Quay lại
Đáp án
Câu 1 [696305]: Trong một bể hình lập phương cạnh có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40 cm, 44 cm, 48 cm. Chọn hệ trục toạ độ như hình 2 (đơn vị mỗi trục là cm).
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Chọn hệ trục tọa độ phù hợp, xác định tọa độ các điểm. Sử dụng kiến thức vectơ, phương trình mặt phẳng và công thức tính góc giữa hai mặt phẳng để xét từng mệnh đề.
✒️ Lời giải chi tiết:

a) Đúng.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có , , .
b) Sai.
Ta có .
Vì là hình bình hành nên .


.
Khoảng cách từ đến đáy bể là m cm nên mệnh đề sai.
c) Sai.
Đáy bể nằm trong mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Ta có , .
.
Mặt phẳng đi qua có phương trình
.
.
d) Đúng.
Góc giữa đáy bể và mặt phẳng nằm ngang là góc giữa và .
.
.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng
Câu 2 [693309]: Một nắp bể nước hình chữ nhật nằm cạnh bờ tường có kích thước được kéo dài ra từ mặt sàn, do tác dụng của trọng lực nên nắp bể không thể mở ra được nếu không có người giữ. Người ta dùng một sợi dây xích dài và kéo căng nối đỉnh của hình chữ nhật với điểm nằm phía trên bờ tường sao cho và vuông góc với mặt sàn. Chọn hệ trục như hình vẽ, khi đó nắp bể mở ra và tạo với mặt sàn một góc (đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng dm). Bỏ qua độ dày của nắp bể.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Xác định toạ độ các điểm trong không gian, sử dụng điều kiện hình học và công thức khoảng cách, góc, vectơ pháp tuyến để kiểm tra từng mệnh đề đúng hay sai.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Điểm nằm trên mặt phẳng với
b) Sai.
Chiếu lần lượt lên các trục tọa độ ta được
c) Sai.
Ta có





Vậy góc giữa nắp bể và mặt sàn khi kéo lên là
d) Đúng.
Cách 1: Mặt phẳng kéo lên đi qua , chứa và .
Ta có và
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là

Vậy phương trình mặt phẳng chứa nắp bể sau khi kéo lên là
Cách 2: Mặt phẳng kéo lên đi qua trục nên có dạng
Mặt phẳng đi qua

Vậy phương trình mặt phẳng chứa nắp bể sau khi kéo lên là
🔑 Điền đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Câu 3 [695240]: Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt có hai đáy song song với nhau. Mặt sân là hình chữ nhật và được gắn hệ trục như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân có chiều dài chiều rộng và tọa độ điểm
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Sử dụng tọa độ điểm để xác định vectơ.
Dùng tích có hướng để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Lập phương trình mặt phẳng từ vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng.
Góc giữa hai mặt phẳng được xác định thông qua góc giữa hai vectơ pháp tuyến tương ứng.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Ta có .
.
b) Sai.
Vectơ tích có hướng là
.
c) Sai.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Mặt phẳng đi qua nên có phương trình
.
d) Sai.
Mặt phẳng đi qua trục nên có dạng .
Mặt phẳng đi qua nên .
Suy ra .
Vectơ pháp tuyến của là .
Góc giữa hai mặt phẳng và thỏa mãn
.
.
.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.
Câu 4 [1023980]: Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ toạ độ có lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục và độ dài của mỗi vectơ đơn vị đó bằng mét. Cho hai điểm và , trong đó điểm có toạ độ là Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian (giây) theo công thức (m/giây), trong đó là hằng số dương và Ở thời điểm ban đầu vật đi qua với tốc độ m/giây và hướng tới Sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường m. Gọi là vectơ cùng hướng với vectơ Biết rằng và góc giữa vectơ lần lượt với các vectơ có số đo tương ứng bằng
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Sử dụng công thức tích vô hướng của vectơ để xác định các hệ số phương trình đường thẳng trong không gian.
Vận dụng công thức quãng đường để giải các bài toán chuyển động.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Ta có

Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Ta có .
.
.
.
Phương trình đường thẳng đi qua có vectơ chỉ phương là .
Suy ra mệnh đề b) sai.
c) Quãng đường vật đi được sau giây là .
Sau 2 giây vật đi được 608 m nên .

Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Viết phương trình tham số của :
Quãng đường sau 5 giây là


Suy ra mệnh đề d) đúng.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng
Câu 5 [1015551]: Trong không gian với hệ trục tọa độ đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 kilômét, một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí trên một ngôi làng ven biển và được thiết kế với bán kính phủ sóng là 6 km.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Xác định đúng các yếu tố hình học trong không gian như tâm, bán kính mặt cầu, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, phương trình đường thẳng theo vectơ chỉ phương.
Sử dụng công thức khoảng cách trong không gian và so sánh với bán kính để kết luận đúng sai cho từng ý.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Mặt cầu tâm , bán kính có phương trình .
Phương trình mặt cầu viết đúng nên ý a) đúng.
b) Ta có .
Điểm nằm ngoài mặt cầu nên người đó không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng.
Ý b) sai.
c) Gọi là mặt phẳng đi qua , , .
Ta có , .
Một vectơ pháp tuyến của là .
Phương trình mặt phẳng là .
Khoảng cách từ trạm thu phát sóng đến mặt phẳng là .
Khoảng cách nhỏ hơn bán kính nên ý c) đúng.
d) Từ vị trí , người chèo thuyền chuyển động với vectơ vận tốc .
Phương trình tham số của đường thẳng là .
Sau nửa giờ , người đó ở vị trí .
Ta có .
Người đó có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng.
Do đó ý d) sai.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Câu 6 [778782]: Hình ảnh bên minh hoạ một cánh cửa hình chữ nhật có chiều rộng và chiều cao khi đang mở. Chọn hệ toạ độ như hình vẽ, biết cánh cửa tạo với bức tường một góc bờ tường vuông góc với mặt sàn. Bỏ qua bề dày của cánh cửa thì phương trình mặt phẳng chứa cánh cửa là Tính giá trị
Điền đáp án: 3.
Giả sử
Vì ta đã có dạng của phương trình mặt phẳng chứa cánh cửa (chứa 3 ẩn nên để viết được phương trình mặt phẳng ta cần đi tìm được 3 điểm thuộc mặt phẳng đó.
Ta vẽ lại hình như và kí hiệu các điểm như hình sau:

Với là các điểm thuộc mặt phẳng Kẻ Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng cần tìm đi qua các điểm
Trong tam giác vuông tại ta có


Suy ra
Vì đều thuộc mặt phẳng nên ta có hệ phương trình Vậy
Câu 7 [778774]: Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Nam và An đang tập chuyền bóng cho nhau, Nam ném bóng cho An đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Nam và rơi xuống vị trí cách An và cách Nam Chọn hệ trục như hình vẽ, gốc toạ độ trùng với vị trí đứng của Nam. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng và vuông góc với mặt đất. Khi đó giá trị của bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Điền đáp án: -0,1.
Gọi là điểm mà quả bóng chạm đất.
Khi đó ,
Vì nên có véc tơ chỉ phương .
Mà có véc tơ chỉ phương
Khi đó véc tơ pháp tuyến của là .

.
Câu 8 [1045121]: Một trạm X có chức năng thu – phát sóng điện thoại. Bán kính phủ sóng của trạm X là km. Chọn hệ trục tọa sao cho trùng với trạm X và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là km. Từ một nơi nằm ngoài vùng phủ sóng của trạm X, bạn An đi xuyên qua khu vực trạm X phủ sóng và đi trên một con đường dạng đường thẳng có phương trình: Quãng đường bạn An đi vào vùng phủ sóng của trạm X bằng bao nhiêu kílômét (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Điền đáp án: 1,4.
Phương trình đường tròn tâm O, bán kính bằng 2 là
Tọa độ giao điểm của đường thẳng đã cho với thỏa mãn phương trình là

Quãng đường cần tìm là
Câu 9 [693216]: Một radar có thể quay để quan sát máy bay quanh vùng phủ sóng của nó. Một máy bay cất cánh từ điểm nằm trên mặt đất theo chiều cùng chiều với vectơ Trong hệ tọa độ mặt đất là mặt phẳng trục hướng lên trời, điểm nằm trên trục cách gốc tọa độ điểm nằm trên trục có cao độ bằng radar đang nằm trên trục có hoành độ bằng Máy bay đang ở điểm bay theo hướng bay như cũ đến điểm thì radar quay một góc bằng Tính theo đơn vị mét (làm tròn đến hàng đơn vị).
Điền đáp án: 2630.
Vì máy bay bay theo hướng cũ (cùng chiều với vectơ đến điểm nên suy ra (xem hình vẽ dưới).

