Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1040868]: Sau khi kết thúc trò chơi cô giáo thưởng cho 3 em bé được giải, cô có 20 cái kẹo (giống nhau) để chia cho 3 em bé, hỏi cô có bao nhiêu cách chia sao cho:
a) Mỗi em có ít nhất 1 cái kẹo ________.
b) Mỗi em có ít nhất 2 cái kẹo ________ .
c) Em thứ nhất có ít nhất 1 cái kẹo, em thứ hai có ít nhất 2 cái kẹo và em thứ ba có nhiều nhất 3 cái kẹo ________.
a) Điền đáp án: 171.
Gọi lần lượt là số kẹo của 3 em bé thứ nhất, thứ hai, thứ ba
Ta có:
Áp dụng bài toán chia kẹo của Euler ta có số cách là
b) Điền đáp án: 120.
Gọi lần lượt là số kẹo của 3 em bé thứ nhất, thứ hai, thứ ba
Ta có:
Đặt

Áp dụng bài toán chia kẹo của Euler ta có số cách là
c) Điền đáp án: 66.
Gọi lần lượt là số kẹo của 3 em bé thứ nhất, thứ hai, thứ ba
Ta có:
Đặt

+) Số cách là
+) Số cách là
+) Số cách là
+) Số cách là
Số cách chia thỏa mãn yêu cầu đề bài là
Câu 2 [1035733]: Tìm số nghiệm nguyên của phương trình với
Điền đáp án: 220.
Đặt ta được và
Áp dụng bài toán chia keo Euler số 1 ta được: số nghiệm nguyên dương của phương trình là
Phương trình đã cho có 220 nghiệm.
Câu 3 [1023982]: Có bốn ngăn (trong một giá để sách) được đánh số thứ tự 1, 2, 3, 4 và tám quyển sách khác nhau. Bạn An xếp hết tám quyển sách nói trên vào bốn ngăn số sao cho mỗi ngăn có ít nhất một quyển sách và các quyển sách được xếp thẳng đứng thành một hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn. Khi đã xếp xong tám quyển sách, hai cách xếp của bạn An được gọi là giống nhau nếu chúng thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:
+ Với từng ngăn, số lượng quyển sách ở ngăn đó là như nhau trong cả hai cách xếp;
+ Với từng ngăn, thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách được xếp là như nhau trong cả hai cách xếp.
Gọi là số cách xếp đôi một khác nhau của bạn An. Giá trị của bằng bao nhiêu?
Nội dung kiến thức: Toán 11 (Đại số tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Lời giải chi tiết:
Trước hết, ta có số cách xếp 8 quyển sách thành một hàng ngang là 8! cách.
Tiếp đến, ta tính với mỗi hàng 8 quyển sách thì số cách xếp số sách đó vào 4 ngăn là bao nhiêu.
Nhận thấy giữa 8 quyển sách xếp thành hàng ngang có 7 khoảng trống ở giữa chúng. Và để chia sách thành 4 ngăn thì ta cần 3 vách ngăn đặt vào các vị trí khoảng trống ở giữa các sách. Và vì mỗi ngăn phải có ít nhất một quyển, nên ta không được đặt vách ngăn ở hai đầu ngoài cùng và cũng không được đặt 2 vách ngăn vào cùng một chỗ. Do đó số cách xếp 8 cuốn sách vào 4 ngăn trở thành số cách đặt 3 vách ngăn vào 7 khoảng trống nên ta có cách.
Suy ra có cách sắp xếp khác nhau của bạn An.
Vậy
Điền đáp án: 2352.
Câu 4 [1040872]: Một học sinh có 6 môn học khác nhau Toán, Lý, Hóa, Sinh, Văn, Anh cần ôn tập trong một ngày chia thành 3 buổi học riêng biệt Sáng, Chiều, Tối. Mỗi buổi học sinh đó phải ôn ít nhất một môn. Thứ tự các môn học trong mỗi buổi ôn tập là quan trọng. Có bao nhiêu cách để học sinh đó lập kế hoạch ôn tập trong ngày?
Giai đoạn 1: Sắp xếp 6 môn học thành 1 hàng
Có cách xếp.
Giai đoạn 2: Dùng vách ngăn để phân chia
Sau khi có hàng ngang môn học, ta cần chia thành đoạn (mỗi đoạn tương ứng với 1 buổi học) với mỗi đoạn có ít nhất 1 môn học.
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler loại 1, số cách đặt vách ngăn là cách.
Suy ra tổng số cách lập kế hoạch ôn tập là
Điền đáp án: 7200.
Câu 5 [1040877]: Một giáo viên Hóa có 10 quyển sách khác nhau trong đó có 2 quyển A và B. Thầy muốn xếp chúng vào 3 hộp khác nhau là hộp 1, hộp 2, hộp 3 trên một cái bàn dài. Mỗi hộp phải có ít nhất một quyển sách. Thứ tự của các quyển sách trong mỗi hộp là quan trọng. Có a cách để thầy giáo xếp khác nhau. Tính
Điền đáp án: 2592.
Gọi lần lượt là số quyển sách trong hộp 1, hộp 2, hộp 3.
Ta có:
Áp dụng bài toán chia kẹo của Euler ta có số cách là
Số hoán vị của 10 quyển sách là
Số cách cần tìm là
Câu 6 [1040882]: Thầy Tiến chia chương hàm số của lớp 12 thành 12 chủ đề khác nhau. Để tạo một lộ trình học tập "cá nhân hóa" cho từng học sinh, thầy Tiến muốn kết hợp các chủ đề này thành 3 cấp độ Nền Tảng, Tổng Ôn, Nâng Cao. Yêu cầu của thầy Tiến đặt ra như sau:
+) Mỗi cấp độ phải có ít nhất một chủ đề
+) Do tính chất liên tục của kiến thức nên thứ tự các chủ đề trong mỗi cấp độ là quan trọng .
Có a cách để thầy Tuấn thiết kế các lộ trình học tập này? Tính
Điền đáp án : 4807.
Gọi lần lượt là các biến cố Nền tảng, Tổng ôn, Nâng cao không được gán chủ đề.
Mỗi chủ đề có 3 cách để gán cấp độ

Ta có:


+)




Câu 7 [1040880]: Trên một đoạn đường, có 11 địa điểm bao gồm một trung tâm ở chính giữa và 10 nơi để tham quan, mua sắm; hai địa điểm cạnh nhau thì cách nhau 100 mét. Những người khách xuất phát từ trung tâm và muốn đi tham quan tổng cộng 3 lượt, mỗi đi một nơi khác nhau (họ đến địa điểm đó tham quan sau đó quay về trung tâm và chuẩn bị cho lần đi tiếp theo). Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra ba địa điểm, có thứ tự và không nhất thiết phân biệt, sao cho tổng quãng đường cả đi lẫn về không vượt quá 1 km?
Điền đáp án: 36.
Gọi lần lượt là khoảng cách từ trung tâm đến địa điểm thứ nhất, thứ hai, thứ ba (đơn vị trăm)
Theo đề bài ta có:
TH1:
(vô lý vì bắt đầu đi từ trung tâm nên chỉ có tối đa 2 giá trị trong 3 giá trị bằng nhau)
TH2:
Xét bộ
Do bắt đầu đi từ điểm trung tâm nên có 2 cách chọn 1 giá trị bằng 2 và 2 giá trị còn lại bằng.
TH3:
+) Xét bộ
Có 2 cách chọn 1 giá trị bằng 3 và 2 giá trị còn lại bằng 1
+) Xét bộ
Có 2 cách chọn 1 giá trị bằng 1 và 2 giá trị còn lại bằng 1
Số cách thỏa mãn yêu cầu đề bài là
Sử dụng thông tin sau để trả lời Câu 8 và Câu 9:
Một thành phố có 3 quận trong đó có quận X. Mỗi tuần có 6 vụ cướp khác nhau xảy ra trong thành phố, giả sử các vụ cướp xảy ra ngẫu nhiên và độc lập trong các quận. Mỗi quận có ít nhất một vụ cướp.
Câu 8 [1040873]: Có bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra về các vụ cướp trong thành phố?
Điền đáp án: 540.
Mỗi 1 vụ cướp đều có 3 khả năng xảy ra ở 1 trong 3 quận nên số trường hợp của không gian mẫu là
Gọi là tập hợp các cách mà quận không có vụ cướp nào.
Số cách để ít nhất 1 quận bị trống là
+) (1 quận bị trống):
- Có cách chọn 1 quận bị trống.
- Khi 1 quận bị trống, 6 vụ cướp còn lại chỉ xảy ra trong 2 quận nên có cách.

