Quay lại
Đáp án
Câu 1 [396724]: Một máy phát tín hiệu P được đặt cố định ở một địa điểm và ta có thể nhận được tín hiệu của máy phát này trong phạm vi của một mặt cầu với bán kính của nó. Một người cầm máy dò tín hiệu A chuyển động trên đường thẳng (như Hình hình vẽ)


Máy dò tín hiệu A có thể nhận được tín hiệu trong phạm vi của một mặt cầu với bán kính km. Nếu chọn điểm đặt máy phát tín hiệu P là gốc tọa độ của hệ trục tọa độ thì máy dò A di chuyển theo đường thẳng có phương trình: (trong đó là thời gian chuyển động).
a) Đúng.
Tại thời điểm máy dò tín hiệu tại vị trí có toạ độ
b) Đúng.
Tại thời điểm máy dò tín hiệu tại vị trí có toạ độ có khoảng cách đến máy phát tín hiệu P là nên không nhận được tín hiệu từ máy phát P.
c) Đúng.
Ta có
Khoảng cách đến máy phát tín hiệu P là

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy máy dò tín hiệu gần máy phát tín hiệu nhất lúc
d) Sai.
Tại thời điểm máy dò tín hiệu tại vị trí có toạ độ
Mặt cầu giới hạn phạm vi nhận tín hiệu của máy dò A tại thời điểm nó gần máy phát tín hiệu P nhất là mặt cầu đi qua vàcó bán kính bằng có phương trình
Câu 2 [680751]: Các thiên thạch có đường kính lớn hơn và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7 500 000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6 600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6 400 km. Chọn hệ trục tọa độ trong không gian có gốc tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1 000 km . Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm đến điểm
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng; Phương trình mặt cầu).
Mức độ: a) Nhận biết; b) Thông hiểu; c) Thông hiểu; d) Vận dụng.
💡 Phương pháp:
Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng từ hai điểm đã cho.
Viết phương trình tham số của đường thẳng.
Xác định phương trình mặt cầu biểu diễn phạm vi theo dõi của hệ thống ra đa.
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu bằng cách giải phương trình tham số.
So sánh các tham số để xác định thứ tự các điểm gặp.
Sử dụng công thức khoảng cách trong không gian và quy đổi đơn vị theo dữ kiện bài toán.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Ta có .
Chọn vectơ chỉ phương .
Phương trình đường thẳng là
.
b) Sai.
Phạm vi theo dõi của hệ thống ra đa là mặt cầu .
Tọa độ giao điểm của với là nghiệm của phương trình
.
.
hoặc .
Với được , với được .
Ta có .
nên điểm gặp đầu tiên là .
c) Đúng.
.
Đơn vị độ dài trên mỗi trục là km nên .
d) Đúng.
.
phút.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng
Câu 3 [694447]: Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cộc trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài . Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, với thuộc tia thuộc tia tia cùng hướng với vectơ gốc toạ độ trùng với trung điểm của và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1 mét (xem hình vẽ).
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Xác định tọa độ các điểm và các điểm tương ứng .
Dùng vectơ chỉ phương để lập vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng tích có hướng.
Lập phương trình mặt phẳng từ vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng.
Góc giữa hai mặt phẳng được xác định qua góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
Khoảng cách từ điểm đến mặt sàn chính là tọa độ của điểm đó.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Ta có .
Các điểm tương ứng là .
b) Đúng.
Ta có và .
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
.
phương trình mặt phẳng là .
c) Sai.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
.
.
Vậy độ dốc của mái khoảng , không đạt mức tiêu chuẩn.
d) Đúng.
Gọi .
.
cách đều và .
cách đều và .
.
điểm cách mặt sàn một khoảng là mét.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Câu 4 [1045123]: Trong không gian với hệ trục tọa độ (Đơn vị đo trên mỗi trục tọa độ dài 1 km, mặt đất là mặt phẳng ). Lúc đó, một chiếc máy bay bắt đầu di chuyển từ điểm với vận tốc không đổi (km/h) theo hướng về điểm . Khi tới , máy bay thay đổi hướng bay theo hướng về điểm với vận tốc giữ nguyên là (km/h). Máy bay di chuyển theo hướng mới trong phút (tức là mới tới điểm ) thì bất ngờ gặp gió lớn khiến hướng bay của nó lệch đi theo phương nằm ngang (tức là nếu là vectơ hình chiếu xuống mặt đất của đoạn đường từ điểm trở đi thì góc lượng giác ) và vận tốc giảm còn (km/h). Máy bay tiếp tục bay theo hướng lệch trong 30 phút.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh cần xác định tính đúng hoặc sai của từng mệnh đề a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Xác định thời gian bay dựa vào quãng đường và vận tốc.
Sử dụng vectơ để xác định vị trí điểm trong không gian.
Tính độ dài đoạn thẳng bằng công thức khoảng cách trong không gian Oxyz.
So sánh tổng quãng đường với điều kiện cho trước để kết luận.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Thời gian đi từ đến là (phút).
Thời gian bay thực tế là (phút).
b) Đúng.
Ta có (km).
.
.
.
Khi gió bắt đầu lớn, máy bay cách mặt đất km.
c) Đúng.
Tổng quãng đường của hành trình là .
d) Sai.





