Quay lại
Đáp án
Câu 1 [38456]: Cho là hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường tròn (phần tô đậm trong hình). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành (làm tròn đến hàng phần mười).
a) Đề cho:
- Cho là hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường tròn (phần tô đậm trong hình).
b) Yêu cầu:
- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành (làm tròn đến hàng phần mười)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Tọa độ các giao điểm của parabol và đường tròn là nghiệm của hệ:


Nửa đường tròn nằm trên trục hoành có phương trình là
Hình phẳng giới hạn bời parabol và đường tròn nhận là trục đối xứng nên thể tích khối tròn xoay cần tính là:

Điền đáp án: 9,2.
Câu 2 [151693]: Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường và quanh trục Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại (hình vẽ bên). Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác quanh trục Biết rằng Khi đó giá trị bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: 3.

Ta có .
Gọi là giao điểm của đường thắng và trục hoành.
Khi đó là thể tích tạo được khi xoay hai tam giác và quanh trục với là hình chiếu của trên .
Ta có .
Câu 3 [408422]: Người ta làm một chiếc phao bơi như hình vẽ (với bề mặt có được bằng cách quay đường tròn quanh trục ). Biết rằng . Thể tích của chiếc phao là bao nhiêu lít (viết kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)?
a) Đề cho:
- Người ta làm một chiếc phao bơi như hình vẽ (với bề mặt có được bằng cách quay đường tròn quanh trục
-
b) Yêu cầu:
- Thể tích của chiếc phao là bao nhiêu lít (viết kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Phương trình đường tròn là

Khi đó được giới hạn bởi hình phẳng khi quay quanh trục
Ta có:
Điền đáp án: 14,8.
Câu 4 [1003185]: Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục . Biết rằng là hình chữ nhật với . Gọi lần lượt là trung điểm của . Hai đường cong là hình elip có hình chữ nhật cơ sở là và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh và (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích của vật trang trí đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục theo đơn vị ).
Điền đáp án: 75,4
Chọn hệ trục như hình vẽ ( là trung điểm của , tia là tia , tia vuông góc với và hướng lên trên)
Phương trình elip là: . Do đó: .
Thể tích vật thể tròn xoay khi quay elip quanh là:
Phương trình đường tròn là: . Do đó: .
Thể tích vật thể tròn xoay khi quay đường tròn quanh là: .
Thể tích của vật trang trí là: ()
Câu 5 [104749]: Một con xoay được thiết kế gồm hai khối trụ chồng lên khối nón (tham khảo mặt cắt ngang qua trục như hình vẽ). Khối trụ có bán kính đáy chiều cao Khối trụ có bán kính đáy chiều cao Khối nón có bán kính đáy chiều cao Biết rằng thể tích toàn bộ con xoay bằng Thể tích khối nón bằng bao nhiêu cm3 (làm tròn đến hàng phần mười).
11874792.png
a) Đề cho:
Một con xoay được thiết kế gồm hai khối trụ chồng lên khối nón (tham khảo mặt cắt ngang qua trục như hình vẽ). Khối trụ có bán kính đáy chiều cao Khối trụ có bán kính đáy chiều cao Khối nón có bán kính đáy chiều cao Biết rằng thể tích toàn bộ con xoay bằng Thể tích khối nón bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần mười).
b) Yêu cầu:
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tính thể tích từng khối.
Phần 3. Giải chi tiết
Thể tích khối trụ là
Thể tích khối trụ là
Thể tích khối nón là
Thể tích toàn bộ con xoay bằng



Điền đáp án: 4.
Câu 6 [589439]: (Sở Nam Định 2024) Hình phẳng được tô đậm trong hình bên được giới hạn bởi đường tròn, đường parabol, trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng đã cho quanh trục (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Phương trình đường tròn là
suy ra phương trình nửa đường tròn dưới là


Phương trình Parabol có dạng:
Trong đó

Do đó
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng đã cho quanh trục là:
Suy ra
Câu 7 [589445]: Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền (phần gạch chéo trong hình vẽ bên) quanh trục Miền được giới hạn bởi cạnh , đường cao của tam giác đều có cạnh bằng cm và cung nhỏ của đường tròn nội tiếp tam giác ( là trung điểm của đoạn thẳng ). Tính thể tích của vật trang trí đó theo đơn vị cm3 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Chọn trục chứa và
Khi đó và với là trung điểm của
Khi đó đường tròn nội tiếp tam giác có phương trình là và đường thẳng có phương trình là
Khi đó, thể tích vật thể trang trí là

Câu 8 [398640]: Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục Biết rằng là trung điểm miền được giới hạn bởi đoạn thẳng và các cung tròn bán kính có tâm và Thể tích vật trang trí đó bằng bao nhiêu cm3 (viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Điền đáp án: 2,9.
11674893lg.png
Chọn hệ trục như hình vẽ
Khi đó mặt phẳng được giới hạn bởi hai cung tròn: và
Hoành độ giao điểm của hai cung tròn này là nghiệm của phương trình

