Câu 1 [1023977]: Một phần mềm nhận dạng tin nhắn quảng cáo trên điện thoại bằng cách dựa theo từ khóa để đánh đấu một số tin nhắn được gửi đến. Qua một thời gian dài sử dụng, người ta thấy rằng trong số tất cả các tin nhắn gửi đến, có 
số tin nhắn bị đánh dấu. Trong số các tin nhắn bị đánh dấu, có 
số tin nhắn không phải là quảng cáo. Trong số các tin nhắn không bị đánh dấu, có 
số tin nhắn là quảng cáo.
Chọn ngẫu nhiên một tin nhắn được gửi đến điện thoại.
số tin nhắn bị đánh dấu. Trong số các tin nhắn bị đánh dấu, có số tin nhắn không phải là quảng cáo. Trong số các tin nhắn không bị đánh dấu, có số tin nhắn là quảng cáo.Chọn ngẫu nhiên một tin nhắn được gửi đến điện thoại.
Gọi 
là biến cố “Tin nhắn đó bị đanh dấu”, 
là biến cố “Tin nhắn đó là quảng cáo”.
Dựa vào dữ kiện đề bài, ta có:
a) Đúng.
Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu là:
b) Sai.
Xác suất để tin nhắn đo không phải quảng cáo biết rằng nó không bị đánh dấu là:
c) Sai.
Ta có sơ đồ:
Xác suất để tin nhắn đó không phải quảng cáo là:
(áp dụng công thức xác suất toàn phần).
d) Sai.
Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu, biết rằng nó không phải là quảng cáo là:
(áp dụng công thức Bayes).
là biến cố “Tin nhắn đó bị đanh dấu”, là biến cố “Tin nhắn đó là quảng cáo”.Dựa vào dữ kiện đề bài, ta có:
a) Đúng.
Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu là:
b) Sai.
Xác suất để tin nhắn đo không phải quảng cáo biết rằng nó không bị đánh dấu là:
c) Sai.
Ta có sơ đồ:
Xác suất để tin nhắn đó không phải quảng cáo là:
(áp dụng công thức xác suất toàn phần).d) Sai.
Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu, biết rằng nó không phải là quảng cáo là:
(áp dụng công thức Bayes).
Câu 2 [693316]: Sách ID của Moon.vn được in tại hai phân xưởng A và B và được vận chuyển về kho sau khi in xong. Xưởng A có nhiệm vụ in 
tổng số lượng sách, xưởng B sẽ in số lượng sách còn lại. Biết rằng số lượng Sách ID xưởng A và B in đạt yêu cầu về chất lượng và chuyển về kho lần lượt là 
và 
Nhân viên kiểm kho chọn ra ngẫu nhiên một cuốn Sách ID để kiểm tra thì thấy cuốn sách này không đạt yêu cầu về chất lượng. Xác suất để cuốn Sách ID đó được in ở xưởng A là bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
tổng số lượng sách, xưởng B sẽ in số lượng sách còn lại. Biết rằng số lượng Sách ID xưởng A và B in đạt yêu cầu về chất lượng và chuyển về kho lần lượt là và Nhân viên kiểm kho chọn ra ngẫu nhiên một cuốn Sách ID để kiểm tra thì thấy cuốn sách này không đạt yêu cầu về chất lượng. Xác suất để cuốn Sách ID đó được in ở xưởng A là bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
Điền đáp án: 
Gọi
là biến cố: “Sách được in ở xưởng A”;
là biến cố: “Sách được in không đạt yêu cầu chất lượng”.
Ta tính
. Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
Theo giả thiết
Suy ra
Theo giả thiết ta có
Do đó
Từ đó, ta có sơ đồ cây như sau:
Khi đó,
Theo Bayes ta có:
Gọi
là biến cố: “Sách được in ở xưởng A”; là biến cố: “Sách được in không đạt yêu cầu chất lượng”.Ta tính
. Theo công thức xác suất toàn phần ta có: Theo giả thiết
Suy ra
Theo giả thiết ta có
Do đó
Từ đó, ta có sơ đồ cây như sau:
Khi đó,
Theo Bayes ta có:
Câu 3 [1006980]: Có 8 quả bóng tennis trong một hộp trong đó có 5 quả chưa từng được sử dụng. Một học sinh chọn ngẫu nhiên 1 quả bóng trong số đó đem chơi và sau đó trả lại vào hộp. Ngày hôm sau, học sinh đó lại lấy 3 quả bóng khác và đem chơi. Biết rằng xác suất để lấy ra một quả bóng cũ và mới là giống nhau.
