Câu 1 [779908]: Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Các sản phẩm này được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II và III. Số kilôgam dự trữ từng loại nguyên liệu và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần dùng để sản xuất ra 
sản phẩm được cho trong bảng sau:
sản phẩm được cho trong bảng sau:Số tiền lãi thu về lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết rằng, mỗi kilôgam sản phẩm loại A lãi 30 triệu đồng, mỗi kilôgam sản phẩm loại B lãi 50 triệu đồng.
Gọi 
lần lượt là số kilogam sản phẩm loại 
loại 
mà công ty đó sản xuất.
Ta có các điều kiện ràng buộc đối với
như sau:
Hiển nhiên
Nguyên liệu loại I có số kilogam dự trữ là 8 kg nên
Nguyên liệu loại II có số kilogam dự trữ là 24 kg nên
Nguyên liệu loại III có số kilogam dự trữ là 8 kg nên
Từ đó ta có hệ bất phương trình:
Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên hệ trục tọa độ
.
Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Với các đỉnh
Gọi
là số tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) thu về, ta có 
Tính giá trị của
tại các đỉnh của tứ giác:
Tại
Tại
Tại
Tại
đạt giá trị lớn nhất bằng 
tại 
Vậy số tiền lãi thu về lớn nhất là 213 triệu đồng.
lần lượt là số kilogam sản phẩm loại loại mà công ty đó sản xuất.
Ta có các điều kiện ràng buộc đối với
như sau:
Hiển nhiên
Nguyên liệu loại I có số kilogam dự trữ là 8 kg nên
Nguyên liệu loại II có số kilogam dự trữ là 24 kg nên
Nguyên liệu loại III có số kilogam dự trữ là 8 kg nên
Từ đó ta có hệ bất phương trình:
Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên hệ trục tọa độ
.Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Với các đỉnh
Gọi
là số tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) thu về, ta có
Tính giá trị của
tại các đỉnh của tứ giác:
Tại
Tại
Tại
Tại
đạt giá trị lớn nhất bằng tại
Vậy số tiền lãi thu về lớn nhất là 213 triệu đồng.
Câu 2 [1041449]: Một nhà máy sản xuất hai loại đồ chơi: robot và búp bê. Mỗi robot mang lại lợi nhuận 50.000 VNĐ và mỗi búp bê mang lại lợi nhuận 30.000 VNĐ. Việc sản xuất đòi hỏi hai công đoạn: đúc khuôn và lắp ráp.
• Để sản xuất 1 robot, cần 2 giờ đúc khuôn và 3 giờ lắp ráp.
• Để sản xuất 1 búp bê, cần 1 giờ đúc khuôn và 2 giờ lắp ráp.
Trong một ngày, xưởng có tối đa 100 giờ đúc khuôn và 150 giờ lắp ráp. Ngoài ra, do nhu cầu thị trường, số lượng robot sản xuất ra không được ít hơn 10 cái và không được vượt quá 40 cái. Số lượng búp bê sản xuất ra không được vượt quá 60 cái. Lợi nhuận tối đa mà nhà máy đó nhận được mỗi ngày bằng bao nhiêu triệu đồng?
• Để sản xuất 1 robot, cần 2 giờ đúc khuôn và 3 giờ lắp ráp.
• Để sản xuất 1 búp bê, cần 1 giờ đúc khuôn và 2 giờ lắp ráp.
Trong một ngày, xưởng có tối đa 100 giờ đúc khuôn và 150 giờ lắp ráp. Ngoài ra, do nhu cầu thị trường, số lượng robot sản xuất ra không được ít hơn 10 cái và không được vượt quá 40 cái. Số lượng búp bê sản xuất ra không được vượt quá 60 cái. Lợi nhuận tối đa mà nhà máy đó nhận được mỗi ngày bằng bao nhiêu triệu đồng?
Điền đáp án: 2,45.
Gọi
lần lượt là số lượng robot, búp bê
Hàm lợi nhuận là
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của tứ giác.
Ta có:
+)
+)
+)
+)
triệu đồng
Gọi
lần lượt là số lượng robot, búp bê
Hàm lợi nhuận là
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của tứ giác.
Ta có:
+)
+)
+)
+)
triệu đồng
Câu 3 [779913]: Trong một cuộc thi pha chế, hai đội A, B được sử dụng tối đa 
hương liệu, 9 lít nước và 
đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 
đường, 1 lít nước và 
hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 
đường, 1 lít nước và 
hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Đội A pha chế được 
lít nước cam và 
lít nước táo và dành được điểm thưởng cao nhất. Hiệu số 
bằng bao nhiêu?
hương liệu, 9 lít nước và đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần đường, 1 lít nước và hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần đường, 1 lít nước và hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Đội A pha chế được lít nước cam và lít nước táo và dành được điểm thưởng cao nhất. Hiệu số bằng bao nhiêu?
Gọi 
lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà đội A cần pha chế 
Để pha chế
lít nước cam cần 
g đường, 
lít nước và 
g hương liệu.
Để pha chế
lít nước táo cần 
g đường, 
lít nước và 
g hương liệu.
Theo bài ra ta có hệ bất phương trình:
.
Số điểm đạt được khi pha
lít nước cam và 
lít nước táo là 
.
Bài toán trở thành tìm
để 
đạt giá trị lớn nhất.
Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ 
trên mặt phẳng tọa độ như sau:
Miền nghiệm là ngũ giác
Tọa độ các điểm:
, 
, 
, 
, 
.
sẽ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của miền nghiệm nên thay tọa độ các điểm vào biểu thức 
ta được:
; 
, 
, 
, 
.
Vậy giá trị lớn nhất của
bằng 640 khi 
lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà đội A cần pha chế
Để pha chế
lít nước cam cần g đường, lít nước và g hương liệu.
Để pha chế
lít nước táo cần g đường, lít nước và g hương liệu.
Theo bài ra ta có hệ bất phương trình:
.
Số điểm đạt được khi pha
lít nước cam và lít nước táo là . Bài toán trở thành tìm
để đạt giá trị lớn nhất.
Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ như sau:Miền nghiệm là ngũ giác
Tọa độ các điểm:
, , , , . sẽ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của miền nghiệm nên thay tọa độ các điểm vào biểu thức ta được:
; , , , .
Vậy giá trị lớn nhất của
bằng 640 khi
Câu 4 [779916]: Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm 
và 
Mỗi sản phẩm 
bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm 
bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm 
thì Chiến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 
giờ. Để sản xuất được một sản phẩm 
thì Chiến phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm.
Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là bao nhiêu triệu đồng?
và Mỗi sản phẩm bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm thì Chiến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong giờ. Để sản xuất được một sản phẩm thì Chiến phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là bao nhiêu triệu đồng?
Gọi 
, 
lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II được sản xuất ra. Điều kiện: 
Vì trong một tháng, Chiến không thể làm việc quá 180 giờ nên
Trong một tháng Bình không thể làm việc quá 220 giờ nên
Ta có hệ bất phương trình sau:
Miền nghiệm của hệ trên là
Tiền lãi trong một tháng của xưởng là
(triệu đồng).
Ta thấy
đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm 
Vì
có tọa độ không nguyên nên loại.
Tại
thì 
triệu đồng.
Tại
thì 
triệu đồng.
Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32 triệu đồng.
, lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II được sản xuất ra. Điều kiện: Vì trong một tháng, Chiến không thể làm việc quá 180 giờ nên
Trong một tháng Bình không thể làm việc quá 220 giờ nên
Ta có hệ bất phương trình sau:
Miền nghiệm của hệ trên là
Tiền lãi trong một tháng của xưởng là
(triệu đồng).Ta thấy
đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm Vì
có tọa độ không nguyên nên loại.Tại
thì triệu đồng. Tại
thì triệu đồng.Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32 triệu đồng.
Câu 5 [1041450]: Một công ty xây dựng đang lên kế hoạch cho hai dự án lớn với quy mô và lợi nhuận như sau:
• Dự án 1 yêu cầu 4 kỹ sư và 12 công nhân, mang lại lợi nhuận 200 triệu VNĐ.
• Dự án 2 yêu cầu 8 kỹ sư và 8 công nhân, mang lại lợi nhuận 300 triệu VNĐ.
• Công ty hiện có 40 kỹ sư và 120 công nhân. Để đảm bảo chất lượng, công ty quyết định không thực hiện quá 3 dự án 1 và không quá 4 dự án 2.
Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể nhận được bằng bao nhiêu triệu đồng?
• Dự án 1 yêu cầu 4 kỹ sư và 12 công nhân, mang lại lợi nhuận 200 triệu VNĐ.
• Dự án 2 yêu cầu 8 kỹ sư và 8 công nhân, mang lại lợi nhuận 300 triệu VNĐ.
• Công ty hiện có 40 kỹ sư và 120 công nhân. Để đảm bảo chất lượng, công ty quyết định không thực hiện quá 3 dự án 1 và không quá 4 dự án 2.
Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể nhận được bằng bao nhiêu triệu đồng?
Điền đáp án: 1600.
Gọi
lần lượt là số lượng dự án 1, dự án 2.
Hàm lợi nhuận là
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là ngũ giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của ngũ giác.
Ta có:
+)
+)
+)
(loại vì 
)
+)
+)
Gọi
lần lượt là số lượng dự án 1, dự án 2.
Hàm lợi nhuận là
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là ngũ giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của ngũ giác.
Ta có:
+)
+)
+)
(loại vì )
+)
+)
Câu 6 [779917]: Một xí nghiệp may áo vest và quần âu để chuẩn bị cho dịp cuối năm. Biết may 1 áo vest hết 2m vải và cần 20 giờ; may 1 quần âu hết 
vải và cần 5 giờ. Xí nghiệp được giao sử dụng không quá 900 m vải và số giờ công không vượt quá 6000 giờ. Theo khảo sát thị trường, số lượng quần âu bán ra không nhỏ hơn số lượng áo vest bán ra và số lượng quần âu bán ra không vượt quá 2 lần số lượng áo vest bán ra. Khi xuất ra thị trường, 1 chiếc áo vest lãi 350 nghìn đồng, 1 chiếc quần âu lãi 100 nghìn đồng. Gọi x, y lần lượt là số áo vest và quần âu xí nghiệp cần may và bán ra thị trường để xí nghiệp có số tiền lãi cao nhất. Tính giá trị của biểu thức 
vải và cần 5 giờ. Xí nghiệp được giao sử dụng không quá 900 m vải và số giờ công không vượt quá 6000 giờ. Theo khảo sát thị trường, số lượng quần âu bán ra không nhỏ hơn số lượng áo vest bán ra và số lượng quần âu bán ra không vượt quá 2 lần số lượng áo vest bán ra. Khi xuất ra thị trường, 1 chiếc áo vest lãi 350 nghìn đồng, 1 chiếc quần âu lãi 100 nghìn đồng. Gọi x, y lần lượt là số áo vest và quần âu xí nghiệp cần may và bán ra thị trường để xí nghiệp có số tiền lãi cao nhất. Tính giá trị của biểu thức
Số mét vải dùng để may 
áo vest và 
quần âu là: 
Xí nghiệp được giao sử dụng không quá 900 m vải nên ta có
Số giờ để may
áo vest và 
quần âu là 
(giờ).
Vì số giờ công không vượt quá 6 000 giờ nên ta có
hay 
Số lượng quần bán ra không nhỏ hơn số lượng áo nên
hay 
Số lượng quần không vượt quá 2 lần số lượng áo nên
hay 
Từ
và 
ta có hệ bất phương trình
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC (tính cả các cạnh) với
Tiền lãi khi bán
cái áo và 
cái quần là 
(nghìn đồng)
Ta có biểu thức
có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác 
Tính giá trị của biểu thức
tại các đỉnh của tứ giác, ta có:
Tại
thì 
Tại
thì 
Tại
thì 
Tại
thì 
Ta được
đạt giá trị lớn nhất bằng 108 750 khi 
Vậy
áo vest và quần âu là: Xí nghiệp được giao sử dụng không quá 900 m vải nên ta có
Số giờ để may
áo vest và quần âu là (giờ).Vì số giờ công không vượt quá 6 000 giờ nên ta có
hay Số lượng quần bán ra không nhỏ hơn số lượng áo nên
hay Số lượng quần không vượt quá 2 lần số lượng áo nên
hay Từ
và ta có hệ bất phương trìnhBiểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC (tính cả các cạnh) với
Tiền lãi khi bán
cái áo và cái quần là (nghìn đồng)Ta có biểu thức
có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác Tính giá trị của biểu thức
tại các đỉnh của tứ giác, ta có: Tại
thì Tại
thì Tại
thì Tại
thì Ta được
đạt giá trị lớn nhất bằng 108 750 khi Vậy
Câu 7 [695518]: Một công ty sản xuất hai loại thiết bị dạy học A và B dành cho môn Toán lớp 12. Mỗi sản phẩm loại A cần 9 giờ lao động để gia công và 1 giờ lao động để hoàn thiện. Mỗi sản phẩm loại B cần 12 giờ lao động để gia công và 3 giờ lao động để hoàn thiện. Số giờ lao động tối đa có sẵn mỗi tuần cho gia công và hoàn thiện lần lượt là 180 giờ và 30 giờ. Công ty thu được lợi nhuận là 80 000 đồng trên mỗi sản phẩm loại A và 120 000 đồng trên mỗi sản phẩm loại B. Cần sản xuất 
sản phẩm loại A và 
sản phẩm loại B mỗi tuần để có được lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận tối đa mỗi tuần là bao nhiêu nghìn đồng?
sản phẩm loại A và sản phẩm loại B mỗi tuần để có được lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận tối đa mỗi tuần là bao nhiêu nghìn đồng?
