Quay lại
Đáp án
Câu 1 [383279]: Trong không gian cho điểm và mặt cầu Biết là ba điểm phân biệt trên sao cho các tiếp diện của tại mỗi điểm đó đều đi qua Hỏi mặt phẳng đi qua điểm nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Điền đáp án A.

Mặt cầu có tâm là và bán kính
Các tiếp diện của qua ba điểm đều đi qua
Giả sử là trung điểm của vuông tại ta có:
: tâm bán kính
Tương tự, ta chứng minh được:
+
có tâm và
Phương trình mặt cầu

Lại có: và cắt nhau tại 3 điểm nên ta có:

Lần lượt thay từng đáp án A,B,C,D vào phương trình mặt phẳng, ta được:
+
Đáp án: A
Câu 2 [80367]: [Đề thi THPT QG năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và mặt phẳng Xét đường thẳng 𝑑 thay đổi thuộc (𝑃) và đi qua gọi 𝐻 là hình chiếu vuông góc của 𝐴 trên 𝑑 . Biết rằng khi 𝑑 thay đổi thì 𝐻 thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính 𝑅 của đường tròn đó.
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn đáp án B.

Ta có: .
Do cùng thuộc đường thẳng và
luôn nhìn dưới một góc vuông.
Điểm luôn thuộc mặt cầu đường kính có tâm là và luôn thuộc mặt phẳng .
thuộc giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng .
Bán kính mặt cầu là ;
Bán kính đường tròn cố định là Đáp án: B
Câu 3 [58195]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu và một điểm Từ kẻ được vô số các tiếp tuyến tới , biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn . Tính bán kính của đường tròn .
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.
Mặt cầu có tâm và bán kính
Gọi là một tiếp điểm và là tâm của đường tròn
Ta có: và
Lại có: . Đáp án: A
Câu 4 [901880]: [Đề THPT QG 2018] Trong không gian cho mặt cầu và điểm Xét các điểm thuộc sao cho đường thẳng tiếp xúc với Điểm luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án C.
Mặt cầu có tâm là bán kính
Ta có: .
Vì là tiếp tuyến của mặt cầu nên ta có:
Gọi là mặt cầu tâm A , bán kính
Ta có phương trình mặt cầu
Vì nên điểm M luôn thuộc mặt cầu
Vậy Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:hay Đáp án: C
Câu 5 [80366]: Trong không gian tọa độ cho và mặt phẳng Mặt cầu đi qua hai điểm và tiếp xúc với mặt phẳng tại điểm Biết luôn thuộc đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn
Điền đáp án: 2.
Phương trình đường thẳng là: .
Gọi là giao điểm của và .

là giao điểm của và mặt phẳng khi đó là tiếp tuyển của mặt cầu .
Theo tính chất phương tích ta có:
Do đó tập hợp điểm là đường tròn tâm bán kính .
Câu 6 [59216]: Điền số thích hợp vào chỗ trống.
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và mặt phẳng có phương trình . Điểm di động trên mặt phẳng sao cho tạo với các góc bằng nhau. Biết rằng thuộc đường tròn cố định. Hoành độ của tâm đường tròn bằng __________.
Điền đáp án: 2.
Gọi
Gọi lần lượt là hình chiếu của lên , có .



Vậy là giao tuyến của và Tâm .
Câu 7 [59109]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và hai điểm và . Mặt cầu đi qua hai điểm và tiếp xúc với tại điểm . Biết rằng luôn thuộc đường tròn cố định. Tính bán kính đường tròn đó.
Điền đáp án 6.
Phương trình đường thẳng là:
là giao điểm của và mặt phẳng khi đó là tiếp tuyến của mặt cầu
Theo tính chất phương tích ta có:
Do đó tập hợp điểm là đường tròn tâm bán kính .
Câu 8 [804433]: Trong không gian cho điểm và mặt phẳng Biết rằng tập hợp các điểm di động trên sao cho là một đường tròn Tính bán kính của đường tròn
Điền đáp án:
Giả sử toạ độ điểm
Ta có
Ta có




Đặt



Vậy tập hợp các điểm sẽ thuộc mặt phẳng và mặt cầu tâm có phương trình

Suy ra đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng mặt phẳng và mặt cầu
Vậy bán kính của ra đường tròn là
Câu 9 [58224]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm thuộc mặt cầu và ba điểm . Biết rằng quỹ tích các điểm thỏa mãn là đường tròn cố định, tính bán kính đường tròn này.
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.
Gọi là trọng tâm của và .
Ta có:


Suy ra .
Do đó thuộc mặt cầu có tâm , bán kính 3 .
Vậy thuộc đường tròn giao tuyến của 2 mặt cầu có bán kính . Đáp án: A
Câu 10 [58219]: Trong không gian , cho mặt cầu và hai điểm . Biết rằng tập hợp các điểm thuộc sao cho là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án C.
Gọi Ta có: .
Ta có:


Ta lại có:

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:

Vậy tập hợp các điểm là đường tròn giao tuyến của và mặt phẳng .
Đường tròn có bán kính (*)
Mặt cầu có tâm , bán kính .
Do đó, . Đáp án: C
Câu 11 [58226]: Trong không gian với hệ tọa độ cho các điểm và điểm là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Tập hợp điểm thỏa mãn là một mặt cầu Phương trình của là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.
Đường thẳng đi qua A và có VTCP là


.
Gọi là trọng tâm của thì ta có: (1).
Ta có:

Tập hợp điểm là mặt cầu tâm bán kính với .
Vậy mặt cầu Đáp án: A
Câu 12 [55865]: Trong không gian với hệ tọa độ cho Mặt cầu thay đổi đi qua và cắt các trục lần lượt là Gọi là trực tâm tam giác Tọa độ của luôn thỏa mãn phương trình nào trong các phương trình sau ?
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án C.
Phương trình mặt phẳng trung trực của ;
Do đó tọa độ điểm thuộc .
PT mặt cầu

(vì )
Tương tự


(chứng minh được )
Do đó toạ độ điểm là nên luôn thuộc mặt phẳng . Đáp án: C
Câu 13 [59180]: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu và điểm Qua điểm kẻ các tia đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại điểm thứ hai tương ứng là Biết mặt phẳng luôn đi qua một điểm cố định Tính giá trị
Điền đáp án: 11.

Mặt cầu

Dễ dàng nhận thấy
Dựng hình hộp chữ nhật thì tâm của mặt cầu ( ) cũng là tâm của hình hộp chữ nhật này.
Gọi thì và cố định.
theo thứ tự là trung điểm của
là trọng tâm

Câu 14 [695533]: Trong không gian cho điểm và hai mặt cầu Gọi đường thẳng là tiếp tuyến chung của hai mặt cầu là hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng Biết khi thay đổi thì điểm luôn chạy trên một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: 1.

Ta xét: và

tiếp xúc với vì tâm nằm trong mặt cầu
nằm trong .
Gọi là tiếp điểm của hai mặt cầu.
Các tiếp tuyến của 2 mặt cầu thuộc mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến là .
Ta có: thẳng hàng .
Phương trình mặt phẳng : .
Ta có: nên thuộc mặt cầu đường kính
là giao tuyến của và .
Gọi là trung điểm .
Ta có: ; .
Bán kính là .
Câu 15 [59148]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và điểm . Ba mặt phẳng thay đổi đi qua và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba giao tuyến là các đường tròn . Tính tổng diện tích của ba hình tròn
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án C.

Đổi hệ trục tọa độ , ta có: .
Trong hệ trục tọa độ mới
Trong mặt phẳng thì

Trong mặt phẳng thì
Trong mặt phẳng thì
Tổng diện tích của ba hình tròn là:

Đáp án: C
Câu 16 [59171]: Trong không gian , cho hai điểm , và mặt phẳng . Gọi là một đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của , trên . Biết rằng khi thì trung điểm của luôn thuộc một đường thẳng cố định, phương trình của đường thẳng là
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn đáp án A.
Gọi là trung điểm của đoạn và là mặt phảng trung trực của đoạn .
Ta có:.
.
Ta có: Trung điểm của đoạn là .
Phương trình của mặt phảng là .
Vectơ pháp tuyến của lần lượt là .
và vectơ chỉ phương của là .
Vậy phương trình của đường thảng là . Đáp án: A
Câu 17 [702943]: Trong không gian cho tam giác có Trên các tia cùng phía và vuông góc với lần lượt lấy điểm sao cho Gọi là trung điểm của và gọi là hình chiếu của xuống mặt phẳng Biết rằng khi di động thì luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính đường tròn đó. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 0,94.

Ta có:

cân tại
Mà là trung điểm của

Có

Kẻ
Kẻ
Từ
Xét và có :
,


Mà

Xét vuông tại có:


Xét vuông tại có:


thuộc mặt cầu tâm , bán kính (1)
Vì vuông tại
thuộc mặt cầu tâm , bán kính (2)
Từ (1) và (2) thuộc mặt phẳng là giao tuyến của 2 mặt cầu

Ta có:
Bán kính của đường tròn giao tuyến là
thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng