Quay lại
Đáp án
Câu 1 [234246]: [Đề thi TH THPT 2022]: Trong không gian cho điểm Gọi là mặt phẳng chứa trục sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất. Phương trình của là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án D.
Gọi là hình chiếu của trên trục thì
Khi đó
Dấu bằng xảy ra khi hay Đáp án: D
Câu 2 [80461]: [Đề thi Chuyên ĐH Vinh năm 2019] Trong không gian , cho đường thẳng và 2 điểm , . Gọi là đường thẳng đi qua , vuông góc với và thỏa mãn khoảng cách từ đến là nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của có tọa độ là
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn đáp án A.
Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với
Áp dụng công thức nhanh ta có:
Đáp án: A
Câu 3 [81693]: [Đề thi THPT QG năm 2019] Trong không gian cho điểm Xét đường thẳng thay đổi song song với trục và cách trục một khoảng bằng Khi khoảng cách từ đến nhỏ nhất, đi qua điểm nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án D.

Do
Gọi là hình chiếu vuông góc của điếm trên trục thì .
Tập hợp các đường thẳng và cách trục Oz một khoảng bằng 2 là mặt trụ như hình vẽ bên.
Để khoảng cách từ đến nhỏ nhất thì nằm trong mặt phẳng chứa và sao cho nằm giữa và .
Gọi
Ta có: .
Do đó
.
Vậy điểm . Đáp án: D
Câu 4 [57951]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và đường thẳng . Mặt phẳng qua , song song với đồng thời khoảng cách từ gốc tọa đến lớn nhất. Biết là 1 vectơ pháp tuyến của . Tính
Điền đáp án: 3.
Gọi phương trình mặt phẳng có dạng
Ta có:



Xét


Đồng thời
Lập bảng biến thiên, ta được:


Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
Do đó
Vậy

Câu 5 [809361]: Trong không gian toạ độ , cho bốn điểm , với là các số thực khác . Biết rằng bốn điểm đồng phẳng khi khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng là lớn nhất, tính
Điền đáp án 3.
Ta có và .
Gọi là hình chiếu của lên suy ra nên
Vậy lớn nhất bằng .
Khi đó mặt phẳng
Ta có
Câu 6 [58293]: Gọi là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng và cách điểm một khoảng lớn nhất. Hỏi đi qua điểm nào sau đây?
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án D.
Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với
Ta có: do đó .
Ta có
Do đó phương trình qua . Đáp án: D
Câu 7 [80466]: Trong không gian tọa độ cho đường thẳng và mặt cầu có phương trình Gọi là đường thẳng đi qua vuông góc với đường thẳng và cắt tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thẳng có một véc tơ chỉ phương là Tính
Điền đáp án: 5.
Mặt cầu có tâm bán kính .
Ta có:

nằm trong mặt cầu .
Giả sử cắt ( ) tại 2 điểm thì
Đường thẳng luôn nằm trong mặt phẳng qua và vuông góc với
Để thì
.
Câu 8 [57775]: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và mặt phẳng Gọi là mặt phẳng đi qua và và tạo với góc nhỏ nhất bằng Tính
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án D.
tạo góc nhỏ nhất vuông góc với giao tuyến của và .
Khi đó .
Lại có
. Đáp án: D
Câu 9 [58290]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng Gọi là đường thẳng đi qua nằm trong mặt phẳng và cách một khoảng lớn nhất. Gọi là một vectơ chỉ phương của đường thẳng Tính
Điền đáp án: -3.
Gọi , vì nằm trong mặt phẳng .
Đường thẳng đi qua , có vectơ chỉ phương .
Đường thẳng đi qua , có vectơ chỉ phương .
Khoảng cách giữa và là

Mà
Lại có

Do đó .
Dấu bằng xảy ra khi

Vậy
Câu 10 [57785]: Gọi là mặt phẳng chứa trục và tạo với đường thẳng một góc lớn nhất. Hỏi mặt phẳng đi qua điểm nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án D.
Do là mặt phẳng chứa trục nên .
Gọi .
Ta có
Với ta có .
Với ta có
Xét hàm số

Ta có (loại).
Do đó max khi khi
Chọn qua . Đáp án: D
Câu 11 [80571]: Trong không gian cho hai điểm và Gọi là phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm sao cho tạo với mặt phẳng một góc nhỏ nhất. Mặt phẳng đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án C.
Ta có: và .

