Đáp án Bài 7 - Đề thi online: Bài tập tự luyện số 2

Câu 1 [151701]: Hãy tính thể tích khí chứa trong quả bóng bầu dục có dạng như hình vẽ bên (theo đơn vị

) (làm tròn đến hàng phần mười). Biết khi cắt một mặt cắt theo chiều ngang ta thu được một hình elip có độ dài trục lớn bằng 20 cm, độ dài trục bé bằng 10 cm.

a) Đề cho:
- Khi cắt một mặt cắt theo chiều ngang ta thu được một hình elip có độ dài trục lớn bằng 20 cm, độ dài trục bé bằng 10 cm.
b) Yêu cầu:
- Tính thể tích khí chứa trong quả bóng bầu dục có dạng như hình vẽ bên (theo đơn vị

) (làm tròn đến hàng phần mười).
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Viết phương trình elip sau đó sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Đưa vào hệ trục tọa độ Oxy, với O là tâm của quả bóng bầu dục
Ta có phương trình viền của quả bóng là elip:

Thể tích quả bóng bầu dục:

Điền đáp án: 1,0.

Câu 2 [1042409]: Người ta muốn thiết kế một mẫu vật bằng cách mô phỏng bản vẽ dưới dạng hình vẽ sau. Trước tiên người ta dùng một hình vuông có cạnh bằng

sau đó người thiết kế đã sử dụng các đường cong

và

để tạo hoa văn cho mẫu vật (đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng dm). Gọi

là phần màu vàng như hình vẽ.

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
Các miền hình học và khối tròn xoay đều được xét trong điều kiện

.
💡 Phương pháp:
Từ các phương trình đã cho, đưa về dạng

và

với

.
Xác định miền hình phẳng

bị giới hạn bởi các đồ thị và trục tọa độ.
Diện tích hình phẳng được tính bằng hiệu các tích phân theo biến

.
Thể tích khối tròn xoay quanh trục

được tính theo công thức

.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Với

ta có:
Từ

.
Từ

, do

, suy ra

.
Hai biểu thức trên không thỏa mãn mệnh đề đã cho nên khẳng định a) sai.
b) Sai.
Diện tích hình

được xác định bởi công thức

.
Công thức trong mệnh đề b) không đúng nên khẳng định b) sai.
c) Đúng.
Diện tích hình

là

.
Do đó khẳng định c) đúng.
d) Sai.
Thể tích khối tròn xoay là

.
Thay

,

được

.
🔑 Điền đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai

Câu 3 [140098]: Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính

đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1). Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao

Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2).

Bán kính của viên bi bằng bao nhiêu cm (viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

a) Đề cho:
- Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính

đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1).
- Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao

- Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2).
b) Yêu cầu:
- Bán kính của viên bi bằng bao nhiêu cm (viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tính thể tích khối nước hình chỏm cầu khi chưa có viên bi và khi có viên bi.
Phần 3. Giải chi tiết
Gọi

là bán kính viên bi hình cầu.
Điều kiện:

Chú ý: Công thức thể tích chỏm cầu:

Thể tích khối nước hình chỏm cầu khi chưa thả viên bi vào:

Khi thả viên bi vào thì khối chỏm cầu gồm khối nước và viên bi có thể tích là:

Ta có phương trình:

Điền đáp án: 2,09.

Câu 4 [703003]: Bên trong hình vuông cạnh

dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình bên). Tính thể tích

của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục

(làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Điền đáp án: 20,9.

Ta kí hiệu các điểm như hình vẽ.
Ta có khối tròn xoay đó được tạo thành khi quay hình phẳng

quanh trục

Mà

nên thể tích của khối tròn xoay đó sẽ = 2 lần thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng

quanh trục

Suy ra ta có thể tích

+) Viết phương trình đường thẳng

Có vectơ chỉ phương

suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là

Suy ra

+) Tương tự, ta viết được phương trình đường thẳng

là

Câu 5 [408109]: Một vật trang trí có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay miền

được giới hạn bởi đường gấp khúc

và cung tròn

(phần tô đậm trong hình bên) xung quanh trục

. Biết

là hình chữ nhật cạnh

,

;

là trung điểm của

; điểm

cách

một đoạn bằng

. Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị

+ Gắn hệ trục

như hình vẽ.
Gọi

là trung điểm

+ Gọi

là thể tích khối trụ được sinh ra khi quay hình chữ nhật

quanh trục

gọi

là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn đi qua

và cạnh

quanh

+ Ta có:

+

+ Phương trình đường tròn đi qua

là

+ Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm bằng

Điền đáp án: 16,5.

