Đáp án Bài 7 - Đề thi online: Bài tập tự luyện số 1

Câu 1 [1012170]: Điền số thích hợp vào chố trống.

Bình chứa nhiên liệu của một chiếc máy bay phản lực được mô tả trong không gian là một khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

với

và trục

quanh trục

(

tính theo đơn vị m). Thể tích của bình chứa bằng

với

là phân số tối giản,

Khi đó

bằng ___________.

Điền đáp án: 31.
Thể tích của bình chứa là

Do đó,

và

nên

Câu 2 [376851]: Xét chiếc chén trong bộ ấm chén uống trà, bạn Dương ước lượng được rằng chiếc chén được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

trục hoành và hai đường thẳng

quay quanh trục

(đơn vị trên mỗi trục toạ độ là centimét).

Tính thể tích của chiếc chén (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của centimét khối).

Điền đáp án: 42.
Ta có thể tích của chiếc chén là:

Vậy thể tích của chiếc chén là

Câu 3 [913181]: Một cái trứng khủng long đồ chơi là một khối tròn xoay được tạo thành từ 2 mảnh ghép lại. Biết mảnh trên được tạo thành khi xoay một phần tư đường elip với trục lớn là 8 và trục nhỏ là 4 quanh trục

và mảnh dưới được tạo thành khi xoay một phần tư đường tròn bán kính 2 quanh trục

như hình sau (bỏ qua độ dày của vỏ trứng).

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh cần xác định tính đúng hoặc sai của từng mệnh đề a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Biểu diễn các mảnh của quả trứng bằng phương trình đường cong trong mặt phẳng tọa độ.
Xác định biểu thức

theo

để tính thể tích bằng phương pháp khối tròn xoay.
Áp dụng công thức

trên từng khoảng xác định.
Cộng các thể tích thành phần để suy ra thể tích toàn bộ khối.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Mảnh trên được biểu diễn bởi elip

.
Thể tích phần trong của mảnh trên được tính bởi

.
b) Đúng.
Ta có

.
Mảnh dưới được biểu diễn bởi đường tròn

.
Thể tích phần trong mảnh dưới là

.

, nên thể tích phần trong của mảnh trên gấp

lần thể tích phần trong của mảnh dưới.
c) Đúng.
Thể tích phần trong của quả trứng đồ chơi là

.
d) Sai.
Diện tích thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng qua trục của quả trứng là

, không thỏa mãn mệnh đề đã cho.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Câu 4 [1003207]: Một quả bóng bầu dục theo quy định được sử dụng trong giải bầu dục quốc gia có kích thước

từ đầu này đến đầu kia và đường kính

ở phần dày nhất ( quy định có phép thay đổi một chút về các kích thước này) ( Nguồn: NFL).

Hình dạng của một quả bóng bầu dục có kích thước nói trên có thể được tạo thành khi quay phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành và các đường thẳng

, trong đó

tính bằng centimet

. Thể tích ( đơn vị: cm³, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) của quả bóng bầu dục có kích thước nói trên bằng bao nhiêu?

Điền đáp án: 3390

Ta thấy đồ thị hàm số

đi qua các điểm

và

nên ta có hệ phương trình :

Vậy thể tích của quả bóng bầu dục trên là:

Câu 5 [693189]: Một bình nhiên liệu trên cánh máy bay phản lực được mô hình hóa bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

và trục

quanh trục hoành, trong đó

và

được đo bằng mét (xem hình vẽ). Biết rằng chiếc máy bay đó có 4 bình chứa nhiên liệu như nhau và được đổ đầy trước khi bay. Giả sử tốc độ tiêu hao nhiên liệu trên máy bay được mô phỏng bằng hàm số

lít/giờ (

tính theo giờ,

).

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Dựa vào điều kiện giá trị của hàm số để xác định tham số.
Sử dụng công thức thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành.
Đổi đơn vị từ mét khối sang lít khi cần thiết.
Thiết lập phương trình tích phân biểu diễn lượng nhiên liệu tiêu hao theo thời gian.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Ta có

.

.
b) Sai.
Thể tích nhiên liệu trên mỗi bình được xác định bởi công thức

.
c) Đúng.
Thể tích nhiên liệu trên mỗi bình là

.

.
Thể tích nhiên liệu của 4 bình là

.
Đổi ra lít ta được

.
d) Đúng.
Tốc độ tiêu hao nhiên liệu được mô phỏng bởi hàm số

(lít/giờ).
Lượng nhiên liệu bằng

tổng nhiên liệu là

.
Gọi

là thời gian máy bay tiêu hao hết

nhiên liệu, khi đó

.