Phương trình mặt phẳng cần tìm đi qua và có VTPT
. Đáp án: C
Câu 12 [80577]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt phẳng và hai điểm , . Gọi là một mặt phẳng đi qua đồng thời tạo với một góc nhỏ nhất. Biết rằng phương trình tổng quát của mặt phẳng là: , với là những số thực. Tính
Điền đáp án: -26.

Gọi ; với là mặt phẳng trong hình vẽ.
Dựng .
Lại có:
khi tức là .
.
Mặt khác:


Câu 13 [57780]: Trong không gian cho hai đường thẳng và Gọi là đường thẳng đi qua điểm cắt đường thẳng và tạo với đường thẳng một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.
Gọi
Ta có


Góc giữa lớn nhất nhỏ nhất
Khi đó Đáp án: A
Câu 14 [57782]: Đường thẳng đi qua điểm nằm trong mặt phẳng và tạo với đường thẳng một góc nhỏ nhất thì phương trình của là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án B.
Đường thẳng có véc tơ chỉ phương .
Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến
Đường thẳng nằm trên mặt phẳng và hợp với đường thẳng một góc nhỏ nhất là hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng .
Đường thẳng có véc tơ chỉ phương: .
Vậy đường thẳng là đường thẳng đi qua điểm và song song với . Đáp án: B
Câu 15 [100323]: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và đường Đường thẳng đi qua A nằm trong mặt phẳng sao cho góc giữa và nhỏ nhất có một vectơ chỉ phương là Tính giá trị của biểu thức
Điền đáp án: -3,5.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là .
Ta có: .
.
Câu 16 [100329]: Cho mặt phẳng điểm thuộc mặt phẳng và đường thẳng . Đường thẳng qua nằm trong sao cho góc giữa hai đường thẳng và nhỏ nhất cắt mặt phẳng tại điểm Tính
Điền đáp án: 10.
Ta có:
Ta có:

Vậy cắt mặt phẳng tại điểm
Câu 17 [58260]: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và điểm Viết phương trình đường thẳng song song với cách một khoảng bằng 3 và cách điểm một khoảng nhỏ nhất.
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên
Ta có: Khi đó
cách khoảng bé nhất
thuộc đoạn sao cho .
Khi đó là trung điểm của
Do đó . Đáp án: A
Câu 18 [81314]: Trong không gian tọa độ , cho mặt cầu , mặt phẳng và đường thẳng . Điểm thay đổi trên đường tròn giao tuyến của và . Giá trị lớn nhất của là
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn đáp án B.
Ta có:
, giao điểm của và là
Khi đó .
Mặt cầu có tâm và bán kính , bán kính đường tròn giao tuyến là .
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên
Giải
Mặt khác Đáp án: B
Câu 19 [58257]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và mặt cầu Giả sử điểm và sao cho cùng phương với vectơ và khoảng cách giữa và lớn nhất. Tính
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án C.
Ta có: và
Gọi

Gọi là hình chiếu của trên khi đó
Do đó lớn nhất . Đáp án: C
Câu 20 [905970]: Trong không gian cho mặt cầu và mặt phẳng và điểm Từ một điểm thay đổi trên mặt phẳng kẻ các tiếp tuyến phân biệt đến là các tiếp điểm). Khi khoảng cách từ đến mặt phẳng lớn nhất thì phương trình mặt phẳng là Tính
Điền đáp án: -4.
Trong không gian mặt cầu

Mặt phẳng và điểm
Giả sử: thay đổi trên mặt phẳng

Các tiếp tuyến phân biệt đến
luôn nhìn dưới một góc vuông.
Luôn tồn tại mặt cầu ngoại tiếp tâm là trung điểm
Gọi là trung điểm

Phương trình mặt cầu:

Dễ dàng thấy được mặt cầu


Ta có, mặt phẳng luôn đi qua điểm cố định
Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng

Vậy khoảng cách từ đến mặt phẳng lớn nhất khi và chỉ khi