Quay lại
Đáp án
Câu 1 [711192]: Cho tập hợp A có 20 phần tử. Biết rằng có tập hợp con của mà số phần tử là số chẵn? Giả sử , tính
Đáp án: 19.
Số tập con càn tìm là

Ta xét :


Chọn , ta được:



Câu 2 [711157]: Có bao nhiêu số tự nhiên 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai số 1 và 3?
Đáp án: 7440
Gọi số cần tìm có dạng:
Vì số cần tìm có 3 số {1;2;3} nên ta chỉ cần chọn 4 số nữa để điền vào vị trí: cách.
Hoán đổi vị trí 4 số được chọn cùng với cụm {1;2;3}: cách.
Hoán đổi vị trí số 3 và 1 trong cụm {1;2;3}: cách.
Trong các số tạo thành có TH số 0 đứng đầu:
có 1 cách.
Chọn 3 số nữa để điền vào vị trí: cách.
Hoán đổi vị trí của cụm {1;2;3} và 3 số vừa chọn: 4! cách.
Hoán đổi vị trí của số 1 và số 3 trong cụm {1;2;3}: 2! cách.
Vậy số các chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: = 7440 số.
Câu 3 [711176]: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa điều kiện: sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị?
Đáp án: 108
Cách 1: Gọi là số cần lập
Theo bài ra ta có: (1)
Mà và đôi một khác nhau nên
(2)
Từ (1), (2) suy ra:
Phương trình này có các bộ nghiệm là:
Với mỗi bộ ta có số.
Vậy có 3.36 = 108 số cần lập.
Cách 2: Gọi là số cần lập
Ta có:

Do
Suy ra ta có các cặp sau:
Với mỗi bộ như vậy ta có cách chọn và cách chọn
Do đó có: số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 4 [1040499]: Một lớp có đoàn viên trong đó có 15 nam và 20 nữ. Chọn ngẫu nhiên đoàn viên trong lớp để tham dự hội trại 26 tháng 3. Có bao nhiêu cách để trong đoàn viên được chọn có cả nam và nữ?
Điền đáp án: 4950.
Số cách chọn để có cả nam và nữ là
Sử dụng thông tin sau đây để trả Câu 5 và Câu 6:
Trong một căn phòng có 36 người trong đó có 25 người họ Nguyễn, 11 người họ Trần. Trong số những người họ Nguyễn có 8 cặp là anh em ruột (anh trai và em gái), 9 người còn lại (gồm 4 nam và 5 nữ) không có quan hệ họ hàng với nhau. Trong 11 người họ Trần, có 3 cặp là anh em ruột (anh trai và em gái), 5 người còn lại (gồm 2 nam và 3 nữ) không có quan hệ họ hàng với nhau. Chọn ngẫu nhiên 2 người.
Câu 5 [1040500]: Có bao nhiêu cách chọn hai người cùng họ và khác giới tính?
Điền đáp án: 186
Họ Nguyễn có 12 nam và 13 nữ.
Họ Trần: 5 nam và 6 nữ.
Số cách chọn 2 người cùng họ nhưng khác giới tính là
Câu 6 [1040501]: Có bao nhiêu cách chọn hai người sao cho không có cặp anh em ruột nào?
Có cách chọn 2 người bất kỳ trong 36 người.
Số cách chọn 2 người sao cho 2 người đó là anh em ruột là
Số cách chọn 2 người sao cho không có cặp anh em ruột là
Điền đáp án: 619.
Câu 7 [1040502]: Thầy Duy có một bộ câu hỏi gồm câu hỏi khác nhau trong đó có câu khó, câu trung bình và câu dễ. Thầy Duy muốn tạo ra các đề gồm 5 câu hỏi và mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả loại câu và số câu dễ không ít hơn để có tính phân hóa tốt nhất. Số cách thầy Duy tạo đề bằng . Tính
Điền đáp án: 2275.
TH1: Số câu dễ là 2, số câu khó là 1, số câu trung bình là 2
Có cách
TH2: Số câu dễ là 2, số câu khó là 2, số câu trung bình là 1
Có cách
TH3: Số câu dễ là 3, số câu khó là 1, số câu trung bình là 1
Có cách

Câu 8 [711175]: Cho 5 điểm đồng phẳng sao cho các đường thẳng đi qua các cặp điểm trong 5 điểm đó không có 2 đường thẳng nào song song, vuông góc hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta vẽ các đường vuông góc với tất cả các đường thẳng nối 2 điểm trong 4 điểm còn lại. Không kể 5 điểm đã cho số giao điểm của các đường thẳng vuông góc đó nhiều nhất là bao nhiêu?
Điền đáp án: 310.


