Quay lại
Đáp án
Câu 1 [589488]: Một khối bê tông cao 2 m được đặt trên mặt đất phẳng. Nếu cắt khối bê tông này bằng mặt phẳng nằm ngang, cách mặt đất thì được mặt cắt là hình chữ nhật có chiều dài m, chiều rộng Tính thể tích của khối bê tông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét khối).
Điền đáp án: 4,33.
Chọn trục thẳng đứng, gốc nằm trên mặt đáy của khối bê tông, chiều dương hướng lên trên (Hình).

Khi đó, khối bê tông nằm trong khoảng không gian giữa hai mặt phẳng vuông góc với lần lượt tại các điểm và
Mặt phẳng vuông góc với tại điểm có hoành độ cắt khối bê tông theo mặt cắt có diện tích là
Do đó, thể tích của khối bê tông là
Câu 2 [589483]: Một bình chứa nước có hình dạng như hình bên.

Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao thì mặt nước là hình vuông có cạnh Tính dung tích của bình (làm tròn đến hàng đơn vị, tính theo ).
Điền đáp án: 13.
Chọn trục vuông góc với mặt đáy của bình sao cho đáy nhỏ, đáy to của bình vuông góc với lần lượt tại và
Diện tích mặt nước ở chiều cao là
Dung tích của bình là
Câu 3 [589485]: Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy thì mặt cắt là hình tròn có bán kính Tính dung tích của chậu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, tính theo ).
Điền đáp án: 8109.
Chọn trục sao cho trùng với tâm của đáy, chiều dương của trục là chiều hướng lên trên.
Khi cắt chậu nước bằng mặt phẳng song song với đáy và cách mặt đáy , thì mặt phẳng đó cắt trục tại điểm có hoành độ
Mặt cắt là hình tròn có bán kính (cm)
Như vậy, diện tích mặt cắt là
Suy ra dung tích của chậu là

Sử dụng thông tin sau để trả lời Câu 4, Câu 5 và Câu 6:
Các mẫu vật thể sau đều có đáy là một đường tròn có bán kính bằng 1 dm. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với đáy ta thu được các hình khác nhau đó là hình bán nguyệt, hình vuông và hình tam giác đều (tham khảo như hình vẽ).
Câu 4 [1042444]: Thể tích của mẫu vật có mặt cắt là hình bán nguyệt bằng bao nhiêu cm3 (làm
tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
a) Đề cho:
- Các mẫu vật thể sau đều có đáy là một đường tròn có bán kính bằng 1 dm.
- Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với đáy ta thu được các hình khác nhau đó là hình bán nguyệt, hình vuông và hình tam giác đều (tham khảo như hình vẽ).
b) Yêu cầu: Thể tích của mẫu vật có mặt cắt là hình bán nguyệt bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tính diện tích mặt cắt ngang sau đó áp dụng công thức thể tích.
Phần 3. Giải chi tiết

Đặt
Diện tích mặt cắt ngang hình bán nguyệt là
Thể tích của mẫu vật có mặt cắt là hình bán nguyệt bằng

Điền đáp án: 2094,4
Câu 5 [1042445]: Thể tích của mẫu vật có mặt cắt là hình vuông bằng bao nhiêu cm3 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
a) Đề cho:
- Các mẫu vật thể sau đều có đáy là một đường tròn có bán kính bằng 1 dm.
- Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với đáy ta thu được các hình khác nhau đó là hình bán nguyệt, hình vuông và hình tam giác đều (tham khảo như hình vẽ).
b) Yêu cầu: Thể tích của mẫu vật có mặt cắt là hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tính diện tích mặt cắt ngang sau đó áp dụng công thức thể tích.
Phần 3. Giải chi tiết
Theo câu 4 [1042444] ta có:
Diện tích mặt cắt ngang hình vuông là
Thể tích của mẫu vật có mặt cắt là hình vuông bằng
Câu 6 [1042446]: Thể tích của mẫu vật có mặt cắt là hình tam giác đều bằng bao nhiêu cm3 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
a) Đề cho:
- Các mẫu vật thể sau đều có đáy là một đường tròn có bán kính bằng 1 dm.
- Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với đáy ta thu được các hình khác nhau đó là hình bán nguyệt, hình vuông và hình tam giác đều (tham khảo như hình vẽ).
b) Yêu cầu: Thể tích của mẫu vật có mặt cắt là hình tam giác đều bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tính diện tích mặt cắt ngang sau đó áp dụng công thức thể tích.
Phần 3. Giải chi tiết
Theo câu 4 [1042444] ta có:
Diện tích mặt cắt ngang hình tam giác đều là
Thể tích của mẫu vật có mặt cắt là hình tam giác đều bằng

