Quay lại
Đáp án
Câu 1 [711147]: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
Điền đáp án: 360.
Có cách thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 2 [711150]: Có số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn. Tính
Điền đáp án: 6480.
Gọi số có 6 chữ số có dạng
TH1: Trong 3 chữ số chẵn có chữ số 0
- Chọn 2 chữ số chẵn trong 4 số chẵn còn lại: có cách
- Chọn 3 chữ số lẻ trong 5 số lẻ: có cách
- Có hoán vị 6 chữ số đã lấy ở trên
- Giả sử
Có hoán vị 2 số còn lại
Có số có 6 chữ số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
TH2: Trong 3 chữ số chẵn không có chữ số 0
- Chọn 3 chữ số chẵn trong 4 số chẵn còn lại: có cách
- Chọn 3 chữ số lẻ trong 5 số lẻ: có cách
- Có hoán vị 6 chữ số đã lấy ở trên
Có số có 6 chữ số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vậy có tất cả 64 8000 số có 6 chữ số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 3 [711151]: Từ các chữ số từ 0 đến 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên 7 chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện 3 lần, các chữ số còn lại xuất hiện đúng 1 lần?
HD: Số được lập từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
TH1: Có 7 vị trí và các chữ số được sử dụng là: 2, 2, 2, a, b, c, d (với a, b, c, d là 4 chữ số khác 2 và 0).
Khi đó có số.
TH2: Có 7 vị trí và các chữ số được sử dụng là: 2, 2, 2, a, b, c, 0 (với a, b, c là 3 chữ số khác 2 ).
Khi đó có số (lấy xếp ngẫu nhiên trừ đi trường hợp số 0 đứng đầu)
Vậy theo quy tắc cộng có số.
Sử dụng dữ liệu sau đây để trở lời Câu 4 và Câu 5:
Xét đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường tròn tâm O.
Câu 4 [1040420]: Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là Tính
Điền đáp án: 1176.
Đánh số các đỉnh là
Xét đường chéo của đa giác là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều chia đường tròn ra làm hai phần, mỗi phần có 49 điểm: từ đến và đến
Khi đó, mỗi tam giác có dạng là tam giác tù nếu và cùng nằm trong nửa đường tròn
- Chọn nửa đường tròn: có 2 cách chọn.
- Chọn hai điểm là hai điểm tùy ý được lấy từ 49 điểm có cách chọn.
Giả sử nằm giữa và thì tam giác tù tại đỉnh
Mà nên kết quả bị lặp hai lần.
Có 100 cách chọn đỉnh.
Vậy số tam giác tù là
Câu 5 [1040421]: Có bao nhiêu tam giác vuông được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác?
Điền đáp án: 4900.
Để ba đỉnh được chọn tạo thành tam giác vuông khi và chỉ khi có hai đỉnh trong ba đỉnh là hai đầu mút của một đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác và đỉnh còn lại là một trong số các đỉnh còn lại của đa giác.
Đa giác có 100 đỉnh nên có 50 đường kính.
Số cách chọn 1 đường kính là
Số cách chọn 1 đỉnh còn lại trong 98 đỉnh là
Có tất cả tam giác vuông.
Câu 6 [711156]: Cho tam giác , trên cạnh lấy 4 điểm khác ; trên cạnh lấy 5 điểm ; trên cạnh lấy 6 điểm khác Có bao nhiêu tứ giác tạo thành khi lấy 4 điểm trong 15 điểm nói trên.
Điền đáp án: 1020.
Có cách chọn 4 điểm trong 1 điểm nói trên.
+) Chọn 4 điểm thẳng hàng.
- Có cách chọn 4 điểm thẳng hàng trên
- Có cách chọn 4 điểm thẳng hàng trên
- Có cách chọn 4 điểm thẳng hàng trên
Có tất cả 21 cách chọn 4 điểm thẳng hàng.
+) Chọn 3 điểm thẳng hàng và 1 điểm nằm trên 2 cạnh còn lại
- Có cách chọn 3 điểm thẳng hàng trên và 11 cách chọn 1 điểm trong 11 điểm còn lại.
- Có cách chọn 3 điểm thẳng hàng trên và 10 cách chọn 1 điểm trong 10 điểm còn lại.
- Có cách chọn 3 điểm thẳng hàng trên và 9 cách chọn 1 điểm trong 9 điểm còn lại.
Có tất cả cách chọn 3 điểm thẳng hàng và 1 điểm nằm trên 2 cạnh còn lại
Vậy có tất cả tứ giác tạo thành từ 4 điểm trong 15 điểm trên.
Câu 7 [1040422]: Một bữa tiệc bàn tròn của các câu lạc bộ trường Đại học Sư phạm Hà Nội trong đó có 3 thành viên từ câu lạc bộ Máu sư phạm, 5 thành viên từ câu lạc bộ Truyền thông, 7 thành viên từ câu lạc bộ Kỹ năng. Biết rằng có cách sắp xếp chỗ ngồi cho các thành viên sao cho những người cùng thuộc một câu lạc bộ ngồi cạnh nhau. Tính
Điền đáp án: 3024.
Ta coi mỗi câu lạc bộ là 1 khối.
Có cách xếp 3 khối quanh 1 bàn tròn.
Có cách sắp xếp thành viên ngồi cạnh nhau của câu lạc bộ Máu sư phạm.
Có cách sắp xếp thành viên ngồi cạnh nhau của câu lạc bộ Truyền thông.
Có cách sắp xếp thành viên ngồi cạnh nhau của câu lạc bộ Kỹ năng.
Vậy có tất cả cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 8 [711165]: Một túi có viên bi gồm viên bi màu trắng được đánh số từ đến ; viên bi màu đỏ được đánh số từ đến ; viên bi màu xanh được đánh số từ đến và viên màu vàng được đánh số từ đến Có bao nhiêu cách chọn viên bi từng đôi khác số?
Đáp án: 190
Có cách chọn viên bi tùy ý.
Chọn viên bi cùng số có cách chọn.
Chọn viên bi cùng số có cách chọn.
Chọn viên bi cùng số có cách chọn.
Chọn viên số và viên khác số có
Chọn viên số và viên khác số có
Chọn viên số và viên khác số có
Chọn viên số và viên khác số có
Như vậy số cách chọn theo yêu cầu là
Câu 9 [1040423]: Một bộ bài có 20 lá bài được úp trên bàn, mỗi lá được đánh số từ 1 đến 10 và mỗi số xuất hiện hai lần. Một trò chơi diễn ra như sau: lật ngẫu nhiên 2 lá bài trong bộ bài trên. Nếu chúng có giá trị giống hệt nhau, chúng sẽ bị loại khỏi bộ bài. Nếu không, chúng sẽ được úp lại (sau khi úp không thay đổi vị trí). Trò chơi kết thúc khi không còn lá bài nào để rút. Mỗi cặp lá bài được rút ra được tính là một lượt. Cần rút tối đa bao nhiêu lượt để trò chơi kết thúc?
Điền đáp án: 100.
Ta cần tối đa hóa số lần thất bại khi rút 1 cặp lá bài đầu tiên.
Giả sử ta cần rút cặp (1, 1) đầu tiên.
Để tối đa hóa số lần thất bại, ta có thể rút được 18 cặp không giống nhau (2 cặp (1,2); 2 cặp (1,3);….; 2 cặp (1,10))
Khi đó lần rút thứ 19 ta chắc chẵn sẽ rút được cặp (1, 1)
Rút cặp thứ hai cần 17 cách.
Rút cặp thứ ba cần 15 cách.
Tương tự, rút cặp cuối cùng có 1 cách
Vậy số lượt tối đa là .
Câu 10 [713095]: Một con châu chấu nhảy từ gốc tọa độ đến điểm dọc theo trục của hệ trục tọa độ . Con châu chấu có bao nhiêu cách nhảy để đến điểm biết mỗi lẫn nó có thể nhảy bước hoặc bước ( bước có độ dài đơn vị).
Gọi lần lượt là số lần nhảy bước và bước của con châu chấu.
Ta có: . Do nên ta có các bộ số như sau:
.
Với mỗi cặp thỏa mãn số cách con châu chấu về đến đích là: .
Vậy ta có; cách.
Câu 11 [711173]: Cho một lưới ô vuông kích thước như hình vẽ bên. Một người đi từ đến theo quy tắc: chỉ đi trên cạnh của các ô vuông theo chiều từ trái qua phải hoặc từ dưới lên trên. Hỏi có bao nhiêu đường đi khác nhau để người đó đi từ đến đi qua điểm
Điền đáp án: 2646.
Ta đặt hệ trục tọa độ tại điểm
Ta có bài toán tổng quát sau:
Nếu di chuyển sang phải hoặc đi lên từ điểm đến điểm thì số cách di chuyển sẽ là cách .
Số cách con kiến đi từ điểm đến là
Số cách con kiến đi từ điểm đến là
Số cách con kiến đi từ điểm đến là
Câu 12 [711184]: Trong một giải cờ vua gồm nam và nữ vận động viên. Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với mỗi động viên còn lại. Cho biết có 2 vận động viên nữ và cho biết số ván các vận động viên chơi với nhau hơn số ván họ chơi với hai vận động viên nữ là 66. Hỏi có bao nhiêu vận động viên tham gia giải và số ván tất cả các vận động viên đã chơi?
Đáp án: 156
Gọi n là số vận động viên nam tham gia ().
Chọn 2 trong số n VĐV nam để đấu 2 ván với nhau: cách.
Số ván VĐV nam đấu với VĐV nữ là: 4n.
Theo đề bài, ta có:


Vậy số VĐV tham gia giải là: 11 + 2 = 13 người.
Số ván các vận động viên chơi với nhau là: ván.
Câu 13 [711181]: Trong không gian cho điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong điểm đó có đúng điểm cùng nằm trên một mặt phẳng và không có 4 điểm nào ngoài 4 điểm này đồng phẳng. Tìm sao cho từ điểm đã cho tạo ra đúng 201 mặt phẳng phân biệt.
Điền đáp án: 6.
Ta biết rằng mỗi mặt phẳng được tạo ra từ 3 điểm bất kỳ không thẳng hàng.
Ta có:
+) cách chọn 3 điểm bất kỳ từ điểm.
+) cách chọn 3 điểm từ mặt phẳng chứa điểm.
Từ tạo ra được 201 mặt phẳng phân biệt nên ta có phương trình:
Câu 14 [1040424]: Vương đưa ra cho con trai của anh ấy một câu đố như sau: trong một ma trận điền 9 số tự nhiên từ 1 đến 9 thỏa mãn hai điều kiện:
∎ Tổng của mỗi hàng, mỗi cột và tổng của 3 ô chéo nhau là bằng nhau.
∎ Các số điền vào là các số đôi một khác nhau.
Số cách mà con trai anh Vương điền vào ma trận bằng bao nhiêu?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Đại số tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (8+).

Ta có: (1)
Tổng mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo bằng nhau nên tổng mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo bằng 15

(2)

Tìm các cặp số có tổng bằng 10:
TH1: nằm trên đường chéo


Không tồn tại
TH2: nằm trên cột hoặc hàng


Chọn có 2 cách
Với
Vậy có tất cả cách sắp xếp.
Điền đáp án: 8
Câu 15 [1040425]: Bạn Tuấn tham gia giải mã trò chơi với thuật toán như sau: Cho một tam giác đều, trên các đỉnh của tam giác điền 3 số khác nhau nằm trong tập hợp , trên mỗi cạnh điền thêm các kí tự thuộc tập sao cho độ dài của các cạnh bằng tổng của các kí tự nằm trên đoạn đó, nghĩa là độ dài 3 cạnh lần lượt là (tham khảo như hình vẽ). Có cách để bạn Tuấn vượt qua được thử thách nếu trả lời đúng tổng số cách có thể sắp xếp. Tính
Do tập hợp có nhiều chữ số dẫn đến có quá nhiều trường hợp nên thầy xin phép sửa đề thành , thuộc tập
Điền đáp án: 1,2
Giả sử

Đặt


Mà

+)
-
- Có 6 hoán vị của
Vậy bộ này có 6 cách.
+)
- (loại)
- (loại)
+)
- ( loại)
- ( loại)
+)
- ( loại)
+)
-
- Có 6 hoán vị của
Vậy bộ này có 6 cách.
Tổng số cách là
Câu 16 [1040426]: Cho một hình vuông có 16 ô vuông đơn vị, hãy điền vào mỗi ô các số trong tập hợp sao cho trên mỗi cột và mỗi hàng số đó chỉ xuất hiện đúng 1 lần. Có bao nhiêu cách điền?
Điền đáp án: 567.

Hàng 1 có cách điền
Cột 1: Điền 3 số còn lại có cách
TH1: Điền số 1 vào hàng 3 cột 4.

Theo hình vẽ trên ta có tất cả 4 cách điền

TH2: Điền số 2 vào hàng 3 cột 4


Theo hình vẽ trên ta có duy nhất 1 cách điền

TH3: Điền số 3 vào hàng 3 cột 4.


Theo hình vẽ trên ta có duy nhất 1 cách điền

Vậy có tất cả cách điền