Quay lại
Đáp án
Câu 1 [713124]: Một lớp học có 100 học sinh, trong đó có 40 học sinh giỏi ngoại ngữ; 30 học sinh giỏi tin học và 20 học sinh giỏi cả ngoại ngữ và tin học. Học sinh nào giỏi ít nhất một trong hai môn sẽ được thêm điểm trong kết quả học tập của học kì. Chọn ngẫu nhiên một trong các học sinh trong lớp, xác suất để học sinh đó được tăng điểm là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Điền đáp án: 0,50.
Số học sinh giỏi ít nhất 1 trong 2 môn là
Xác suất cần tìm là
Câu 2 [713117]: Mỗi bạn An và Bình chọn ngẫu nhiên ba số trong tập . Xác suất để trong hai bộ số của An và Bình chọn ra có nhiều nhất một số giống nhau bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Điền đáp án: 0,77.
Ta có:
TH1: An và Bình không có số nào giống nào giống nhau trong 3 số.
- An chọn 3 số trước , sau đó Bình sẽ chọn 3 trong 6 số còn lại nên số cách là
TH2: An và Bình có 1 số nào giống nào giống nhau trong 3 số.
- An chọn 3 số trước nên có cách
- Số cách chọn 1 số giống nhau trong 3 số An chọn là
- Bình chọn 2 số còn lại trong 6 số cách.
Số sách trong trường hợp này là
Vậy xác suất cần tìm là
Câu 3 [713072]: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp số có ba chữ số khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là số chẵn bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Gọi là biến cố số được chọn có tổng các chữ số là số chẵn.
Ta có .
Vì số được chọn có tổng các chữ số là số chẵn nên sãy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Ba chữ số được chọn đều là số chẵn.
Số cách chọn ra và sắp xếp ba chữ số chẵn là .
Số cách chọn ra và sắp xếp ba chữ số chẵn trong đó số đứng đầu là .
Vậy nên số số thỏa biến cố là: số.
Trường hợp 2: Ba chữ số được chọn có chữ số là số lẽ và chữ số là số chẵn.
Số cách chọn ra và sắp xếp chữ số là số lẽ và chữ số là số chẵn là .
Số cách chọn ra và sắp xếp chữ số là số lẽ và chữ số chẵn là số đứng đầu là .
Vậy nên số số thỏa biến cố là: số.
Do vậy .
Ta có .
Câu 4 [713071]: Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc , xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng khác tính chẵn lẻ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Gọi là số tự nhiên có chữ số khác nhau.
Khi đó có số.
Số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố số có hai chữ số tận cùng khác tính chẵn lẻ.
TH1: Một trong hai chữ số cuối có chữ số : Có số.
TH2: Hai chữ số tận cùng không có chữ số : Có số.
Suy ra
Vậy
Câu 5 [713122]: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số . Tính xác suất để tìm được một số không bắt đầu bởi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,98.
Ta có:
Số cách lập được 1 số 5 chữ số khác nhau bắt đầu bởi 135 là số hoán vị của 2 chữ số cuối và bằng
Xác suất cần tìm là
Câu 6 [713078]: Xếp ngẫu nhiên 5 học sinh ngồi vào một dãy 5 ghế thẳng hàng (mỗi bạn ngồi một ghế). Tính xác suất để hai bạn và không ngồi cạnh nhau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Số phần tử của không gian mẫu: .
Gọi là biến cố “Hai bạn và không ngồi cạnh nhau”.
“Hai bạn và ngồi cạnh nhau”.
Có 4 vị trí để hai bạn và ngồi cạnh nhau, hai bạn đổi chỗ được một cách xếp mới.
Nên số cách xếp để hai bạn và ngồi cạnh nhau là .
Xác suất của biến cố là: .
Vây xác suất của biến cố là: .
Sử dụng thông tin sau để trả lời Câu 7 và Câu 8:
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên nằm trong đoạn [1;30]. Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử của tập S.
Câu 7 [1040608]: Gọi là xác suất để 3 phần tử được chọn lập thành một cấp số cộng. Tính
Điền đáp án: 2320.

Gọi 3 số lập thành 1 cấp số cộng với công bội lần lượt là
Ta có:
Số bộ 3 phần tử thỏa mãn yêu cầu đề bài là
Câu 8 [1040609]: Gọi b là xác suất để bình phương của 3 phần tử được chọn lập thành một cấp số cộng? Tính
Điền đáp án: 243 600.
Các bộ ba thỏa mãn và là:
- .
- .
- .
- .
- .
- .
Câu 9 [713070]: Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc , xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Có cách tạo ra số có 4 chữ số phân biệt từ .
.
.
Gọi biến cố A:”chọn ngẫu nhiên một số thuộc , xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn”.
Nhận thấy không thể có 3 chữ số chẵn hoặc 4 chữ số chẵn vì lúc đó luôn tồn tại hai chữ số chẵn nằm cạnh nhau.
• Trường hợp 1: Cả 4 chữ số đều lẻ.
Chọn 4 số lẻ từ và xếp thứ tự có số.
• Trường hợp 2: Có 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn.
Chọn 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn từ và xếp thứ tự có số.
• Trường hợp 3: Có 2 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ.
Chọn 2 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn từ có cách.
Xếp thứ tự 2 chữ số lẻ có 2! cách.
Hai chữ số lẻ tạo thành 3 khoảng trống, xếp hai chữ số chẵn vào 3 khoảng trống và sắp thứ tự có 3! cách.
trường hợp này có số.
Vậy .
Câu 10 [713128]: Trong một trò chơi tập thể, lớp trưởng cần chia học sinh vào nhóm 1,2,3,4. Để tạo sự thú vị mà không phải bốc thăm, bạn ấy nghĩ ra một cách là cho mỗi người trả lời 3 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có 3 đáp án A, B, C. Khi thống kê kết quả trả lời, ai chọn đáp án A hoặc B hoặc C nhiều nhất thì theo thứ tự sẽ được xếp vào nhóm 1,2,3; còn ai chọn đủ cả 3 đáp án thì vào nhóm 4. Biết rằng xác suất chọn câu trả lời của mỗi người cho mỗi câu hỏi là như nhau.
a) Đúng.
Mỗi người trả lời 3 câu, mỗi câu có 3 phương án có kết quả.
Ta phân loại theo số lần chọn A,B,C :
- Trường hợp hoặc hoặc : mỗi trường hợp 1 dãy 3 dãy.
- Trường hợp (một phương án xuất hiện 2 lần, một phương án xuất hiện 1 lần):
+ Có 3 cách để chọn phương án 1 trong 3 phương án A, B, C để xuất hiện 2 lần.
+ Có 3 cách chọn vị trí cho phương án xuất hiện 2 lần.
+ Có 2 cách để chọn phương án xuất hiện 1 lần.
Có dãy
- Trường hợp có dãy.
Để vào được nhóm 1 thì phải chọn 3 phương án A hoặc 2 phương án A và 1 phương án còn lại trong 3 phương án
Xác suất để vào nhóm 1 là
Tương tự ta tính được xác suất để vào nhóm 2, 3 bằng
b) Đúng.
Theo câu a thì mọi kết quả đều rơi vào 4 nhóm như trên.
c) Đúng
Theo câu a thì xác suất vào nhóm 1, 2, 3 bằng nhau.
d) Sai.
Theo câu a ta có xác suất vào nhóm 4 là
Câu 11 [713101]: Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn 3 nút liên tiếp khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B chỉ nhớ được chi tiết 3 nút tạo thành dãy số tăng. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó biết rằng để nếu bấm sai 3 lần liên tiếp cửa sẽ tự động khóa lại (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,19.
Số cách chọn ba số là .
Vì chọn ba số thì chỉ có một cách sắp xếp theo thứ tự tăng dần nên số cách chọn được ba số tạo thành dãy số tăng là 120 cách.
Để mở được cửa thì dãy số có thể là

Xác suất để mở cửa trong lần một là .
Xác suất để mở được cửa trong lần hai (bỏ số đã bấm ở lần một) là .
Xác suất để mở được cửa trong lần ba (bỏ số đã bấm ở hai lần trước) là .
Vậy xác suất để mở được cửa phòng học là
Câu 12 [1040610]: Có ba người đang ở tầng 1 bước vào thang máy của một tòa nhà 5 tầng.
■ Mỗi người sẽ ngẫu nhiên và độc lập chọn tầng 2, 3, 4 hoặc 5 làm điểm đến của mình và họ sẽ ra ở tầng mình đã chọn.
■ Thang máy sẽ không dừng lại ở một tầng nào đó nếu không có ai chọn tầng đó.Xác suất thang máy dừng lại đúng 3 lần bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,38.
Có 3 người và 4 tầng nên số kết quả có thể xảy ra là
Chọn 3 trong 4 thang máy và mỗi người sẽ ra từ 1 trong 3 thang máy nên số cách là
Xác suất cần tìm là
Câu 13 [1040611]: Một lớp học có 4 tổ, mỗi tổ có 6 bạn học sinh. Thầy giáo muốn chọn ra 6 bạn để tham gia dọn vệ sinh sau giờ học. Gọi là xác suất thầy chọn ra 6 bạn với quy tắc sau:
■ Do một tổ có thành tích tốt nên không phải tham gia dọn vệ sinh
■ Mỗi tổ còn lại có ít nhất một bạn tham gia.
Tính giá trị của . Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,47.
Ta có:
Chọn ra 1 tổ có thành tích tốt có cách.
Gọi 4 tổ lần lượt là
Giả sử tổ được chọn có thành tích tốt là
Chọn 6 học sinh từ 18 học sinh còn lại có cách.
Chọn 6 học sinh từ tổ có cách.
Chọn 6 học sinh từ tổ có cách.
Chọn 6 học sinh từ tổ có cách.
Chọn 6 học sinh trong 12 học sinh của 2 tổ có cách.
Chọn 6 học sinh trong 12 học sinh của 2 tổ có cách.
Chọn 6 học sinh trong 12 học sinh của 2 tổ có cách.
Số cách chọn 6 học sinh trong 18 học sinh còn lại sao cho có ít nhất 1 học sinh từ mỗi tổ là

Câu 14 [713121]: Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư và 4 chiếc phong bì thư đã để sẵn địa chỉ. Xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Điền đáp án: 0,63.
Số phần tử không gian mẫu là
Trường hợp 1: Chỉ có 1 lá thư được bỏ đúng địa chỉ.
- Giả sử ta chọn 1 trong 4 lá để bỏ đúng phong bì của nó thì có 4 cách chọn.
- Trong mỗi cách chọn đó ta lại chọn một lá để bỏ sai, khi đó có 2 cách và có đúng 1 cách để bỏ sai hai lá thư còn lại.
Vậy trường hợp 1 sẽ có cách.
Trường hợp 2: Có đúng 2 lá thư được bỏ đúng phong bì của nó.
- Số cách chọn 2 lá để bỏ đúng là cách.
- 2 lá còn lại nhất thiết phải bỏ sai nên có 1 cách bỏ.
Vậy trường hợp 2 có cách.
Trường hợp 3. Có 3 lá thư được bỏ đúng phong bì của nó, khi này đương nhiên là cả 4 phong bì đều bỏ đúng địa chỉ.
- Trường hợp này có đúng 1 cách.
Xác suất cần tìm là
Câu 15 [1040612]: Trong một lớp có n học sinh, bao gồm ba bạn A, B, C cùng với 24 học sinh khác. Khi xếp ngẫu nhiên n học sinh này vào một dãy ghế dài có đánh số từ 1 đến 27 (mỗi học sinh ngồi một ghế), xác suất để số ghế của theo thứ tự lập thành cấp số cộng bằng . Tính
Điền đáp án: 675.
Ta có:
Gọi 3 số ghế lập thành 1 cấp số cộng với công bội lần lượt là
Ta có:
Số bộ 3 phần tử thỏa mãn yêu cầu đề bài là
Do ta có thể đổi số ghế của cho nhau để tạo thành cấp số cộng với công bội âm nên có tất cả 2 trường hợp sắp xếp số ghế theo thứ tự để tạo thành cấp số cộng
Xác suất cần tìm là
Câu 16 [1040613]: Ông Bằng có 5 đôi tất. Mỗi đôi tất đều có đánh dấu "L" hoặc "R" (tất cả tất "L" và tất "R" đều giống hệt nhau). Ông Bằng chọn hai đôi tất cho mỗi ngày làm việc trong 5 ngày (không thay thế). Xác suất ông Bằng chọn một đôi "L" và "R" cho mỗi ngày trong năm ngày là bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Thầy xin phéo sửa đề: Chọn 2 đôi tất cho mỗi ngày làm việc sửa thành Chọn 2 chiếc tất cho mỗi ngày làm việc
Điền đáp án: 0,13.
Ngày 1:
- Chọn 2 chiếc tất bất kỳ trong 10 chiếc có cách
- Chọn 1 chiếc tất L và 1 chiếc tất R có cách
Ngày 2:
- Chọn 2 chiếc tất bất kỳ trong 8 chiếc có cách
- Chọn 1 chiếc tất L và 1 chiếc tất R có cách
Ngày 3:
- Chọn 2 chiếc tất bất kỳ trong 6 chiếc có cách
- Chọn 1 chiếc tất L và 1 chiếc tất R có cách
Ngày 4:
- Chọn 2 chiếc tất bất kỳ trong 4 chiếc có cách
- Chọn 1 chiếc tất L và 1 chiếc tất R có cách
Ngày 5:
- Chọn 1 chiếc tất L và 1 chiếc tất R có duy nhất 1 cách
Xác suất cần tìm là
Câu 17 [1040951]: Cho một hình vuông có 16 ô vuông đơn vị, ta đặt 5 đồng xu giống nhau vào các ô vuông. Gọi a là xác suất 5 đồng xu đặt vào thỏa mãn không có hai đồng xu nào được đặt vào các ô vuông kề nhau (kể cả hàng ngang và hàng dọc) và mỗi hàng phải có ít nhất 1 đồng xu. Tính
Điền đáp án: 1456.
TH1: Hàng 1 hoặc hàng 4 có 2 đồng xu
- Có 2 cách chọn hàng cho 2 đồng xu
- Có 3 cách để đặt 2 đồng xu trên hàng đó, giả sử ta đặt trên hàng 1
- Có 2 cách chọn đồng xu ở hàng 2
- Có cách đặt 2 đồng xu vào 2 hàng còn lại.
Có tất cả cách đặt
TH2: Hàng 2 hoặc hàng 3 có 2 đồng xu
- Có 2 cách chọn hàng cho 2 đồng xu
- Có 3 cách để đặt 2 đồng xu trên hàng đó, giả sử ta đặt trên hàng 2
- Có cách đặt đồng xu ở hàng 1 và 3
- Có 3 cách đặt đồng xu vào hàng cuối.
Có tất cả cách đặt
Vậy xác suất cần tìm là
Câu 18 [1040952]: Một tam giác lớn được chia thành 9 tam giác nhỏ hơn, trong đó hàng 1 có một tam giác, hàng 2 có 3 tam giác, hàng 3 có 5 tam giác. Đặt các số tự nhiên từ 1 đến 9 vào 9 tam giác nhỏ trên. Gọi T là xác suất để khi đặt các số vào tam giác, các tam giác ở hàng 2 và hàng 3 phải thỏa mãn “các số điền vào 3 tam giác liên tiếp lập thành một cấp số cộng”. Tính giá trị của
Điền đáp án: 11 340.
Gọi là công sai của cấp số cộng
TH1:
- Hàng 3 là thì còn dư
Hàng 2 phải là
- Hàng 3 là thì còn dư
Hàng 2 phải là .
- Hàng 3 là thì còn dư
Không có trường hợp cho hàng 2.
- Hàng 3 là thì còn dư
Hàng 2 phải là
- Hàng 3 là thì còn dư
Hàng 2 phải là .
Có tất cả 6 khả năng cho hàng 2.
Mỗi khả năng có 2 hướng cho hàng 2 và hàng 3 nên số cách xếp là .
TH2:
- Hàng 3 là thì còn dư
Hàng 2 phải là .
Số cách xếp là
Xác suất cần tìm là
Câu 19 [1040614]: Để kiếm thêm thu nhập, bạn Hà đã tạo ra một trò chơi và rủ các bạn cùng trường chơi. Trong một cái hộp có 100 tờ vé số, trong đó có 20 vé trúng thưởng 50 nghìn đồng, 10 vé trúng thưởng 100 nghìn đồng, 5 vé trúng thưởng 150 nghìn đồng và 65 vé không trúng thưởng. Bán Hà bán mỗi tờ vé số với giá 50 nghìn đồng, và số lượng vé số được bán hết. Hà chỉ công bố thưởng khi đã bán hết 100 tờ vé số, mỗi người có thể mua nhiều hơn một tờ. Một bạn học sinh mua 4 tờ vé số, xác suất để bạn đó trúng thưởng 200 nghìn đồng bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,11.
Gọi số vé bạn Hà mua trúng thưởng mệnh giá 50 nghìn đồng, 100 nghìn đồng, 150 nghìn đồng, 0 nghìn đồng lần lượt là
Bạn Hà mua 4 vé nên
Ta có:

+)
Bạn Hà đã mua 2 vé trúng 100 nghìn và 2 vé không trúng thưởng.
Số cách là
+)
Bạn Hà đã mua 1 vé trúng 50 nghìn, 1 vé trúng 150 nghìn và 2 vé không trúng thưởng
Số cách là
+)
Bạn Hà đã mua 2 vé trúng 50 nghìn ,1 vé trúng 100 nghìn và 1 vé không trúng thưởng.
Số cách là
+) Không có giá trị của
+)
Bạn Hà đã mua 4 vé trúng 50 nghìn
Số cách là
Xác suất cần tìm là
Câu 20 [1040615]: Cho tam giác đều H có cạnh bằng 8. Chia tam giác này thành 64 tam giác đều có cạnh bằng 1 bởi các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác đều đã cho. Gọi S là tập hợp các đỉnh của 64 tam giác đều có cạnh bằng 1. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của tập S. Gọi a là xác suất để 4 đỉnh được chọn là bốn đỉnh của một hình bình hành nằm trong miền trong đa giác đều H và có các cạnh chứa các cạnh của tam giác cạnh 1 nói trên. Tính
Điền đáp án: 3311.
Đính chính: Để bài toán chặt chẽ hơn, nhóm tác giả xin phép thêm đề thành:" Gọi a là xác suất để 4 đỉnh được chọn là bốn đỉnh của một hình bình hành nằm trong miền trong đa giác đều H và có các cạnh chứa các cạnh của tam giác cạnh 1 nói trên ".Thầy chân thành xin lỗi.
Trên cạnh ta có 9 đỉnh của các tam giác đều cạnh 1 cm ( kể cả và ), trên đường thẳng tiếp theo song song (phía trên ) ta có 8 đỉnh của các tam giác đều cạnh cuối cùng đến có 1 đỉnh của tam giác đều cạnh 1 cm .
Ta có Số phần tử của không gian mẫu là: .
Nếu có hình bình hành tạo thành từ 4 đỉnh trong thì 4 đỉnh đó chỉ có thể thuộc tam giác đều cạnh 5 cm (tức là bỏ đi tất cả các đỉnh của các tam giác cạnh 1 cm nằm trên ba cạnh , và cạnh có liên quan đến các đỉnh đó).

Trường hợp 1: Các cạnh của hình bình hành nằm trên hoặc có đúng 1 đỉnh thuộc.
- Các hình bình hành có cạnh nằm trên và
+ Tạo bởi hai đoạn
Ta cần chọn thêm 2 đường thẳng song song hoặc trùng với (hoặc song song trùng ) thì tạo ra hình bình hành và mỗi trường hợp này có cách.
Như vậy có: hình bình hành.
+ Tạo bởi hai đoạn : Lặp lại lập luận trên ta có có: hình.
+ Tạo bởi hai đoạn : Lặp lại lập luận trên ta có có: hình.
+ Tạo bởi hai đoạn : Lặp lại lập luận trên ta có có: hình.
Vậy các hình bình hành có cạnh nằm trên có hình.
- Các hình bình hành có đúng 1 đỉnh thuộc
+ Đỉnh số 1 và số 4: đều có 4 hình bình hành
+ Đỉnh số 2 và số 3: đều có 3 hình bình hành.
Vậy các hình bình hành có đúng 1 đỉnh thuộc có hình.
Do đó trường hợp 1 ta có: hình.
Trường hợp 2: Các cạnh hình hành nằm trên nhưng không thuộc hoặc có đúng 1 đỉnh thuộc .
So với trường hợp 1 thì chỉ số tổ hợp giảm đi 1, ta làm tương tự và có:

Trường hợp 3: Các cạnh hình hành nằm trên nhưng không thuộc và hoặc có đúng 1 đỉnh thuộc .
Tương tự ta có hình.
Trường hợp 4: Các cạnh hình hành nằm trên nhưng không thuộc và hoặc có đúng 1 đỉnh thuộc .
Ta có hình.
Số các hình bình hành trong bốn trường hợp là hình.
Vậy xác suất cần tìm là