.
🔑 Điền đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Câu 5 [696431]: Hải đăng là một ngọn tháp (nhà hoặc khung) được thiết kế để chiếu sáng từ một hệ thống đèn và thấu kính, hoặc thời xưa là chiếu sáng bằng lửa, với mục đích hỗ trợ cho các hoa tiêu trên biển định hướng và tìm đường. Vào năm 293 trước Công nguyên, ngọn hải đăng đầu tiên đã được người Phoenicia xây dựng trên hòn đảo Pharos tại Alexandria. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là một mét), coi một phần mặt biển được khảo sát là mặt phẳng , trục hướng lên trên vuông góc với mặt biển; một ngọn hải đăng đỉnh cao mét so với mực nước biển (hình vẽ bên dưới) biết đỉnh ở vị trí , biết rằng ngọn hải đăng này được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
Các tính toán được thực hiện trong hệ trục tọa độ , đơn vị độ dài là mét, thời gian tính theo phút.
💡 Phương pháp:
Mô hình hóa vùng chiếu sáng của hải đăng bằng mặt cầu tâm bán kính .
Kiểm tra điểm có thuộc vùng chiếu sáng hay không bằng cách thay tọa độ vào phương trình mặt cầu.
Vùng sáng trên mặt đất là giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng .
Khoảng cách người quan sát cần di chuyển được tính bằng hiệu khoảng cách đến tâm chiếu sáng và bán kính vùng sáng trên mặt đất.
Thời gian được xác định theo công thức .
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Vì đỉnh hải đăng là và bán kính phủ sóng .
Phương trình mặt cầu tâm bán kính là .
Phương trình trong mệnh đề không đúng nên khẳng định a) sai.
b) Sai.
Thay tọa độ vào phương trình mặt cầu ta được .
nằm ngoài mặt cầu nên không thuộc vùng chiếu sáng.
Do đó mệnh đề b) sai.
c) Đúng.
Bán kính vùng sáng trên mặt đất là .
Kết quả này phù hợp nên mệnh đề c) đúng.
d) Sai.
Chân ngọn hải đăng là hình chiếu của lên mặt phẳng .
.
Ta có nên .
Khoảng cách từ đến điểm đầu tiên nhìn thấy ánh sáng là .
Vận tốc di chuyển là nên thời gian là phút.
Giá trị này khác mệnh đề đã cho nên khẳng định d) sai.
🔑 Điền đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai
Câu 6 [1001308]: Tại một nút giao thông của một khu vực đông dân cư với tốc độ tối đa cho phép đối với ô tô là 50 km/h, người ta gắn một camera phạt nguội tại điểm trong không gian (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), mặt phẳng song song với mặt đường và chứa vùng nhận diện biển số xe của các phương tiện tham gia giao thông. Biết rằng camera nhận diện tốt nhất biển số xe của các phương tiện tham gia giao thông là khi biển số của chúng nằm trong hình thang cân với:
và tia nằm trên đường trung trực các đoạn thẳng và (xem hình vẽ minh họa). Giả sử tại thời điểm 8 giờ sáng (được xem là thời điểm xuất phát) một ô tô chuyển động thẳng đều theo phương song song với trục hướng về phía trục và có vị trí của biển số xe ở đầu ô tô là điểm

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Sử dụng hình học không gian Oxyz để xác định tọa độ các điểm thông qua hình chiếu lên các trục tọa độ.
Áp dụng định lý Pitago trong các tam giác vuông để tính độ dài các đoạn cần thiết.
Dựa vào vectơ chỉ phương để lập phương trình đường thẳng.
Kết hợp chuyển động thẳng đều để tính thời gian xe nằm trong vùng nhận diện của camera.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Gọi .
Ta có do tia nằm trên đường trung trực của .
Hình chiếu của điểm trên trục là .
b) Đúng.
Gọi .
Ta có .
Điểm có tọa độ .
c) Đúng.
Gọi .
Ta có .
.
.
.
Phương trình đường thẳng là
.
d) Sai.
Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ xuống , .
Ta có .
.
Vận tốc xe là .
Thời gian biển số xe nằm trong vùng nhận diện tốt nhất của camera là giây.
🔑 Điền đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
Câu 7 [784253]: Trong không gian với hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí và sẽ hạ cánh ở vị trí trên đường băng (như hình vẽ). Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng đi qua ba điểm Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh là bao nhiêu km (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Điền đáp án: 0,60.
Giả sử là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mấy để hạ cánh
Mặt phẳng có phương trình là
Vì và là hai vectơ cùng hướng nên tồn tại số thực sao cho ;

Vì nên
Vậy
Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây là
Câu 8 [785635]: Để treo một chậu cây người ta cần lấy trên miệng của chậu cây đó 3 điểm và sử dụng 3 đoạn dây có độ dài bằng nhau để nối 3 điểm đó với một điểm treo (xem hình minh hoạ). Giả sử trong không gian với hệ toạ độ (đơn vị mỗi trục là ), ba điểm trên miệng của chậu cây là điểm treo nằm trên mặt phẳng Độ dài mỗi dây treo là bao nhiêu đeximet?
Điền đáp án: 4.



+)


+)


+)
Từ (1), (2) và (3)
Câu 9 [1001312]: Một khối thép không rỉ có dạng một hình chóp cụt đều có đáy là hình vuông. Độ dài cạnh của đáy lớn là 8 cm, độ dài cạnh đáy nhỏ là 4 cm và chiều cao của khối là 8 cm. Một tia laser được chiếu theo đường thẳng với và chiếu xuyên qua khối thép. Gốc tọa độ nằm tại tâm của đáy lớn, trung điểm của nằm trên và trung điểm nằm trên Chiều dài lỗ khoan là bao nhiêu centimét (làm tròn đến hàng phần chục).
Điền đáp án: 7,2.
Ta có , nên phương trình tham số
Ta có :


.
Phương trình mặt phẳng .
Tương tự, ta có phương trình : .
Đường thẳng cắt hai mặt bên tại và .
Độ dài đoạn .
Câu 10 [1017472]: Tại một khu nghiên cứu trong không gian (đơn vị mỗi trục là mét), một tiếng nổ bất thường vang lên. Để xác định vị trí chính xác của vụ nổ, ba cảm biến âm thanh đặt tại 3 vị trí khác nhau đã ghi nhận tín hiệu đồng thời. Căn cứ vào thời gian truyền sóng âm bằng nhau từ nguồn đến cả 3 cảm biến ta biết vị trí vụ nổ cách đều cả 3 điểm Ngoài ra, các chuyên gia xác định tâm vụ nổ nằm trên mặt phẳng Hỏi tâm vụ nổ cách các cảm biến bao nhiêu mét?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt cầu).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi tâm của vụ nổ là
Ta có:



