Câu 1 [713123]: Một lớp có 20 học sinh, trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học sinh giỏi cả 2 môn. Giáo viên chủ nhiệm chọn ra 2 em. Xác suất 2 em đó là học sinh giỏi là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Điền đáp án: 0,11.
Số học sinh giỏi ít nhất 2 môn là
Xác suất cần tìm là
Số học sinh giỏi ít nhất 2 môn là
Xác suất cần tìm là
Câu 2 [713125]: Một lớp có 25 học sinh, trong đó có 15 em học khá môn Toán, 16 em học khá môn Văn. Biết rằng mỗi học sinh trong lớp đều khá ít nhất một trong hai môn trên. Xác suất để chọn được 3 em học khá môn Toán nhưng không khá môn Văn là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,04.
Số học sinh khá cả 2 môn Toán và Văn là
Số học sinh học khá môn Toán nhưng không khá môn Văn là
Xác suất cần tìm là
Số học sinh khá cả 2 môn Toán và Văn là
Số học sinh học khá môn Toán nhưng không khá môn Văn là
Xác suất cần tìm là
Câu 3 [1040616]: Chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập 
. Xác suất để chọn được 2 số mà tích của chúng là một số chính phương bằng a? Tính 
. Xác suất để chọn được 2 số mà tích của chúng là một số chính phương bằng a? Tính
Điền đáp án: 3800.
Tích của 2 chữ số
là số chính phương khi và chỉ khi số mũ của các thừa số nguyên tố trong tích là số chẵn.
+) TH1: Các số chính phương: 1,4,9,16.
- Số cách chọn 2 số từ 4 số này là
cách.
+) TH2: Các số có dạng
: 
- Số cách chọn 2 số từ 3 số này là
cách.
+) TH3: Các số có dạng
:
- Số cách chọn là 1.
+) TH4: Các số có dạng
: 
- Số cách chọn là 1.
+) TH5: Các số có dạng
: 6
- Không có cặp nào.
+) Các số còn lại: 7,10,11,13,14,15,17,19.
- Các số này đều không có cặp nào có tích là số chính phương.
Tổng số cặp số có tích là số chính phương là
Xác suất cần tìm là
Tích của 2 chữ số
là số chính phương khi và chỉ khi số mũ của các thừa số nguyên tố trong tích là số chẵn.+) TH1: Các số chính phương: 1,4,9,16.
- Số cách chọn 2 số từ 4 số này là
cách.+) TH2: Các số có dạng
: - Số cách chọn 2 số từ 3 số này là
cách.+) TH3: Các số có dạng
:- Số cách chọn là 1.
+) TH4: Các số có dạng
: - Số cách chọn là 1.
+) TH5: Các số có dạng
: 6- Không có cặp nào.
+) Các số còn lại: 7,10,11,13,14,15,17,19.
- Các số này đều không có cặp nào có tích là số chính phương.
Tổng số cặp số có tích là số chính phương là
Xác suất cần tìm là
Câu 4 [713083]: Cho tập 
. Gọi 
là tập hợp các tam giác có độ dài ba cạnh là các phần tử của 
. Chọn ngẫu nhiên một phần tử thuộc 
. Xác suất để phần tử được chọn là một tam giác cân (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
. Gọi là tập hợp các tam giác có độ dài ba cạnh là các phần tử của . Chọn ngẫu nhiên một phần tử thuộc . Xác suất để phần tử được chọn là một tam giác cân (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Tập các bộ ba số khác nhau có giá trị bằng số đo 3 cạnh là:
có 7 tam giác không cân.
Xét các tam giác cân có cạnh đáy bằng
, cạnh bên bằng 
.
Ta xét các trường hợp:
: 1 tam giác cân.
: 3 tam giác cân.
: 5 tam giác cân.
: có 18 tam giác cân.
Vậy ta có
.
Gọi
là biến cố:” để phần tử được chọn là một tam giác cân”, suy ra 
.
Suy ra
.
có 7 tam giác không cân.Xét các tam giác cân có cạnh đáy bằng
, cạnh bên bằng .Ta xét các trường hợp:
: 1 tam giác cân.
: 3 tam giác cân.
: 5 tam giác cân.
: có 18 tam giác cân.Vậy ta có
.Gọi
là biến cố:” để phần tử được chọn là một tam giác cân”, suy ra .Suy ra
.
Câu 5 [713084]: Có 50 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 50. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3 bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Gọi 
là không gian mẫu của phép thử rút ngẫu nhiên 3 thẻ.
Ta có:
.
Gọi
là biến cố “tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3”.
50 thẻ được chia thành 3 loại gồm:
+ 16 thẻ có số chia hết cho 3 là
.
+ 17 thẻ có số chia cho 3 dư 1 là
.
+ 17 thẻ có số chia cho 3 dư 2 là
.
Ta xét các trường hợp sau:
TH1: 3 thẻ được chọn cùng một loại có
cách.
TH2: 3 thẻ được chọn mỗi loại 1 thẻ có
cách.
Do đó
.
Xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3 bằng:
.
là không gian mẫu của phép thử rút ngẫu nhiên 3 thẻ.Ta có:
.Gọi
là biến cố “tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3”.50 thẻ được chia thành 3 loại gồm:
+ 16 thẻ có số chia hết cho 3 là
.+ 17 thẻ có số chia cho 3 dư 1 là
.+ 17 thẻ có số chia cho 3 dư 2 là
.Ta xét các trường hợp sau:
TH1: 3 thẻ được chọn cùng một loại có
cách.TH2: 3 thẻ được chọn mỗi loại 1 thẻ có
cách.Do đó
.Xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3 bằng:
.
Câu 6 [713085]: Cho đa giác đều 
có 30 đỉnh. Lấy tùy ý 3 đỉnh của 
. Xác suất để 3 đỉnh lấy được tạo thành một tam giác tù bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
có 30 đỉnh. Lấy tùy ý 3 đỉnh của . Xác suất để 3 đỉnh lấy được tạo thành một tam giác tù bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh có 
.
Gọi
là đường tròn ngoại tiếp đa giác 
.
Giả sử chọn được một tam giác tù
với góc 
nhọn, 
tù, 
nhọn.
Chọn 1 đỉnh bất kì làm đỉnh
có 30 cách. Kẻ đường kính của đường tròn 
đi qua đỉnh vừa chọn chia đường tròn 
thành hai phần.(Bên trái và bên phải).
Để tạo thành một tam giác tù thì hai đỉnh còn lại cùng nằm bên trái hoặc cùng nằm bên phải.
Hai đỉnh cùng nằm bên trái có
cách.
Hai đỉnh cùng nằm bên phải có
cách.
Vì trong mỗi tam giác vai trò của đỉnh
và 
như nhau nên số tam giác tù tạo thành là: 
.
Xác suất cần tìm là
.
.Gọi
là đường tròn ngoại tiếp đa giác .Giả sử chọn được một tam giác tù
với góc nhọn, tù, nhọn.Chọn 1 đỉnh bất kì làm đỉnh
có 30 cách. Kẻ đường kính của đường tròn đi qua đỉnh vừa chọn chia đường tròn thành hai phần.(Bên trái và bên phải).Để tạo thành một tam giác tù thì hai đỉnh còn lại cùng nằm bên trái hoặc cùng nằm bên phải.
Hai đỉnh cùng nằm bên trái có
cách.Hai đỉnh cùng nằm bên phải có
cách.Vì trong mỗi tam giác vai trò của đỉnh
và như nhau nên số tam giác tù tạo thành là: .Xác suất cần tìm là
.
Câu 7 [713089]: Gọi 
là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số lập được từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 số từ tập 
Xác suất để cả 2 số lấy được đều có chữ số hàng chục nhỏ hơn các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số lập được từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 số từ tập Xác suất để cả 2 số lấy được đều có chữ số hàng chục nhỏ hơn các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Số tự nhiên có ba chữ số có dạng 
Số các số tự nhiên có ba chữ số được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là
số.
Số phần tử không gian mẫu
Gọi
là biến cố: “ 2 số lấy được đều có chữ số hàng chục nhỏ hơn các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị”.
Trường hợp
có 
số.
Trường hợp
có 
số.
Trường hợp
có 
số.
Trường hợp
có 
số.
Trường hợp
có 
số.
Trường hợp
có 
số.
Trường hợp
có 
số.
Vậy có
số thỏa mãn chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị và hàng trăm.
Vậy
Số các số tự nhiên có ba chữ số được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là
số.Số phần tử không gian mẫu
Gọi
là biến cố: “ 2 số lấy được đều có chữ số hàng chục nhỏ hơn các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị”.Trường hợp
có số.Trường hợp
có số.Trường hợp
có số.Trường hợp
có số.Trường hợp
có số.Trường hợp
có số.Trường hợp
có số.Vậy có
số thỏa mãn chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị và hàng trăm.Vậy
Câu 8 [713073]: Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp 
, 2 học sinh lớp 
và 1 học sinh lớp 
, ngồi và hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Xác suất để học sinh lớp 
chỉ ngồi cạnh học sinh lớp 
bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
, 2 học sinh lớp và 1 học sinh lớp , ngồi và hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Xác suất để học sinh lớp chỉ ngồi cạnh học sinh lớp bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh thành hàng ngang, không gian mẫu có số phần tử là: 
.
Gọi
là biến cố “học sinh lớp 
chỉ ngồi cạnh học sinh lớp 
”.
Xét các trường hợp:
Trường hợp 1. Học sinh lớp
ngồi đầu dãy.
+ Chọn vị trí cho học sinh lớp
có 2 cách.
+ Chọn 1 học sinh lớp
ngồi cạnh học sinh lớp 
có 2 cách.
+ Hoán vị các học sinh còn lại cho nhau có
cách.
Trường hợp này thu được:
cách.
Trường hợp 2. Học sinh lớp
ngồi giữa hai học sinh lớp 
, ta gộp thành 1 nhóm, khi đó:
+ Hoán vị 4 phần tử gồm 3 học sinh lớp
và nhóm gồm học sinh lớp 
và lớp 
có: 
cách.
+ Hoán vị hai học sinh lớp
cho nhau có: 
cách.
Trường hợp này thu được:
cách.
Như vậy số phần tử của biến cố
là: 
.
Xác suất của biến cố
là 
.
.Gọi
là biến cố “học sinh lớp chỉ ngồi cạnh học sinh lớp ”.Xét các trường hợp:
Trường hợp 1. Học sinh lớp
ngồi đầu dãy.+ Chọn vị trí cho học sinh lớp
có 2 cách.+ Chọn 1 học sinh lớp
ngồi cạnh học sinh lớp có 2 cách.+ Hoán vị các học sinh còn lại cho nhau có
cách.Trường hợp này thu được:
cách.Trường hợp 2. Học sinh lớp
ngồi giữa hai học sinh lớp , ta gộp thành 1 nhóm, khi đó:+ Hoán vị 4 phần tử gồm 3 học sinh lớp
và nhóm gồm học sinh lớp và lớp có: cách.+ Hoán vị hai học sinh lớp
cho nhau có: cách.Trường hợp này thu được:
cách.Như vậy số phần tử của biến cố
là: .Xác suất của biến cố
là .
Câu 9 [1040617]: Từ 12 học sinh gồm 5 học sinh giỏi, 4 học sinh khá, 3 học sinh trung bình, giáo viên muốn thành lập 4 nhóm làm 4 bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm 3 học sinh. Tính xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án:0,09.
Ta có số phần tử không gian mẫu là
Đánh số 4 nhóm là
- Bước 1: Xếp vào mỗi nhóm một học sinh khá có
cách.
- Bước 2: Xếp 5 học sinh giỏi vào 4 nhóm thì có 1 nhóm có 2 học sinh giỏi. Chọn nhóm có 2 học sinh giỏi có 4 cách, chọn 2 học sinh giỏi có
cách, xếp 3 học sinh giỏi còn lại có 
cách.
- Bước 3: Xếp 3 học sinh trung bình có
cách.
- Bước 4: Phân bổ bài tập cho các nhóm có
cách
Xác suất cần tìm là
Ta có số phần tử không gian mẫu là
Đánh số 4 nhóm là
- Bước 1: Xếp vào mỗi nhóm một học sinh khá có
cách.
- Bước 2: Xếp 5 học sinh giỏi vào 4 nhóm thì có 1 nhóm có 2 học sinh giỏi. Chọn nhóm có 2 học sinh giỏi có 4 cách, chọn 2 học sinh giỏi có
cách, xếp 3 học sinh giỏi còn lại có cách.
- Bước 3: Xếp 3 học sinh trung bình có
cách.
- Bước 4: Phân bổ bài tập cho các nhóm có
cách Xác suất cần tìm là
Câu 10 [1040618]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ở góc phần tư thứ nhất lấy 2 điểm phân biệt; cứ thế ở các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt (các điểm này không nằm trên các trục tọa độ). Trong tổng số 14 điểm đó, ta lấy 2 điểm bất kỳ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,25.
Chọn 1 đỉnh ở góc phần tư thứ nhất vào 1 đỉnh ở góc phần tư thứ ba có
cách
Chọn 1 đỉnh ở góc phần tư thứ hai vào 1 đỉnh ở góc phần tư thứ tư có
cách
Xác suất cần tìm là
Chọn 1 đỉnh ở góc phần tư thứ nhất vào 1 đỉnh ở góc phần tư thứ ba có
cáchChọn 1 đỉnh ở góc phần tư thứ hai vào 1 đỉnh ở góc phần tư thứ tư có
cáchXác suất cần tìm là
Câu 11 [713110]: Một nhóm gồm 11 học sinh trong đó có An, Bình, Cường tham gia một trò chơi đòi hỏi 11 bạn phải xếp thành một vòng tròn. Tính xác suất để ba bạn An, Bình, Cường không có bạn nào xếp cạnh nhau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,47.
Xếp 8 bạn còn lại thành 1 vòng tròn có
cách.
Giữa 8 bạn đó có 8 khoảng trống nên ta chọn 3 khoảng trống để xếp 3 bạn An, Bình, Cường vào nên số cách là
Số hoán vị của 3 bạn An, Bình, Cường là
Xác suất cần tìm là
Xếp 8 bạn còn lại thành 1 vòng tròn có
cách.Giữa 8 bạn đó có 8 khoảng trống nên ta chọn 3 khoảng trống để xếp 3 bạn An, Bình, Cường vào nên số cách là
Số hoán vị của 3 bạn An, Bình, Cường là
Xác suất cần tìm là
Câu 12 [713111]: Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Thầy lấy ngẫu nhiên ra 6 cuốn tặng cho 6 học sinh, mỗi em một cuốn. Tính xác suất để sau khi tặng xong mỗi thể loại văn học, âm nhạc, hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,87.
Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học
là 
Số cách lấy ra 6 cuốn sách ngẫu nhiên bất kì trong 12 cuốn là
Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai loại trong ba loại sách văn học, âm nhạc, hội họa là
Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại văn học, âm nhạc, hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn là
Số cách tặng sách thỏa đề bài là
Vậy xác suất cần tính bằng
Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học
là Số cách lấy ra 6 cuốn sách ngẫu nhiên bất kì trong 12 cuốn là
Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai loại trong ba loại sách văn học, âm nhạc, hội họa là
Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại văn học, âm nhạc, hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn là
Số cách tặng sách thỏa đề bài là
Vậy xác suất cần tính bằng
Câu 13 [1040619]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên một điểm có tọa độ là số nguyên với giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hoặc bằng 4. Nếu các điểm đều có cùng xác suất được chọn, vậy thì xác suất để chọn được một điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2 là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Điền đáp án: 0,16.
Gọi
là điểm thỏa mãn điều kiện 
Theo đề bài ta có:
+)
Có 5 điểm thỏa mãn là 
+)
Có 5 điểm thỏa mãn là 
+)
Có 3 điểm thỏa mãn là 
+)
Có 3 điểm thỏa mãn là 
+)
Có 3 điểm thỏa mãn là 
+)
Có 3 điểm thỏa mãn là 
Số điểm thỏa mãn đề bài là
Xác suất cần tìm là
Gọi
là điểm thỏa mãn điều kiện Theo đề bài ta có:
+)
Có 5 điểm thỏa mãn là +)
Có 5 điểm thỏa mãn là +)
Có 3 điểm thỏa mãn là +)
Có 3 điểm thỏa mãn là +)
Có 3 điểm thỏa mãn là +)
Có 3 điểm thỏa mãn là Số điểm thỏa mãn đề bài là
Xác suất cần tìm là
Câu 14 [713102]: Cho đa giác đều 32 cạnh. Gọi 
là tập hợp các tứ giác tạo thành có 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của 
. Xác suất để chọn được một hình chữ nhật bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
là tập hợp các tứ giác tạo thành có 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của . Xác suất để chọn được một hình chữ nhật bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Gọi 
và biến cố “Tứ giác tạo thành có 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều”, 
và biến cố “Hình chữ nhật”.
Ta có số hình tứ giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều là
Từ 32 đỉnh của đa giác đều 32 cạnh, một hình chữ nhật được tạo ra khi chọn ngẫu nhiên 2 đường chéo đi qua tâm.
Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 32 cạnh là 16 (số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều bằng một nửa số cạnh của đa giác đó).
Ta có số hình chữ nhật tạo được từ đa giác đều 32 cạnh là
Xác suất để chọn được một hình chữ nhật là:
và biến cố “Tứ giác tạo thành có 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều”, và biến cố “Hình chữ nhật”.Ta có số hình tứ giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều là
Từ 32 đỉnh của đa giác đều 32 cạnh, một hình chữ nhật được tạo ra khi chọn ngẫu nhiên 2 đường chéo đi qua tâm.
Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 32 cạnh là 16 (số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều bằng một nửa số cạnh của đa giác đó).
Ta có số hình chữ nhật tạo được từ đa giác đều 32 cạnh là
Xác suất để chọn được một hình chữ nhật là:
Câu 15 [713081]: Trước kì thi học sinh giỏi, nhà trường tổ chức buổi gặp mặt 
em học sinh trong đội tuyển. Biết các em đó có số thứ tự trong danh sách lập thành cấp số cộng. Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối diện nhau, mỗi dãy có 
ghế và mỗi ghế chỉ được ngồi một học sinh. Tính xác suất để tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
em học sinh trong đội tuyển. Biết các em đó có số thứ tự trong danh sách lập thành cấp số cộng. Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối diện nhau, mỗi dãy có ghế và mỗi ghế chỉ được ngồi một học sinh. Tính xác suất để tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Số phần tử của không gian mẫu là số cách sắp xếp 10 học sinh vào hai dãy bàn đối diện 
.
Gọi
là biến cố “tổng các số thứ tự của hai e ngồi đối diện là bằng nhau”.
Đánh số thứ tự của các em từ 1 đến 10.
Để tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau phải chia thành 5 cặp đối diện
.
Ta xếp dãy 1, dãy 2 chỉ có một cách chọn.
Vị trí
có 
cách chọn 1 học sinh, 
có 1 cách chọn.
Vị trí
có 
cách chọn 1 học sinh, 
có 1 cách chọn.
Vị trí
có 
cách chọn 1 học sinh, 
có 1 cách chọn.
Vị trí
có 
cách chọn 1 học sinh, 
có 1 cách chọn.
Vị trí
có 
cách chọn 1 học sinh, 
có 1 cách chọn.
Suy ra số phần tử của biến cố
là 
.
Vậy xác suất để biến cố
xảy ra là:
.
.Gọi
là biến cố “tổng các số thứ tự của hai e ngồi đối diện là bằng nhau”.Đánh số thứ tự của các em từ 1 đến 10.
Để tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau phải chia thành 5 cặp đối diện
.Ta xếp dãy 1, dãy 2 chỉ có một cách chọn.
Vị trí
có cách chọn 1 học sinh, có 1 cách chọn.Vị trí
có cách chọn 1 học sinh, có 1 cách chọn.Vị trí
có cách chọn 1 học sinh, có 1 cách chọn.Vị trí
có cách chọn 1 học sinh, có 1 cách chọn.Vị trí
có cách chọn 1 học sinh, có 1 cách chọn.Suy ra số phần tử của biến cố
là .Vậy xác suất để biến cố
xảy ra là: .
Câu 16 [1040620]: Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi. Thí sinh chọn 3 phong bì trong đó để xác định câu hỏi thi của mình
Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, xác suất để 3 câu hỏi do thí sinh A chọn và 3 câu hỏi do thí sinh B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống nhau là
. Tính 
Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, xác suất để 3 câu hỏi do thí sinh A chọn và 3 câu hỏi do thí sinh B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống nhau là
. Tính
Điền đáp án: 2550.
Ta có:
Thí sinh A chọn 3 câu hỏi trong 10 câu hỏi trước nên số cách là
Thí sinh B chọn 3 câu hỏi trong 7 câu hỏi còn lại nên số cách là
Xác suất cần tìm là
Ta có:
Thí sinh A chọn 3 câu hỏi trong 10 câu hỏi trước nên số cách là
Thí sinh B chọn 3 câu hỏi trong 7 câu hỏi còn lại nên số cách là
Xác suất cần tìm là
Câu 17 [1040621]: Một nhóm có 4 sinh viên và học vào các ngày thứ Hai và thứ Tư trong một phòng có đúng 4 chỗ ngồi. Hằng tuần, tất cả sinh viên đều đi học cả hai ngày đó. Vào mỗi ngày, các sinh viên chọn chỗ ngồi hoàn toàn ngẫu nhiên (mỗi sinh viên một chỗ). Hỏi xác suất để không ai ngồi đúng chỗ ngồi cũ trong cả hai ngày của một tuần là bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,38.
Số phần tử không gian mẫu là
Trường hợp 1: Chỉ có 1 sinh viên ngồi đúng chỗ.
- Giả sử ta chọn 1 trong 4 chỗ để sinh viên ngồi đúng thì có 4 cách chọn.
- Trong mỗi cách chọn đó ta lại chọn một chỗ để sinh viên ngồi sai, khi đó có 2 cách và có đúng 1 cách để sinh viên còn lại ngồi sai.
Vậy trường hợp 1 sẽ có
cách.
Trường hợp 2: Có 2 sinh viên ngồi đúng chỗ.
- Số cách chọn 2 chỗ để sinh viên ngồi đúng là
cách.
- 2 chỗ còn lại thì sinh viên phải ngồi sai nên có 1 cách.
Vậy trường hợp 2 có
cách
Trường hợp 3. Có 3 sinh viên ngồi đúng chỗ.
- Trường hợp này có đúng 1 cách.
Xác suất cần tìm là
Số phần tử không gian mẫu là
Trường hợp 1: Chỉ có 1 sinh viên ngồi đúng chỗ.
- Giả sử ta chọn 1 trong 4 chỗ để sinh viên ngồi đúng thì có 4 cách chọn.
- Trong mỗi cách chọn đó ta lại chọn một chỗ để sinh viên ngồi sai, khi đó có 2 cách và có đúng 1 cách để sinh viên còn lại ngồi sai.
Vậy trường hợp 1 sẽ có
cách.Trường hợp 2: Có 2 sinh viên ngồi đúng chỗ.
- Số cách chọn 2 chỗ để sinh viên ngồi đúng là
cách. - 2 chỗ còn lại thì sinh viên phải ngồi sai nên có 1 cách.
Vậy trường hợp 2 có
cáchTrường hợp 3. Có 3 sinh viên ngồi đúng chỗ.
- Trường hợp này có đúng 1 cách.
Xác suất cần tìm là
Câu 18 [1040622]: Biển số xe máy được bấm ngẫu nhiên không có quy luật. Biển số xe máy tỉnh Nam Định (hiện tại là Ninh Bình) bao gồm hai dòng:
▪ Dòng thứ nhất là 18XY, trong đó X và Y là một trong 24 chữ cái, X có thể trùng Y
▪ Dòng thứ hai là abc.de, trong đó a, b, c, d, e là các chữ số tự nhiên từ 0 đến 9.
Biển số được gọi là "đẹp" khi dòng thứ hai có tổng các chữ số là một số có chữ số tận cùng bằng 8 và có đúng 4 chữ số giống nhau. Một người đi bấm biển số, xác suất để người đó bấm được biển đẹp bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
▪ Dòng thứ nhất là 18XY, trong đó X và Y là một trong 24 chữ cái, X có thể trùng Y
▪ Dòng thứ hai là abc.de, trong đó a, b, c, d, e là các chữ số tự nhiên từ 0 đến 9.
Biển số được gọi là "đẹp" khi dòng thứ hai có tổng các chữ số là một số có chữ số tận cùng bằng 8 và có đúng 4 chữ số giống nhau. Một người đi bấm biển số, xác suất để người đó bấm được biển đẹp bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,05.
Số trường hợp của dòng thứ hai là
Chọn 4 chữ số giống nhau từ các chữ số ta có
cách chọn.
Mỗi bộ gồm 4 chữ số giống nhau, ta có một cách chọn duy nhất chữ số còn lại để tổng các số là số có chữ số tận cùng bằng 8 , chẳng hạn: 4 chữ số 0, chữ số còn lại sẽ là
chữ số 1 , chữ số còn lại sẽ là 
chữ số 9 , chữ số còn lại sẽ là 2 ).
Sắp xếp 5 chữ số vừa chọn có
cách xếp.
Do đó, có tất cả
cách chọn số ở dòng thứ hai.
Xác suất cần tìm là
Số trường hợp của dòng thứ hai là
Chọn 4 chữ số giống nhau từ các chữ số ta có
cách chọn.
Mỗi bộ gồm 4 chữ số giống nhau, ta có một cách chọn duy nhất chữ số còn lại để tổng các số là số có chữ số tận cùng bằng 8 , chẳng hạn: 4 chữ số 0, chữ số còn lại sẽ là
chữ số 1 , chữ số còn lại sẽ là chữ số 9 , chữ số còn lại sẽ là 2 ).
Sắp xếp 5 chữ số vừa chọn có
cách xếp.
Do đó, có tất cả
cách chọn số ở dòng thứ hai.
Xác suất cần tìm là
Câu 19 [713119]: Cho hình hộp chữ nhật 
. Tại đỉnh 
có một con sâu, mỗi lần di chuyển, nó bò theo cạnh của hình hộp chữ nhật và đi đến đỉnh kề với đỉnh nó đang đứng. Tính xác suất sao cho sau 9 lần di chuyển, nó đứng tại đỉnh 
(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
. Tại đỉnh có một con sâu, mỗi lần di chuyển, nó bò theo cạnh của hình hộp chữ nhật và đi đến đỉnh kề với đỉnh nó đang đứng. Tính xác suất sao cho sau 9 lần di chuyển, nó đứng tại đỉnh (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Xác suất).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Số phần tử của không gian mẫu là
Không mất tính tổng quát giả sử tọa độ đỉnh
và 
Mỗi lần sâu di chuyển là cộng thêm 1 tại 1 trong 3 vị trí hoành độ, tung độ và cao độ từ vị trí sâu đang đứng.
Do đó số phần tử của không gian mẫu là
Sau 9 lần di chuyển sau đứng tại vị trí
khi và chỉ khi sâu di chuyển số lần tại các tọa độ thành phần hoành độ ; tung độ, cao độ là 
; các hoán vị của bộ 
; các hoán vị của bộ 
Do đó số trường hợp thuận lợi của biến cố
: sâu ở 
sau 9 bước di chuyển là 
Xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,25.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Số phần tử của không gian mẫu là
Không mất tính tổng quát giả sử tọa độ đỉnh
và Mỗi lần sâu di chuyển là cộng thêm 1 tại 1 trong 3 vị trí hoành độ, tung độ và cao độ từ vị trí sâu đang đứng.
Do đó số phần tử của không gian mẫu là
Sau 9 lần di chuyển sau đứng tại vị trí
khi và chỉ khi sâu di chuyển số lần tại các tọa độ thành phần hoành độ ; tung độ, cao độ là ; các hoán vị của bộ ; các hoán vị của bộ Do đó số trường hợp thuận lợi của biến cố
: sâu ở sau 9 bước di chuyển là Xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,25.
Câu 20 [713098]: Cho một lưới ô vuông gồm 16 ô vuông nhỏ, mỗi ô vuông nhỏ có kích thước 
mét như hình vẽ bên. Con kiến thứ nhất ở vị trí A muốn di chuyển lên vị trí B , con kiến thứ hai ở vị trí B muốn di chuyển xuống vị trí A . Biết rằng con kiến thứ nhất chỉ có thể di chuyển ngẫu nhiên về phía bên phải hoặc lên trên, con kiến thứ hai chỉ có thể di chuyển ngẫu nhiên về phía bên trái hoặc xuống dưới (theo cạnh của các hình vuông). Hai con kiến xuất phát cùng một thời điểm và có
cùng vận tốc di chuyển. Gọi a là xác suất để hai con kiến gặp nhau trên đường đi? Tính
mét như hình vẽ bên. Con kiến thứ nhất ở vị trí A muốn di chuyển lên vị trí B , con kiến thứ hai ở vị trí B muốn di chuyển xuống vị trí A . Biết rằng con kiến thứ nhất chỉ có thể di chuyển ngẫu nhiên về phía bên phải hoặc lên trên, con kiến thứ hai chỉ có thể di chuyển ngẫu nhiên về phía bên trái hoặc xuống dưới (theo cạnh của các hình vuông). Hai con kiến xuất phát cùng một thời điểm và có cùng vận tốc di chuyển. Gọi a là xác suất để hai con kiến gặp nhau trên đường đi? Tính
Điền đáp án: 680
Giả sử
Ta thấy rằng sau mỗi bước đồng thời tổng tọa độ
của kiến thứ nhất tăng 
(bắt đầu từ 0) còn của kiến thứ hai giảm 
(bắt đầu từ 8).
Do đó chúng chỉ có thể gặp nhau khi
tức là chỉ có thể gặp nhau trên đường chéo các điểm 
với 
và thời điểm duy nhất có thể gặp là sau 4 bước.
Bây giờ đếm xác suất tới từng điểm
sau 4 bước:
- Với con kiến thứ nhất: trong 4 bước đầu mỗi bước đều có 2 lựa chọn (phải hoặc lên), nên xác suất có đúng
bước sang phải trong 4 bước là 
Khi đó con kiến thứ nhất ở điểm
- Tương tự kiến thứ hai (bắt đầu từ
) có xác suất 
và cũng đến 
Vậy xác suất cả hai gặp nhau (tức cùng đến cùng một điểm trên đường chéo) là
Giả sử
Ta thấy rằng sau mỗi bước đồng thời tổng tọa độ
của kiến thứ nhất tăng (bắt đầu từ 0) còn của kiến thứ hai giảm (bắt đầu từ 8). Do đó chúng chỉ có thể gặp nhau khi
tức là chỉ có thể gặp nhau trên đường chéo các điểm với và thời điểm duy nhất có thể gặp là sau 4 bước.Bây giờ đếm xác suất tới từng điểm
sau 4 bước:- Với con kiến thứ nhất: trong 4 bước đầu mỗi bước đều có 2 lựa chọn (phải hoặc lên), nên xác suất có đúng
bước sang phải trong 4 bước là Khi đó con kiến thứ nhất ở điểm
- Tương tự kiến thứ hai (bắt đầu từ
) có xác suất và cũng đến Vậy xác suất cả hai gặp nhau (tức cùng đến cùng một điểm trên đường chéo) là