Quay lại
Đáp án
Câu 1 [398966]: Trong không gian tọa độ phương trình mặt phẳng chứa điểm cắt các tia lần lượt tại sao cho là Hỏi giá trị của tích
Điền đáp án: 1.
Phương trình mặt chắn cắt tia tại cắt tia tại cắt tia tại có dạng là
Theo bài ra ta có:

Vì
Vậy phường trình mặt phẳng là hay
Câu 2 [707266]: Trong không gian với hệ tọa độ , có bao nhiêu mặt phẳng qua , và cắt hai trục , lần lượt tại , khác thỏa mãn diện tích tam giác bằng ?
Điền đáp án: 2.
Gọi , lần lượt là giao điểm của với các trục ..
Phương trình mặt phẳng .
Vì thuộc nên ta có
.
Diện tích tam giác
.
Xét hệ phương trình

. Hệ vô nghiệm.
Xét hệ phương trình

. Hệ có hai nghiệm.
Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 3 [398968]: Trong không gian với hệ tọa độ mặt phẳng chắn các trục lần lượt tại sao cho là trực tâm của tam giác
Phương trình mặt phẳng có dạng Tính
Điền đáp án:

Gọi là hai đường cao của tam giác
Suy ra
Ta có:
Mặt phẳng đi qua điểm H và nhận làm một VTPT.
Nên mặt phẳng có phương trình:

Câu 4 [398970]: Trong không gian với hệ tọa độ mặt phẳng đi qua điểm và chắn trên tia một đoạn dài gấp đôi các đoạn chắn trên các tia có phương trình là Tính
Điền đáp án: 34.
Giả sử mặt phẳng cắt các tia lần lượt tại các điểm thì phương trình mặt phẳng là:
Chú ý rằng cắt các tia nên ta có điều kiện
Theo bài ra ta có:
Mặt khác theo giả thiết ta suy ra
Do đó
Hay

Câu 5 [707268]: Trong không gian , cho hai mặt phẳng , . Mặt phẳng chứa giao tuyến của và cắt các trục tọa độ tại các điểm sao cho hình chóp là hình chóp đều. Phương trình mặt phẳng là
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn đáp án A.
Mặt phẳng có véctơ pháp tuyến
Mặt phẳng có véctơ pháp tuyến
Ta có , cùng phương với .
Gọi . Ta có đường thẳng có véctơ chỉ phương là và đi qua điểm .
Mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại các điểm , , với .
Phương trình mặt phẳng .
Mặt phẳng có véctơ pháp tuyến .
Mặt phẳng chứa
.
Ta lại có hình chóp là hình chóp đều
.
Kết hợp với điều kiện ta được .
Vậy phương trình của mặt phẳng . Đáp án: A
Câu 6 [404892]: Trong không gian cho mặt phẳng vuông góc với và cắt trục trục và tia lần lượt tại Biết rằng thể tích khối tứ diện bằng 6. Độ dài đoạn thẳng bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: 3.
Đường thẳng có 1 VTCP là .
Vì có 1 VTPT là , khi đó phương trình mặt phẳng có dạng: .
Ta có .
Vì là tứ diện vuông tại nên.
Vậy
Câu 7 [396449]: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và hai đường thẳng ; Đường thẳng đi qua điểm , vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng có một vectơ chỉ phương là Tính
Điền đáp án: 2.
Đường thẳng đi qua và cắt đường thẳng tại ta tham số hoá điểm theo đường thẳng thì

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là
Đường thẳng chính là đường thẳng
Mà



Câu 8 [707288]: Tìm tất cả các mặt phẳng chứa đường thẳng : và tạo với mặt phẳng : góc .
A, : .
B, : .
C, : .
D, : hay : .
Chọn đáp án D.
đi qua điểm có vtcp .
qua có vtpt có dạng , do .
: vtpt .
Ta có



.
+ : .
+ , chọn , : . Đáp án: D
Câu 9 [396450]: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng mặt phẳng và điểm . Đường thẳng đi qua cắt và song song với mặt phẳng có một vectơ chỉ phương là Tính
Điền đáp án: 3.
Đường thẳng đi qua và cắt đường thẳng tại


Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng chính là đường thẳng
Mà


là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Câu 10 [707271]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hai điểm , mặt phẳng . Biết rằng khoảng cách từ đến mặt phẳng lần lượt bằng và . giá trị của biểu thức
Điền đáp án: -6.
Ta có suy ra nằm cùng phía đối với mặt phẳng .
Gọi lần lượt là hình chiếu của xuống mặt phẳng .
Ta có .
Do đó thẳng hàng.
Từ đó suy ra và B là trung điểm của AH nên , .
Phương trình mặt phẳng

.
Vậy .
Câu 11 [707272]: Trong hệ trục tọa độ cho điểm , , . Viết phương trình mặt phẳng chứa và cách đều điểm .
A, hoặc .
B, hoặc .
C, hoặc .
D, hoặc .
Chọn đáp án D.
Gọi .
nên ta có:
nên ta có: .
Từ .
Theo đề bài: .