Điền đáp án: 2309,4.
Câu 7 [693320]: Cho hai hình trụ có cùng bán kính bằng 3 được đặt lồng vào nhau sao cho trục của hai hình trụ vuông góc với nhau và cắt nhau tại (hình 1). Gọi là phần giao nhau của hai hình trụ (hình 2). Chọn trục vuông góc với hai trục của hình trụ như hình vẽ. Cắt khối bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ ta được thiết diện có diện tích là
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Xét bản chất hình khối đã cho để xác định có phải khối tròn xoay hay không, sau đó sử dụng phương pháp lát cắt với công thức để kiểm tra các khẳng định.
✒️ Lời giải chi tiết:

a) Sai.
Hình khối không phải là một khối tròn xoay.
b) Sai.
Thể tích khối được tính theo công thức .
c) Sai.
Xét thiết diện của khối tại vị trí có hoành độ .
Ta có .
.
.
.
Khi đó .
d) Đúng.
Thể tích khối là
.
.
(đvtt).
🔑 Điền đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng
Câu 8 [151431]: Cho phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình và . Cắt phần vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ , ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng . Tính thể tích của phần vật thể (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án: B.
a) Đề cho:
- Cho phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình và
- Cắt phần vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng
b) Yêu cầu:
- Tính thể tích của phần vật thể (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng công thức thể tích khi biết diện tích thiết diện.
Phần 3. Giải chi tiết
Diện tích thiết diện là


Đáp án: B
Câu 9 [151434]: Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích của vật thể đó (làm tròn đến hàng phần trăm).
Screenshot_36.png
a) Đề cho:
- Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình vẽ).
- Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì được thiết diện là một tam giác đều.
b) Yêu cầu:
- Tính thể tích của vật thể đó (làm tròn đến hàng phần trăm).
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng công thức thể tích khi biết diện tích thiết diện.
Phần 3. Giải chi tiết
Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì thiết diện là tam giác đều cạnh
Diện tích tam giác đều cạnh là
Do đó
Điền đáp án: 2,31.
Câu 10 [789817]: Cho một mô hình mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên dưới.
2.png
Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài ; khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đấy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parobol cho bởi công thức , với là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị ) không gian bên trong đường hầm mô hình ( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ).
Điền đáp án: 29.

Xét một thiết diện parabol có chiều cao là và độ dài đáy và chọn hệ trục như hình vẽ trên.
Parabol có phương trình
Có
Diện tích của thiết diện: ,

Suy ra thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình:

Câu 11 [398646]: Trên một tuyến đường thẳng có một đoạn phải đi xuyên qua một quả núi nhỏ, do đó người ta đã tạo một hầm chui để thuận tiện cho các phương tiện giao thông di chuyển, vòm của hầm chui được đổ bê tông có dạng như hình vẽ. Với Biết khi cắt vòm của hầm chui bằng mặt phẳng vuông góc với trục của tuyến đường ta luôn có thiết diện là một hình phẳng được giới hạn bởi hai parabol và giao tuyến của mặt cắt với mặt đường. Thể tích vòm của hầm chui được đổ bê tông bằng bao nhiêu (m3) (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Điền đáp án: 69.
Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol và giao tuyến của mặt cắt với mặt đường.
Thể tích vòm của hầm chui được đổ bê tông là:
Gắn phần diện tích vào hệ trục tọa độ , ta có đồ thị như hình vẽ.
11620696lg.png
Từ đồ thị, ta xác định được hai hàm số parabol:


Khi đó,
Vậy thể tích của vòm là:
Câu 12 [151706]: Bạn A có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là , chiều cao trong lòng cốc là đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Thể tích lượng nước trong cốc là bao nhiêu cm3?
Screenshot_19.png
a) Đề cho:
- Bạn A có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là 6 cm , chiều cao trong lòng cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước.
- Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
b) Yêu cầu:
- Thể tích lượng nước trong cốc là bao nhiêu ?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng công thức thể tích khi biết diện tích thiết diện.
Phần 3. Giải chi tiết

Chọn hệ trục như hình vẽ và cắt mặt nước theo thiết diện là tam giác vuông
Đặt
Lại có
Diện tích thiết diện là
Khi đó
Điền đáp án: 60.
Câu 13 [151709]: Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính người ta cắt khúc gỗ theo một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc để lấy một hình nêm (xem hình minh họa). Kí hiệu là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính
a) Đề cho:
- Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính 30 cm , người ta cắt khúc gỗ theo một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc để lấy một hình nêm (xem hình minh họa).
- Kí hiệu là thể tích của hình nêm (Hình 2).
b) Yêu cầu:
- Tính
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Lập hàm thiết thiện sau đó sử dụng công thức thể tích
Phần 3. Giải chi tiết
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình:
Một mặt phẳng vuông góc với trục (cắt trục tại điểm có hoành độ ) cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích
Khi đó, ta có:
Khi đó
Thế tích hình nêm là
Điền đáp án: 2250.
Câu 14 [789818]: Điền số thích hợp vào chỗ trống.
Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên.

Các tứ giác là các hình vuông cạnh . Tứ giác là hình chữ nhật có . Mặt bên được mài nhẵn theo đường parabol có đỉnh parabol nằm trên cạnh . Thể tích của chi tiết máy bằng __________ cm3.
Điền đáp án: 17,7.


Gọi hình chiếu của trên và là và.
Vật thể được chia thành hình lập phương có cạnh , thể tích và phần còn lại có thể tích .
Khi đó thể tích vật thể .
Đặt hệ trục sao cho trùng với, trùng với , trùng với tia song song với.
Khi đó Parabol có phương trình dạng, đi qua điểm do đó .
Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với và đi qua điểm ta được thiết diện là hình chữ nhật có cạnh là và do đó diện tích
Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có
Từ đó
Câu 15 [695279]: Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3 m. Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với tại là một hình tam giác vuông cong với và cạnh cong nằm trên một đường Parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí là trung điểm của thì tường cong có độ cao

Thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó là bao nhiêu m3 (viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Điền đáp án: 9,3.
Giả sử điểm trùng với gốc tọa độ trong mặt phẳng , nằm trên trục .
Phương trình parabol đi qua 2 điểm có dạng

Tại điểm có hoành độ bằng 2 thì tường cao nên ta có điểm .
Điểm


Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol , đường thẳng là

Thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó là
Câu 16 [1005559]: Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà cao 30 mét. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình vuông (xem hình vẽ).

Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh mặt đỉnh là hình vuông có cạnh Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà: Hình vuông có cạnh Mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính: mét khối).
Điền đáp án:

Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.
Gọi là hàm biến thiên của độ dài đường chéo mặt cắt của toà nhà tại độ cao x.
Theo đề ta có, là một parabol đi qua ba điểm , trong đó là vị trí toà nhà có cạnh cạnh
.
Ta có hệ:
Suy ra
Do đó, diện tích thiết diện là .
Vậy thể tích của toà nhà là .
Câu 17 [695543]: Khối nón có chiều cao bán kính đáy được đặt trên mặt phẳng như hình vẽ. Mặt phẳng song song với và qua điểm là tâm đáy của Thiết diện tạo bởi và (phần tô đậm trong hình vẽ) có diện tích bằng bao nhiêu? (biết giao tuyến của và là một đường Parabol).
Điền đáp án: 2.

Xét có: là đường trung bình

Vì diện tích thiết diện cần tìm có hình parabol nên ta có diện tích đó là
Câu 18 [696309]: Một vật thể (H) có đáy dạng elip với trục lớn trục nhỏ Biết rằng cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục lớn ta luôn được thiết diện là nửa lục giác đều. Tính thể tích của vật thể (H) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Điền đáp án: 624.
Dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ. Xét trong mặt phẳng phương trình elip đáy là
Xét một điểm thuộc trụ̣c lớn có hoành độ bằng với thiết diện tạo thành là nửa lục giác đều
Khi đó ta có do đó diện tích nửa lục giác đều là:

Do đó thể tích vật thể là
Câu 19 [1042447]: Một mái vòm nhà thờ có thể tích là 200 mét khối được thiết kế với ba giá đỡ hình parabol có hình dạng giống nhau sao cho mỗi mặt cắt ngang (theo phương nằm ngang) đều là một lục giác đều (tham khảo như hình vẽ). Ba parabol có cùng đỉnh và chiều cao, đáy vòm là một hình lục giác đều có độ dài đường chéo bằng 10 mét. Chiều cao của mái vòm bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết mái vòm cao không quá 10 mét.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng của tích phân).
Mức độ: Vận dụng (8+).
a) Đề cho:
- Một mái vòm nhà thờ có thể tích là 200 mét khối được thiết kế với ba giá đỡ hình parabol có hình dạng giống nhau sao cho mỗi mặt cắt ngang (theo phương nằm ngang) đều là một lục giác đều
- Ba parabol có cùng đỉnh và chiều cao, đáy vòm là một hình lục giác đều có độ dài đường chéo bằng 10 mét.
b) Yêu cầu:
- Chiều cao của mái vòm bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Lập hàm biểu diễn diện tích mặt cắt ngang, từ đó tìm được chiều cao.
Phần 3. Giải chi tiết

Phương trình parabol đi qua 3 điểm có dạng

Đặt
Hoành độ của điểm là nghiệm của phương trình

Diện tích mặt cắt ngang là
Thể tích của mái vòm bằng 200 mét nên ta có:


Điền đáp án: 6,16.
Câu 20 [151711]: Người ta dựng một cái lều vải có dạng hình chóp lục giác đều như hình vẽ bên. Đáy của là một hình lục giác đều cạnh Chiều cao ( vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của là các sợi nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với Giả sử giao tuyến (nếu có) của với mặt phẳng vuông góc với là một lục giác đều và khi đi qua trung điểm thì lục giác đều cạnh bằng Tính thể tích phần không gian bên trong cái lều đó(viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của )
Điền đáp án: 29,2.
Chọn trục toạ độ trùng với và trùng với

Chú ý. Ở đây chọn trục trùng với vì đề bài cho trục đối xứng của các đường parabol song song với
Phương trình đường cong parabol là đi qua các điểm .
Do đó
Khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có tung độ ta được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh xác định bởi .
Giải phương trình bậc hai ấn , rút ra với nên nhận .
Do đó diện tích thiết diện vuông góc với trục tại điểm có tung độ là
Và thể tích của là .