Quay lại
Đáp án
Câu 1 [711153]: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số dạng với là độ dài 3 cạnh của của một tam giác cân (kể cả tam giác đều).
Điền đáp án: 165.
Trường hợp 1. là độ dài 3 cạnh của một tam giác đều.
Trường hợp này có 9 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2. là độ dài 3 cạnh của một tam giác cân và không đều.
Không làm mất tính tổng quát, giả sử
-



…………………………

Có số thỏa mãn.
-
Do nên






không có tương ứng
Có số thỏa mãn bài toán
Có tất cả có số thỏa mãn.
Tương tự, mỗi trường hợp đều có 52 số thỏa mãn.
Có số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 2 [711164]: Từ 2 chữ số 1 và 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số sao cho không có 2 chữ số 1 đứng cạnh nhau?
Điền đáp án: 55
Gọi số cần tìm có dạng
TH1: Không có chữ số 1
- Có duy nhất 1 số thỏa mãn là 88 888 888.
TH2: Có 1 chữ số 1
- Có 8 cách chọn vị trí của số 1 nên có 8 số.
TH3: Có 2 chữ số 1
- Ta xếp 2 chữ số 1 vào khoảng trống của các số 8 :
- Có tất cả 7 khoảng trống nên số sách chọn chữ số 1 là
TH4: Có 3 chữ số 1
- Ta xếp 3 chữ số 1 vào khoảng trống của các số 8 :
- Có tất cả 6 khoảng trống nên số sách chọn chữ số 1 là
TH5: Có 4 chữ số 1
- Ta xếp 4 chữ số 1 vào khoảng trống của các số 8 :
- Có tất cả 5 khoảng trống nên số sách chọn chữ số 1 là
TH6: Có 5 chữ số 1
- Ta xếp 5 chữ số 1 vào khoảng trống của các số 8 :
- Có tất cả 4 khoảng trống nên số sách chọn chữ số 1 là 0.
Vậy có tất cả số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 3 [711174]: Người ta phỏng vấn 100 người về ba bộ phim đang chiếu thì thu được kết quả như sau:
Bộ phim A: có 28 người đã xem.
Bộ phim B: có 26 người đã xem.
Bộ phim B: có 14 người đã xem.
Có 8 người đã xem hai bộ phim A và B
Có 4 người đã xem hai bộ phim B và C
Có 3 người đã xem hai bộ phim A và C
Có 2 người đã xem cả ba bộ phim A, B, C
Số người không xem bất cứ phim nào trong cả ba bộ phim là
Đáp án: 45
Theo quy tắc tính số phần tử của ba tập hợp hữu hạn bất kì, ta có số người xem ít nhất một bộ phim là 28 + 26 + 14 – 8 – 4 – 3 + 2 = 55 người.
Vậy số người không xem bất cứ bộ phim nào là 100 – 55 = 45 người.
Câu 4 [711166]: Có 4 cặp vợ chồng được xếp ngồi trên một chiếc ghế dài có 8 chỗ. Biết rằng mỗi người vợ chỉ ngồi cạnh chồng của mình hoặc ngồi cạnh một người phụ nữ khác. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi thỏa mãn.
Điền đáp án: 816.
TH1: Xếp 4 người vợ ngồi cạnh nhau có 4! cách
+) Xếp 4 người chồng ngồi cạnh nhau hoặc có 2 cách
Vợ chỉ được ngồi cạnh chồng của mình nên, xếp 3 người chồng (không được gạch chân) có 3! cách xếp
⇒ Có 4!.2.3! cách
+) Xếp 3 người chồng ngồi cạnh nhau hoặc có 2 cách xếp
Xếp 2 người chồng (không được gạch chân) có 2 cách xếp
⇒ Có 4!.2.2 cách
+) Xếp 2 người chồng ngồi cạnh nhau có 1 cách
Xếp 2 người chồng (không được gạch chân) có 2 cách xếp
⇒ Có cách
Vậy TH1 có + = 432 cách.
TH2: Xếp 3 người vợ ngồi cạnh nhau
Xếp 4 người vợ vào 4 vị trí có 4! cách
+) 4 người chồng ngồi cạnh nhau: hoặc có 2 cách
Xếp 2 người chồng không được gạch chân có 2 cách xếp
⇒ Có 4!.2.2 cách
+) 3 người chồng ngồi cạnh nhau: hoặc có 2 cách
⇒ Có cách
+) 2 người chồng ngồi cạnh nhau: hoặc có 2 cách xếp
⇒ Có cách
Vậy TH2 có cách
TH3: 2 người vợ ngồi cạnh nhau
Xếp 4 người vợ vào 4 vị trí có 4 ! cách
+) 4 người chồng ngồi cạnh nhau có 1 cách
Có 2 cách xếp 2 người chồng không có gạch chân
⇒ Có cách
+) 3 người chồng ngồi cạnh nhau hoặc có 2 cách
⇒ Có cách
+) 2 người chồng ngồi cạnh nhau CVVCCVVC hoặc VVCCVVCC hoặc CCVVCCVV hoặc VCCVVCCV có 4 cách xếp
⇒ Có cách
Vậy TH3 có + + = 192 cách
Vậy có tất cả số cách là
Câu 5 [1040510]: Một nhóm 9 người gồm ba đàn ông, bốn phụ nữ và hai đứa trẻ đi xem phim. Hỏi có bao nhiêu cách xếp họ ngồi trên một hàng ghế sao cho mỗi đứa trẻ ngồi giữa hai phụ nữ và không có hai người đàn ông nào ngồi cạnh nhau?
Điền đáp án: 864.
Ký hiệu O, N, T lần lượt là đàn ông, phụ nữ, đứa trẻ.
TH1:
- Có 1 cách để xếp 3 người đàn ông vào 3 chỗ còn lại
TH2:
- Có 1 cách để xếp 3 người đàn ông vào 3 chỗ còn lại
TH3:
- Có 1 cách để xếp 3 người đàn ông vào 3 chỗ còn lại
Số hoán vị của 3 đàn ông, 4 phụ nữ, 2 đứa trẻ bằng
Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là
Câu 6 [1040511]: Một nhóm học sinh của trường THPT X gồm hai học sinh lớp , ba học sinh lớp và bốn học sinh lớp . Thầy giáo yêu cầu các bạn xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp không có học sinh nào lớp Thầy giáo trên có cách xếp hàng như trên. Tính
Điền đáp án: 6048.
Xếp 3 học sinh lớp 11 thành một hàng ngang có cách.
Xem 2 học sinh lớp 10 là 1 và xếp vào 4 khoảng trống do 3 học sinh lớp 11 tạo ra ta có cách.
Xếp 4 học sinh lớp 12 tùy ý vào 6 khoảng trống do các học sinh lớp 10 và 11 tạo ra (có thể xếp nhiều hơn 1 học sinh vào 1 khoảng trống) ta có cách.
Theo quy tắc nhân ta có cách.
Câu 7 [711178]: Cho tập hợp gồm các số tự nhiên từ 1 đến 2018. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số từ mà các số đó lập thành một cấp số nhân tăng có công bội là một số nguyên dương?
Điền đáp án: 161.
Gọi 5 số lấy ra là lần lượt tạo thành 1 cấp số nhân có công bội là


+)
Có 126 cách chọn 5 số thỏa mãn yêu cầu.
+)
Có 24 cách chọn 5 số thỏa mãn yêu cầu.
+)
Có 7 cách chọn 5 số thỏa mãn yêu cầu.
+)
Có 3 cách chọn 5 số thỏa mãn yêu cầu.
+)
Có cách chọn 5 số thỏa mãn yêu cầu.