Điền đáp án: 1680.
Lợi nhuận của công ty là
(đồng)
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình:
Miền giá trị của hệ bất phương trình trên chính là tứ giác OBAC.
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại các đỉnh của tứ giác trên.
Tại điểm
Tại điểm
Tại điểm
Tại điểm
Vậy lợi nhuận cao nhất là 1 680 000 đồng.
Lợi nhuận của công ty là
(đồng)Theo đề bài ta có hệ bất phương trình:
Miền giá trị của hệ bất phương trình trên chính là tứ giác OBAC.
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại các đỉnh của tứ giác trên.Tại điểm
Tại điểm
Tại điểm
Tại điểm
Vậy lợi nhuận cao nhất là 1 680 000 đồng.
Câu 8 [696487]: Một công ty sản xuất nước giải khát có hợp đồng yêu cầu mỗi chai nước phải chứa ít nhất 80 đơn vị hóa chất A và 60 đơn vị hóa chất B. Các hóa chất này được cung cấp dưới dạng các gói hỗn hợp từ hai nhà cung cấp khác nhau. Nhà cung cấp S cung cấp gói hỗn hợp gồm 4 đơn vị A và 2 đơn vị B với giá 10 000 nghìn/gói. Nhà cung cấp T cung cấp gói hỗn hợp gồm 1 đơn vị A và 1 đơn vị B với giá 4 000 đồng/gói. Công ty nên mua 
gói hỗ trợ từ nhà cung cấp S và 
gói hỗ trợ từ nhà cung cấp T để thực hiện đúng yêu cầu hợp đồng và đồng thời giảm thiểu chi phí. Vậy tổng 
bằng bao nhiêu?
gói hỗ trợ từ nhà cung cấp S và gói hỗ trợ từ nhà cung cấp T để thực hiện đúng yêu cầu hợp đồng và đồng thời giảm thiểu chi phí. Vậy tổng bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: 50.
Chi phí của công ty là
(đồng)
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình:
Ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là phần không tô đậm trong hình vẽ trên.
Hàm
đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm 3 điểm 
Tại
Tại
Tại
Chi phí của công ty là
(đồng)
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình:
Ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là phần không tô đậm trong hình vẽ trên.
Hàm
đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm 3 điểm
Tại
Tại
Tại
Câu 9 [1041451]: Một nhà máy có hai loại máy: Máy P và Máy Q để sản xuất hai loại sản phẩm: Sản phẩm 1 và Sản phẩm 2. Mỗi sản phẩm cần thời gian xử lý trên mỗi máy khác nhau và được cho như bảng sau:
Ngoài ra mỗi sản phẩm thì ta sẽ quan tâm đến chất lượng được chấm bằng điểm hiệu quả. Sản phẩm 1 có 5 điểm hiệu quả và sản phẩm 2 có 4 điểm hiệu quả. Tổng số điểm hiệu quả lớn nhất khi nhà máy đó sản xuất theo mô hình trên bằng bao nhiêu?
Ngoài ra mỗi sản phẩm thì ta sẽ quan tâm đến chất lượng được chấm bằng điểm hiệu quả. Sản phẩm 1 có 5 điểm hiệu quả và sản phẩm 2 có 4 điểm hiệu quả. Tổng số điểm hiệu quả lớn nhất khi nhà máy đó sản xuất theo mô hình trên bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: 220.
Gọi
lần lượt là số lượng sản phẩm loại 1, 2.
Tổng số điểm là
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của tứ giác.
Ta có:
+)
+)
+)
+)
Gọi
lần lượt là số lượng sản phẩm loại 1, 2.
Tổng số điểm là
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của tứ giác.
Ta có:
+)
+)
+)
+)
Câu 10 [779918]: Một chuyên gia dinh dưỡng dự định làm một thực đơn gồm hai loại thực phẩm chính X và Y. Biết rằng, cứ 100 gam thực phẩm X chứa 2 đơn vị chất béo, 1 đơn vị carbohydrate và 4 đơn vị protein; cứ 100 gam thực phẩm Y chứa 3 đơn vị chất béo, 3 đơn vị carbohydrate và 3 đơn vị protein. Vị chuyên gia này muốn thức ăn phải cung cấp ít nhất 18 đơn vị chất béo, 12 đơn vị carbohydrate và 24 đơn vị protein. Biết rằng, 100 gam thực phẩm X có giá 20 nghìn đồng và 100 gam thực phẩm Y có giá 25 nghìn đồng. Vậy chi phí rẻ nhất để chuyên gia này làm thực đơn là bao nhiêu nghìn đồng?
Gọi 
và 
lần lượt là số trăm gam thực phẩm X và Y có trong thực đơn.
Chi phí để mua thực phẩm là
(nghìn đồng).
Số đơn vị chất béo mà hai loại thực phẩm cung cấp là
Số đơn vị carbonhydrate mà hai loại thực phẩm cung cấp là
Số đơn vị protein mà hai loại thực phẩm cung cấp là
Do thức ăn phải cung cấp ít nhất 18 đơn vị chất béo, 12 đơn vị carbonhydrate và 24 đơn vị protein nên ta có hệ bất phương trình:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình với các điểm cực biên là
đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các điểm cực biên của miền chấp nhận được.
Ta có
Vậy chi phí nhỏ nhất để chuyên gia làm thực đơn là 160 nghìn đồng.
và lần lượt là số trăm gam thực phẩm X và Y có trong thực đơn.Chi phí để mua thực phẩm là
(nghìn đồng).Số đơn vị chất béo mà hai loại thực phẩm cung cấp là
Số đơn vị carbonhydrate mà hai loại thực phẩm cung cấp là
Số đơn vị protein mà hai loại thực phẩm cung cấp là
Do thức ăn phải cung cấp ít nhất 18 đơn vị chất béo, 12 đơn vị carbonhydrate và 24 đơn vị protein nên ta có hệ bất phương trình:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình với các điểm cực biên là
đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các điểm cực biên của miền chấp nhận được.Ta có
Vậy chi phí nhỏ nhất để chuyên gia làm thực đơn là 160 nghìn đồng.
Câu 11 [1041452]: Công ty sản xuất mì tôm muốn tung ra chiến dịch quảng cáo cho sản phẩm mới. Công ty có hai kênh quảng cáo chính: mạng xã hội và truyền hình. Ngân sách tối đa cho chiến dịch là 500 triệu VNĐ.
• Kênh Mạng xã hội:
o Chi phí: 5 triệu VNĐ cho mỗi quảng cáo.
o Tiếp cận: 100.000 khách hàng tiềm năng/mỗi quảng cáo.
o Tác động tích cực đến thương hiệu: 2 điểm/mỗi quảng cáo.
• Kênh Truyền hình:
o Chi phí: 50 triệu VNĐ cho mỗi quảng cáo.
o Tiếp cận: 800.000 khách hàng tiềm năng/mỗi quảng cáo.
o Tác động tích cực đến thương hiệu: 15 điểm/mỗi quảng cáo.
Công ty muốn tổng số khách hàng tiềm năng tiếp cận được tối thiểu là 4 triệu người và tổng điểm tác động tích cực đến thương hiệu tối thiểu là 80 điểm.
Em hãy xác định tổng số lượng chiến dịch mạng xã hội và số lượng quảng cáo TVC mà công ty nên thực hiện để tối đa hóa tổng số điểm tác động tích cực đến thương hiệu, đồng thời đảm bảo các yêu cầu về tiếp cận và trong giới hạn ngân sách.
• Kênh Mạng xã hội:
o Chi phí: 5 triệu VNĐ cho mỗi quảng cáo.
o Tiếp cận: 100.000 khách hàng tiềm năng/mỗi quảng cáo.
o Tác động tích cực đến thương hiệu: 2 điểm/mỗi quảng cáo.
• Kênh Truyền hình:
o Chi phí: 50 triệu VNĐ cho mỗi quảng cáo.
o Tiếp cận: 800.000 khách hàng tiềm năng/mỗi quảng cáo.
o Tác động tích cực đến thương hiệu: 15 điểm/mỗi quảng cáo.
Công ty muốn tổng số khách hàng tiềm năng tiếp cận được tối thiểu là 4 triệu người và tổng điểm tác động tích cực đến thương hiệu tối thiểu là 80 điểm.
Em hãy xác định tổng số lượng chiến dịch mạng xã hội và số lượng quảng cáo TVC mà công ty nên thực hiện để tối đa hóa tổng số điểm tác động tích cực đến thương hiệu, đồng thời đảm bảo các yêu cầu về tiếp cận và trong giới hạn ngân sách.
Điền đáp án: 100.
Gọi
lần lượt là số lượng kênh mạng xã hội, kênh truyền hình
Tổng số lượng 2 kênh là
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của tứ giác.
Ta có:
+)
+)
+)
+)
Tổng số chiến dịch là 100.
Gọi
lần lượt là số lượng kênh mạng xã hội, kênh truyền hình
Tổng số lượng 2 kênh là
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của tứ giác.
Ta có:
+)
+)
+)
+)
Tổng số chiến dịch là 100.
Câu 12 [1041453]: Một người làm vườn muốn tạo ra một hỗn hợp dinh dưỡng đặc biệt cho cây trồng của mình từ hai loại phân bón hữu cơ có sẵn: Phân trùn quế (TQ) và Phân bò ủ hoai (BH). Mỗi loại phân bón có giá và đặc điểm như sau:
• Phân trùn quế (PTQ): Chứa 0,15 đơn vị nitrogen (N) và 0,08 đơn vị phosphor (P) mỗi kilogram. Giá: 50.000 mỗi kilogram.
• Phân bò ủ hoai (PBH): Chứa 0,05 đơn vị nitrogen (N) và 0,12 đơn vị phosphor (P) mỗi kilogram. Giá: 30.000 mỗi kilogram.
Yêu cầu dinh dưỡng tối thiểu cho mỗi gốc cây trong mùa vụ là 1,5 đơn vị Nitơ và 1,2 đơn vị Phốt pho. Người làm vườn có kinh nghiệm rằng không nên sử dụng quá 15 kg phân TQ cho mỗi gốc cây để tránh cây bị "sốc" dinh dưỡng. Ngoài ra, tổng lượng phân bón sử dụng (TQ + BH) không được vượt quá 20 kg cho mỗi gốc cây.
Người làm vườn nên sử dụng bao nhiêu kilogram phân trùn quế cho mỗi gốc cây để đáp ứng yêu cầu dinh dưỡng với chi phí thấp nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
• Phân trùn quế (PTQ): Chứa 0,15 đơn vị nitrogen (N) và 0,08 đơn vị phosphor (P) mỗi kilogram. Giá: 50.000 mỗi kilogram.
• Phân bò ủ hoai (PBH): Chứa 0,05 đơn vị nitrogen (N) và 0,12 đơn vị phosphor (P) mỗi kilogram. Giá: 30.000 mỗi kilogram.
Yêu cầu dinh dưỡng tối thiểu cho mỗi gốc cây trong mùa vụ là 1,5 đơn vị Nitơ và 1,2 đơn vị Phốt pho. Người làm vườn có kinh nghiệm rằng không nên sử dụng quá 15 kg phân TQ cho mỗi gốc cây để tránh cây bị "sốc" dinh dưỡng. Ngoài ra, tổng lượng phân bón sử dụng (TQ + BH) không được vượt quá 20 kg cho mỗi gốc cây.
Người làm vườn nên sử dụng bao nhiêu kilogram phân trùn quế cho mỗi gốc cây để đáp ứng yêu cầu dinh dưỡng với chi phí thấp nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Điền đáp án: 8,6.
Gọi
lần lượt là số kg phân trùn quế, phân bò ủ hoai cho mỗi gốc cây.
Hàm chi phí là
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của tứ giác.
Ta có:
+)
+)
+)
+)
tại 
Gọi
lần lượt là số kg phân trùn quế, phân bò ủ hoai cho mỗi gốc cây.Hàm chi phí là
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của tứ giác.Ta có:
+)
+)
+)
+)
tại
Câu 13 [1041454]: Một công ty khởi nghiệp công nghệ đang phát triển một ứng dụng di động mới và cần phân bổ thời gian của hai nhóm phát triển: Nhóm Lập trình (LP) và Nhóm Thiết kế Giao diện (TKGD). Công ty có 200 giờ làm việc sẵn có từ nhóm LP và 150 giờ từ nhóm TKGD trong tuần này. Ứng dụng có hai tính năng chính cần hoàn thành:
• Tính năng A (Cốt lõi):
o Cần 10 giờ từ nhóm LP và 5 giờ từ nhóm TKGD.
o Mang lại 800 điểm giá trị người dùng (User Value Points - UVP).
• Tính năng B (Mở rộng):
o Cần 8 giờ từ nhóm LP và 7 giờ từ nhóm TKGD.
o Mang lại 1000 điểm giá trị người dùng (UVP).
Công ty có các mục tiêu và yêu cầu bổ sung: Để đảm bảo sự ổn định của ứng dụng, số lượng tính năng A hoàn thành phải ít nhất gấp đôi số lượng tính năng B. Để giữ cho ứng dụng không quá phức tạp ban đầu, tổng số tính năng A và B hoàn thành không được vượt quá 25.Tổng điểm giá trị người dùng từ kế hoạch trên bằng bao nhiêu nghìn điểm? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
• Tính năng A (Cốt lõi):
o Cần 10 giờ từ nhóm LP và 5 giờ từ nhóm TKGD.
o Mang lại 800 điểm giá trị người dùng (User Value Points - UVP).
• Tính năng B (Mở rộng):
o Cần 8 giờ từ nhóm LP và 7 giờ từ nhóm TKGD.
o Mang lại 1000 điểm giá trị người dùng (UVP).
Công ty có các mục tiêu và yêu cầu bổ sung: Để đảm bảo sự ổn định của ứng dụng, số lượng tính năng A hoàn thành phải ít nhất gấp đôi số lượng tính năng B. Để giữ cho ứng dụng không quá phức tạp ban đầu, tổng số tính năng A và B hoàn thành không được vượt quá 25.Tổng điểm giá trị người dùng từ kế hoạch trên bằng bao nhiêu nghìn điểm? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Điền đáp án: 18,6.
Gọi
lần lượt là số lượng tính năng 
Tổng điểm giá trị là
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tam giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của tam giác.
Ta có:
+)
+)
+)
nghìn
nghìn
Gọi
lần lượt là số lượng tính năng
Tổng điểm giá trị là
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tam giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của tam giác.
Ta có:
+)
+)
+)
nghìn
nghìn
Câu 14 [1041455]: Một hợp tác xã nông nghiệp sản xuất hai loại nông sản đặc trưng theo mùa: xoài và thanh long. Sản lượng có thể biến đổi và có các ràng buộc về lưu trữ, chế biến. Xoài mang lại lợi nhuận 15.000 VNĐ mỗi kg và thanh long mang lại lợi nhuận 12.000 VNĐ mỗi kg.
Mùa vụ này có các yêu cầu và đặc điểm sau:
• Hợp tác xã dự kiến thu hoạch tối đa 50 tấn Xoài và 60 tấn Thanh long.
• Tổng sức kho chứa là 80 tấn.
• Có 300 giờ máy chế biến. Mỗi tấn Xoài cần 2 giờ, mỗi tấn Thanh long cần 3 giờ.
• Để đảm bảo chất lượng, ít nhất 60% tổng sản lượng Xoài và Thanh long phải đạt tiêu chuẩn xuất khẩu.
Hợp tác xã nên chế biến và bán bao nhiêu tấn Xoài để tối đa hóa tổng lợi nhuận, đồng thời đáp ứng các ràng buộc về sản lượng, lưu trữ, chế biến và chất lượng?
Mùa vụ này có các yêu cầu và đặc điểm sau:
• Hợp tác xã dự kiến thu hoạch tối đa 50 tấn Xoài và 60 tấn Thanh long.
• Tổng sức kho chứa là 80 tấn.
• Có 300 giờ máy chế biến. Mỗi tấn Xoài cần 2 giờ, mỗi tấn Thanh long cần 3 giờ.
• Để đảm bảo chất lượng, ít nhất 60% tổng sản lượng Xoài và Thanh long phải đạt tiêu chuẩn xuất khẩu.
Hợp tác xã nên chế biến và bán bao nhiêu tấn Xoài để tối đa hóa tổng lợi nhuận, đồng thời đáp ứng các ràng buộc về sản lượng, lưu trữ, chế biến và chất lượng?
Điền đáp án: 50.
Gọi
lần lượt là số tấn xoài, thanh long
Tổng lợi nhuận là
(triệu VNĐ)
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của ngũ giác.
Ta có:
+)
+)
+)
+)
+)
tại 
Gọi
lần lượt là số tấn xoài, thanh longTổng lợi nhuận là
(triệu VNĐ)Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của ngũ giác.Ta có:
+)
+)
+)
+)
+)
tại
Câu 15 [1041456]: Một quỹ đầu tư xã hội (Social Impact Fund) đang tìm cách phân bổ 10 tỷ đồng vào ba loại dự án với chi phí và hiệu quả như sau:
• Dự án Giáo dục (GD): Mỗi 1 tỷ đồng đầu tư vào GD mang lại 1000 người được tiếp cận giáo dục chất lượng và 50 việc làm mới.
• Dự án Y tế Cộng đồng (YT): Mỗi 1 tỷ đồng đầu tư vào YT mang lại 800 người được hưởng dịch vụ y tế tốt hơn và 30 việc làm mới.
