ. - Hàm số
có đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận xiên cắt parabol tại điểm -
là phần diện tích được tô đậm và là phần diện tích được giới hạn bởi nhánh phải của đồ thị với parabol như hình vẽ. - Giá trị
và b) Yêu cầu:
- Tính giá trị của
(kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần chục)Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tìm tiệm cận xiên sau đó đung tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Hàm số
có đường tiệm cận đứng Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
có dạng: Trong đó:
+)
+)
Phương trình parabol
đi qua 3 điểm có dạng Xét phương trình
Phương trình (1) có 1 nghiệm là 3 nên theo hệ thức Viet ta có nghiệm còn lại là
Có
+) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
đường thẳng và trục là +)
+) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
đường thẳng và trục là +)
+)
Xét phương trình
Điền đáp án: 0,9.