Câu 8 [711180]: Trong kì thi thử do Moon Study thuộc công ty cổ phần Giáo dục trực tuyến ALADANH tổ chức, ở khối A có 51 thí sinh đạt điểm giỏi môn Toán, 73 thí sinh đạt điểm giỏi môn Vật lí, 73 thí sinh đạt điểm giỏi môn Hóa học, 32 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Vật lí, 45 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Vật lí và Hóa học, 21 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Hóa học, 10 thí sinh đạt điểm giỏi cả ba môn Toán, Vật lí và Hóa học. Có 767 thí sinh mà cả ba môn đều không có điểm giỏi. Hỏi có bao nhiêu thí sinh tham dự thi thử khối A do Moon Study tổ chức?
Đáp án: 867
Kí hiệu tương ứng là tập hợp các thí sinh đạt điểm giỏi ở ít nhất một trong ba môn là Toán, Vật lý, Hóa học.

Lúc này ta có là tập hợp các học sinh đạt điểm giỏi ở ít nhất một trong ba môn là Toán, Vật lý, Hóa học.
Ta có: = 51 + 73 + 73 – 32 – 45 – 21 + 10 = 109
Vậy số thí sinh dự tuyển vào công ty VEDU là 109 + 767 = 876
Câu 9 [711158]: Một trường cấp 3 của tỉnh Đồng Tháp có giáo viên Toán gồm có nữ và nam, giáo viên Vật lý thì có giáo viên nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đoàn thanh tra công tác ôn thi THPTQG gồm người có đủ môn Toán và Vật lý và phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn?
Đáp án: 90
Vì chọn ra người mà yêu cầu phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn nên số giáo viên nữ được chọn chỉ có thể bằng hoặc
Ta xét hai trường hợp:
* Trường hợp 1: Chọn giáo viên nữ: Có cách. Khi đó:
- Chọn giáo viên nam môn Toán và nam môn Vật lý: Có cách.
- Chọn giáo viên nam môn Vật lý: Có cách.
Trường hợp này có cách chọn.
* Trường hợp 2: Chọn giáo viên nữ: Có cách chọn.
Khi đó chọn thêm giáo viên nam môn Vật lý: Có cách.
Trường hợp này có cách chọn.
Vậy tất cả có cách chọn.
Câu 10 [1040512]: Một hộp chứa 16 quả cầu gồm 8 quả cầu màu xanh đánh số từ 1 đến 8 và 8 quả cầu màu đỏ đánh số từ 9 đến 16. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đã cho. Có bao nhiêu cách lấy được 3 quả cầu có đủ hai màu đồng thời tích của các số ghi trên chúng là số chẵn?
Điền đáp án: 400
Từ 1 đến 8 có 4 số lẻ, 4 số chẵn.
Từ 9 đến 16 có 4 số lẻ, 4 số chẵn.
TH1: Trong 3 quả cầu lấy ra có 1 quả màu xanh và 2 quả màu đỏ.
Gọi lần lượt là số ghi trên quả màu xanh, 2 quả màu đỏ
+) lẻ :
Để chẵn thì chẵn
cùng chẵn hoặc 1 trong 2 số là chẵn và số còn lại là lẻ.
Có cách chọn.
+) chẵn :
Để chẵn thì chẵn hoặc lẻ
+ chẵn
cùng chẵn hoặc 1 trong 2 số là chẵn và số còn lại là lẻ.
Có cách chọn.
+ lẻ
cùng lẻ
Có cách chọn.
Có cách chọn thỏa mãn yêu cầu.
TH2: Trong 3 quả cầu lấy ra có 2 quả màu xanh và 1 quả màu đỏ.
Gọi lần lượt là số ghi trên quả màu đỏ , 2 quả màu xanh
+) lẻ :
Để chẵn thì chẵn
cùng chẵn hoặc 1 trong 2 số là chẵn và số còn lại là lẻ.
Có cách chọn.
+) chẵn :
Để chẵn thì chẵn hoặc lẻ
+ chẵn
cùng chẵn hoặc 1 trong 2 số là chẵn và số còn lại là lẻ.
