Quay lại
Đáp án
Câu 1 [56317]: Cho hai đường thẳng và (với là tham số). Tìm giá trị của để hai đường thẳng cắt nhau.
Điền đáp án: 5.
qua và có véctơ chỉ phương qua và có véctơ chỉ phương .
Ta có: .
cắt nhau khi .
Câu 2 [408486]: Trong không gian cho hai điểm và mặt phẳng Gọi với thuộc mặt phẳng sao cho và mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Tính
Điền đáp án: 6.

Ta có:
với và
Gọi
Mà
Ta có:








+)
+)
Câu 3 [709904]: Trong không gian , cho , đường thẳng đi qua cắt chiều âm trục tại điểm sao cho diện tích tam giác bằng 1. Phương trình tham số đường thẳng là
A, .
B, .
C, .
D, .
Điền đáp án C.
Gọi là giao điểm của với trục . (Điều kiện )
Ta có và tam giác vuông tại nên .
Suy ra .
Ta có là một vec tơ chỉ phương của .
Và đường thẳng đi qua điểm nên . Đáp án: C
Câu 4 [80219]: [Đề thi THPT QG năm 2018] Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và đường thẳng có phương trình . Phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng , đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng là:
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án C.
Gọi
Mà

Ta có:
Phương trình Đáp án: C
Câu 5 [702528]: Trong không gian với hệ tọa độ cho và mặt phẳng Điểm có hoành độ dương thuộc mặt phẳng sao cho và vuông góc với Khi đó giá trị của bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: 11.
C1: Ta có:
Vì

Vì

Vì





C2: + Nhận xét:
+
+

+

Câu 6 [396725]: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và đường thẳng Mặt cầu có tâm và cắt đường thẳng tại hai điểm sao cho tam giác vuông có bán kính bằng __________.
Điền đáp án: 6.
Kẻ mà vuông
Ta có:

Lại có


Câu 7 [396451]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và đường thẳng có phương trình Gọi là đường thẳng nằm trong mặt phẳng đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng Biết đi qua điểm tính
Điền đáp án: 5.
23.02.png

Ta có:
Gọi là giao điểm của và
.


Do


Câu 8 [80332]: Trong không gian tọa độ cho Đường phân giác trong góc của tam giác cắt mặt phẳng tại Tính
Điền đáp án: 5.
Ta có:

Góc giữa và là góc nhọn.

Phương trình đường phân giác góc của tam giác là

Câu 9 [396438]: Trong không gian cho đường thẳng : . Gọi là đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi và có một vectơ chỉ phương là Tính
Điền đáp án: -26.
Gọi là vectơ chỉ phương của đường phân giác góc nhọn tạo bởi và
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
Ta có .



Vectơ chỉ phương của đường phân giác là:

(Nếu tích thì )
Câu 10 [55966]: Trong không gian với hệ tọa độ cho tam giác biết . Viết phương trình đường phân giác trong góc .
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án C.
Ta có

Gọi thỏa mãn và


Gọi thỏa mãn
Do đó
Mà là hình bình hành
là hình thoi
vectơ chỉ phương của đường phân giác trong góc
Ta chọn làm vecto chỉ phương của phân giác trong góc
Đường thẳng phân giác trong góc có phương trình là
Đáp án: C
Câu 11 [396436]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho đường thẳng Gọi là đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua mặt phẳng Vectơ chỉ phương của đường thẳng là Tính
Điền đáp án: 10.
Ta có:
23.01.png
Gọi là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Thay vào phương trình ta được:

Chọn .
Gọi là điểm đối xứng của qua mặt phẳng
.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là

Câu 12 [695245]: Trong không gian cho hai mặt phẳng và Gọi là điểm thuộc mặt phẳng sao cho điểm đối xứng của qua mặt phẳng nằm trên trục hoành. Tung độ của điểm bằng bao nhiêu?
Điền đáp án:
Gọi là điểm đối xứng của qua mặt phẳng nằm trên trục hoành.
Gọi là đường thằng qua và vuông góc với
Gọi

là điểm đối xứng qua là trung điểm của

Vậy tung độ của điểm là
Câu 13 [1017053]: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho hai đường thẳng và Gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và
có một vectơ chỉ phương là [[20639430]]
đi qua điểm có toạ độ [[20639429]]
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Gợi ý: Đường vuông góc chung của hai đường thẳng có
Ta có là đường vuông góc chung của hai đường thẳng

Gọi là mặt phẳng chứa và
Ta có:
Phương trình mặt phẳng có và đi qua điểm là


Giao điểm của và chính là giao điểm của và




Phương trình đường thẳng có và đi qua điểm là:
Mà
Lần lượt kéo thả các đáp án: và
Câu 14 [396433]: Trong không gian cho đường thẳng và mặt phẳng Đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng Biết rằng cắt mặt phẳng tại điểm Tính
Điền đáp án: 25.
23.04.png

