Quay lại
Đáp án
Câu 1 [596480]: Một họa tiết hình cánh bướm như hình vẽ bên.

Phần tô đậm được đính đá với giá thành .
Phần còn lại được tô màu với giá thành .
Cho Hỏi để trang trí 1000 họa tiết như vậy cần số tiền bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Phần tô đậm được đính đá với giá thành
- Phần còn lại được tô màu với giá thành
-
b) Yêu cầu:
- Hỏi để trang trí 1000 họa tiết như vậy cần số tiền bao nhiêu triệu đồng?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Vì

Parabol phía trên trục có dạng
Diện tích phần tô đậm là
Diện tích hình chữ nhật là
Diện tích phần trắng là
Tổng chi phí trang chí là:
triệu đồng.
Điền đáp án: 106,67.
Câu 2 [697018]: Một nhà thiết kế dự định thiết kế logo cho một công ty (xem hình minh họa bên). Đường viền của logo bao gồm nửa đường tròn đường kính bằng hai cung và lần lượt là một phần của các parabol đỉnh và đỉnh trục đối xứng của mỗi parabol vuông góc với đường thẳng Tính diện tích của logo đó theo đơn vị (làm tròn kết quả đến hàng phần mười), biết tam giác là tam giác vuông cân tại
Chọn hệ trục đơn vị trên hai trục đều là cm (như hình vẽ).

Gọi là đường tròn có tâm bán kính
Vì parabol có đúng một điểm chung với trục
Nên phương trình của có dạng
Mặt khác cắt trục tại điểm
Nên
Diện tích cần tìm là
Điền đáp án: 8,95
Câu 3 [1042405]: Nghệ sỹ đường phố muốn sơn một ký hiệu lên tường là miền trong được giới hạn bởi hai đường cong và được mô hình hóa trên hệ trục tọa độ như hình vẽ (đơn vị trên trục tọa độ là mét). Giá sơn là 60.000 đồng . Tính chi phí để người nghệ sỹ đó cần dùng để sơn ký hiệu lên tường (đơn vị nghìn đồng, làm tròn đến hàng đơn vị).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Nghệ sỹ đường phố muốn sơn một ký hiệu lên tường là miền trong được giới hạn bởi hai đường cong và được mô hình hóa trên hệ trục tọa độ như hình vẽ (đơn vị trên trục tọa độ là mét).
- Giá sơn là 60 000 đồng
b) Yêu cầu:
- Tính chi phí để người nghệ sỹ đó cần dùng để sơn ký hiệu lên tường?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Chi phí để người nghệ sỹ đó cần dùng để sơn ký hiệu lên tường lànghìn đồng.
Điền đáp án: 96.
Câu 4 [907309]: Mặt sàn của một căn nhà được lát bằng những viên gạch màu trắng hình vuông và được tráng trí bằng một hình 4 cánh giống nhau (như hình vẽ). Khi đặt trong hệ trục tọa độ với là tâm hình vuông thì các đường cong có phương trình dạng và Gọi là diện tích phần tô đậm, khi (đvdt) thì giá trị của bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
tc19 cau 41.png
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Khi đặt trong hệ trục tọa độ với là tâm hình vuông thì các đường cong có phương trình dạng và
- là diện tích phần tô đậm, (đvdt)
b) Yêu cầu:
- Tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
Phần 3. Giải chi tiết
Dựa vào hình vẽ, ta đặt:
Trong hệ trục :
Đồ thị đi qua điểm
Ta đi tính diện tích phần trắng:
Diện tích phần trắng được chia thành 8 phần bẳng nhau:

Mặt khác:

Điền đáp án: 0,45.
Câu 5 [301739]: “Bài toán tính diện tích hình càng cua”. Từ bảng gỗ hình vuông ABCD độ dài cạnh 12 cm, người ta chia hình vuông này thành 9 hình vuông nhỏ bằng nhau rồi vẽ một hình càng cua được giới hạn bởi các cung phần tư của các đường tròn tâm (xem hình vẽ). Tính diện tích hình càng cua theo đơn vị (phần tô đậm trong hình vẽ) (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
bosungtichphan1-o2-unfdungcangcua.png
Điền đáp án: 37

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có tọa độ các điểm:
Phương trình đường tròn tâm có bán kính

Phương trình đường tròn tâm có bán kính

Phương trình đường tròn tâm có bán kính

Phương trình đường tròn tâm có bán kính


Câu 6 [151410]: Khu vườn nhà ông Ba có dạng hình tròn, bán kính . Ông Ba dự định trồng hoa Hồng ở khu vực và hoa Ly ở khu vực hình bán nguyệt . Với là phần diện tích giới hạn bởi đường parabol đi qua tâm hình tròn và là phần diện tích giới hạn bởi nửa đường elip không chứa tâm hình tròn (kích thước như hình vẽ). Biết rằng kinh phí trồng hoa Hồng là nghìn đồng/ , kinh phí trồng hoa Ly là nghìn đồng/. Hỏi ông Ba phải mất bao nhiêu tiền (đơn vị triệu đồng) để trồng hoa lên hai dải đất đó (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng)?
Screenshot_26.png
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Khu vườn nhà ông Ba có dạng hình tròn, bán kính 10 m .
- Ông Ba dự định trồng hoa Hồng ở khu vực và hoa Ly ở khu vực hình bán nguyệt
- Với là phân diện tích giới hạn bởi đường parabol đi qua tâm hình tròn và là phần diện tích giới hạn bởi nửa đường elip không chứa tâm hình tròn (kích thước như hình vẽ).
- Kinh phí trồng hoa Hồng là nghìn đồng trồng hoa Ly là 150 nghìn đồng
b) Yêu cầu:
- Hỏi ông Ba phải mất bao nhiêu tiền (đơn vị triệu đồng) để trồng hoa lên hai dải đất đó?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Phương trình parabol đi qua tâm hình tròn là và phương trình đường tròn là
Diện tích dài đất trồng hoa Hồng là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol hình tròn và hai đường thẳng
Khi đó
Xét nửa hình tròn chứa hình bán nguyệt, ta thấy nửa hình tròn tạo bởi hình bán nguyệt và nửa hình elip với hình elip có độ dài hai bán trục

Vậy diện tích hình bán nguyệt là
Tổng số tiền ông Ba cần phải chi để trồng hoa là
triệu đồng.
Điền đáp án: 23.
Câu 7 [146745]: Vườn hoa của một trường học có hình dạng được giới hạn bởi một đường elip có bốn đỉnh và hai đường parabol có các đỉnh lần lượt là (phần tô đậm của hình vẽ). Hai đường parabol có cùng trục đối xứng đối xứng nhau qua trục , hai parabol cắt elip tại các điểm Biết Chi phí để trồng hoa trên vườn là /. Hỏi số tiền trồng hoa cho cả vườn là bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng)?
a) Đề cho:
- Vườn hoa của một trường học có hình dạng được giới hạn bởi một đường elip có bốn đỉnh và hai đường parabol có các đỉnh lần lượt là
- Hai đường parabol có cùng trục đối xứng , đối xứng nhau qua trục hai parabol cắt elip tại các điểm
-
- Chi phí để trồng hoa trên vườn là .
b) Yêu cầu:
- Hỏi số tiền trồng hoa cho cả vườn là bao nhiêu nghìn đồng?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ với gốc tọa độ là trung điểm của (xem hình vẽ)
Khi đó có độ dài trục lớn
Độ dài trục bé
Phương trình (E) là:
Parabol có phương trình (vì điểm )
Do mà
nên ta có:
Mặt khác Parabol đi qua
Xét phần hình phẳng thuộc góc phần tư thứ nhất khi đó đường cong có phương trình
Parabol có phương trình
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và là:
Diện tích elip là:
Diện tích phần tô đậm là: đồng.
nghìn đồng.
Điền đáp án: 4809.
Câu 8 [1014221]: [MĐ3] [Trích Sở Thái Bình 2025]: Trong hình vẽ dưới đây, đoạn được chia làm 3 bởi các điểm và sao cho Ba nửa đường tròn có bán kính bằng 1 là và có đường kính tương ứng là và Các điểm lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến chung với 3 nửa đường tròn. Một đường tròn tâm bán kính bằng 2.