B1: Chọn 2 trong 5 đỉnh có cách
B2: Xác định số giao điểm của 2 đỉnh vừa cho.
Từ kẻ được 6 đường vuông góc
Từ kẻ được 6 đường vuông góc
Từ kẻ được 36 cặp đường thẳng
Có 3 đường thẳng mà từ kẻ vuông góc tại ra các đường thẳng song song
Số giao điểm tối đa tạo ra từ các đường vuông góc kẻ từ là
Trong 1 tam giác có 3 đường cao đồng quy nên số giao điểm bị trùng là
Vậy số giao điểm tối đa được tạo ra là .
Câu 9 [1040503]: Thực đơn của một nhà hàng gồm 3 món khai vị, 4 món chính, 3 món tráng miệng và 4 đồ uống. Các món trong thực đơn là khác nhau. Nhà hàng muốn tạo ra 5 combo đặc biệt để giới thiệu cho khách hàng với tiêu chí của từng thực đơn như sau:
• Mỗi combo bao gồm 1 món khai vị, 1 món chính, 1 món tráng miệng và 1 đồ uống.
• Các combo này phải là duy nhất nghĩa là không có 2 Combo nào giống hệt nhau về cả 4 món.
Biết rằng có cách để nhà hàng có thể tạo ra 5 Combo đặc biệt này? Tính a.
Điền đáp án: 3337.
Số combo tạo ra là
Số cách chọn 5 combo trừ 144 combo trên là
Câu 10 [1040504]: Trong một hộp có chứa 7 thẻ số, mỗi thẻ được ghi một trong các chữ số từ 1 đến 7. Lấy ngẫu nhiên một thẻ ra, ghi lại con số rồi bỏ lại thẻ vào trong hộp, lần thứ hai cũng lấy thẻ ra, ghi lại con số và bỏ vào trong hộp, làm tương tự như vậy đủ 5 lần để có 5 chữ số. Có bao nhiêu cách để lấy được 3 thẻ mang số chẵn và 2 thẻ mang số lẻ?
Điền đáp án: 4320.
Có cách chọn vị trí cho 3 chữ số chẵn.
Mỗi vị trí số chẵn có 3 khả năng nên có tất cả cách chọn
Mỗi vị trí số lẻ có 4 khả năng nên có tất cả cách chọn
Vậy có cách thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 11 [1040505]: Có ba màu xanh, hồng, tím mà chị Quỳnh có thể áp dụng để sơn cho mười móng tay của mình. Biết rằng mỗi màu trên xuất hiện ít nhất một lần trên mỗi bàn tay của cô ấy và các ngón tay được coi là khác nhau. Tổng số cách mà chị Quỳnh có thể sơn móng tay của mình là ? Giá trị của bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: 2250.
Gọi là số cách sơn móng tay không dùng màu xanh.
là số cách sơn móng tay không dùng màu hồng.
là số cách sơn móng tay không dùng màu tím.
Số cách sơn trên 1 bàn tay là
Số cách sơn sao cho ít nhất 1 màu bị thiếu là


Số cách sơn sao cho mỗi màu sơn xuất hiện ít nhất 1 lần là
Số cách sơn cả 2 bàn tay là
Câu 12 [711148]: Một khối lập phương có độ dài cạnh là được chia thành 8 khối lập phương cạnh Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các đỉnh của khối lập phương cạnh ?
Điền đáp án: 2876.
Ta đặt hình lập phương trong mặt phẳng sao cho các cạnh bên song song song với các trục tọa độ.
Vì khối lập phương có cạnh là 2 cm và chia thành 8 khối nhỏ nên tổng số đỉnh là
Mỗi tam giác được xác định khi biết 3 điểm không thẳng hàng.
Số cạnh chứa 3 điểm thẳng hàng là:
- Các đường thẳng song song với các trục tọa độ : Có 3 hướng là , mỗi hướng có đường song song.
Có 27 đường tất cả.
- Đường chéo trên mặt phẳng : Mỗi mặt phẳng có 2 đường chéo đi qua 3 điểm và có 9 mặt ( 6 mặt hình lập phương và 3 mặt cắt) nên có tất cả 18 đường.
- Đường chéo chính trong khối: có 4 đường.
Tổng số đường có đúng 3 điểm thẳng hàng là
Số tam giác tạo ra là
Câu 13 [1040506]: Một thầy giáo có 10 cuốn sách khác nhau trong đó có 4 cuốn sách Toán, 3 cuốn sách Lí, 3 cuốn sách Hóa. Thầy muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 em học sinh mỗi em một cuốn. Thầy giáo có cách tặng cho các em học sinh sao cho sau khi tặng xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn ít nhất một cuốn. Tính
Điền đáp án: 6120.
Số cách lấy ra 5 cuốn sách ngẫu nhiên bất kì trong 12 cuốn là
Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai loại trong ba loại sách Toán, Lí, Hóa là
Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại Toán, Lí, Hóa đều còn lại ít nhất một cuốn là
Số cách tặng sách thỏa đề bài là
Câu 14 [1040507]: Xét thuật toán xáo bộ bài gồm 4 lá khác nhau như sau:

Với bất kỳ thứ tự ban đầu nào, lần lượt đi qua từng lá bài; ở mỗi lá, tung một đồng xu cân bằng: nếu ngửa, để lá đó ở vị trí cũ; nếu sấp, chuyển lá đó xuống cuối bộ bài. Sau khi tung đồng xu 4 lần là hoàn thành một vòng. Ví dụ thứ tự ban đầu là 1, 2, 3, 4, rồi kết quả tung đồng xu lần lượt là ngửa, sấp , sấp, ngửa thì thứ tự cuối cùng là 1, 4, 2, 3. Bốn lá bài có ở trên bàn có số là 4,7,1,5 sau khi xáo hết 4 lần thì thứ tự các lá bài có ít nhất 2 lá đã đổi vị trí. Số trường hợp xảy ra là bao nhiêu?
Điền đáp án: 11.

Ta sử dụng sơ đồ cây:


Theo sơ đồ ta thấy có 11 trường hợp thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 15 [1040508]: Đại Học Bách Khoa Hà Nội tổ chức phỏng vấn 8 học sinh, trong đó có hai học sinh trường , hai học sinh trường , hai học sinh trường và hai học sinh trường . Để tránh tình trạng gian lận, trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội yêu cầu sắp xếp chỗ như sau:
+ Xếp 8 bạn thành 2 hàng ngang, mỗi hàng bốn bạn.
+ Hai bạn cùng trường không ngồi cạnh nhau và cũng không ngồi đối diện nhau.

Số cách mà Đại Học Bách Khoa Hà Nội có thể sắp xếp bằng bao nhiêu?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Đại số tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (9+).
Hoán vị lệch (Derangement) :Cho một tập hợp . Một hoán vị của , kí hiệu , là một hoán vị lệch nếu với mọi phần tử i trong S , ta có: (tức là, phần tử ở vị trí thứ không phải là phần tử ban đầu). Khi đó ta có:
TH1: 1 hàng có 4 trường khác nhau
- Hoán vị 4 bạn ở hàng 1 có cách.
- Chọn 4 bạn ở hàng 2.
Số hoán vị lệch là
- Hoán vị từng đôi :
Có cách
TH2: Mỗi hàng có 2 cặp học sinh cùng trường
- Chọn 2 trường trong 4 trường để xếp vào hàng 1 có cách
- Sắp xếp vị trí cho các cặp có cách
- Hoán vị từng đôi :
Có cách
TH3: Mỗi hàng chỉ có 1 cặp học sinh cùng trường
- Chọn 2 cặp học sinh để đưa vào hàng 1, hàng 2 có cách
- Hoán vị từng đôi :
TH3.1: 2 AD đối nhau

+ Có 3 cách xếp AD đối nhau.
+ Mỗi cách xếp AD đối nhau có 2 cách xếp 2 bạn B và 2 bạn C
Có cách
TH3.2: 1 AD đối nhau , 1AD không đối nhau

+ Có 4 cách xếp 1 AD đối nhau , 1 AD không đối nhau
+ Mỗi cách xếp AD đối nhau, 1 AD không đối nhau có 2 cách xếp B, C
Có cách
TH3.3: Không có cặp AD đối nhau

+ Có 2 cách xếp không có cặp AD đối nhau
+ Mỗi cách xếp không có cặp AD đối nhau có 4 cách xếp B, C
Có cách
Vậy có tất cả
Điền đáp án: 8064.
Câu 16 [1040509]: Trên mỗi cạnh của một hình vuông lấy các điểm . Sau đó ta điền trên 8 điểm nằm trên hình vuông 8 số khác nhau trong tập hợp các số tự nhiên từ một đến tám, sao cho độ dài của các cạnh bằng tổng của các số hạng nằm trên cạnh đó, nghĩa là độ dài cạnh của hình vuông bằng . Số trường hợp xảy ra bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: 48.
Đặt

Các điểm trên nằm trong tập từ 1 đến 8


Mà

TH1:

Có cách điền
TH2:


Có cách điền

Có cách điền
TH3:

Có cách điền

Có cách điền
TH4:

Có cách điền
Vậy có tất cả trường hợp