Gọi A là biến cố “Ngày đầu tiên lấy ra một quả bóng cũ”
B là biến cố “Ngày thứ hai, có ít nhất một quả bóng cũ được lấy ra”
Gọi A là biến cố “Ngày đầu tiên lấy ra một quả bóng cũ”
B là biến cố “Ngày thứ hai, có ít nhất một quả bóng cũ được lấy ra”
a) Đúng.
Xét ngày đầu tiên, xác suất người chơi lấy được một quả bóng cũ trong 8 quả là:
b) Đúng.
Biết ngày đầu lấy ra một quả bóng mới, số bóng cũ và mới trong hộp sau ngày đầu đều là 4 quả nên xác suất để ngày thứ 2 lấy ra 3 quả mới là:
Suy ra xác suất để ngày thứ 2 lấy ra 3 quả với ít nhất 1 quả cũ là:
Ta có sơ đồ cây sau:
c) Sai.
Ta có:
Xác suất để cả 2 ngày lấy ra tổng 4 quả bóng mới là:
d) Sai.
Ta có:
Xét ngày đầu tiên, xác suất người chơi lấy được một quả bóng cũ trong 8 quả là:
b) Đúng.
Biết ngày đầu lấy ra một quả bóng mới, số bóng cũ và mới trong hộp sau ngày đầu đều là 4 quả nên xác suất để ngày thứ 2 lấy ra 3 quả mới là:
Suy ra xác suất để ngày thứ 2 lấy ra 3 quả với ít nhất 1 quả cũ là:
Ta có sơ đồ cây sau:
c) Sai.
Ta có:
Xác suất để cả 2 ngày lấy ra tổng 4 quả bóng mới là:
d) Sai.
Ta có:
Câu 4 [1006989]: Trong một cái hộp có năm quả bóng được đánh số lần lượt là 2, 4, 6, 8 và 10, Tuấn lấy ngẫu nhiên một quả, sau đó lại trả về và việc này lặp lại 3 lần. Xác suất quả bóng đánh số 2 được lấy ra đúng hai lần là bao nhiêu, biết rằng tổng các số trong ba lần lấy là 12?
Điền đáp án: 0,3.
Gọi A là biến cố “tổng ba lần rút bằng 12”, B là “rút đúng hai lần bóng số 2”
Xét không gian mẫu là
tổng ba lần rút bằng 12, ta có các trường hợp sau:
TH1: 3 lần lấy ra bóng số 4 (1 cách)
TH2: 2 lần lấy ra bóng số 2 và 1 lần lấy ra bóng số 8 (3 cách) (*)
TH3: lấy ra 3 bóng khác nhau là 2, 4, 6 (
cách)
Tổng 10 cách
Từ (*) ta có:
Áp dụng công thức:
Gọi A là biến cố “tổng ba lần rút bằng 12”, B là “rút đúng hai lần bóng số 2”
Xét không gian mẫu là
tổng ba lần rút bằng 12, ta có các trường hợp sau:
TH1: 3 lần lấy ra bóng số 4 (1 cách)
TH2: 2 lần lấy ra bóng số 2 và 1 lần lấy ra bóng số 8 (3 cách) (*)
TH3: lấy ra 3 bóng khác nhau là 2, 4, 6 (
cách)
Tổng 10 cách
Từ (*) ta có:
Áp dụng công thức:
Câu 5 [1006981]: Trong một vụ án ở thành phố, nếu có một manh mối nào đó, thanh tra X có thể dự đoán tội phạm với tỉ lệ chính xác 
nếu đã biết một manh mối về thủ phạm, và chỉ dự đoán đúng 
nếu không có manh mối. Giả sử trong một vụ cướp, có một bằng chứng cho thấy tội phạm có một đặc điểm là hói đầu và có 
dân số của thành phố sở hữu đặc điểm này. Một người được thanh tra dự đoán là tội phạm và điều đó hoàn toàn đúng, xác suất người này không hói đầu là bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
nếu đã biết một manh mối về thủ phạm, và chỉ dự đoán đúng nếu không có manh mối. Giả sử trong một vụ cướp, có một bằng chứng cho thấy tội phạm có một đặc điểm là hói đầu và có dân số của thành phố sở hữu đặc điểm này. Một người được thanh tra dự đoán là tội phạm và điều đó hoàn toàn đúng, xác suất người này không hói đầu là bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Điền đáp án: 69,2.
