Quay lại
Đáp án
Câu 1 [696483]: Khu vực trung tâm một quảng trường có dạng hình tròn đường kính AB bằng 10 m. Người ta trang trí khu vực này bằng hai đường Parabol đối xứng nhau qua AB, nằm trong một hình tròn, hai parabol đi qua các điểm A, B và có đỉnh cách mép hình tròn 1 m. Phần giới hạn bởi 2 parabol được trồng hoa với chi phí 200 nghìn đồng 1 m2, phần còn lại được lát gốm sứ với chi phí 800 nghìn đồng 1 m2. Để tính toán chi phí người ta gắn vườn hoa vào hệ trục tọa độ như hình vẽ.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp: Xác định phương trình các đường cong, kiểm tra từng nhận định đúng sai, dùng tích phân để tính diện tích và từ đó suy ra chi phí.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Đường tròn nằm ngoài hai parabol có phương trình là .
b) Sai.
Phương trình parabol có dạng .
Thay tọa độ các điểm vào phương trình parabol ta được:


.
c) Đúng.
d) Đúng.
Diện tích phần trồng hoa giới hạn bởi hai parabol là:
.
.
Diện tích toàn bộ phần hình tròn là:
.
Diện tích phần còn lại để trang trí gốm sứ là:
.
Tổng chi phí làm khu vực trung tâm quảng trường là:
.
🔑 Điền đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng
Câu 2 [778745]: Để trang trí cho một hình vuông cạnh Bạn Tuấn chọn một hệ toạ độ sau đó vẽ các Parabol có đỉnh là gốc toạ độ và lần lượt đi qua các điểm và Nối điểm với điểm , nối điểm với điểm và tô đậm một phần như hình vẽ. Biết đơn vị mỗi trục toạ độ là
a) Đúng.
b) Sai.
Đường cong là 1 phần của parabol nên giả sử phương trình có dạng:
Biết Đường cong đi qua các điểm

Từ (1) và (2) ta suy ra
Vậy phương trình đường cong là
c) Đúng.
Giả sử phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và có dạng
Biết đường thẳng đi qua hai điểm nên ta được hệ phương trình

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và là
d) Đúng.
Diện tích hình phẳng bạn Tuấn tô đậm bằng
Câu 3 [596478]: Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ bên. Chiều cao , chiều rộng , . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật tô đậm có giá là nghìn đồng, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là nghìn đồng. Hỏi tổng số tiền để làm hai phần nói trên bằng bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trùng , trùng khi đó parabol có đỉnh và đi qua gốc tọa độ.

Giả sử phương trình của parabol có dạng .
Vì parabol có đỉnh là và đi qua điểm
nên ta có .
Suy ra phương trình parabol là .
Diện tích của cả cổng là
.
Mặt khác chiều cao ;
.
Diện tích hai cánh cổng là .
Diện tích phần xiên hoa là
.
Vậy tổng số tiền để làm cổng là
đồng.
Câu 4 [153546]: Hình bên minh hoạ mặt cắt đứng của một con kênh đặt trong hệ trục toạ độ Đáy của con kênh là một đường cong cho bởi hàm số bậc ba có dạng Hãy tính diện tích hình phẳng tô đậm trong hình vẽ. Biết đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét và đồ thị hàm số nhận gốc toạ độ và điểm là các điểm cực trị (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của m2).
taaaaa863.png
mà
Mặt khác
Do đó
Câu 5 [696333]: Mảnh vườn nhà ông An có dạng hình elip với bốn đỉnh như hình vẽ bên. Ông dùng 2 đường Parabol có đỉnh là tâm đối xứng của elip cắt elip tại 4 điểm như hình vẽ sao cho tứ giác là hình chữ nhật có để chia vườn. Phần tô đậm dùng để trồng hoa và phần còn lại để trồng rau. Biết chi phí trồng hoa là nghìn đồng/ và trồng rau là nghìn đồng/ Hỏi số tiền phải chi bằng bao nhiêu nghìn đồng, biết (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Điền đáp án: 11 742.


Ta có: .
Phương trình elip có dạng
Vì
Thay vào phương trình ta được:
Gọi phương trình parabol đi qua 3 điểm có dạng
Thay tọa độ điểm vào phương trình parabol ta được:
Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip , đường thẳng .
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol , đường thẳng .
Ta có:

Diện tích hình elip là
Diện tích dùng để trồng hoa là

Diện tích dùng để trồng rau là

Số tiền phải chi là nghìn đồng.
Câu 6 [301711]: Ông Tuấn làm một logo bằng tấm nhựa phẳng, có hình dạng là một hình có trục đối xứng. Biết đường viền ở hai bên là hai nhánh của một parabol và phần lõm phía dưới đáy cũng là một parabol, hai nhánh phía trên là hai đoạn thẳng như hình bên. Cho biết và khoảng cách giữa và bằng Hỏi diện tích của logo đó bằng bao nhiêu (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần mười)?
dde-bs1111.png
Xét hệ toạ độ như hình vẽ.
02-dâpnsounftp2.png
Khi đó nửa bên phải trục tung là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Ta có:
Câu 7 [151403]: Sân trường có một bồn hoa hình tròn có tâm . Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hòa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh và đối xứng nhau qua . Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm tạo thành một hình vuông có cạnh bằng (như hình vẽ). Phần diện tích dùng để trồng hoa, phần diện tích dùng để trồng cỏ (diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Biết kinh phí để trồng hoa là nghìn đồng/ , kinh phí để trồng cỏ là nghìn đồng/ . Hỏi nhà trường cần bao nhiêu nghìn đồng để trồng hoa đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng)?
Screenshot_24.png

Chọn hệ trục toạ như hình vẽ Khi đó phương trình Parabol phía trên có dạng là :
trong đó
Suy ra Phương trình cung tròn nằm phía trên trục là

Khi đó
Diện tích hình tròn là
Ta có:
Bấm máy ta được nghìn đồng.
Câu 8 [693507]: Một khung cửa kính hình parabol với đỉnh và cạnh đáy (minh hoạ ở hình bên). Biết chi phí để lắp phần kính màu (phần tô đậm trong hình) là 200 000 đồng/ và phần kính trắng còn lại là 150 000 đồng/ Cho và Hỏi số tiền để lắp kính cho khung cửa như trên bằng bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Điền đáp án:


Coi là gốc toạ độ thì ta có:
Gọi phương trình parabol là
Ta có:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành là:


Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng là:
Khi đó số tiền để lắp kính là:
(nghìn đồng) (triệu đồng).
Câu 9 [1014220]: Ông A có mảnh đất hình chữ nhật chiều dài 16m, chiều rộng 6m. Ông A muốn thiết kế mảnh đất đó thành ba phần bởi đường cong hypebol (như hình vẽ). Ông A dự định trồng hoa ở hai phần đất được giới hạn bởi đường cong hyepebol và chiều dài mảnh đất, phần đất còn lại ông lát đá. Biết chi phí trồng hoa là 150.000 đồng / và lát đá là 300.000 đồng / Tính chi phí mà ông A bỏ ra để hoàn thành dự định của mình (đơn vị triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Chọn hệ trục tọa độ như hình
Diện tích mảnh đất của ông A là:
Dựa vào hình ảnh và kiến thức Hypebol được học từ lớp 10, ta có tiêu cự
Ta có:
Phương trình Hypebol:
Diện tích trồng hoa là:
Diện tích lát đá là:
Chi phí mà ông A bỏ ra: (nghìn đồng) (triệu đồng)
Điền đáp số: 23,1.
Câu 10 [695073]: Một nhà sản xuất dự kiến xây dựng sân khấu cho một concept âm nhạc trên một mảnh đất hình chữ nhật có kích thước là Nhà sản xuất mô phỏng sân khấu thông qua bản vẽ trên hệ trục như bên. Vẽ hai parabol có đỉnh có cùng hoành độ, trong đó parabol đỉnh tiếp xúc với cạnh ngắn của hình chữ nhật. Vị trí giao nhau của hai parabol là và cùng với hai đỉnh tạo thành hình thoi có độ dài hai đường chéo là (m) và (tham khảo hình vẽ). Trên thực tế, khu vực màu đen là khu vực thiết kế dành cho khán giả, màu xám là khu vực sân khấu và màu trắng là khu vực hậu trường. Chi phí để xây dựng khu vực sân khấu, hậu trường, khán đài lần lượt là triệu đồng, nghìn đồng và nghìn đồng mỗi mét vuông. Tổng chi phí xây dựng bằng bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Điền đáp án:

