Quay lại
Đáp án
Câu 1 [151696]: Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn , trục nhỏ . Biết cứ dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu nghìn đồng từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể.
a) Đề cho:
- Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 28 cm , trục nhỏ 25 cm .
- Biết cứ dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000 đồng.
b) Yêu cầu:
- Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu nghìn đồng từ việc bán nước sinh tố?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Viết phương trình elip, sau đó dùng công thức thể tích khi quay quanh trục hoành.
Phần 3. Giải chi tiết
Độ dài trục lớn trục bé
Phương trình Elip là:
Thể tích của quả dưa hấu chính là thể tích khối tròn xoay khi quay diện tích hình phẳng giới hạn bởi Elip quay trục hoành.
Ta có:
nghìn đồng.
Điền đáp án: 183.
Câu 2 [151704]: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ bên. Người ta đo được đường kính của miệng ly là và chiều cao là . Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng qua trục đối xứng là một parabol. Tính thể tích của vật đã cho (làm tròn đến hàng đơn vị).
a) Đề cho:
- Đường kính của miệng ly là 4 cm và chiều cao là 6 cm .
- Thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng qua trục đối xứng là một parabol.
b) Yêu cầu:
- Tính thể tích của vật thể đã cho (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng công thức thể tích khi quanh quanh trục trung.
Phần 3. Giải chi tiết
Thể tích của vật là thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường quanh trục tung.
Khi đó
Điền đáp án: 38.
Câu 3 [589438]: Một chiếc bát thuý tinh có bề dày của phần xung quanh là một khối tròn xoay, khi xoay hình phẳng quanh một đường thẳng bất kì nào đó mà khi gắn hệ trục toạ độ (đơn vị trên trục là decimét) vào hình phẳng tại một vị trí thích hợp, thì đường thẳng sẽ trùng với trục Khi đó, hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số và hai đường thẳng (hình bên). Thể tích của bề dày chiếc bát thuỷ tinh đó bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Điền đáp án: 21,2
Gọi là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục
Khi đó
- Gọi là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục
Khi đó
Vậy thể tích của bề dày chiếc bát thủy tinh đó là:
Câu 4 [589446]: Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền (phần được tô màu trong hình vẽ bên) quanh trục Miền được giới hạn bởi các cạnh , của hình vuông và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh ,

Tính thể tích của vật trang trí đó theo đơn vị mét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Điền đáp án: 12,3.

Chọn trục chứa điểm , trục chứa điểm , và gốc tọa độ trùng điểm (như hình vẽ).
Gọi lần lượt là trung điểm của ,
Khi đó
*Phương trình đường tròn có tâm và đường kính là:
Suy ra phương trình cung trên của đường tròn tâm là:
*Phương trình đường tròn có tâm và đường kính là:
Suy ra phương trình cung trên của đường tròn tâm là:
Vậy, thể tích vật trang trí là:
Câu 5 [15924]: Một thùng đựng Bia hơi (có dạng như hình vẽ) có đường kính đáy là , đường kính lớn nhất của nhân thùng là , chiều cao thùng là , cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol. Thể tích của thùng bia hơi là bao nhiêu lít? (với giả thiết độ dày thùng Bia không đáng kể) (viết kết quả đã làm tròn đến hàng đơn vị).
a) Đề cho:
- Một thùng đựng Bia hơi có đường kính đáy là 30 cm, đường kính lớn nhất của nhân thùng là 40 cm, chiều cao thùng là 60 cm, cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol.
b) Yêu cầu:
- Thể tích của thùng bia hơi là bao nhiêu lít?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng công thức thể tích khi quanh quanh trục hoành.
Phần 3. Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.
Cạnh bên bên thùng là parabol có phương trình
Thể tích của thùng bia hơi chính là
Điền đáp án: 64.
Câu 6 [789820]: (Trần Phú - Hà Tĩnh - 2018) Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng , trục bé bằng , chiều dài (mặt trong của thùng) bằng . Đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là . Tính thể tích của dầu có trong thùng theo đơn vị m3 (kết quả làm tròn đến phần trăm).
Điền đáp án: 1,52.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Theo đề bài ta có phương trình của Elip là .
Gọi , lần lượt là giao điểm của dầu với elip.
Gọi là diện tích của Elip ta có .
Gọi là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng .
Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là nên ta có phương trình của đường thẳng là .
Mặt khác từ phương trình ta có .
Do đường thẳng cắt Elip tại hai điểm , có hoành độ lần lượt là và nên.
Tính .
Đặt .
Đổi cận: Khi thì ; Khi thì .
.
Vậy .
Thể tích của dầu trong thùng là .
Câu 7 [589441]: Săm lốp xe ô tô khi bơm căng đặt nằm trên mặt phẳng nằm ngang có hình chiếu bằng như hình vẽ với bán kính đường tròn nhỏ , bán kính đường tròn lớn và mặt cắt khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trục, vuông góc mặt phẳng nằm ngang là hai đường tròn. Bỏ qua độ dày vỏ săm. Tính thể tích không khí được chứa bên trong săm theo đơn vị cm3 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Thể tích săm xe bằng thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình tròn tâm bán kính bằng quay quanh trục
Ta có phương trình đường tròn là