Gọi A là biến cố “Người này bị hói đầu” và B là biến cố “Thanh tra dự đoán chính xác”
Ta có:
và 
(vì có đặc điểm nên tỉ lệ dự đoán chính xác của thanh tra là 60%)
Khi không có manh mối thì thanh tra dự đoán đúng 15%, ta có:
Từ thông tin trên, ta có sơ đồ cây sau:
Suy ra
và 
Ta có:
Gọi A là biến cố “Người này bị hói đầu” và B là biến cố “Thanh tra dự đoán chính xác”
Ta có:
và (vì có đặc điểm nên tỉ lệ dự đoán chính xác của thanh tra là 60%)Khi không có manh mối thì thanh tra dự đoán đúng 15%, ta có:
Từ thông tin trên, ta có sơ đồ cây sau:
Suy ra
và Ta có:
Câu 6 [870522]: Lớp 12A tham gia một hoạt động ngoại khoá gồm có 12 bạn nam và 2 bạn nữ. Thầy giáo chọn ngẫu nhiên 5 bạn đi bưng đồ, nhưng sau đó do có nhiều đồ nên thầy chọn thêm 1 bạn nữa. (các kết quả đều được làm tròn đến hàng phần trăm)
a) Sai.
Số cách chọn 5 bạn đầu tiên không có bạn nào là bạn nữ là
Số cách chọn 5 bạn đầu tiên có ít nhất 1 bạn nữ là
b) Đúng.
Gọi
là biến cố: “5 bạn đầu tiên được chọn đều là nam ”
là biến cố: “Bạn được chọn thêm là nữ”
c) Đúng.
Xác suất thầy giáo chọn được sau 2 lần đều là 6 bạn nam là
d) Đúng.
Gọi
là biến cố: “Lần thứ 2 thầy giáo chọn được bạn nữ ”
là biến cố: “Lần đầu thầy chọn 5 bạn nam ”
Lần thứ 2 thầy giáo chọn được bạn nữ nên có 2 trường hợp là lần 1 không có nữ hoặc lần 1 có 1 nữ
Số cách chọn 5 bạn đầu tiên không có bạn nào là bạn nữ là
Số cách chọn 5 bạn đầu tiên có ít nhất 1 bạn nữ là
b) Đúng.
Gọi
là biến cố: “5 bạn đầu tiên được chọn đều là nam ” là biến cố: “Bạn được chọn thêm là nữ”c) Đúng.
Xác suất thầy giáo chọn được sau 2 lần đều là 6 bạn nam là
d) Đúng.
Gọi
là biến cố: “Lần thứ 2 thầy giáo chọn được bạn nữ ” là biến cố: “Lần đầu thầy chọn 5 bạn nam ”Lần thứ 2 thầy giáo chọn được bạn nữ nên có 2 trường hợp là lần 1 không có nữ hoặc lần 1 có 1 nữ
Câu 7 [1002735]: Một chiếc bình đựng hai đồng xu loại A và một đồng xu loại B. Khi tung đồng xu loại A thì xác suất xuất hiện mặt ngửa là 
; trong khi tung đồng xu loại B, nó sẽ ngửa với xác suất 
. Một đồng xu được chọn ngẫu nhiên từ bình và được tung lên.
; trong khi tung đồng xu loại B, nó sẽ ngửa với xác suất . Một đồng xu được chọn ngẫu nhiên từ bình và được tung lên.
a) Đúng.
Vì có 2 đồng xu loại A và 1 đồng xu loại
nên xác suất tung được đồng xu loại 
là 
b) Sai.
Gọi
là biến cố: “Đồng xu được chọn là loại 
”
là biến cố: “Đồng xu được chọn là loại 
”
là biến cố: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa”
Theo đề bài ta có :
c) Đúng.
d) Đúng.
Có 2 đồng xu loại A và 1 đồng xu loại B
Có tất cả 3 trường hợp :
TH1 : Cả 2 lần đều lấy được đồng xu loại A
TH2 : Lần thứ nhất lấy được đồng xu loại B, lần thứ hai lấy được đồng xu loại A
TH3 : Lần thứ nhất lấy được đồng xu loại A, lần thứ hai lấy được đồng xu loại B
Gọi
là biến cố: “ Cả 2 lần đều lấy được đồng xu loại A ”
là biến cố: “ Lần thứ nhất lấy được đồng xu loại B, lần thứ hai lấy được đồng xu loại A”
là biến cố: “ Lần thứ nhất lấy được đồng xu loại A, lần thứ hai lấy được đồng xu loại B”
là biến cố: “Đồng xu cả 2 lần đều xuất hiện mặt ngửa”
Theo đề bài ta có :
Vì có 2 đồng xu loại A và 1 đồng xu loại
nên xác suất tung được đồng xu loại là b) Sai.
