Quay lại
Đáp án
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU
Câu 1 [596885]: (Mã 101-2023) Trong không gian , cho mặt cầu và đường thẳng đi qua điểm , nhận (với ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng cắt tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Tính .
Điền đáp án: 5.


Ta có: Mặt cầu : và điểm
nằm ngoài mặt cầu.
Mặt khác: và
Yêu cầu đề bài:

Câu 2 [596884]: (Mã 102 - 2019) Trong không gian , cho mặt cầu Có tất cả bao nhiêu điểm ( là các số nguyên) thuộc mặt phẳng sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của đi qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
A, 8.
B, 16.
C, 12.
D, 4.
Điền đáp án: 12.
Mặt cầu có tâm và bán kính ;
* Xét trường hợp , ta có
Lúc này các tiếp tuyến của thuộc tiếp diện của tại nên có vô số các tiếp tuyến vuông góc nhau.
Trường hợp này ta có 4 cặp giá trị của là
* Xét trường hợp ở ngoài
Khi đó, các tiếp tuyến của đi qua thuộc mặt nón đỉnh
Nên các tiếp tuyến này chỉ có thể vuông góc với nhau tại
Điều kiện để có ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc là góc ở đỉnh của mặt nón lớn hơn hoặc bằng
Giả sử là các tiếp tuyến của thỏa mãn ( là các tiếp điểm)

Dễ thấy là hình vuông có cạnh và
Điều kiện phải tìm là
Vì là các số nguyên nên ta có các cặp nghiệm là
Vậy có điểm thỏa mãn yêu cầu. Đáp án: C
Câu 3 [596893]: (Đề minh họa 2022) Trong không gian , cho mặt cầu và đường thẳng Có bao nhiêu điểm thuộc trục hoành, với hoành độ là số nguyên, mà từ kẻ được đến hai tiếp tuyến cùng vuông góc với ?
Điền đáp án: 28.
Mặt cầu có tâm và bán kính
Vì nên với
Để từ kẻ được hai tiếp đến thì


Gọi lần lượt là hai tiếp kẻ từ đến và cùng vuông góc với
Khi đó vuông góc với mặt phẳng chứa
Suy ra VTPT của là
Phương trình qua là

Từ yêu cầu bài toán suy ra cắt theo giao tuyến là đường tròn hay



Từ và suy ra
Vậy có giá trị nguyên của thỏa mãn.
Tức là có điểm thỏa mãn.
Câu 4 [596888]: Trong không gian , cho mặt cầu Có tất cả bao nhiêu điểm (, là các số nguyên) thuộc mặt phẳng có phương trình sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của đi qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
Điền đáp án: 45.
Mặt cầu có tâm và bán kính
thuộc mặt phẳng có phương trình nên
Hay
Tập tất cả các tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua là một đường tròn
Gọi là một đường kính của
Khi đó là góc có số đo lớn nhất trong tất cả các góc còn lại.
Như vậy điều kiện có ít nhất hai tiếp tuyến của đi qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau là góc
Trong trường hợp thì là hình vuông nên ta có
Như vậy, suy ra: YCBT
Hay
Do , là các số nguyên nên xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Có điểm.
Trường hợp 2: Có điểm.
Trường hợp 3: Có điểm.
Trường hợp 4: Có điểm.
Vậy có tổng điểm thỏa mãn bài toán. Đáp án: D
Câu 5 [596889]: (THPT Cửa Lò – Nghệ An 2022) Trong không gian cho mặt phẳng và mặt cầu Có bao nhiêu điểm thuộc mặt phẳng với tung độ nguyên, mà từ điểm kẻ được tiếp tuyến với đồng thời vuông góc với mặt phẳng
Điền đáp án: 34.
Mặt cầu có