.
Giải phương trình thu được

.
Vậy máy bay sẽ tiêu hao hết

nhiên liệu sau khoảng

giờ bay.
🔑 Điền đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Câu 6 [1042406]: Một nhà máy sản xuất một mẫu đồ chơi có dạng một chiếc mũ trùm lên một khối trụ. Cách thiết kế mẫu vật như sau: Lấy chân đỡ là một khối trụ có chiều cao 4 cm và bán kính bằng 10 cm. Phần có dạng chiếc mũ nói trên có bán kính đáy bằng bán kình hình trụ, chiều cao bằng 16 cm và được tạo thành khi quay một parabol có đỉnh là đỉnh của cái mũ quanh trục

(tham khảo như hình vẽ). Thể tích của mẫu đồ chơi bằng bao nhiêu centimet khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Lấy chân đỡ là một khối trụ có chiều cao 4 cm và bán kính bằng 10 cm .
- Phần có dạng chiếc mũ nói trên có bán kính đáy bằng bán kình hình trụ, chiều cao bằng 16 cm và được tạo thành khi quay một parabol có đỉnh là đỉnh của cái mũ quanh trục

b) Yêu cầu:
- Thể tích của mẫu đồ chơi bằng bao nhiêu centimet khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng công thức thể tích khi quay quanh trục

Phần 3. Giải chi tiết
Cách hiểu 1:

Gọi phương trình parabol có dạng

Ta có điểm

Thể tích khi quay phần có dạng chiếc mũ nói trên quanh trục

giới hạn bởi các đường thẳng

là

Thể tích phần đáy hình trụ là

Thể tích của mẫu đồ chơi là

Điền đáp án: 2262
Cách hiểu 2:

Gắn hệ trục tọa độ

với đỉnh của parabol trùng với gốc tọa độ

theo dọc theo bán kính của chiếc mũ và

là trục dọc theo chiều cao của chiếc mũ (tham khảo hình vẽ).
Giả sử parabol có phương trình

Vì parabol có đỉnh là

và đi qua điểm

nên ta có hệ phương trình:

Vậy thể tích phần có dạng chiếc mũ là

Thể tích của mẫu đồ chơi là

Điền đáp án: 3770

Câu 7 [1042407]: Trong một dự án thiết kế chi tiết máy bay, các kỹ sư cần tính toán thể tích của một bộ phận đặc biệt được tạo thành từ việc ghép nối hai khối hình học phức tạp. Bộ phận này có trục đối xứng trùng với trục

trong hệ tọa độ Oxy và được mô tả như sau:
∎ Phần A (Đầu mũi): Là một khối nón tròn xoay đặc, có đỉnh tại gốc tọa độ O và chiều cao bằng 4 cm. Mặt đáy của phần nón nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục

.
∎ Phần B (Thân sau): Là một khối chỏm cầu đặc, được gắn trùng khớp mặt đáy của Phần A. Khối chỏm cầu là một phần của một khối cầu lớn có bán kính 8 cm và tâm trùng với gốc tọa độ.
Tính thể tích chi tiết máy bay này theo đơn vị

. (không làm tròn kết quả của các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Phần A (Đầu mũi): Là một khối nón tròn xoay đặc, có đỉnh tại gốc tọa độ

và chiều cao bằng 4 cm. Mặt đáy của phần nón nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục

- Phần B (Thân sau): Là một khối chỏm cầu đặc, được gắn trùng khớp mặt đáy của Phần A. Khối chỏm cầu là một phần của một khối cầu lớn có bán kính 8 cm và tâm trùng với gốc tọa độ.
b) Yêu cầu:
- Tính thể tích chi tiết máy bay này theo đơn vị

?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng công thức thể tích hình nòn và thể tích chỏm cầu.
Phần 3. Giải chi tiết
Theo hình vẽ ta có:

Thể tích của phần A là

Thể tích của phần B là

Thể tích chi tiết máy bay là

Điền đáp án: 536.

Câu 8 [693783]: Một ly trà sữa dạng hình nón cụt, có đường kính đáy ly là 6 cm, đường kính miệng ly là 9 cm, chiều cao 13,4 cm, ở miệng ly có sử dụng một nắp đậy có hình dạng nửa mặt cầu và ở đỉnh của nửa mặt cầu này có một hình tròn có đường kính 2 cm để cắm ống hút, mặt phẳng chứa hình tròn này song song với mặt phẳng chứa miệng ly (tham khảo hình vẽ)

Chọn hệ trục

(đơn vị trên trục là centimet) với trục

đi qua tâm của 2 đáy hình nón cụt và gốc toạ độ

trùng với tâm của đáy lớn như hình vẽ.

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
Các thể tích được tính theo công thức thể tích khối tròn xoay

, đơn vị là

(tương đương ml).
💡 Phương pháp:
Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm để xác định bán kính quay theo biến

.
Sử dụng phương trình đường tròn tâm

để tìm giao điểm cần thiết.
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay quanh trục

bằng tích phân.
Nếu vật thể gồm nhiều phần thì tổng thể tích bằng tổng các tích phân tương ứng.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Phương trình đường thẳng

có dạng

đi qua

và

.