Câu 6 [700893]: Một kỹ sư muốn thiết kế một mẫu vật bằng cách mô phỏng bản vẽ dưới dạng hình vẽ. Trước tiên vẽ một hình chữ nhật có kích thước

, sau đó sử dụng hệ trục

vẽ đường cong

nằm trong hình chữ nhật (tham khảo hình vẽ). Gọi

là phần hình phẳng được tô màu đậm và đường cong ở góc phần tư thứ nhất có phương trình

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Xác định biểu thức hàm số mô tả biên của hình phẳng.
Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.
Tính diện tích phần còn lại bằng cách lấy diện tích hình ban đầu trừ diện tích bị cắt bỏ.
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay quanh trục đối xứng.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Ta có

với

.
b) Sai.
Diện tích hình phẳng

được xác định bởi công thức

.
c) Sai.
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là

.
Sau khi cắt bỏ hình phẳng

thì diện tích phần còn lại là

.
Suy ra

.
d) Sai.
Thể tích phần đồng hồ cát là

.
Suy ra

.
🔑 Điền đáp án: a) S, b) S, c) S, d) S

Câu 7 [1042410]: Một công ty nghiên cứu vật liệu mới đang phát triển một loại nút chặn đặc biệt cho các đường ống áp lực cao. Nút chặn này được thiết kế với hình dạng tổng hợp các khối tròn xoay như sau:
∎ Phần thân chính (Khối A): Là một khối trụ tròn xoay đặc, có bán kính đáy

cm và chiều cao

cm.
∎ Phần đáy lõm (Khoét B): Từ một mặt đáy của Khối A, người ta khoét bỏ đi một lỗ hình nón rỗng. Lỗ nón này có đáy trùng với đáy trụ và chiều cao 4 cm.
∎ Phần vành tròn (Khối C): Trên mặt đáy còn lại của Khối A (mặt không bị khoét nón), người ta gắn thêm một vành đặc có hình dạng là một chỏm cầu có bán kính đáy bằng 2 cm. Vành này nằm trong khối cầu có bán kính lớn

cm được đặt đồng tâm với Khối A.

Thể tích của nút chặn này là bao nhiêu centimét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)?

a) Đề cho:
- Phần thân chính (Khối A ): Là một khối trụ tròn xoay đặc, có bán kính đáy

và chiều cao

- Phần đáy lõm (Khoét B ): Từ một mặt đáy của Khối A , người ta khoét bỏ đi một lỗ hình nón rỗng. Lỗ nón này có đáy trùng với đáy trụ và chiều cao 4 cm .
- Phần vành tròn (Khối C ): Trên mặt đáy còn lại của Khối A (mặt không bị khoét nón), người ta gắn thêm một vành đặc có hình dạng là một chỏm cầu có bán kính đáy bằng 2 cm . Vành này nằm trong khối cầu có bán kính lớn

được đặt đồng tâm với Khối A .
b) Yêu cầu:
- Thể tích của nút chặn này là bao nhiêu

?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng công thức thể tích hình trụ, hình nón, chỏm cầu.
Phần 3. Giải chi tiết
Thể tích khối A là

Thể tích khối B là

Chiều cao của phần chỏm cầu là

Thể tích khối C là

Thể tích của nút chặn này là

Điền đáp án: 1208.

Câu 8 [931517]: Một ly thuỷ tinh có hình dạng phần chứa nước là một hình parabol tròn xoay.

Hình dạng này được tạo bằng cách quay một phần của đường parabol quanh trục đối xứng của nó. Biết phần chứa nước của ly có chiều cao tính từ đáy ly lên đến miệng ly là

, đường kính miệng ly là

(chỉ tính phần chứa nước, không tính phần thủy tinh). Ban đầu, người ta đổ vào ly một lượng nước có thể tích

thể tích của ly khi nó chứa đầy nước. Sau đó, người ta đổ thêm vào ly một lượng nước có thể tích bằng với lượng nước đã đổ ban đầu. Hỏi khi đổ thêm, chiều cao của mực nước trong ly đã tăng thêm bao nhiêu centimet so với lúc ban đầu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Điền đáp án: 2,07.