Tâm vụ nổ cách các cảm biến 5 m.
Điền đáp án: 5.
Câu 11 [1045124]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai lớp kính lần lượt là hai mặt phẳng có phương trình là . Một nguồn sáng được chiếu vào hai tấm kính là tập hợp các đường thẳng có vectơ chỉ phương là và đi qua các điểm và . Biết rằng các giao điểm của các đường thẳng nói trên với hai tấm kính và là 6 đinh của một khối đa diện. Thể tích của khối đa diện tạo bởi 6 điểm đó có kết quả là với nguyên dương và là số nguyên tố. Tính giá trị của .
Điền đáp án: 138.
Phương trình các đường thẳng đi qua điểm và có vecto chỉ phương lần lượt là
; ;





Lấy
Do

Thể tích khối đa diện cần tìm bằng .
Câu 12 [1045125]: Trong không gian với hệ trục tọa độ xét mô hình phòng không như sau: radar đặt tại gốc tọa độ tên lửa phòng không đặt tại điểm mỗi đơn vị tương ứng với 10 m , mặt phẳng trùng với mặt đất, trục vuông góc mặt đất và hướng lên. Giả sử mọi UAV (phương tiện bay không người lái) và tên lửa đều chuyển động thẳng đều. Tại thời điểm radar phát hiện ra UAV ở tọa độ Tại thời điểm , radar theo dõi thấy UAV ở tọa độ trên đường thẳng Tại thời điểm một tên lửa được phóng lên và chuyển động thẳng đều với vận tốc va chạm và phá hủy UAV tại điểm trên Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ lúc được phóng lên thì tên lửa va chạm với UAV (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của giây)?
Điền đáp án: 7,93.
Phương trình đường thẳng đi qua điểm và có vecto chỉ phương là

Tại thì UAV ở tọa độ


Tại thời điểm thì tên lửa được phóng đi và sẽ va chạm tại tại thời điểm



Quãng đường tên lửa đi được trong giây là ( do đơn vị trên mỗi trục là 10m)
Câu 13 [931527]: Trong không gian với hệ tọa độ, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 10 km, trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Máy bay thứ nhất ban đầu ở tọa độ và bay theo hướng vectơ với tốc độ không đổi là 750 km/h. Máy bay thứ hai ban đầu ở tọa độ và bay theo hướng vectơ với tốc độ không đổi là 900 km/h. Trên máy bay thứ nhất có gắn radar tránh va chạm với bán kính hoạt động 50 km. Hỏi thời gian máy bay thứ hai xuất hiện trên màn hình của radar máy bay thứ nhất là bao nhiêu phút ( làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Tóm tắt dữ kiện đề bài:
Dữ kiện quan trọng: Mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 10 km.
Máy bay thứ nhất: Xuất phát từ
+) Theo hướng vectơ có độ lớn
+) Tốc độ không đổi là 750 km/h = 75 đơn vị/h.
Máy bay thứ hai: Xuất phát từ
+) Bay theo hướng vectơ có độ lớn
+) Tốc độ không đổi là 900 km/h = 90 đơn vị/h.
Lời giải chi tiết:
Ta có vectơ vận tốc của máy bay thứ nhất là
Suy ra sau (giờ) thì máy bay thứ nhất bay đến vị trí
Vectơ vận tốc của máy bay thứ hai là
Suy ra sau (giờ) thì máy bay thứ hai bay đến vị trí

Khi đó khoảng cách của hai máy bay sau (giờ) là
Để máy bay thứ hai xuất hiện trên màn hình của radar máy thứ nhất thì khoảng cách hai máy bay phải nhỏ hơn hoặc bằng 50 km (tức 5 đơn vị)
(vì biểu thức dưới căn luôn dương nên ta không có điều kiện của

(bước này các em lưu kết quả vào biến để thực hiện phép tính sau không xảy ra sai số nha)
Vậy khoảng thời gian máy bay thứ hai xuất hiện trên màn hình radar của máy bay thứ nhất là
giờ phút.
Vậy khoảng thời gian máy bay hai hiện trên radar của máy bay thứ nhất là 4,91 phút.
Điền đáp án: 4,91.
Câu 14 [778808]: Giả sử một máy bay thương mại đang bay trên bầu trời theo một đường thẳng từ đến có hình chiếu trên mặt đất là đoạn Tại máy bay bay cách mặt đất là 9000 m và tại là 12000 m. Một ra-đa được đặt trên mặt đất tại vị trí cách là 20000 m, cách là 16000 m và Xét hệ trục tọa độ (đơn vị mỗi trụ là 1000 m) với là vị trí đặt ra-đa, thuộc tia thuộc tia khi đó ta có tọa độ các điểm như hình vẽ.