+) (2 quận bị trống):
- Có cách chọn 2 quận bị trống.
- Khi 2 quận bị trống, 6 vụ cướp chỉ xảy ra trong 1 quận còn lại nên có cách.

+) (3 quận bị trống):
- Không thể xảy ra vì mỗi quận có ít nhất 1 vụ cướp.
Số trường hợp có ít nhất một quận bị trống là
Số trường hợp thỏa mãn yêu cầu đề bài là
Câu 9 [1040874]: Tính xác suất có đúng hai vụ cướp xảy ra ở quận X (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,39.
Chọn 2 vụ cướp trong 6 vụ có cách
4 vụ còn lại được xếp vào trong 2 quận nên có cách
Có 2 cách xếp sao cho có 4 vụ trong 1 quận
Số cách xếp 4 vụ sao cho mỗi vụ đều có ít nhất 1 vụ là
Xác suất cần tìm là
Câu 10 [1040871]: Một thợ kim hoàn có 10 viên kim cương giống hệt nhau. Anh ấy muốn làm một chuỗi 4 chiếc nhẫn khác nhau. Mỗi chiếc nhẫn phải có ít nhất một viên kim cương. Ngoài ra, không có chiếc nhẫn nào được có quá 4 viên kim cương, vì lý do thẩm mỹ. Hỏi có bao nhiêu cách để phân bổ kim cương vào các chiếc nhẫn?
Điền đáp án: 44.
Gọi lần lượt là số viên kim cương có trên nhẫn 1, 2, 3, 4.
Ta có:
Áp dụng bài toán chia kẹo của Euler ta có số cách xếp sao cho mỗi chiếc nhẫn có ít nhất 1 viên là là
TH1: 1 trong 4 nhẫn chứa 5 viên
Chọn 1 trong 4 nhẫn có 4 cách, ta giả sử chiếc nhẫn được chọn là nhẫn 1.

Áp dụng bài toán chia kẹo của Euler ta có số cách xếp sao cho mỗi chiếc nhẫn có ít nhất 1 viên là là
Số cách trong trường hợp này là
TH2: 1 trong 4 nhẫn chứa 6 viên
Chọn 1 trong 4 nhẫn có 4 cách, ta giả sử chiếc nhẫn được chọn là nhẫn 1.

Áp dụng bài toán chia kẹo của Euler ta có số cách xếp sao cho mỗi chiếc nhẫn có ít nhất 1 viên là là
Số cách trong trường hợp này là
TH3: 1 trong 4 nhẫn chứa 7 viên
Chọn 1 trong 4 nhẫn có 4 cách, ta giả sử chiếc nhẫn được chọn là nhẫn 1.

Áp dụng bài toán chia kẹo của Euler ta có số cách xếp sao cho mỗi chiếc nhẫn có ít nhất 1 viên là
Số cách trong trường hợp này là 3.
Số cách thỏa mãn yêu cầu đề bài là
Câu 11 [1040869]: Có 5 con xúc xắc được đánh 5 số thứ tự 1, 2, 3, 4, 5. Gieo đồng thời cả 5 xúc xắc đó. Tính xác suất để tổng của 5 số trên mặt xuất hiện của 5 xúc xắc bằng 14 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,07.
Mỗi con xúc sắc có 6 khả năng nên số trường hợp của không gian mẫu là
Gọi lần lượt là số chấm trên con xúc sắc 1, 2, 3, 4, 5.

Ta có:
Áp dụng bài toán chia kẹo của Euler ta có số bộ thỏa mãn số chấm trên mỗi con xúc sắc lớn hơn bằng 1 là
TH1: 1 trong 5 số bằng 7
Chọn 1 trong 5 số ta có 5 cách, ta giả sử số được chọn là
Số bộ thỏa mãn là
Số cách trong trường hợp này là
TH2: 1 trong 5 số bằng 8
Chọn 1 trong 5 số ta có 5 cách, ta giả sử số được chọn là
Số bộ thỏa mãn là
Số cách trong trường hợp này là
TH3: 1 trong 5 số bằng 9
Chọn 1 trong 5 số ta có 5 cách, ta giả sử số được chọn là
Số bộ thỏa mãn là
Số cách trong trường hợp này là
TH4: 1 trong 5 số bằng 10
Chọn 1 trong 5 số ta có 5 cách, ta giả sử số được chọn là
Số bộ thỏa mãn là
Số cách trong trường hợp này là
Số bộ thỏa mãn tổng số chấm trên 5 con xúc sắc bằng 14 là
Xác suất cần tìm là
Câu 12 [1040883]: Bạn Thảo muốn tạo một mật mã gồm 7 ký tự khác nhau bằng cách sắp xếp 7 viên ngọc quý mỗi viên một màu khác nhau vào 4 khe cắm được đánh số từ 1 đến 4. Mỗi khe cắm phải có ít nhất một viên ngọc. Thứ tự các viên ngọc trong mỗi khe cắm là quan trọng. Ngoài ra, khe cắm số 1 phải luôn chứa viên ngọc Đỏ và khe cắm số 4 phải luôn chứa viên ngọc Tím (có thể có thêm các viên ngọc khác). Có bao nhiêu cách để bạn Thảo tạo ra mật mã hợp lệ?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi số viên ngọc của khe 1,4,2,3 lần lượt là
Ta có:
TH1:

Số cách là
TH2: hoặc

Có 3 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ hoặc 3 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là
TH3: hoặc

Có 4 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ hoặc 4 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là
TH4:

Có 2 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ hoặc 2 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là
TH5: hoặc

Có 2 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ hoặc 2 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là
TH6: hoặc

Có 2 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ và 3 cách chọn vị trí cho viên Tím hoặc 3 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ và 2 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là
Tổng số cách là
Điền đáp án: 6720.
Câu 13 [1040870]: Cho đa giác đều (H) có 15 đỉnh. Người ta lập một tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác (H). Tìm số tứ giác được lập thành mà không có cạnh nào là cạnh của (H).
Điền đáp án: 450.
Chọn cây thứ 1 có 15 cách
Chọn cây thứ 2, 3, 4 không kề với cây thứ nhất .
Do các cây không kề nhau nên giữa cây số 1 và số 2 có điểm, giữa cây số 2 và số 3 có điểm, giữa cây số 3 và số 4 có điểm , giữa cây số 4 và số 1 có điểm

Số bộ thỏa mãn phương trình trên là
Số tứ giác được chọn là
Mà mỗi trong số các tứ giác này bị lặp 4 lần nên ta có số tứ giác cần tìm là
Câu 14 [1035741]: Cho một nhóm gồm 4 cô gái, kí hiệu là và 8 chàng trai. Có 12 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã cho vào các chiếc ghế sao đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:
1) Mỗi chiếc ghế có đúng một người ngồi;
2) Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái qua phải, là
3) Các cô gái luôn ngồi ở giữa hai chàng trai.
4) Giữa hai cô gái và nhiều nhất 3 chàng trai.
Gọi là số cách xếp như vậy. Tính
Đánh số các ghế từ trái qua phải từ 1 đến 12
Gọi là số chàng trai bên trái
Gọi là số chàng trai ở giữa và
Gọi là số chàng trai ở giữa và
Gọi là số chàng trai ở giữa và
Gọi là số chàng trai bên phải