Vậy

Ta có là diện tích nửa hình tròn tâm , bán kính bằng 5

Suy ra
Câu 8 [702800]: Một con quạ khát nước, nó tìm thấy một cái lọ có nước nhưng cổ lọ lại cao nó không thò mỏ uống được nên đã gắp từng viên bi (hình cầu) bỏ vào trong lọ để nước dâng lên. Hỏi con quạ cần bỏ vào lọ ít nhất bao nhiêu viên bi để có thể uống nước? Biết rằng viên bi có bán kính là và không thấm nước, khi đặt nằm ngang cái lọ có hình dáng là một khối tròn xoay với đường sinh là đồ thị của một hàm bậc 3 (hình 2), mực nước trong lọ ban đầu ở vị trí mà hình tròn có bán kính lớn nhất mực nước mà quạ có thể uống được là vị trí mà hình tròn có bán kính nhỏ nhất và khoảng cách giữa hai mặt này bằng được minh họa ở hình vẽ bên dưới.
Điền đáp án: 40.
Gọi phương trình của đường sinh là
Theo đề bài, ta có: có điểm cực đại điểm cực tiểu là

Từ (1), (2), (3) và (4)

Thể tích đã cho vào:

Thể tích 1 viên bi là

Cần số viên bi: (viên).
Câu 9 [695532]: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai Parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao của mực cát bằng chiều cao của bên đó (xem hình vẽ). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng (/phút). Khi chiều cao của cát còn thì 4(cm) bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi bằng (cm). Biết sau 20 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài bằng bao nhiêu centimet (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Điền đáp án: 20,7.

Ta có hình vẽ trên thể hiện mặt cắt của đồng hồ cát qua tâm hình trụ theo phương thẳng đứng của chiều cao.
Ta có:
Vì ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao của mực cát bằng chiều cao của bên đó nên
Chiều cao của khối trụ bên ngoài là
Vì khi chiều cao của cát còn thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi bằng

Parabol đi qua gốc tọa độ và 2 điểm có dạng
Thay tọa độ điểm vào phương trình parabol ta được:
Cát chảy từ trên xuống với tốc độ (/phút) và sau 20 phút thì các chảy hết xuống phía dưới đồng hồ nên ta có thể tích cát ban đầu dồn hết ở phần trên của đồng hồ là

Thể tích giới hạn bởi parabol , các đường thẳng khi quay quanh trục chính là thể tích cát ban đầu dồn hết ở phần trên của đồng hồ nên ta có:

Câu 10 [693193]: Một người thợ gốm sứ muốn thiết kế một cái bình hoa bằng cách quanh hình (phần gạch chéo trong hình vẽ bên) quanh trục Hình phẳng nằm trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đoạn thẳng là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh cung tròn (có tâm là trung điểm của đoạn thẳng ) và cung parabol Biết dm, dm. Tiếp tuyến của cung tròn và cung parabol tại điểm là trùng nhau. Bình hoa đó có thể tích bằng bao nhiêu lít (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Điền đáp án:

Ta có:
Phương trình đường tròn tâm bán kính là hay
Gọi là hàm số của cung tròn khi đó:
Thể tích khi quay hình phẳng giới hạn bởi bằng

Gọi là hàm số cung parabol đi qua và
Khi đó ta có: hay
Tiếp tuyến của cung tròn và cung parabol tại điểm là trùng nhau nên
Do đó,
Thể tích khi quay hình phẳng giới hạn bởi bằng

Thể tích của bình hoa đó bằng
Câu 11 [693787]: Một người thiết kế mô hình một cái đèn ngủ bằng nhựa có hình dạng như hình vẽ 3D ở hình 1. Hình 2 là mặt cắt bởi mặt phẳng cắt đi qua trục của đèn, hình 3 là bản vẽ toán học. Tam giác trong hình 3 là tam giác đều cạnh dm và là trung điểm các cạnh, là trọng tâm của tam giác. Phần tô đậm trong hình 3 được tạo bởi giao nhau của các cặp cung tròn đi qua 3 điểm là : và và và (xem hình vẽ). Biết rằng chiếc đèn ngủ được tạo thành khi xoay phần tô đậm trong hình 3 quanh trục là đường thẳng Chi phí trung bình để sản xuất chiếc đèn ngủ là đồng trên mỗi Chi phí để sản xuất đèn ngủ trên bằng bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Điền đáp án:
Đường tròn đi qua
Đường tròn đi qua
Đường tròn đi qua
Lấy
Thể tích của đèn ngủ là