Hỏi bán kính dò tìm tối thiểu của ra-đa là bao nhiêu km để ra- đa có thể bắt được tín hiệu của máy bay trên (viết kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Điền đáp án: 16,5.
Yêu cầu bài toán là tìm khoảng cách ngắn nhất từ ra-đa đến máy bay hay bằng với
Ta có tọa độ điểm và Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
Suy ra phương trình tham số của đường thẳng là
Gọi là hình chiếu của trên đường thẳng nên ta có
Vì nên suy ra
Suy ra
Câu 15 [1005563]: Một công ty logistics đang thử nghiệm hệ thống giao hàng tự động bằng máy bay không người lái (drone). Trong không gian , mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với 1 mét trên thực tế. Mặt ngoài của một tòa nhà cao tầng được xem là một phần của mặt phẳng thẳng đứng, đi qua hai điểm và . Vị trí giao hàng là điểm B nằm trên mặt phẳng Drone bắt đầu bay từ kho hàng tại gốc tọa độ . Ban đầu, nó bay theo một đường thẳng đến vị trí Từ vị trí , drone thay đổi đường bay, di chuyển theo phương vuông góc với mặt phẳng đến vị trí giao hàng . Tính khoảng cách từ đến (làm tròn đến hàng đơn vị).
Điền đáp án: 126
với .
là mặt phẳng thẳng đứng qua và nên nhận vec tơ và làm cặp vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của là

Đường thẳng vuông góc với nên nhận vectơ pháp tuyến của là vectơ chỉ phương .
Phương trình đường thẳng :
là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng nên ta có

Câu 16 [1004729]: Trong một đợt diễn tập quốc phòng, hai người ở hai vị trí khác nhau cùng ngắm bắn một mụctiêu cố định trên không. Người ta gắn một hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét), mặtphẳng trùng mặt đất. Người thứ nhất bắn một viên đạn đi qua hai điểm và . Người thứ hai bắn một iên đạn đi qua hai điểm và (điểm ở độ cao so với mặtđất). Biết rằng sau một thời gian rời khỏi nòng súng, hai viên đạn va chạm nhau tại một vị trí cách một khoảng bằng (tham khảo hình vẽ).

Hỏi cách một khoảng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Đáp số:
Gọi (là điểm hai viên đạn va chạm nhau) khi đó
Ta có là vectơ chỉ phương của đường thẳng
phương trình tham số đường thẳng là .
Do . Từ (1) ta có .
Với

vì cao độ điểm dương nên cao độ của điểm dương
Vậy vectơ chi phương của đường thẳng là
phương trình tham số đường thẳng là .
Mà điểm cách mặt đất nên điểm có cao độ bằng

Khi đó độ dài
Câu 17 [202973]: Một tháp phát sóng cao đặt ở góc của sân hình chữ nhật Để giữ cho tháp không bị đổ, người ta có cột rất nhiều dây cáp quanh tháp và cố định tại các vị trí trên mặt đất. Hai chú kiến vàng và kiến đen bắt đầu leo lên hai dây cáp và (từ và ) với vận tốc lần lượt là m/phút và m/phút (xem hình vẽ). Hỏi sau 10 phút thì hai chú kiến cách nhau bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Điền đáp án: 6,12
Ta đặt hệ trục tọa độ tại điểm




Trong 10 phút:
- Quãng đường chú kiến vàng leo lên dây
- Quãng đường chú kiến đen leo lên dây
Tỉ lệ vị trí của chú kiến vàng trên dây :
Tọa độ của chú kiến vàng sau 10 phút là

Tỉ lệ vị trí của chú kiến đen trên dây :
Tọa độ của chú kiến đen sau 10 phút là

Khoảng cách giữa hai chú kiến là