Gắn hệ trục toạ độ như hình vẽ.
Gọi là hàm số của parabol phía trên khi đó:
Parabol phía trên đi qua điêm nên
Gọi là hàm số của parabol phía dưới khi đó:
Parabol phía dưới đi qua điêm nên
Diện tích sân khấu là:

Diện tích khán đài là:

Diện tích hậu trường là:

Tổng chi phí xây dựng bằng:
(triệu đồng)
Câu 11 [695043]: Một chiếc đàn ghita có chiều cao 5cm, khi cắt một mặt cắt ngang của cây đàn ta thu được một mặt phẳng như hình vẽ. Đối với mỗi vị trí, người ta đo được chiều rộng của cái đàn và ghi lại qua bảng sau ( có đơn vị cm)
Bạn Nhâm nhận thấy rằng số liệu được đề cập trên bảng gần giống với một hàm bậc bốn. Bằng cách mô phỏng hàm bậc bốn trên hệ trục đồ thị hàm số đi qua các điểm và có 3 điểm cực trị có hoành độ là Dựa vào hàm số tìm được, tính thể tích gần đúng của cái đàn ghita (đơn vị làm tròn đến hàng đơn vị).
Điền đáp án:
Đồ thị có 3 điểm cực trị có hoành độ là nên hay
Khi đó:
Ta có:



Diện tích mặt cắt ngang của cây đàn là:

Thể tích của cây đàn ghita là:
Câu 12 [778748]: Để tham gia lễ hội hóa trang, bạn An dự định làm một chiếc mặt nạ nửa mặt bằng chất liệu giấy cứng. Hình dạng của chiếc mặt nạ được bạn thiết kế trên mặt phẳng tọa độ , là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol lần lượt có đỉnh là gốc tọa độ và điểm có tọa độ , cùng nhận trục làm trục đối xứng và cùng đi qua điểm . Mỗi đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài Sau đó, bạn vẽ hai hình thoi bằng nhau có độ dài các đường chéo là và để khoét làm mắt. Diện tích giấy được bạn An sử dụng để làm chiếc mặt nạ này là bao nhiêu
Điền đáp án: 224.
Diện tích giấy làm mặt nạ sẽ bằng diện tích giới hạn bởi 2 đường Parabol trừ đi diện tích 2 hình thoi
Đầu tiên, ta sẽ đi tính diện tích
(Note: Parabol đối xứng qua trục thì có dạng
Giả sử parabol có dạng Parabol đi qua các điểm nên suy ra
Giả sử parabol có dạng Parabol đi qua các điểm nên ta có hệ
Suy ra (nhân với 9 vì mỗi đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài 3 cm)
Tiếp đến, ta sẽ đi tính diện tích
Áp dụng công thức tính diện tích hình thoi, ta có
Vậy diện tích giấy cần dùng để làm mặt nạ là .
Câu 13 [1042403]: Sau khi đọc xong truyện ngắn rất cảm động “Chiếc lá cuối cùng” của nhà văn O. Henry, bạn An muốn thiết kế hình ảnh một chiếc lá để gửi đến chị em Johnsy và Sue. Chiếc lá là một hình phẳng được giới hạn bởi hai phần parabol giống nhau. Biết một parabol có đỉnh là điểm và trục đối xứng của hình phẳng này là một đường thẳng tạo với phương ngang góc . Với các kích thước được cho như hình vẽ, hãy tính diện tích của chiếc lá (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm2).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Chiếc lá là một hình phẳng được giới hạn bởi hai phần parabol giống nhau.
- Biết một parabol có đỉnh là điểm và trục đối xứng của hình phẳng này là một đường thẳng tạo với phương ngang góc
b) Yêu cầu:
- Tính diện tích của chiếc lá (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ).
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết

Parabol đi qua 3 điểm có dạng

Đường thẳng đi qua 2 điểm tạo với trục góc nên hệ số góc của đường thẳng đó là

Đường thẳng đi qua 2 điểm có dạng



Xét phương trình:

Diện tích của chiếc lá là


Điền đáp án: 745.
Câu 14 [1042404]: Năm 2025 đánh dấu 80 năm Ngày Quốc khánh 2/9/1945 – 2/9/2025, ngày Bác Hồ đọc Tuyên ngôn Độc lập, khai sinh ra nước Việt Nam Dân chủ Cộng hòa. Trên lá cờ đỏ thiêng liêng tung bay hôm ấy, là ngôi sao vàng năm cánh – biểu tượng của tinh thần đoàn kết và sức mạnh dân tộc. Nhân dịp đặc biệt này, một nhóm học sinh đã lên ý tưởng thiết kế logo cho sự kiện kỷ niệm Ngày Quốc khánh là một ngôi sao vàng cách điệu, nội tiếp đường tròn. Biết năm cánh của ngôi sao được tạo bởi các đường Parabol, các đỉnh của ngôi sao tạo thành hình ngũ giác đều nội tiếp đường tròn bán kính , mỗi đỉnh Parabol cách tâm đường tròn một khoảng bằng . Để hoàn thiện bản thiết kế, các bạn ấy muốn tính diện tích phần ngôi sao, nhằm cân đối bố cục và tính lượng sơn cần dùng. Diện tích phần ngôi sao xấp xỉ bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Năm cánh của ngôi sao được tạo bởi các đường Parabol, các đỉnh của ngôi sao tạo thành hình ngũ giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 5 cm , mỗi đỉnh Parabol cách tâm đường tròn một khoảng bằng 2 cm .
b) Yêu cầu:
- Diện tích phần ngôi sao xấp xỉ bao nhiêu ?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tính diện tích parabol đi qua 3 điểm sau đó lấy trừ đi.
Phần 3. Giải chi tiết

Ta có: +)

+)
Diện tích parabol đi qua 3 điểm bằng

Diện tích ngôi sao màu vàng là


Điền đáp án: 19,4.
Câu 15 [779024]: Phần tô đậm trong hình vẽ bên cho biết một miền D nằm trong hình vuông có cạnh bằng 4. Miền D này gồm các điểm có khoảng cách tới tâm hình vuông nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách tới cạnh gần nhất của hình vuông. Tính diện tích của miền D (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Đáp án:


Gọi hình vuông có cạnh bằng 4 là và gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Do vai trò của các đường cong như nhau, giả sử là một điểm thuộc đường cong của miền D như hình vẽ.
Ta có khoảng cách từ tới là .
Khoảng cách từ tới cạnh của hình vuông là
Khoảng cách từ tới bằng khoảng cách từ tới nên
Hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng (thuộc góc phần tư thứ nhất) là nghiệm của phương trình
Parabol cắt đường thẳng tại điểm thuộc góc phần tư thứ nhất nên .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol, trục , trục và đường thẳng là: .
Diện tích tam giác là .
Diện tích của miền là .
Diện tích miền D là .