Gọi là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
.
Vì nên ta có:


Lấy gọi là hình chiếu của trên
Phương trình đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương là


Vì

.
Phương trình đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương
là

cắt mặt phẳng thay vào phương trình đường thẳng ta được:
:
Vậy
Câu 15 [695257]: Trong không gian với hệ tọa độ cho hình vuông biết và điểm có hoành độ âm. Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ Hình vuông có tâm Tính
Điền đáp án: -9.
Mặt phẳng có:
Phương trình mặt phẳng là
Gọi .
Ta có:

( do có hoành độ âm).
Do tâm là trung điểm của
Câu 16 [55928]: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và hai đường thẳng Lấy điểm trên và trên sao cho thẳng hàng. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án D.
Gọi

Điều kiện thẳng hàng:

Trung điểm của là . Đáp án: D
Câu 17 [80275]: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng và Đường thẳng nằm trong mặt phẳng cắt cả hai đường thẳng và , một vectơ chỉ phương của đường thẳng là , tính
Điền đáp án: -12
Gọi là giao điểm của và à giao điểm của và
Ta có:
Điểm

Điểm

Đường thẳng cần tìm là , vectơ chỉ phương của là . Vậy .
Câu 18 [55932]: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và hai đường thẳng .Đường thẳng qua cắt lần lượt tại và . Độ dài đoạn thẳng bằng __________.
Điền đáp án: 3.
Gọi
Ta có:
Giải hệ với ẩn và
Câu 19 [396453]: Trong không gian tọa độ cho điểm mặt phẳng và đường thẳng Đường thẳng cắt và mặt phẳng lần lượt tại và sao cho và có một vectơ chỉ phương là Tính giá trị của
Điền đáp án: 8.
Gọi



Mà


Câu 20 [396452]: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng , mặt phẳng và điểm . Gọi là đường thẳng cắt và lần lượt tại và sao cho là trung điểm của đoạn thẳng Biết rằng cắt mặt phẳng tại điểm Tính
Điền đáp án: 17.
Gọi
Do là trung điểm của nên
Cho điểm Do đó, cắt mặt phẳng tại điểm
Câu 21 [709917]: Trong không gian cho đường thẳng và Mặt phẳng song song với và khoảng cách từ đến bằng 2 lần khoảng cách từ đến Tính
Đáp án:
Gọi , lần lượt là một vectơ chỉ phương của , .
Gọi , có cùng phương .
là một vec-tơ chỉ phương của .
Do song song với nên chọn .
Suy ra phương trình mặt phẳng có dạng: .
Lấy , .
Có




.
Nên , suy ra , , .
Vậy .
Câu 22 [59159]: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho hai đường thẳng
và . Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với , cắt tại và tại sao cho có độ dài nhỏ nhất.
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.
Độ dài nhỏ nhất
là đoạn vuông góc chung của và
Gọi

Khi đó

Suy ra Đáp án: A
Câu 23 [695301]: Trong không gian cho điểm mặt phẳng và đường thẳng Gọi là các đường thẳng đi qua nằm trong và đều có khoảng cách đến đường thẳng bằng Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng và (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,33.

Ta có:
và

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và , ta có


Câu 24 [55922]: Trong không gian cho hai đường thẳng Đường thẳng cắt lần lượt tại các điểm thỏa mãn độ dài đoạn thẳng nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án D.
nhỏ nhất là đoạn vuông góc chung của .
Gọi
. Ta có:



Đáp án: D
Câu 25 [693841]: Trong không gian cho tam giác vuông tại đường thẳng có phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng Biết đỉnh có cao độ âm. Tính hoành độ đỉnh
Đáp án:
Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Do nên
Theo giả thiết, ta có
Mà đỉnh có toạ độ âm nên
Gọi
Do nên
Từ ta có thay vào ta có: .
Vậy hoành độ đỉnh là
Câu 26 [694842]: Trong không gian cho hình lăng trụ tam giác đều có hai đỉnh thuộc trục và không trùng với ). Biết là một vectơ chỉ phương của đường thẳng Giá trị của bằng bao nhiêu?
Điền đáp án:

Gọi là trung điểm khi đó .
Ta có .
Mặt phẳng đi qua và nhận làm VTPT nên .
Mà nên .
Trong có .
Ta có đều nên .
Gọi mà là trung điểm nên .
Có ,( vì không trùng với ).
Do đó .
Vậy
Câu 27 [699512]: Trong không gian cho tam giác đường phân giác với Biết điểm thuộc đường thẳng điểm thuộc mặt phẳng và Đường thẳng có một vecto chỉ phương là Tính
Điền đáp án :
Gọi
Ta có:
Tam giác có đường phân giác trong với
Khi đó:
Câu 28 [695282]: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm mặt cầu và mặt phẳng Gọi là đường thẳng đi qua nằm trong và cắt mặt cầu tại hai điểm sao cho tam giác là tam giác đều. Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là Tính
Điền đáp án: 500.
Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ đến đường thẳng .
Do đều có đường cao nên
Ta có:

.
Ta có:
Thay vào (1) ta được:
Câu 29 [709908]: Trong không gian , cho tam giác nhọn có , , lần lượt là hình chiếu vuông góc của , , trên các cạnh , , . Đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng có một vectơ chỉ phương là và đi qua điểm Tính
Chọn đáp án A.