Diện tích miền bên trong đường tròn tâm và bên ngoài 3 nửa đường tròn (miền tô đậm) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Diện tích hình tròn tâm là:
Diện tích một nửa hình tròn nhỏ là:

Phương trình đường tròn tâm bán kính bằng 2:
Cung tròn cắt đường thẳng tại điểm:
Diện tích phần màu tím là:
Diện tích cần tìm là:
Điền đáp án: 9,6.
Câu 9 [151418]: Hình được cho dưới đây là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường và hai đoạn thẳng với , với . Tính diện tích của hình (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Screenshot_5.png
a) Đề cho:
- Hình được cho như bên là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường và hai đoạn thẳng với với
b) Yêu cầu:
- Tính diện tích của hình (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết

Gọi là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường được tô màu trong hình bên suy ra
Gọi là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường được tô màu trong hình bên suy ra
Diện tích cần tính bằng
Điền đáp án: 64.
Câu 10 [907260]: Từ một tấm bìa hình vuông cạnh thầy Tuấn dùng các đồ thị của hàm số và để vẽ hoa tặng Crush, nhụy hoa được vẽ bằng đường tròn có tâm là tâm hình vuông và bán kính bằng Khi đặt trong hệ tọa độ thì điểm và đường cong là một phần của đồ thị hàm đa thức bậc ba Biết rằng tỷ lệ phần tô đậm chiếm diện tích hình vuông. Tính
tc18.png
a) Đề cho:
- Từ một tấm bìa hình vuông cạnh thầy Tuấn dùng các đồ thị của hàm số và để vẽ hoa tặng Crush, nhụy hoa được vẽ bằng đường tròn có tâm là tâm hình vuông và bán kính bằng
- Khi đặt trong hệ tọa độ thì điểm và đường cong là một phần của đồ thị hàm đa thức bậc ba
- Tỷ lệ phần tô đậm chiếm diện tích hình vuông.
b) Yêu cầu:
- Tính
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng dữ kiện đề bài và tích phân lập được hệ phương trình giải các ẩn.
Phần 3. Giải chi tiết

Diện tích hình vuông của hình vẽ là:
Dựa vào đồ thị hình vẽ ta có:
Lại có đi qua nên ta có:
(1)
Ta có diện tích phần trắng là
Vậy diện tích phần in đậm là:
Theo bài cho ta có:

(2)
Từ (1) (2) suy ra:
Vậy
Điền đáp án: 72.
Câu 11 [696355]: Từ một tấm tôn phẳng hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng có gắn hệ toạ độ như hình vẽ.

Thầy Tuấn cắt miếng tôn theo ba đường: Đường cong là một phần của Parabol, các đường cong là một phần đồ thị hàm số bậc ba. Trang trí phần còn lại để tạo thành một chiếc mặt nạ đồ chơi có trục đối xứng là trục Biết đường cong đi qua các điểm và Tính diện tích chiếc mặt nạ đồ chơi của thầy Tuấn (làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị ).

Điền đáp án: 24,9.
Giả sử đường cong có phương trình là
Đường cong có phương trình là
Vì mặt nạ đối xứng qua trục nên diện tích của mặt nạ bằng
+) Viết phương trình của
Ta có đường cong đi qua các điểm và
Từ đó ta có hệ phương trình:


+) Viết phương trình của
Vì đồ thị hàm số đi qua điểm nên suy ra

Lại có đường cong đi qua các điểm và các điểm và Từ đó, ta có hệ phương trình:


Suy ra diện tích của mặt nạ bằng

Câu 12 [1002588]: Kiến trúc sư thiết kế một con đường để chia khu đất hình chữ nhật với thành hai phần (hai lề đường là các đường cong và ). Trong đó phần giới hạn bởi đường cong và các đoạn là sân chơi, phần giới hạn bởi đường cong và các đoạn để trồng hoa (tham khảo hình vẽ).