Có cách chọn.
+ lẻ
cùng lẻ
Có cách chọn.
Có cách chọn thỏa mãn yêu cầu.
Vậy có tất cả 400 cách chọn thỏa mãn yêu cầu đền bài.
Câu 11 [711162]: Trên mặt phẳng ta xét một hình chữ nhật với các điểm ,, (hình vẽ). Một con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên). Có bao nhiêu cách để nó đáp xuống các điểm mà
Điền đáp án: 9.
Điểm có hoành độ và tung độ thỏa mãn:

+) Có 4 điểm thỏa mãn.
+) Có 3 điểm thỏa mãn.
+) Có 2 điểm thỏa mãn.
Có tất cả 9 điểm thỏa mãn yêu cầu.
Câu 12 [711183]: Ở trường THPT X có 9 học sinh đạt giải Nhất học sinh giỏi cấp tỉnh. Các thầy cô dùng 18 cuốn sách MoonBook bao gồm 7 cuốn sách Tổng Ôn Toán, 6 cuốn sách Tổng Ôn Lý và 5 cuốn sách Tổng Ôn Hóa (các cuốn sách cùng loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho 9 học sinh trên. Biết rằng mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác thể loại. Số cách các thầy cô chia cho học sinh bằng bao nhiêu?
Đáp án: 1260
Để một học sinh nhận được 2 quyển sách thể loại khác nhau, ta chia phần thưởng thảnh ba loại: (Toán-Lý); (Toán- Hóa); (Lý- Hóa).
Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh nhận được bộ giải thưởng (Toán-Lý); (Toán-Hóa); (Lý-Hóa).
Khi đó, ta có hệ sau:
Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho 9 học sinh:
Chọn 4 bạn bất kì trong 9 bạn để nhận bộ (Toán-Lý): cách.
Chọn 3 bạn bất kì trong 5 bạn còn lại để nhận bộ (Toán-Hóa): cách.
2 bạn còn lại chỉ có 1 cách phát thưởng là bộ (Lý-Hóa).
Vậy
Câu 13 [711167]: Một đội bóng có 22 cầu thủ sẵn sàng thi đấu ở bất cứ vị trí nào huấn luyện viên yêu cầu. Khi sắp xếp cho một trận bóng chỉ có 11 cầu thủ được ra sân, 11 cầu thủ còn lại dự bị. Khi trận đấu đang diễn ra, huấn luyện viên sẽ có 3 quyền thay người. Bất cứ ai trên sân cũng có thể bị thay ra nhường chỗ cho một cầu thủ khác. Cầu thủ bị thay thế ra sẽ không thể vào lại trận đấu, còn cầu thủ được vào sân từ ghế dự bị thì có thể bị thay ra, không có hai sự thay đổi người cùng một lúc. Gọi là số cách mà huấn luyện viên có thể điều chỉnh con người trong một trận đấu (bao gồm cả trường hợp không thay đổi cầu thủ nào). Số dư khi chia cho 1000 là bao nhiêu?
Điền đáp án: 704.
B1: Chọn đội hình gồm 11 người từ 22 người ra sân có cách
B2: Thay người
TH1: Không thay người nào.
- Chỉ có 1 cách duy nhất.
TH2: Thay người.
Lần 1: Trên sân có 11 người và 11 dự bị
Có cách
Lần 2: Trên sân có 11 người và 10 dự bị
Có cách
Lần 3: Trên sân có 11 người và 9 dự bị
Có cách
Thay 1 lần có 121 cách
Thay 2 lần có cách
Thay 3 lần có cách
Vậy có tất cả cách thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ta có:

Câu 14 [1040513]: Một tòa nhà có n tầng, đánh số từ 1 (tầng một) đến n (tầng cao nhất). Có 4 thang máy, tất cả đều bắt đầu từ tầng 1. Mỗi thang máy có các quy tắc hoạt động như sau:
∎ Mỗi thang máy chỉ được phép dừng ở đúng 3 tầng khác nhau.