Gọi
là biến cố: “Đồng xu được chọn là loại ” là biến cố: “Đồng xu được chọn là loại ” là biến cố: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” Theo đề bài ta có :
c) Đúng.
d) Đúng.
Có 2 đồng xu loại A và 1 đồng xu loại B
Có tất cả 3 trường hợp :TH1 : Cả 2 lần đều lấy được đồng xu loại A
TH2 : Lần thứ nhất lấy được đồng xu loại B, lần thứ hai lấy được đồng xu loại A
TH3 : Lần thứ nhất lấy được đồng xu loại A, lần thứ hai lấy được đồng xu loại B
Gọi
là biến cố: “ Cả 2 lần đều lấy được đồng xu loại A ” là biến cố: “ Lần thứ nhất lấy được đồng xu loại B, lần thứ hai lấy được đồng xu loại A” là biến cố: “ Lần thứ nhất lấy được đồng xu loại A, lần thứ hai lấy được đồng xu loại B” là biến cố: “Đồng xu cả 2 lần đều xuất hiện mặt ngửa” Theo đề bài ta có :
Câu 8 [696311]: Có hai loại kiện hàng I và II ở trong kho, kiện hàng loại I chiếm 
kiện hàng loại II chiếm 70%, trong mỗi kiện hàng có 20 sản phẩm. Mỗi kiện hàng loại I có 18 sản phẩm tốt, còn mỗi kiện loại II có 16 sản phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng ở kho, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả sản phẩm này lại kiện hàng vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Tính xác suất để các sản phẩm tốt đó được lấy từ kiện hàng thứ nhất. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
kiện hàng loại II chiếm 70%, trong mỗi kiện hàng có 20 sản phẩm. Mỗi kiện hàng loại I có 18 sản phẩm tốt, còn mỗi kiện loại II có 16 sản phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng ở kho, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả sản phẩm này lại kiện hàng vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Tính xác suất để các sản phẩm tốt đó được lấy từ kiện hàng thứ nhất. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,35.
Gọi
là biến cố “Lấy được một kiện hàng I”
Khi đó
là biến cố “Lấy được một kiện hàng II”
là biến cố “2 lần lấy được sản phẩm tốt”
YCBT
Tính 
Từ dữ kiện đề bài, ta có
Vì trong mỗi kiện hàng có 20 sản phẩm và trong kiện hàng loại I có 18 sản phẩm tốt nên
còn kiện hàng loại II có 16 sản phẩm tốt nên 
Ta có sơ đồ cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có
Khi đó
Gọi
là biến cố “Lấy được một kiện hàng I”Khi đó
là biến cố “Lấy được một kiện hàng II” là biến cố “2 lần lấy được sản phẩm tốt”YCBT
Tính Từ dữ kiện đề bài, ta có
Vì trong mỗi kiện hàng có 20 sản phẩm và trong kiện hàng loại I có 18 sản phẩm tốt nên
còn kiện hàng loại II có 16 sản phẩm tốt nên Ta có sơ đồ cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có
Khi đó
Câu 9 [1006982]: Gọi 
là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 20. Chọn ngẫu nhiên 3 số trong tập hợp 
Gọi A là biến cố “ba số được chọn tạo thành một cấp số cộng” và B là biến cố “ba số được chọn có tổng bình phương là một số chia hết cho 3”. Tính 
(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 20. Chọn ngẫu nhiên 3 số trong tập hợp Gọi A là biến cố “ba số được chọn tạo thành một cấp số cộng” và B là biến cố “ba số được chọn có tổng bình phương là một số chia hết cho 3”. Tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,07.