Ta có: với
Với ta được có cách xếp
Với ta được có cách xếp
Với ta được có cách xếp
Vậy có cách.
Sau khi phân bố cấu hình, ta xếp 8 chàng trai khác nhau vào các vị trí chàng trai có 8! cách nên
Câu 15 [1040875]: Nhân dịp khai giảng năm học mới, thầy giáo chủ nhiệm dự định tặng 20 quyển vở cho 6 bạn học sinh là Việt, Nam, Quyết, Tâm, Chiến, Thắng. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách tặng hết 20 quyển vở cho 6 bạn học sinh trên sao cho mỗi bạn đều nhận được ít nhất 1 quyển vở và không nhiều hơn 9 quyển vở (hai cách tặng là khác nhau khi và chỉ khi có ít nhất một em học sinh nhận được số vở khác nhau trong 2 lần tặng).
Điền đáp án: 10 116.
Gọi lần lượt là số vở của 6 bạn học sinh Việt, Nam, Quyết, Tâm, Chiến, Thắng
Ta có: (1)
Áp dụng bài toán chia kẹo của Euler ta có số cách tặng là
Chọn 1 bạn có số vở lớn hơn hoặc bằng 10 có tất cả 6 cách
Ta giả sử
Từ (1)
+) Số cách là
+) Số cách là
+) Số cách là
+) Số cách là
+) Số cách là
+) Số cách là
Số cách tặng thỏa mãn yêu cầu đề bài là
Câu 16 [1040876]: Trên hồ nước có hình tròn đã trồng sẵn 17 cây xanh, nhưng người ta muốn chặt đi 4 cây trong số đó.

Hỏi có bao nhiêu cách chặt sao cho không có 2 cây kề nhau bị chặt?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Đại số tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Ta đánh dấu số cây lần lượt là
Chọn cây thứ nhất có 17 cách
Chọn cây thứ 2, 3, 4 không kề với cây thứ nhất:
Do các cây không kề nhau nên giả sử giữa cây số 1 và số 2 có điểm, giữa cây số 2 và số 3 có điểm, giữa cây số 3 và số 4 có điểm , giữa cây số 4 và số 1 có điểm

Số bộ thỏa mãn phương trình trên là
Số bộ 4 cây được chọn là
Mà mỗi trong số bộ 4 cây này bị lặp 4 lần nên ta có số cách cần tìm là
Điền đáp án: 935.
Câu 17 [1040878]: Hai đội tuyển A và B tham gia giải bóng bàn. Mỗi đội có 7 người giao đấu với nhau theo một thứ tự nhất định. Đầu tiên, người thứ nhất của đội A, đấu với người thứ nhất của đội B và người thua sẽ bị loại. Sau đó, người chiến thắng chơi nữa với người thứ hai của đội kia, các bước tiếp theo người chơi tương tự. Cuộc thi đấu kết thúc cho đến khi tất cả người chơi của 1 đội đều bị loại và đội còn lại là chiến thắng. Hỏi số cách diễn ra cuộc thi đấu?
Điền đáp án: 3432.
Có 2 cách để chọn đội chiến thắng giải đấu.
Giả sử trước trận cuối đội đã thua 6 trận và đội đã thua trận
Đội thua trận cuối nên số cách sắp xếp trận thua của đội trong trận trước đó là
Số cách diễn ra cuộc thi là
Câu 18 [1040881]: Một học sinh muốn lọt vào đội tuyển đi thi toán phải qua 4 kì thi và phải đạt ít nhất 17 điểm, nhưng không có kì thi nào bị điểm 2 hoặc 1. Hỏi có bao nhiêu cách tiến hành 4 kì thi đó để em học sinh đó chắc chắn lọt vào đội tuyển?
Hai cách tiến hành được xem là khác nhau nếu có ít nhất một kì thi nhận được số điểm khác nhau và mỗi kì thi có thể đạt điểm là số nguyên từ 1 đến 5.
Điền đáp án: 31.
Gọi lần lượt là số điểm của kỳ thi 1, 2, 3, 4.
Ta có:
Đặt

TH1:
Số bộ thỏa mãn phương trình trên là
Chọn 1 số lớn hơn bằng 4 có tất cả 4 cách
Ta giả sử
Từ (1)
+) Số bộ thỏa mãn là
+) Số bộ thỏa mãn là
+) Số bộ thỏa mãn là
Số bộ thỏa mãn thỏa mãn trường hợp này là
TH2:
Xét bộ : Có hoán vị.
Xét bộ : Có hoán vị.
Số bộ thỏa mãn thỏa mãn trường hợp này là 10.
TH3:
Xét bộ : Có hoán vị.
TH4:
Có 1 bộ số duy nhất thỏa mãn là
Số cách thỏa mãn yêu cầu đề bài là