Khi đó miền phẳng
Vậy
Câu 9 [408479]: Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có hình dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên. Biết rằng , đường cong là một phần của parabol có đỉnh là điểm . Thể tích của chiếc mũ bằng bao nhiêu (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
a) Đề cho:
- Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên.
- đường cong là một phần của parabol có đỉnh là điểm
b) Yêu cầu:
- Thể tích của chiếc mũ bằng bao nhiêu (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng công thức thể tích khi quay quanh trục
Phần 3. Giải chi tiết
Thể tích mũ là thể tích khối trụ bán kính đáy bằng và đường cao là
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi và 2 trục tọa độ quanh trục là
Ta có: +)
+)


()

Parabol có đỉnh nên : đi qua nên



Điền đáp án: 2618.
Câu 10 [408108]: Một vật trang trí có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền (Phần gạch sọc trong hình vẽ bên dưới) quanh trục Biết rằng miền được giới hạn bởi đoạn thẳng , cung tròn có tâm đường tròn elip có trục và Thể tích của vật trang trí bằng bao nhiêu cm3 (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
a106.png
Chọn hệ trục với trùng với như hình vẽ.
Phương trình nửa đường tròn là
Phương trình Elip là: suy ra phương trình đường cong Elip phía trên là
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là
a107.png
Câu 11 [693649]: Cho hình vuông tâm có cạnh bằng dm. Gọi lần lượt là trung điểm cạnh Đồ thị của hàm số bậc ba nhận làm tâm đối xứng và là hai điểm cực trị tạo với các đoạn thẳng một miền phẳng (phần gạch chéo trong hình bên). Một chiếc đồng hồ cát có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục Thể tích của chiếc đồng hồ đó bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Điền đáp án:
Gọi
Đồ thị có là hai điểm cực trị nên
Thể tích của chiếc đồng hồ đó bằng
Câu 12 [151717]: Cho 2 đường tròn và cắt nhau tại 2 điểm sao cho là 1 đường kính của đường tròn Gọi là hình thẳng được giới hạn bởi 2 đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ). Quay quanh trục ta được 1 khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
a) Đề cho:
- Cho 2 đường tròn và cắt nhau tại 2 điểm sao cho là 1 đường kính của đường tròn
- Gọi là hình thẳng được giới hạn bởi 2 đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ).
- Quay quanh trục ta được 1 khối tròn xoay.
b) Yêu cầu:
- Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết

Gọi là thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường quanh trục tung
Gọi là thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường quanh trục tung

Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tính bằng
Câu 13 [695177]: Một cái hồ nước ước tính có hình tròn, đường kính 400dm (xem hình). Bắt đầu từ tâm, độ sâu của nước được đo mỗi 25 dm và ghi lại trong bảng với có đơn vị dm.

Người ta xây dựng một hàm số bậc hai để mô phỏng tương đối độ sâu của cái ao theo số liệu ở bảng 1, tức là trên hệ trục tọa độ đồ thị của hàm số đó đi qua các điểm và đơn vị trên các trục tọa độ là dm. Gọi là thể tích của hồ nước. Dựa vào hàm số tìm được ta có:
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Dựa vào hình vẽ để xác định độ sâu lớn nhất của ao.
Xét thể tích khối tròn xoay quanh trục bằng công thức tích phân.
Lập phương trình hàm số bậc hai đi qua ba điểm đã cho để xác định hàm .
Sử dụng tích phân để tính thể tích nước mất đi và thể tích còn lại.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Dựa theo hình vẽ ta thấy độ sâu lớn nhất của ao là .
b) Sai.
Thể tích của hồ nước là thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi , , , khi quay quanh trục .
.
c) Sai.
Thay tọa độ các điểm , , vào phương trình ta được hệ:
.
.
.
.
d) Sai.
Ta có .
.
.
🔑 Điền đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Sai.
Câu 14 [693839]: Một vật trang trí có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay miền (phần tô đậm trong hình vẽ) quay xung quanh trục Miền được giới hạn bởi các cạnh và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng với tâm lần lượt là trung điểm của và Biết là hình chữ nhật có cạnh điểm cách một đoạn bằng điểm cách một đoạn bằng Thể tích của vật thể trang trí trên là bao nhiêu centimet khối (quy tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Điền đáp án:

Gắn hệ trục toạ độ
Phương trình đường tròn đi qua hai điểm và là (do lấy nửa trên của đường tròn)
Thể tích của vật thể trang trí là
Câu 15 [1042412]: Một công ty đặt hàng sản xuất một cái chuông để bán ra thị trường. Để sản xuất cái chuông này, xưởng phải thi công bằng cách cho quay phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số , và hai đường quanh trục hoành (tô đậm như hình vẽ). Biết rằng hàm số có đạo hàm và ; hàm số . Đơn vị trên mỗi trục tính bằng dm, thể tích của mỗi cái chuông bằng bao nhiêu centimet khối?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Để sản xuất cái chuông này, xưởng phải thi công bằng cách cho quay phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai đường quanh trục hoành (tô đậm như hình vẽ).
- Hàm số có đạo hàm và ; hàm số
b) Yêu cầu:
- Đơn vị trên mỗi trục tính bằng dm, thể tích của mỗi cái chuông bằng bao nhiêu centimet khối?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng nguyên hàm để tìm hàm sau đó dùng tích phân để tính thể tích.
Phần 3. Giải chi tiết
Ta có:

Mà

Thể tích của mỗi cái chuông bằng

Điền đáp án: 311.