Chi phí để sản xuất đèn ngủ là (nghìn đồng).
Câu 12 [696500]: Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm 2015. Nền sân là một elip có trục lớn dài 150 m, trục bé dài 90 m (hình vẽ). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của và cắt elip ở (hình vẽ) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm (phần tô đậm trong hình 4) với là một dây cung và góc Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Hỏi thể tích phần không gian đó bằng bao nhiêu nghìn mét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Điền đáp án: 116.

Chọn hệ trục như hình vẽ.
Phương trình chính tắc của E-líp đáy là
Gọi

.
Ta có công thức diện tích hình quạt:
với (theo đơn vị độ) là số đo góc ở tâm chắn cung tương ứng.

Gọi là diện tích thiết diện, ta có:

Thể tích khoảng không gian sân vận động là
nghìn mét khối.
Câu 13 [695183]: Nhà thiết kế muốn trang trí một biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm bán kính phía trong được trang trí bởi hai hình chữ nhật và có độ dài cạnh là và hai đường parabol đối xứng nhau chung đỉnh trong đó hình chữ nhật nội tiếp đường tròn tâm còn Parabol nằm phía trên trục hoành đi qua các điểm và (như hình vẽ). Hỏi diện tích phần tô đậm bằng bao nhiêu dm2 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Điền đáp án: 34,0.

Gọi
Phương trình hình tròn tâm bán kính là
Vì Tung độ của điểm là 4.
Thay vào phương trình đường tròn ta được:
(do đối xứng với qua
Gọi phương trình parabol đi qua các điểm có dạng
Thay tọa độ của các điểm vào phương trình parabol ta được hệ phương trình sau:
Vì
Tung độ của điểm là 2.
Thay vào phương trình parabol ta được:
Phương trình của đường tròn tâm bán kính trong góc phần tư thứ II là Ta ký hiệu:
Diện tích giới hạn bởi đường tròn tâm và đoạn là
Diện tích giới hạn bởi parabol, đường thẳng là
Diện tích giới hạn bởi parabol, đoạn , đường thẳng là
Diện tích là
Ta có:




Ta bấm máy tính thì được diện tích phần tô đậm là
Câu 14 [695654]: Từ một tấm bìa giấy hình chữ nhật có Người ta vẽ một đường tròn tiếp xúc với ba cạnh và kẻ một đường thẳng cắt đường tròn theo dây Biết cắt cạnh tại sao cho và chia tấm bìa thành hai miền có diện tích bằng nhau. Quay tấm bìa quanh cạnh thì miền phẳng được tô đậm tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Điền đáp án: 1,2.

Giả sử trùng với gốc tọa độ trong mặt phẳng , nằm trên trục , nằm trên trục .

Đặt
Ta có: ( do).
Gọi phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm có dạng
Thay tọa độ 2 điểm vào phương trình đường thẳng ta được: .
Vì đường tròn tâm tiếp xúc với ba cạnh
Bán kính của hình tròn tâm là
Phương trình đường tròn tâm là
Thay vào phương trình đường tròn tâm ta được:
Gọi là thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đường thẳng ; đường tròn ; các đường thẳng khi quay quanh cạnh .
là thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đường tròn ; các đường thẳng khi quay quanh cạnh .
Ta có: phương trình nửa đường tròn tâm nằm trên đường thẳng có dạng , phương trình nửa đường tròn tâm nằm dưới đường thẳng có dạng .
Ta có :


Thể tích phần tô đậm khi quay quanh cạnh là
Câu 15 [695259]: Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền (miền gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục


Miền được giới hạn bởi các cạnh của hình chữ nhật và một phần của các đường parabol với lần lượt là đỉnh của trong đó nằm miền trong hình chữ nhật sao cho khoang cách từ đến các cạnh lần lượt bằng và Tính thể tích của vật trang trí đó (đơn vị centimet khối) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 2,60
Chọn hệ trục D là gốc toạ độ, DC là trục , DA là
Từ đề bài ta có tọa độ điểm và
Parabol có tâm là có dạng và đi qua điểm nên ta có:

Parabol có tâm là có dạng đi qua điểm nên ta có:

Thể tích của vật trang trí đó là: