Đáp án Bài 4 - Đề thi online: Bài tập tự luyện số 2

Câu 1 [806176]: Người ta trồng 1275 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ 2 có 2 cây, hàng thứ 3 có 3 cây, hàng thứ

có

cây

Hỏi có bao nhiêu hàng?

Đặt

là hàng thứ

Ta có :

Theo giả thiết ta có :

Vậy

nên có 50 hàng.

Câu 2 [806177]: Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,….Hỏi có bao nhiêu hàng cây?

Giả sử có

hàng cây.
Theo đề bài ta có:

Câu 3 [806179]: Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?

A, 81.

B, 82.

C, 80.

D, 79.

Chọn C
Giả sử trồng được

hàng cây

Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có

và công sai

Theo giả thiết:

So với điều kiện, suy ra:

Vậy có tất cả

hàng cây. Đáp án: C

Câu 4 [159610]: Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt

hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là

tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là

… và cứ thế tiếp tục đến ô thứ

Biết rằng để đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng

hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông?

Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng

có

Gọi

là số ô trên bàn cờ thì

Ta có

Câu 5 [806166]: Hùng đang tiết kiệm để mua một cây guitar. Trong tuần đầu tiên, anh ta để dành 42 đô la, và trong mỗi tuần tiếp theo, anh ta đã thêm 8 đô la vào tài khoản tiết kiệm của mình. Cây guitar Hùng cần mua có giá 400 đô la. Hỏi vào tuần thứ bao nhiêu thì anh ấy có đủ tiền để mua cây guitar đó?

Sau tuần đầu, Hùng cần thêm 358 đô la. Như vậy Hùng cần thêm

tuần.
Vậy đến tuần thứ 46 Hùng đủ tiền.
Cách khác: Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng:
Từ giả thiết bài toán, ta có số tiền trong tài khoản tiết kiệm của Hùng:
Trong tuần đầu tiên là 42 đô la:

Trong tuần thứ hai được tăng thêm 8 đô la nên lúc này số tiền là

Trong tuần thứ ba được tăng thêm 8 đô la nên lúc này số tiền là

…..
Nhận thấy số tiền tiết kiệm của Hùng tạo thành một cấp số cộng với

và công sai

Và số tiền tiết kiệm của Hùng sau

tuần sẽ là số hạng thứ

của một cấp số cộng này.
Số hạng tổng quát số tiền Hùng có ở tuần thứ

là

(đô la)
Vì Hùng cần mua cây guitar với giá 400 đô la nên Hùng đủ tiền khi

Vậy vào tuần thứ 46 thì anh ấy có đủ tiền mua cây guitar đó.
Điền đáp án: 46.

Câu 6 [806167]: Trong hội chợ tết Mậu Tuất 2018, một công ty sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo số lượng 1, 3, 5... từ trên xuống dưới (số hộp sữa trên mỗi hàng xếp từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp - mô hình như hình bên). Hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp sữa?

Cách 1:
Áp dụng công thức tính tổng n số hạng liên tiếp của CSC:

Vậy

Cách 2:
Áp dụng công thức

Suy ra

Vậy

Điền đáp số: 59.

Câu 7 [806175]: Trong hội chợ, một công ty sơn muốn xếp 1089 hộp sơn theo số lượng 1, 3, 5... từ trên xuống dưới (số hộp sơn trên mỗi hàng xếp từ trên xuống dưới là các số lẻ liên tiếp như mô hình như hình bên dưới). Hàng cuối cùng có bao nhiêu hộp sơn?

Giả sử

được xếp thành

hàng. Từ giả thiết ta có số hộp sơn trên mỗi hàng là số hạng của một cấp số cộng

với số hạng đầu

công sai

Do đó

Vậy số hộp sơn ở hàng cuối cùng là:

(hộp sơn).

Câu 8 [1041719]: Một công ty có 100 nhân viên được chia thành nhiều bậc lương khác nhau. Lương khởi điểm (bậc thấp nhất) là a triệu đồng/tháng. Cứ mỗi bậc tăng lên lương sẽ tăng thêm một khoản cố định là d triệu đồng. Biết rằng tổng tiền lương của 5 nhân viên có lương cao nhất là 150 triệu đồng/tháng và tổng tiền lương của 5 nhân viên có lương thấp nhất là 30 triệu đồng/tháng. Giả sử mỗi bậc lương chỉ có đúng 1 nhân viên. Tính giá trị của a. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Điền đáp án: 5,49.
Ta có:

Câu 9 [1041720]: Bạn Nam là một nhà thám hiểm đang khám phá một chuỗi các buồng đá trong một hang động cổ xưa. Để di chuyển từ buồng này sang buồng tiếp theo bạn Nam phải đi qua một đoạn đường. Có tổng cộng 7 buồng và theo thứ tự được kí hiệu là

Chiều dài của các đoạn đường này tạo thành một cấp số cộng thỏa mãn các tính chất sau:
+) Tổng chiều dài của 3 đoạn đường đầu tiên là 168 mét.
+) Tổng chiều dài của 2 đoạn đường cuối cùng là 84 mét.
Tốc độ di chuyển của bạn Nam là 4 km/h, thời gian bạn Nam đi qua tất cả các buồng đá là bao nhiêu phút?

Điền đáp án: 4,5.
Gọi chiều dài các đoạn đường lần lượt là

Ta có :

Tổng độ cài đường đi là

Thời gian cần tìm là

phút

Câu 10 [1041721]: Một hệ thống xử lý nước thải sử dụng Chlorine để khử trùng. Ban đầu, nồng độ vi khuẩn trong nước thải là

con/ml. Sau mỗi giờ xử lý, nồng độ vi khuẩn giảm 15% so với nồng độ của giờ trước đó. Tuy nhiên cứ sau mỗi 4 giờ, hệ thống sẽ tự động thêm một lượng vi khuẩn mới vào làm tăng nồng độ vi khuẩn lên 5% so với nồng độ hiện tại (trước khi bắt đầu chu trình giảm tiếp theo). Để đạt được tiêu chuẩn an toàn (nồng độ vi khuẩn dưới 100 con/ml), hệ thống cần hoạt động tối thiểu bao nhiêu giờ? (đơn vị giờ tính theo số nguyên).

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hàm số mũ).
Mức độ: Vận dụng (7,5+).
Sau mỗi chu kỳ 4 giờ , số lượng vi khuẩn bằng

so với lúc đầu.
Đặt

Ta có:

Hệ thống cần hoạt động tối thiểu ít nhất 62 giờ.
Điền đáp án: 62.

Câu 11 [1041722]: Bạn Hà chạy bộ để giảm cân đưa ra mục tiêu chạy bộ như sau. Ngày đầu tiên, cô ấy sẽ chạy bộ 2 km. Kể từ ngày thứ hai, quãng đường cố ấy đi được tăng thêm 200 mét so với ngày trước đó. Tuy nhiên, cứ sau mỗi 3 ngày, do mệt mỏi nên quãng đường cô ấy đi được trong ngày hôm đó sẽ giảm đi 40% so với quãng đường cô ấy phải đi theo kế hoạch, các ngày sau vẫn chạy theo kế hoạch. Sau 30 ngày Hà đã đi được tổng bao nhiêu kilomet? Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Điền đáp án: 133.
+) Quãng đường cô ấy đi được theo kế hoạch (không có ngày nào thay đổi):

+) Tính tổng quãng đường cô ấy chạy được trong những ngày mệt mỏi
Những ngày cô ấy mệt mỏi là

Ta có:

Quãng đường bị giảm trong những ngày cố ấy mệt mỏi là

Sau 30 ngày cô ấy đi được quãng đường bằng

Câu 12 [806448]: Để trang trí cho quán trà sữa sắp mở cửa của mình, bạn Việt quyết định tô màu một mảng tường hình vuông cạnh bằng

Phần tô màu dự kiến là các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là

(các hình vuông được tô màu chấm bi), trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (hình vẽ). Giả sử quá trình tô màu của Việt có thể diễn ra nhiều giờ. Hỏi bạn Việt tô màu đến hình vuông thứ mấy thì diện tích của hình vuông được tô bắt đầu nhỏ hơn

Diện tích của hình vuông lập thành cấp số nhân với số hạng đầu tiên là

Do đó số hạng tổng quát là

Để diện tích của hình vuông tô màu nhỏ hơn

Vậy tô màu từ hình vuông thứ

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 13 [806452]: Với hình vuông

như hình vẽ bên, cách tô màu như phần gạch sọc được gọi là cách tô màu “đẹp”. Một nhà thiết kế tiến hành tô màu cho một hình vuông như hình bên, theo quy trình sau:

Bước 1: Tô màu “đẹp” cho hình vuông

Bước 2: Tô màu “đẹp” cho hình vuông

là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông

thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ.
Bước 3: Tô màu “đẹp” cho hình vuông

là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông

thành 9 phần bằng nhau. Cứ tiếp tục như vậy.
Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bước để tổng diện tích phần được tô màu chiếm

Gọi diện tích được tô màu ở mỗi bước là

Dễ thấy dãy các giá trị

là một cấp số nhân với số hạng đầu

và công bội

Gọi

là tổng của

số hạng đầu trong cấp số nhân đang xét thì

Để tổng diện tích phần được tô màu chiếm

thì

Vậy cần ít nhất

bước.

Câu 14 [1041723]: Một nhà hiền triết cổ đại đã để lại một mật thư. Để giải được nó, bạn cần tìm 3 con số A, B, C thỏa mãn các yêu cầu sau:
+) Số A: Là số cuối cùng của một cấp số cộng có 10 số hạng. Số hạng đầu tiên là 5. Tổng của 5 số hạng cuối cùng của cấp số cộng này gấp đôi tổng của 5 số hạng đầu tiên.
+) Số B: Là số dương lớn nhất trong một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là

và tổng của cấp số nhân đó bằng 15.
+) Số C: Là số thứ 10 trong một dãy số có số hạng tổng quát là

.
Mật thư yêu cầu phải tính

, hãy xác định số cần tìm.

Điền đáp án: 6600.
+) Tìm số A:
Gọi dãy số cấp số cộng là

Ta có:

+) Tìm số B:
Gọi dãy số cấp số nhân là

Ta có:

+) Tìm số C:
Ta có:

Câu 15 [1041724]: Một nhà khoa học máy tính đang phát triển một thuật toán mã hóa mới dựa trên hai chuỗi số:
+) Chuỗi A : Các số hạng được chọn từ một cấp số cộng với số hạng đầu là 3 và công sai là 4. Tuy nhiên, chỉ những số hạng có chữ số cuối là 7 mới được đưa vào Chuỗi A.
+) Chuỗi B: Các số hạng được chọn từ một cấp số nhân với số hạng đầu là 2 và công bội là 3. Tuy nhiên, chỉ những số hạng chia hết cho 6 mới được đưa vào Chuỗi B.
Trong 9000 số nguyên dương đầu tiên, tổng số hạng của chuỗi A và chuỗi B bằng bao nhiêu?

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng + Cấp số nhân).
Mức độ: Vận dụng (8+).
+) Tìm chuỗi A:
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là

Vì số hạng có chữ số cuối là 7

Ta có :

Chuỗi A có tất cả 450 số
+) Tìm chuỗi B:
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là

Để số đó chia hết cho 6 thì

Ta có:

Chuỗi B có 7 số
Vậy có tất cả 457 số cần tìm.
Điền đáp án: 457.

Câu 16 [1041725]: Bạn Diệu đang theo dõi biến động của hai loại cổ phiếu A và B trên một thị trường chứng khoán ảo. Giá ban đầu của cố phiếu A và cổ phiếu B lần lượt 100 USD và 50 USD. Giá cổ phiếu A có xu hướng tăng 1 USD mỗi ngày. Tuy nhiên, vào cuối mỗi chu kỳ 5 ngày giao địch, cổ phiếu này sẽ có một đợt giảm giá, làm mất đi 10% giá trị hiện tại của nó. Giá cổ phiếu B tăng trưởng 1% mỗi ngày so với giá trị của ngày hôm trước. Ngoài ra, vào cuối mỗi chu kỳ 3 ngày giao dịch, cổ phiếu B sẽ được cộng thêm 5 USD vào giá trị của nó. Bạn Diệu mua 10 cổ phiếu A và 15 cổ phiếu B từ thời điểm ban đầu. Sau 20 ngày bạn Diệu nhận về số tiền chênh lệch so với số tiền đầu tư bao nhiêu USD? Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Điền đáp án: 471.
Số tiền đầu tư của Bạn Diệu là