Dựa vào dữ kiện bài toán, ta có
+) Viết phương trình đường thẳng để tham số toạ độ điểm

Suy ra
(Vì máy bay càng bay sẽ càng cao, nên
+) Ta có
Vì radar quay từ đến một góc bằng nên hay










Vậy
Câu 10 [1015554]: Trong hệ toạ độ (đơn vị độ dài trên mỗi trục tính là mét), một vườn hoa nằm trên mặt phẳng Có hai bóng đèn chiếu sáng cố định được đặt tại các điểm ; Để đảm bảo kĩ thuật chiếu sáng, các kỹ sư muốn thiết kế trên mặt vườn một đường ray để lắp đặt một đèn chiếu sáng di động trên đường ray ấy. Yêu cầu kĩ thuật đặt ra là góc tạo bởi với mặt vườn và góc tạo bởi với mặt vườn phải luôn bằng nhau. Độ dài đường ray là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp:
Sử dụng tính chất góc tạo bởi đoạn thẳng với mặt phẳng, thiết lập tỉ lệ khoảng cách từ các điểm đến mặt phẳng, suy ra quỹ tích điểm là giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng, từ đó tính chu vi đường tròn giao tuyến.
✒️ Lời giải chi tiết:
Hình minh họa
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .
Do góc tạo bởi với mặt vườn và góc tạo bởi với mặt vườn luôn bằng nhau nên
.
.
Ta có
.
.
.

.
Rút gọn ta được phương trình mặt cầu :
.
Do điểm nằm trên mặt vườn nên
.
Tập hợp điểm là giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng , tức là một đường tròn.
Gọi là tâm mặt cầu :
.
Bán kính mặt cầu :
.
Khoảng cách từ đến mặt phẳng :
.
Bán kính đường tròn giao tuyến :
.
Chu vi đường tròn là
.
🔑 Điền đáp án: 1720
Câu 11 [1017470]: Trong một nhà máy hóa chất, một cảm biến phát hiện có rò rỉ khí độc tại một vị trí trong không gian. Xét trong không gian toạ độ (đơn vị mỗi trục là mét) để xác định chính xác vị trí rò rỉ, người ta sử dụng 4 cảm biến đo nồng độ khí đặt cố định trong kho hàng tại các vị trí sau: Trong một thời điểm cụ thể, các cảm biến đo được nồng độ khí độc bằng nhau, điều đó cho thấy nguồn rò rỉ đang cách đều cả 4 cảm biến (nguyên lý lan truyền đối xứng trong môi trường kín). Giả sử nguồn rò rỉ ở vị trí có toạ độ thì bằng bao nhiêu?
Gọi có điểm nguồn rò rỉ có tọa độ
Ta có



Ta có
Câu 12 [1045122]: Trong không gian với hệ trục tọa độ (một đơn vị trên mỗi trục tương ứng với một km trên thực tế), xét một vùng phòng thủ hình cầu và một hành lang bay an toàn được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song và mặt phẳng . Một máy bay trinh sát bắt đầu xâm nhập khu vực từ điểm và bay theo đường thẳng có vectơ chỉ phương . Tính chiều dài đoạn đường bay của máy bay nằm hoàn toàn trong phần giao của hành lang bay an toàn và vùng phòng thủ hình cầu (đơn vị: km).
Điền đáp án: 0.
Phương trình đường thẳng đi qua điểm có vtcp là là
Xét giao điểm của với mặt cầu :


Để máy bay đi hết đoạn thẳng giao của với mặt cầu thì
Xét giao điểm của với mặt phẳng :

Xét giao điểm của với mặt phẳng :

Để máy bay đi hết đoạn thẳng giao của với 2 mặt phẳng mặt cầu , thì
Ta có:
Chiều dài đoạn đường bay của máy bay nằm hoàn toàn trong phần giao của hành lang bay an toàn và vùng phòng thủ hình cầu bằng 0
Câu 13 [1004659]: Trong một trung tâm nghiên cứu robot bay, người ta bố trí một thiết bị định vị tại điểm cố định trong không gian ba chiều với hệ tọa độ (các đơn vị tọa độ được tính bằng mét). Thiết bị này giao tiếp đồng thời với hai cảm biến: Cảm biến thứ nhất di chuyển dọc theo đường thẳng , cảm biến thứ hai được gắn trên mặt phẳng . Giữa hai cảm biến được kết nối bằng một đường truyền BC, trong đó B nằm trên đường thẳng , C nằm trên mặt phẳng và thiết bị định vị tại A là trung điểm của đoạn BC. Biết rằng đường thẳng BC có một véctơ chỉ phương , hãy tính giá trị .
Đáp số: -1,5
Ta có: mà là trung điểm BC, suy ra .
Lại có , thay vào phương trình mặt phẳng , được:
Vậy .