Ta có tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn ( vì có hai góc vuông , cùng nhìn dưới một góc vuông) suy ra .
Ta có tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn ( vì có hai góc vuông , cùng nhìn dưới một góc vuông) suy ra .
Từ và suy ra do đó là đường phân giác trong của góc và là đường phân giác ngoài của góc .
Tương tự ta chứng minh được là đường phân giác trong của góc và là đường phân giác ngoài của góc .
Ta có ; ; .
Gọi , lần lượt là chân đường phân giác ngoài của góc và .
Ta có ta có
.
Ta có ta có
.
Đường thẳng qua nhận làm vec tơ chỉ phương có phương trình .
Đường thẳng qua nhận làm vec tơ chỉ phương có phương trình .
Khi đó , giải hệ ta tìm được ..
Ta có và , ta tính
.
Khi đó đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có véc tơ chỉ phương nên có phương trình .
Nhận xét:
Mấu chốt của bài toán trên là chứng minh trực tâm của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . Khi đó, ta tìm tọa độ điểm dựa vào tính chất quen thuộc sau: “Cho tam giác với là tâm đường tròn nội tiếp, ta có , với , , ”. Sau khi tìm được , ta tìm được với chú ý rằng và .
Ta cũng có thể tìm ngay tọa độ điểm bằng cách chứng minh là tâm đường tròn bàng tiếp góc của tam giác . Khi đó, ta tìm tọa độ điểm dựa vào tính chất quen thuộc sau: “Cho tam giác với là tâm đường tròn bàng tiếp góc , ta có , với , , ”.
Câu 30 [709911]: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng có phương trình là điểm và mặt cầu . Gọi là đường thẳng đi qua cắt đường thẳng tại , cắt mặt cầu tại sao cho và điểm có hoành độ là số nguyên. Mặt phẳng trung trực đoạn có phương trình là
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn đáp án C.
là đường thẳng đi qua cắt đường thẳng tại suy ra tọa độ .
.
Trường hợp 1:

suy ra .
Do nên
, phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2:

.
Suy ra .
Do nên
.
Điểm có hoành độ là số nguyên nên ; .
Mặt phẳng trung trực đoạn đi qua trung điểm và có một véc tơ pháp tuyến nên có phương trình
. Đáp án: C
Câu 31 [709920]: Trong không gian , cho bốn đường thẳng: , , , . Đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên có vectơ chỉ phương là Tính
Điền đáp án : 5.
Đường thẳng đi qua điểm và có một véctơ chỉ phương là .
Đường thẳng đi qua điểm và có một véctơ chỉ phương là .
Do và nên hai đường thẳng và song song với nhau.
Ta có: ,
.
Gọi là mặt phẳng chứa và khi đó có một véctơ pháp tuyến là .
Phương trình mặt phẳng là . Gọi thì .
Gọi thì .
Do không cùng phương với nên đường thẳng cắt hai đường thẳng và .

Câu 32 [709923]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , mặt cầu và mặt phẳng . Gọi là đường thẳng đi qua , nằm trong và cắt mặt cầu tại hai điểm sao cho tam giác là tam giác đều. Phương trình của đường thẳng là
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn đáp án D.

Mặt cầu có tâm bán kính . Tam giác là tam giác đều có cạnh bằng 2.
Gọi là trung điểm ta có , mặt khác .
Vậy điểm trùng điểm .
Gọi là vectơ chỉ phương của ta có: và ( với là vectơ pháp tuyến của vì ).
, chọn .
Vậy đường thẳng đi qua , có vectơ chỉ phương có phương trình là: . Đáp án: D
Câu 33 [709928]: Trong không gian , biết rằng không có đường thẳng nào cắt đồng thời cả 4 đường thẳng

Giá trị bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: -3.
Đường thẳng có vec-tơ chỉ phương và đi qua điểm .
Đường thẳng có vec-tơ chỉ phương và đi qua điểm .
.
Vì cùng phương và không cùng phương nên .
Gọi là mặt phẳng chứa .
Khi đó nhận làm vec-tơ pháp tuyến và đi qua nên nó có phương trình là:


Dễ thấy cắt tại điểm .
có vec-tơ chỉ phương .
Do nên cắt nhau.
Gọi tọa độ giao điểm tương ứng của chúng là .

Vì không có đường thẳng nào cắt đồng thời cả 4 đường thẳng đã cho nên suy ra cùng phương với .


.