Gọi ,




Vì , ta có

Suy ra 17 giá trị b, với mỗi b có được 2 giá trị a.
Suy ra có 34 điểm M.
Câu 6 [596895]: Trong không gian , cho mặt cầu và đường thẳng Có bao nhiêu điểm thuộc trục tung, với tung độ là số nguyên, mà từ kẻ được đến hai tiếp tuyến cùng vuông góc với ?
Điền đáp án: 7.
Mặt cầu có , bán kính
Vì nên
Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng
phương trình mặt phẳng là
Khi đó chứa hai tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ và cùng vuông góc với
Để tồn tại các tiếp tuyến thỏa mãn bài toán điều kiện là




Vì là số nguyên nên
Vậy có giá trị nguyên của thỏa mãn bài toán.
Câu 7 [58208]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt cầu Hai mặt phẳng và chứa và tiếp xúc với Gọi và là tiếp điểm Độ dài đoạn bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án B.

Mặt cầu có tâm .
Xét mặt phắng thiết diện đi qua tâm , hai tiếp điểm và cắt tại .
Khi đó chính là khoảng cách từ điểm đến .
Điểm .

.
Gọi là trung điểm của .
Ta có: .
Đáp án: B
Câu 8 [596886]: (Mã 101-2023) Trong không gian , xét mặt cầu có tâm và bán kính thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của trong mặt phẳng mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua và góc giữa chúng không nhỏ hơn ?
Điền đáp án: 5.


TH1: tiếp xúc với tại => Loại.
TH2: cắt theo giao tuyến là đường tròn
+)
+)
+)

+)
+) Góc giữa hai đường thẳng


Câu 9 [596894]: (Mã 101-2022) Trong không gian , cho mặt cầu tâm bán kính bằng Gọi , là hai điểm lần lượt thuộc hai trục , sao cho đường thẳng tiếp xúc với , đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có bán kính bằng Gọi là tiếp điểm của và , giá trị bằng . Tính .
Điền đáp án: 2160.
Ta có và
Suy ra
Vậy mặt cầu tiếp xúc tại
Gọi tọa độ và
Ta có ;
Do thẳng hàng nên
Do và là trung điểm thì là tâm đường tròn ngoại tiếp
Suy ra là tâm mặt cầu ngoại tiếp
bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng (đường tròn lớn)


Từ (1) và (2) suy ra
Đặt , ta có hệ phương trình



Vậy

Câu 10 [596890]: Trong không gian , cho mặt cầu và điểm Ba điểm , , phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho , , là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng đi qua điểm Tổng bằng
Điền đáp án: 26.

* Ta có:

* Mặt cầu có phương trình
tâm , bán kính
* , , là tiếp tuyến của mặt cầu
đi qua có véc tơ pháp tuyến có phương trình dạng:

* là tiếp tuyến của mặt cầu tại vuông tại

Gọi là hình chiếu của lên , ta có:



* Với nhận do: ;



* Với
loại do: ;


Đáp án: B
Câu 11 [82051]: Trong không gian cho mặt cầu và đường thẳng . Điểm (với ) trên đường thẳng sao cho từ kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu ( là các tiếp điểm) thỏa mãn các góc , . Giá trị bằng
Điền đáp án: 2.

Mặt cầu có tâm và bán kính
Đặt đều cạnh
vuông cân tại
Tam giác có

Khi đó tam giác có
vuông tại
Tam giác nội tiếp đường tròn nhỏ tâm đường kính
đồng phẳng và tại
Ta có

Gọi



Câu 12 [596896]: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai mặt cầu và cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn và mặt phẳng Gọi là tập hợp các giá trị của để trên mặt phẳng dựng được một tiếp tuyến đến đường tròn Tổng các phần tử của tập hợp là
A, 0.
B, 1.
C, 2.
D, 3.
Điền đáp án: 0.


Mặt cầu có tâm , bán kính
Mặt cầu có tâm , bán kính
Vì nên mặt cầu và cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn , tâm , bán kính
Phương trình của mặt phẳng chứa đường tròn là
có phương trình
Vì là giao điểm của và mặt phẳng nên tọa độ của là nghiệm của hệ phương trình

Bán kính đường tròn
Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng và
Trên mặt phẳng dựng được đúng một tiếp tuyến đến khi tiếp xúc với đường tròn


Vậy tổng các phần tử của là Đáp án: A