Xét
Gọi 3 số được chọn là
+) Xét biến cố
: 
Có 3 trường hợp có thể xảy ra với
là 
Ta có:
Xét
chỉ có 2 trường hợp là chia hết cho 3 và chia 3 dư 1
Hai tập hợp:
và 
(còn lại 13 số)
Ta cũng xét tương tự với
và 
cũng chỉ có 2 trường hợp là chia hết cho 3 và chia 3 dư 1
Tổng
hoàn toàn thỏa mãn việc chia hết cho 3
TH1:
(cách chọn)
TH2:
(cách chọn)
+) Xét biến cố
Vì
lần lượt tạo thành một cấp số cộng
cùng chẵn hoặc cùng lẻ
Nhóm các số chia hết cho 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18
Nhóm các số chia hết cho 3 dư 1: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19
Nhóm các số chia hết cho 3 dư 2: 2, 5, 8, 11, 14, 17
TH1:
thuộc nhóm các số chia hết cho 3
Số cách chọn 2 chữ số chẵn là
Số cách chọn 2 chữ số lẻ là
Tổng có 9 cách chọn
TH2:
thuộc nhóm các số chia 3 dư 1
Số cách chọn 2 chữ số chẵn là
Số cách chọn 2 chữ số lẻ là
Tổng có 9 cách chọn
TH3:
thuộc nhóm các số chia 3 dư 2
Số cách chọn 2 chữ số chẵn là
Số cách chọn 2 chữ số lẻ là
Tổng có 6 cách chọn
Ta có:
Xét
Gọi 3 số được chọn là
+) Xét biến cố
: Có 3 trường hợp có thể xảy ra với
là Ta có:
Xét
chỉ có 2 trường hợp là chia hết cho 3 và chia 3 dư 1Hai tập hợp:
và (còn lại 13 số)Ta cũng xét tương tự với
và cũng chỉ có 2 trường hợp là chia hết cho 3 và chia 3 dư 1Tổng
hoàn toàn thỏa mãn việc chia hết cho 3TH1:
(cách chọn)TH2:
(cách chọn)+) Xét biến cố
Vì
lần lượt tạo thành một cấp số cộng cùng chẵn hoặc cùng lẻ Nhóm các số chia hết cho 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18
Nhóm các số chia hết cho 3 dư 1: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19
Nhóm các số chia hết cho 3 dư 2: 2, 5, 8, 11, 14, 17
TH1:
thuộc nhóm các số chia hết cho 3Số cách chọn 2 chữ số chẵn là
Số cách chọn 2 chữ số lẻ là
Tổng có 9 cách chọn
TH2:
thuộc nhóm các số chia 3 dư 1Số cách chọn 2 chữ số chẵn là
Số cách chọn 2 chữ số lẻ là
Tổng có 9 cách chọn
TH3:
thuộc nhóm các số chia 3 dư 2Số cách chọn 2 chữ số chẵn là
Số cách chọn 2 chữ số lẻ là
Tổng có 6 cách chọn
Ta có:
Câu 10 [1006985]: Trong một thống kê về tỉ lệ sinh con trai và gái của những hộ gia đình có 2 con của một địa phương X người ta nhận thấy có 55% là sinh con trai ở lần đầu và 48,4% là sinh con trai ở lần thứ 2. Biết rằng, trong các gia đình sinh con gái ở lần đầu thì tỉ lệ sinh con gái ở lần thứ 2 là 56%. Gọi A là biến cố sinh con trai ở lần đầu, B là biến cố sinh con trai ở lần thứ hai.
a)
__________.
b) Nếu chọn được một hộ gia đình có con đầu lòng là con trai thì xác suất để lần thứ hai sinh con trai là __________.
c) Tỉ lệ hộ gia đình sinh được một trai một gái là __________ phần trăm.
a)
__________.b) Nếu chọn được một hộ gia đình có con đầu lòng là con trai thì xác suất để lần thứ hai sinh con trai là __________.
c) Tỉ lệ hộ gia đình sinh được một trai một gái là __________ phần trăm.
a) Điền đáp án: 0,44.
Ta có :
b) Điền đáp án: 0,52.
Ta có :
c) Điền đáp án: 46,2.
Ta có :
Ta có :
b) Điền đáp án: 0,52.
Ta có :
c) Điền đáp án: 46,2.
Ta có :
Câu 11 [697793]: Ở vùng A có hai nhóm, nhóm 1 là nhóm người có thu nhập tốt (trên 15 triệu đồng/tháng) và nhóm 2 là nhóm có thu nhập không tốt. Ở vùng A có 40% người có thu nhập tốt và 58% người không gửi tiết kiệm. Khảo sát độc lập những người thuộc nhóm 1 và nhóm 2 và tính tỉ lệ phần trăm số người gửi tiết kiệm của từng nhóm thì thấy rằng: Tỷ lệ người gửi tiết kiệm của nhóm 1 gấp đôi tỉ lệ người tiết kiệm của nhóm 2. Giả sử một người ở vùng A không gửi tiết kiệm. Xác suất để người ấy có thu nhập tốt là bao nhiêu % (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Điền đáp án: 40.