• Dự án Môi trường Xanh (MT): Mỗi 1 tỷ đồng đầu tư vào MT mang lại 600 tấn CO2 giảm phát thải và 20 việc làm mới.
Quỹ có các mục tiêu và yêu cầu như sau: Tổng số tiền đầu tư không vượt quá 10 tỷ VNĐ, có ít nhất 2 tỷ đồng phải được đầu tư vào dự án GD, không đầu tư quá 4 tỷ VNĐ được đầu tư vào dự án YT, tổng số việc làm mới tạo ra phải ít nhất là 250 việc, tổng số người được tiếp cận giáo dục hoặc dịch vụ y tế phải ít nhất là 6.000 người.
Quỹ nên đầu tư bao nhiêu tỷ đồng vào dự án “môi trường xanh” để tối đa hóa tổng lượng CO2 giảm phát thải, đồng thời đáp ứng tất cả các mục tiêu xã hội và ràng buộc ngân sách?
• Dự án Giáo dục (GD): Mỗi 1 tỷ đồng đầu tư vào GD mang lại 1000 người được tiếp cận giáo dục chất lượng và 50 việc làm mới.
• Dự án Y tế Cộng đồng (YT): Mỗi 1 tỷ đồng đầu tư vào YT mang lại 800 người được hưởng dịch vụ y tế tốt hơn và 30 việc làm mới.
• Dự án Môi trường Xanh (MT): Mỗi 1 tỷ đồng đầu tư vào MT mang lại 600 tấn CO2 giảm phát thải và 20 việc làm mới.
Quỹ có các mục tiêu và yêu cầu như sau: Tổng số tiền đầu tư không vượt quá 10 tỷ VNĐ, có ít nhất 2 tỷ đồng phải được đầu tư vào dự án GD, không đầu tư quá 4 tỷ VNĐ được đầu tư vào dự án YT, tổng số việc làm mới tạo ra phải ít nhất là 250 việc, tổng số người được tiếp cận giáo dục hoặc dịch vụ y tế phải ít nhất là 6.000 người.
Quỹ nên đầu tư bao nhiêu tỷ đồng vào dự án “môi trường xanh” để tối đa hóa tổng lượng CO2 giảm phát thải, đồng thời đáp ứng tất cả các mục tiêu xã hội và ràng buộc ngân sách?
Điền đáp án: 4.
Gọi
lần lượt là số tiền đầu tư vào dự án Giáo dục, Y tế, Môi trường.
Hàm tổng lượng CO2 là
(tấn)
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tam giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của tam giác.
Ta có:
+)
+)
+)
tại 
Gọi
lần lượt là số tiền đầu tư vào dự án Giáo dục, Y tế, Môi trường.
Hàm tổng lượng CO2 là
(tấn)
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tam giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của tam giác.
Ta có:
+)
+)
+)
tại
Câu 16 [1041457]: Một công ty phần mềm có 3 dự án tiềm năng A, B, C cần phân bổ nguồn lực. Công ty có 2 loại nguồn lực chính: Lập trình viên và Kỹ sư kiểm thử. Hiện tại công ty đang có 12 lập trình viên và có 8 kỹ sư kiểm thử. Nhu cầu nguồn lực và lợi nhuận ước tính cho mỗi dự án như sau:
Do tính chất chiến lược, công ty muốn thực hiện ít nhất 2 dự án A. Để đảm bảo đa dạng hóa sản phẩm, tổng số đơn vị công việc của Dự án B và C không được vượt quá 6 đơn vị. Lợi nhuận lớn nhất mà công ty thu về được sau dự án trên bằng bao nhiêu triệu đồng?
Do tính chất chiến lược, công ty muốn thực hiện ít nhất 2 dự án A. Để đảm bảo đa dạng hóa sản phẩm, tổng số đơn vị công việc của Dự án B và C không được vượt quá 6 đơn vị. Lợi nhuận lớn nhất mà công ty thu về được sau dự án trên bằng bao nhiêu triệu đồng?
Điền đáp án: 600.
Gọi
lần lượt là số dự án 
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Hàm lợi nhuận là
(triệu VNĐ)
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của tam giác.
Ta có:
+)
+)
Loại
+)
+)
Loại
tại 
Gọi
lần lượt là số dự án
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình
Hàm lợi nhuận là
(triệu VNĐ)
Ta biểu diễn miền nghiệm cả hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác
Hàm
đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của tam giác.
Ta có:
+)
+)
Loại
+)
+)
Loại
tại