.
Từ Chọn
.
Từ Chọn
. Đáp án: D
Câu 12 [707274]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng có phương trình: với đi qua điểm , và tạo với một góc . Khi đó bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Điền đáp án: 0,59.
Mặt phẳng đi qua hai điểm
.
Vì tạo với góc
(*).
Thay vào phương trình được .
Câu 13 [803771]: Trong không gian cho mặt phẳng vuông góc với và cắt trục trục và tia lần lượt tại Biết rằng thể tích khối tứ diện bằng 6. Mặt phẳng đi qua điểm nào sau đây?
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.
Mặt phẳng có dạng
Vì


Thể tích khối tứ diện bằng 6

+)

Điểm
+)
Đáp án: A
Câu 14 [707286]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng Mặt phẳng qua tạo với một góc và nhận vectơ làm một vectơ pháp tuyến. Xác định tích
Điền đáp án: -4.
Ta có vectơ chỉ phương của lần lượt là và .
Mặt phẳng qua (*)


(*)
Từ và
Câu 15 [59175]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt cầu , lần lượt có phương trình là , . Xét các mặt phẳng thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi là điểm mà tất cả các mặt phẳng đi qua. Tính tổng .
Điền đáp án: -4,5.
Mặt cầu có tâm , bán kính .
Mặt cầu có tâm , bán kính .
Gọi lần lượt là tiếp điểm của mặt phảng với mặt cầu .

Gọi . Vì nên điểm nằm ngoài đoạn thẳng .
Ta có:

là điểm cố định mà các mặt phảng thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho.
Câu 16 [707276]: Trong không gian cho hai điểm . Có 2 mặt phẳng và cùng đi qua và cùng tạo với mặt phẳng một góc thỏa mãn . Tính cosin góc tạo bởi 2 mặt phẳng và (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,47.
Giả sử có VTPT
có VTCP


(1)
Mặt phẳng có phương trình nên có VTPT .
Mà


.(2)
Thay vào ta được .
Chọn ta có

,
Câu 17 [707289]: Trong không gian , cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình . Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng .
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn đáp án C.
lần lượt có vectơ chỉ phương là .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là .
Gọi .
Gọi phương trình mặt phẳng .
Do mặt phẳng cần tìm cách đều nên


.
Vậy
. Đáp án: C
Câu 18 [1003381]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt cầu . Gọi là mặt phẳng có phương trình dạng: . Biết rằng chứa và tiếp xúc với . Giá trị biểu thức bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: -3
Đường thẳng đi qua và có VTCP .
Mặt cầu có tâm là và bán kính .
Mặt phẳng có VTPT là .
Ta có

Từ

tiếp xúc với

Vậy
Câu 19 [707278]: Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ có hai mặt phẳng và cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm và , đồng thời cắt các trục tọa độ tại hai điểm cách đều . Giả sử có phương trình và có phương trình . Tính giá trị biểu thức .
Điền đáp án: -9.
Xét mặt phẳng có phương trình thỏa mãn các điều kiện: đi qua hai điểm và , đồng thời cắt các trục tọa độ tại hai điểm cách đều .
Vì đi qua và
(*)
Mặt phẳng cắt các trục tọa độ lần lượt tại .
Vì cách đều nên .
Nếu thì chỉ tồn tại duy nhất một mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán (mặt phẳng này sẽ đi qua điểm ).
Do đó để tồn tại hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: .
+ Với , .
.
+ Với , .
.
.
Câu 20 [707280]: Trong không gian , cho ba điểm , và . Gọi là mặt cầu có tâm , bán kính bằng ; và là hai mặt cầu có tâm lần lượt là, và bán kính đều bằng . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu , , ?
Điền đáp án: 7.
Gọi phương trình mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là: ().
Khi đó ta có hệ điều kiện sau:

.
Khi đó ta có:

.
+) Với thì ta có


Do đó có 3 mặt phẳng.
+) Với thì ta có



Do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
Vậy có mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
Câu 21 [707283]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm và mặt cầu . Có bao nhiêu mặt phẳng cắt theo một đường tròn và diện tích hình tròn là , đồng thời cách đều năm điểm ( là gốc tọa độ)?
Điền đáp án: 3.

Ta thấy năm điểm tạo thành năm đỉnh của hình chóp trong đó là hình chữ nhật, vuông góc với .
Gọi lần lượt là trung điểm của .
Các mặt phẳng cách đều năm điểm gồm các mặt phẳng sau:
+) Mặt phẳng qua và vuông góc với .
+) Mặt phẳng qua và vuông góc với .
+) Mặt phẳng qua và vuông góc với .
Mặt cầu có tâm và bán kính .
Giả sử là đường tròn giao tuyến của và mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán, có bán kính . Theo giả thiết hình tròn có diện tích nên , suy ra đi qua tâm của mặt cầu .
Nhận thấy đều đi qua tâm .
Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 22 [707284]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , , , . Gọi là mặt cầu tâm bán kính bằng , là mặt cầu tâm bán kính bằng . Mặt phẳng tiếp xúc với 2 mặt cầu đồng thời song song với đường thẳng qua C và D. Biết rằng tính
Điền đáp án: 12.

Ta có .
Suy ra hai hai mặt cầu cắt nhau.
Giả sử là mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến , gọi .
Ta có .
Phương trình của mặt phẳng :.
tiếp xúc với

.
.
Thế vào phương trình , khai triển và thu gọn ta được hoặc .
Trường hợp 1:
. (loại do )
Ta loại trường hợp này vì chứa .
Trường hợp 2:
.
Câu 23 [58215]: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các điểm trong đó và Biết mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu có phương trình là khi đó thể tích của khối tứ diện là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A .
Xét mặt cầu Tâm , bán kính
Phương trình mặt phẳng là và thể tích khối tứ diện là .
Vì nên mặt phẳng luôn đi qua
Do tiếp xúc với tại

. Đáp án: A
Câu 24 [53375]: Trong không gian với hệ tọa độ , mặt phẳng đi qua điểm và cắt các trục tọa độ lần lượt tại thỏa mãn nhỏ nhất. Mặt phẳng đi qua điểm nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án D.

Gọi là hình chiếu của lên là hình chiếu của lên .
Ta có:
nhỏ nhất khi
qua và nhận làm vtpt
Phương trình .
Ta thấy .

Đáp án: D