.
Vậy phương trình

là

.
b) Đúng.
Phương trình đường tròn tâm

bán kính

là

.
Do

thuộc đường tròn nên

.

.
Vậy

.
c) Đúng.
Thể tích phần thân ly không gồm nắp là

.
Suy ra dung tích phần này là

ml.
d) Đúng.
Nắp ly là nửa đường tròn

nên

.
Thể tích phần nắp là

.
Tổng thể tích bên trong ly là

.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng

Câu 9 [395596]: Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền

(phần gạch chéo trong hình vẽ bên) quanh trục

Miền

được giới hạn bởi các cạnh

,

của hình vuông

và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng

cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh

,

Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười của cm³.

Điền đáp án: 10,5.

Chọn hệ trục tọa độ

sao cho trục

chứa cạnh

và

Khi đó

và

với

,

lần lượt là trung điểm của

,

Khi đó đường tròn tâm

chứa cung tròn

là

và đường tròn tâm

chứa cung tròn

là

Suy ra phương trình cung trên của đường tròn tâm

là

và phương trình cung dưới của của đường tròn tâm

là

Khi đó, thể tích vật thể trang trí là

Câu 10 [1023981]: Để đặt được một vật trang trí trên mặt bàn, người ta thiết kế một chân để như sau. Lấy một khối gỗ có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với độ dài hai cạnh đáy lần lượt bằng 7,4 cm và 10,4 cm, bề dày của khối gỗ bằng 1,5 cm. Sau đó khoét bỏ đi một phần của khối gỗ sao cho phần đó có dạng vật thể H, ở đó H nhận được bằng cách cắt khối cầu bán kính 5,7 cm bởi một mặt phẳng cắt mà mặt cắt là hình tròn bán kính 3,5 cm (xem hình dưới).

Thể tích của khối chân đế bằng bao nhiêu centimét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?

Nội dung kiến thức:
Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân).
Mức độ:
Vận dụng.
Lời giải chi tiết:
Note: Công thức tính thể tích hình chóp cụt

với

là chiều cao,

lần lượt là diện tích hai mặt đáy của hình.
Diện tích đáy nhỏ là:

Diện tích đáy lớn là:

Thể tích hình chóp cụt là:

Dựa vào hệ trục tọa độ trong đề bài, ta có phương trình đường tròn tâm

bán kính 5,7 cm là:

Ta có:

Xét vật thể

được giới hạn bởi hàm

, 2 đường thẳng

khi quay quanh trục

Ta có thể tích phần lõm là:

Thể tích của khối chân đế là

Điền đáp án: 95,9.

Câu 11 [1042408]: Một mẫu vật được thiết kế có hình dạng giống một quả cầu được đặt trong một khối trụ. Cách để thiết kế mẫu vật như sau: Lấy một khối trụ có chiều cao 12 cm và bán kính đáy bằng 6 cm; đổ silicon lỏng vào khối trụ (lớp silicon cao 10 cm), sau đó đặt khối cầu có bán kính 4 cm vào trong lớp silicon sao cho quả cầu nhô ra ngoài 3 cm, sau khi silicon đông lại lấy quả cầu ra ngoài ta thu được mẫu vật, khi đó lớp silicon cao 10 cm (tham khảo hình). Tính thể tích (cm³) của mẫu vật trên (làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân: Thể tích khối chỏm cầu).
Các em có thể xem video lí thuyết bên dưới để biết cách xây dựng công thức tính thể tích khối chỏm cầu dựa vào tích phân nhé!
Mức độ: Vận dụng (8+).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Lấy một khối trụ có chiều cao 12 cm và bán kính đáy bằng 6 cm; đổ silicon lỏng vào khối trụ (lớp silicon cao 10 cm ), sau đó đặt khối cầu có bán kính 4 cm vào trong lớp silicon sao cho quả cầu nhô ra ngoài 3 cm, sau khi silicon đông lại lấy quả cầu ra ngoài ta thu được mẫu vật (tham khảo hình).
b) Yêu cầu:
Tính thể tích của mẫu vật trên?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng công thức thể tích hình trụ và thể tích chỏm cầu.
Phần 3. Giải chi tiết
Thể tích của lớp silicone (cao 10 cm) là

Ta có chiều cao của phần chỏm cầu nhô ra bằng

cm

Thể tích của phần chỏm cầu nhô ra là

Thể tích khối cầu bị chìm trong silione là

Thể tích của mẫu vật trên là

Điền đáp án: 948.

Câu 12 [1002059]: Linh có hai chiếc cốc cà phê như hình, một chiếc lõm vào trong (cốc Y) và một chiếc lồi ra ngoài (cốc X), Linh nhận thấy chúng cùng chiều cao