Gọi xác suất người gửi tiết kiệm ở nhóm 2 là
Suy ra số người không gửi tiết kiệm ở nhóm 2 bằng
Vì tỷ lệ người gửi tiết kiệm của nhóm 1 gấp đôi người gửi tiết kiệm của nhóm 2, nên ta có xác suất người gửi tiết kiệm ở nhóm 1 là
Do đó, số người không gửi tiết kiệm ở nhóm 1 bằng 
Từ đó, ta có sơ đồ cây như sau:
Từ sơ đồ cây, ta có xác suất người không gửi tiết kiệm ở vùng A là P(không gửi tiết kiệm)
(Vì giả thiết cho biết 58% người không gửi tiết kiệm)
Ta có xác suất người có thu nhập tốt khi biết người đó không gửi tiết kiệm là
P(thu nhập tốt | không gửi tiết kiệm) = P(người có thu nhập tốt và không gửi tiết kiệm)/ P(không gửi tiết kiệm)
Gọi xác suất người gửi tiết kiệm ở nhóm 2 là
Suy ra số người không gửi tiết kiệm ở nhóm 2 bằng
Vì tỷ lệ người gửi tiết kiệm của nhóm 1 gấp đôi người gửi tiết kiệm của nhóm 2, nên ta có xác suất người gửi tiết kiệm ở nhóm 1 là
Do đó, số người không gửi tiết kiệm ở nhóm 1 bằng Từ đó, ta có sơ đồ cây như sau:
Từ sơ đồ cây, ta có xác suất người không gửi tiết kiệm ở vùng A là P(không gửi tiết kiệm)
(Vì giả thiết cho biết 58% người không gửi tiết kiệm)Ta có xác suất người có thu nhập tốt khi biết người đó không gửi tiết kiệm là
P(thu nhập tốt | không gửi tiết kiệm) = P(người có thu nhập tốt và không gửi tiết kiệm)/ P(không gửi tiết kiệm)
Câu 12 [1006986]: Thiên Anh và Dũng tham gia trò chơi ném bóng nước. Luật của trò chơi là họ sẽ phải nhặt bóng lên và ném nhau cùng lúc. Nếu một hoặc cả hai bị ném trúng, thì cuộc chơi kết thúc. Nếu cả hai ném đều trượt thì họ sẽ lặp lại quá trình. Giả sử kết quả của các phát ném là độc lập và mỗi phát ném của Thiên Anh sẽ trúng Dũng với xác suất 40% và mỗi phát ném của Dũng sẽ trúng Thiên Anh với xác suất 70%.
a) Tính xác suất để trò chơi kết thúc sau lượt ném thứ 2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
b) Biết rằng Dũng không bị ném trúng lần nào, xác suất để cuộc chơi kết thúc sau 2 lượt ném bằng bao nhiêu?
c) Biết rằng đã có ít nhất 1 người ném trúng. Xác suất để Thiên Anh thắng ở lần thứ 2 bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
a) Tính xác suất để trò chơi kết thúc sau lượt ném thứ 2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
b) Biết rằng Dũng không bị ném trúng lần nào, xác suất để cuộc chơi kết thúc sau 2 lượt ném bằng bao nhiêu?