Nếu gắn một hệ trục toạ độ vuông góc có trục hoành, trục tung lần lượt cùng phương với các đường thẳng thì đường cong là một phần của đồ thị hàm số bậc ba Đường cong nhận được bằng cách tịnh tiến đường cong theo phương thẳng đứng lên phía trên . Biết , điểm cách các cạnh lần lượt và , điểm cách các cạnh lần lượt và . Gọi là diện tích phần sân chơi và là diện tích phần trồng hoa. Tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Chọn hệ trục tọa độ sao cho , tia trùng với tia , tia trùng với tia
Đường cong là một phần của đồ thị hàm số bậc ba ;
Đồ thị hàm số đi qua điểm , , , ta có
Nên
Đường cong nhận được bằng cách tịnh tiến đường cong theo phương thẳng đứng lên phía trên nên nó là phần đồ thị hàm số
Suy ra .
Câu 13 [703070]: Một bức tường hình chữ nhật có kích thước được bạn An trang trí bằng cách vẽ hai đồ thị (a, b là các số dương và khác 1) đối xứng nhau qua đường thẳng và chia thành ba phần (tham khảo hình vẽ bên).
Phần được sơn màu xanh da trời, phần được sơn màu vàng, phần được sơn màu xanh lá cây. Biết rằng mỗi hộp sơn các màu chỉ sơn được tường, đồng thời giá của hộp sơn màu xanh da trời là 100 000 đồng/hộp, hộp sơn vàng là 140 000 đồng/hộp, hộp sơn xanh lá cây là 130 000 đồng/hộp. Tính giá tiền bạn Hà mua để sơn bức tường này (đơn vị là triệu đồng và cửa hàng sơn chỉ bán số nguyên của hộp).
Điền đáp án:
Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đi qua nên (do ).
Khi đó
Mặt khác đồ thị hàm số và đối xứng nhau qua nên
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và là nghiệm của phương trình
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và là nghiệm của phương trình
Diện tích phần là

Như vậy ta cần dùng 2 hộp sơn màu xanh da trời
Diện tích phần là

Như vậy ta cần dùng 3 hộp sơn xanh lá cây
Diện tích phần
Như vậy ta cần dùng 4 hộp sơn vàng
Vậy tổng số tiền là
(đồng) =1,15 triệu đồng.
Câu 14 [596493]: Một bức tường lớn kích thước trước đại sảnh của một toà biệt thự được sơn loại sơn đặc biệt. Người ta vẽ hai nửa đường tròn đường kính cắt nhau tại ; đường tròn tâm , bán kính , cắt nửa đường tròn đường kính tại . Biết tam giác "cong" được sơn màu xanh và các phần còn lại được sơn màu trắng (như hình vẽ) và một mét vuông sơn trắng, sơn xanh lần lượt có giá là 1 triệu đồng và 1,5 triệu đồng. Tính số tiền phải trả thro đơn vị triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
a) Đề cho:
- Một bức tường lớn kích thước
- Hai nửa đường tròn đường kính cắt nhau tại ; đường tròn tâm bán kính cắt nửa đường tròn đường kính tại
- Tam giác "cong" được sơn màu xanh và các phần còn lại được sơn màu trắng (như hình vẽ) và một mét vuông sơn trắng, sơn xanh lần lượt có giá là 1 triệu đồng và 1,5 triệu đồng.
b) Yêu cầu:
- Tính số tiền phải trả theo đơn vị triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần muời)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Chọn hệ toạ độ

Cung có phương trình ; cung có phương trình và cung có phương trình
Dễ tìm được tọa độ các điểm và
Diện tích tam giác là


Số tiền cần trả là triệu đồng.
Điền đáp án: 67,1.
Câu 15 [779017]: Người nghệ sĩ vẽ một bông hoa không màu trên một miếng bìa hình vuông tâm bằng một đường cong kính rồi tô màu đen phần bên ngoài đường cong này của hình vuông (tham khảo hình vẽ). Nếu điểm thuộc cạnh của hình vuông và tia cắt tại điểm thì Biết rằng Phần được nghệ sĩ tô màu đen có diện tích bằng bao nhiêu centimet vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Điền đáp án: 4384.
Diện tích của cả hình vuông là Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét).

Khi đó ta suy ra toạ độ các đỉnh và tâm là Và phương trình các cạnh là
Vì tính đối xứng của ta chỉ cần xét phần của nằm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba của hệ trục tọa độ (kết quả sẽ bằng bốn phần diện tích này).
Gọi
và
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên trục tung.
Áp dụng định lý Thalès trong tam giác ta có:

(dấu +, - tương ứng với nửa trên trục hoành và nửa dưới trục hoành)
Xét một phần tư bông hoa giới hạn bởi đoạn thẳng và đoạn thẳng
Giả sử

Xét
Vậy diện tích cả công hoa là
Vậy diện tích phần tô màu đen là bên ngoài bông hoa bằng