∎ 3 tầng mà thang máy dừng không được tính là tầng 1. (Nghĩa là, các tầng dừng phải là từ tầng 2 trở lên).
∎ 3 tầng mà thang máy dừng không được là 3 tầng liên tiếp nhau. Ví dụ: Nếu một thang máy dừng ở tầng 5, tầng 6, tầng 7 thì điều này là không được phép. Nhưng dừng ở tầng 5, tầng 6, tầng 8 thì được phép.
Tòa nhà trên có tối thiểu bao nhiêu tầng?
Điền đáp án: 6.
TH1:
- Ta có tập hợp các tầng thang máy có thể dừng là
Loại vì có tất cả 4 thang máy
TH2:
- Ta có tập hợp các tầng thang máy có thể dừng là

Ta cần chọn ra 4 tập gán cho 4 thang máy và luôn chọn được tập có tầng 6. Khách sạn có tối thiểu 6 tầng.
Câu 15 [711159]: Trong một trò chơi, bạn Nam để vượt qua được vòng chơi cần phải thực hiện thử thách: điền vào mỗi ô vuông đơn vị trong hình vuông kích thước 4×4 một trong hai số 1 hoặc −1 sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách để bạn Nam vượt qua thử thách?
Điền đáp án: 90.
Bước 1: Điền hàng thứ nhất
- Một hàng cần điền hai số 1 và hai số
- Số cách để chọn 2 vị trí cho số 1 là cách.
Bước 2: Điền hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư
Số cách điền các hàng còn lại sẽ phụ thuộc vào cách điền hàng đầu tiên.
Ta sẽ cố định một cách điền hàng thứ nhất, ví dụ
Trường hợp 1: Hàng 2 giống hệt hàng 1.
- Số cách điền hàng 2: Chỉ có 1 cách
- Khi đó, tổng của 2 hàng đầu tiên cho mỗi cột là
- Để tổng 4 hàng bằng 0, tổng của hàng 3 và hàng 4 cho mỗi cột phải là
- Điều này chỉ có thể xảy ra khi hàng 3 và hàng 4 đều là (−1,−1,1,1).
Vậy có 1 cách để hoàn thành ma trận trong trường hợp này.
Trường hợp 2: Hàng 2 có 1 số 1 trùng vị trí với hàng 1.
- Số cách điền hàng 2:
+ Chọn 1 vị trí có số 1 từ hàng 1 để giữ lại số 1 có 2 cách.
+ Chọn 1 vị trí có số từ hàng 1 để đổi thành số có 2 cách.
+ Các vị trí còn lại được xác định.
Số cách điền hàng 2 là cách. Ví dụ:
- Khi đó, tổng của 2 hàng đầu tiên cho mỗi cột là:
- Tổng của hàng 3 và hàng 4 cho mỗi cột phải là
- Hàng 3 và hàng 4 phải có 2 số 1 và 2 số
- Để tổng cột bằng 0, 2 ô ở cột 2 và 2 ô ở cột 3 phải có tổng bằng 0 (1 ô 1 và 1 ô ), có 2!=2 cách sắp xếp cho 2 ô này.
- Khi đó hàng 3 và hàng 4 cũng phải có tổng bằng 0.
Tổng số cách trong trường hợp này là
Trường hợp 3: Hàng 2 không có số 1 nào trùng vị trí với hàng 1.
- Số cách điền hàng 2 là 1 cách:
- Khi đó, tổng của 2 hàng đầu tiên cho mỗi cột đều là 0.
- Để tổng của 4 hàng bằng 0, tổng của hàng 3 và hàng 4 cho mỗi cột cũng phải bằng 0.
- Số cách điền hàng 3 là
- Hàng 4 sẽ được xác định để tổng các cột bằng 0.
Tổng số cách trong trường hợp này là 6.
Vậy tổng số cách thỏa mãn yêu cầu đề bài là