c) Biết rằng đã có ít nhất 1 người ném trúng. Xác suất để Thiên Anh thắng ở lần thứ 2 bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
a) Gọi A là biến cố “Thiên An bắn trúng”, B là “Jack bắn trúng”
Ta có:
và 
Cuộc chơi kết thúc ở lượt bắn thứ 2 khi mà ở lượt đầu cả 2 đều trượt và ít nhất 1 người trúng ở lượt 2
Lượt 1:
Lượt 2:
b) Tương tự, để cuộc chơi kết thúc sau 2 lượt bắn thì lượt 1 cả 2 đều trượt
Lượt 1: 0,18
Lượt 2: Jack không bị bắn trúng khi anh ta bắn trúng
và Thiên An bắn trượt 
c) Xét có ít nhất 1 người bắn trúng
TH1: Ít nhất một người bắn trúng ở lần 1 là
Xác suất ít nhất một người bắn trúng và kết thúc ở lượt 1 là
TH2:
+) Lần 1 cả 2 hụt: 0,18
+) Lần 2
- Cả 2 bắn trúng:
- Thiên An bắn trúng:
(*)
- Jack bắn trúng:
Tổng xác suất là 0,82
Xét (*) chính là xác suất có ít nhất 1 người bắn trúng và Thiên An thắng ở lần thứ 2 là 0,12 và xác suất ít nhất 1 người bắn trúng và kết thúc ở lượt 2 là
Xác suất ít nhất 1 người bắn trúng là
Xác suất để Thiên An thắng ở lượt 2, biết có ít nhất 1 người bắn trúng là
Ta có:
và Cuộc chơi kết thúc ở lượt bắn thứ 2 khi mà ở lượt đầu cả 2 đều trượt và ít nhất 1 người trúng ở lượt 2
Lượt 1:
Lượt 2:
b) Tương tự, để cuộc chơi kết thúc sau 2 lượt bắn thì lượt 1 cả 2 đều trượt
Lượt 1: 0,18
Lượt 2: Jack không bị bắn trúng khi anh ta bắn trúng
và Thiên An bắn trượt c) Xét có ít nhất 1 người bắn trúng
TH1: Ít nhất một người bắn trúng ở lần 1 là
Xác suất ít nhất một người bắn trúng và kết thúc ở lượt 1 là
TH2:
+) Lần 1 cả 2 hụt: 0,18
+) Lần 2
- Cả 2 bắn trúng:
- Thiên An bắn trúng:
(*)- Jack bắn trúng:
Tổng xác suất là 0,82
Xét (*) chính là xác suất có ít nhất 1 người bắn trúng và Thiên An thắng ở lần thứ 2 là 0,12 và xác suất ít nhất 1 người bắn trúng và kết thúc ở lượt 2 là
Xác suất ít nhất 1 người bắn trúng là
Xác suất để Thiên An thắng ở lượt 2, biết có ít nhất 1 người bắn trúng là
Câu 13 [1006983]: Tại một địa phương có tỉ lệ mắc bệnh 
là 
Người ta dùng một xét nghiệm để chẩn đoán bệnh 
xét nghiệm này có tỉ lệ chính xác bằng 
Biết rằng tỉ lệ người bị bệnh thật sự trong số người có kết quả dương tính bằng 
Chọn ngẫu nhiên 1 người trong cộng đồng, tính xác suất để người đó có kết quả dương tính biết rằng người đó thực sự bị bệnh. (Một xét nghiệm chẩn đoán đúng khi một người bị bệnh có kết quả dương tính hoặc một người không bệnh có kết quả âm tính).
là Người ta dùng một xét nghiệm để chẩn đoán bệnh xét nghiệm này có tỉ lệ chính xác bằng Biết rằng tỉ lệ người bị bệnh thật sự trong số người có kết quả dương tính bằng Chọn ngẫu nhiên 1 người trong cộng đồng, tính xác suất để người đó có kết quả dương tính biết rằng người đó thực sự bị bệnh. (Một xét nghiệm chẩn đoán đúng khi một người bị bệnh có kết quả dương tính hoặc một người không bệnh có kết quả âm tính).
Điền đáp án: 0,98.
Gọi
là biến cố: “Người đó bị bệnh”
là biến cố: “Người đó không bị bệnh”
là biến cố: “Người đó có kết quả dương tính”
là biến cố: “Người đó có kết quả âm tính”
Theo đề bài ta có :
+)
Đặt
+)
Xác suất cần tìm là 
Gọi
là biến cố: “Người đó bị bệnh”
là biến cố: “Người đó không bị bệnh”
là biến cố: “Người đó có kết quả dương tính”
là biến cố: “Người đó có kết quả âm tính”
Theo đề bài ta có :
+)
Đặt
+)
Xác suất cần tìm là
Câu 14 [702531]: Hai bạn Hưng và Nhâm tham gia một trò chơi, quản trò đưa ra thử thách như sau: Mỗi người bốc 2 quả trong một hộp đựng 10 quả bóng được đánh số từ 1 đến 10. Người chơi có quyền lựa chọn cách chiến thắng trước khi bốc: Hưng chọn cách bốc được 2 quả có tổng là một số lẻ và Nhâm chọn bốc được 2 quả có tích là một số chẵn. Do đã có lợi thế ở vòng trước, Nhâm được bốc trước và bước vào vòng trong. Tính xác suất để Nhâm bốc được 2 quả có tổng là số chẵn, biết rằng Hưng cũng bước vào vòng trong, và quả bóng được bốc ra sẽ không hoàn lại (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,27.
Số cách bốc 2 số có tích chẵn là
(vì có 2 TH xảy ra: chọn được 2 quả bóng có số chẵn hoặc bốc được 1 quả mang số chẵn và 1 quả mang số lẻ)
Số cách bốc 2 số có tổng là số lẻ (tích chẵn) là
(xảy ra khi bốc được 1 quả bóng mang số lẻ và 1 quả bóng mang số chẵn)
Số cách bốc 2 số có tích chẵn và tổng chẵn là
(xảy ra khi bốc được 2 quả bóng mang số chẵn)
Do Nhâm đã thắng nên Nhâm đã bốc được 2 quả có tích chẵn, nên
Gọi
là biến cố Nhâm bốc tổng chẵn 
Gọi
là biến cố “Hưng thắng”
YCBT
Tính 
Xác suất Hưng thắng khi Nhâm bốc được tổng lẻ (tức Nhâm bốc được 1 chẵn và 1 lẻ nên còn lại 4 bi chẵn, 4 bi lẻ) là
Tương tự, xác suất Hưng thắng khi Nhâm bốc được tổng chẵn (còn lại 3 chẵn, 5 lẻ) là
Ta có sơ đồ cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có
Suy ra
Số cách bốc 2 số có tích chẵn là
(vì có 2 TH xảy ra: chọn được 2 quả bóng có số chẵn hoặc bốc được 1 quả mang số chẵn và 1 quả mang số lẻ)Số cách bốc 2 số có tổng là số lẻ (tích chẵn) là
(xảy ra khi bốc được 1 quả bóng mang số lẻ và 1 quả bóng mang số chẵn)Số cách bốc 2 số có tích chẵn và tổng chẵn là
(xảy ra khi bốc được 2 quả bóng mang số chẵn)Do Nhâm đã thắng nên Nhâm đã bốc được 2 quả có tích chẵn, nên
Gọi
là biến cố Nhâm bốc tổng chẵn Gọi
là biến cố “Hưng thắng”YCBT
Tính Xác suất Hưng thắng khi Nhâm bốc được tổng lẻ (tức Nhâm bốc được 1 chẵn và 1 lẻ nên còn lại 4 bi chẵn, 4 bi lẻ) là
Tương tự, xác suất Hưng thắng khi Nhâm bốc được tổng chẵn (còn lại 3 chẵn, 5 lẻ) là
Ta có sơ đồ cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có
Suy ra
Câu 15 [1006984]: Một bệnh nhân uống nhầm một trong hai loại thuốc A hoặc B. Các lọ thuốc bề ngoài trông thật giống nhau, lại để chung trong một ngăn kéo. Cả hai loại đều có hại đối với bệnh nhân này. Có 6 lọ loại A và 9 lọ loại B để trong một ngăn kéo. Bệnh nhân vô tình lấy một lọ ra dùng. Dùng phải A hay B đều có khả năng bị hạ huyết áp. Khả năng đó là 75% nếu dùng A, 20% nếu dùng B. Quả thật người này bị hạ huyết áp sau khi dùng thuốc. Tùy theo bệnh nhân uống nhầm A hay B mà bác sĩ sẽ xử trí khác nhau. Nếu không xử trí thích hợp thì khả năng bị di chứng là 10% nếu dùng A, 20% nếu dùng B. Ở bệnh nhân trên, tỉ lệ di chứng khi uống nhầm thuốc 
gấp bao nhiều lần khi uống nhầm thuốc 
(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
gấp bao nhiều lần khi uống nhầm thuốc (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Điền đáp án: 1,25.
Gọi
là biến cố: “Lấy lọ loại A”
là biến cố: “Lấy lọ loại B”
là biến cố: “Người đó bị hạ huyết áp”
là biến cố: “Người đó có không bị hạ huyết áp”
Theo đề bài ta có :
+)
+)
+)
Tỷ lệ di chứng của thuốc
gấp 
lần di chứng của thuốc 
Gọi
là biến cố: “Lấy lọ loại A” là biến cố: “Lấy lọ loại B” là biến cố: “Người đó bị hạ huyết áp” là biến cố: “Người đó có không bị hạ huyết áp”Theo đề bài ta có :
+)
+)
+)
Tỷ lệ di chứng của thuốc
gấp lần di chứng của thuốc