Bán kính miệng ly bằng

.
Khi đó parabol có đỉnh

và đi qua

,

Giả sử phương trình của parabol có dạng

.
Vì parabol có đỉnh là

và đi qua điểm

,

nên ta có:

.
Suy ra phương trình parabol là

Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường

, trục

,

.
Khi đó thể tích cần tính bằng thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng quanh trục

.
Do đó thể tích của vật thể đã cho là:

.
Thể tích của

ly là

, chiều cao của mực nước trong ly là

(

)

Thể tích của ly sau khi đổ thêm là

, chiều cao tương ứng của mực nước trong ly là

(

)

So với lúc ban đầu, chiều cao của mực nước trong ly đã tăng thêm

Câu 9 [151719]: Ông An có một cái bình đựng rượu, thân bình có hai phần: phần phía dưới là hình nón cụt, phần trên là hình cầu bị cắt bỏ 2 đầu chỏm (hình 1). Thiết diện qua trục của bình như hình 2.

Biết

,

và giá mỗi lít rượu là

đồng. Hỏi số tiền ông An cần để đổ đầy bình rượu là bao nhiêu nghìn đồng (giả sử độ dày của vỏ bình rượu không đáng kể) (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng)?

a) Đề cho:
- Ông An có một cái bình đựng rượu, thân bình có hai phần: phần phía dưới là hình nón cụt, phần trên là hình cầu bị cắt bỏ 2 đầu chỏm (hình 1 ). Thiết diện qua trục của bình như hình 2.
-

và giá mỗi lít rượu là 100 000 đồng.
b) Yêu cầu:
- Hỏi số tiền ông An cần để đổ đầy bình rượu là bao nhiêu nghìn đồng?(viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng)
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng công thức thể tích khối nón cụt và thể tích chỏm cầu.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:

Gọi

lần lượt là tâm mặt cầu, trung điểm của cạnh

và cung

Ta có bán kính mặt cầu

Thể tích khối nón cụt

Thể tích khối cầu:

Thể tích chỏm cầu:

Thể tích bình rượu bằng:

Vậy, số tiền ông An cần để đổ đầy bình rượu gần bằng:

nghìn đồng.
Điền đáp án: 1617.

Câu 10 [1001952]: Điền số thích hợp vào chỗ trống.
Lớp vỏ của một lò phản ứng hạt nhân bằng kim loại và được tạo bởi hình phẳng (S) giới hạn bởi nhánh bên phải trục tung của các đường hybelbol

và hai đường thẳng

khi quay quanh trục Oy ( tham khảo hình vẽ)

Biết

đi qua điểm

và có tiêu cự bằng

;

đi qua điểm

và có tiêu cự bằng

(đơn vị trên các trục toạ độ đo bằng 1 mét). Thể tích khối kim loại cần sử dụng để làm vỏ lò phản ứng hạt nhân bằng __________ mét khối ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị ).

Đáp số:
+) Gọi phương trình

đi qua điểm

và có tiêu cự bằng

nên ta có hệ phương trình

.
Vậy phương trình

. Suy ra

+) Gọi phương trình

đi qua điểm

và có tiêu cự bằng

nên ta có hệ phương trình

Vậy phương trình

Suy ra

+) Thể tích của khối kim loại là:

Câu 11 [1042411]: Một công ty đặt hàng sản xuất một cái chuông để bán ra thị trường. Để sản xuất cái chuông này, xưởng phải thi công bằng cách cho quay phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành và hai đường

quanh trục hoành (tô đậm như hình vẽ). Biết rằng hàm số

có đạo hàm

và

Đơn vị trên mỗi trục tính bằng dm, thể tích của mỗi cái chuông bằng bao nhiêu centimet khối?

a) Đề cho:
- Để sản xuất cái chuông này, xưởng phải thi công bằng cách cho quay phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số

trục hoành và hai đường

quanh trục hoành (tô đậm như hình vẽ).
- Hàm số

có đạo hàm

và

b) Yêu cầu:
- Đơn vị trên mỗi trục tính bằng dm , thể tích của mỗi cái chuông bằng bao nhiêu centimet khối?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng nguyên hàm để tìm hàm