Quay lại
Đáp án
Câu 1 [57963]: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và đường thẳng Gọi là mặt phẳng thay đổi luôn chứa đường thẳng là mặt cầu có tâm và tiếp xúc sao cho mặt cầu có bán kính lớn nhất. Tính của mặt cầu
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.
Bán kính lớn nhất bằng khoảng cách từ đến .
VTCP của là: .
Điểm
Đáp án: A
Câu 2 [80465]: [Đề thi tham khảo năm 2019] Trong không gian cho điểm mặt phẳng và mặt cầu Gọi là đường thẳng đi qua nằm trong và cắt tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án C.

Xét mặt cầu có tâm , bán kính .
Ta có
nằm trong mặt cầu .
Giả sử cắt ( ) tại 2 điểm ta có:
Do đó là lớn nhất
Để lớn nhất khi và chỉ khi
Mà
và đi qua .
Đáp án: C
Câu 3 [82654]: [Đề thi THPT QG năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và mặt cầu Mặt phẳng đi qua và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Giá trị biểu thức là bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp:
Sử dụng công thức nhanh xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thông qua tích có hướng và tích hỗn hợp, từ đó lập phương trình mặt phẳng và suy ra các hệ số cần tìm.
✒️ Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức nhanh ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Với , và .
Suy ra .
Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến .
Do đó phương trình mặt phẳng là .
So sánh với dạng ta có , , .
Suy ra .
🔑 Điền đáp án:
Câu 4 [59092]: Trong không gian cho mặt cầu Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm và cắt theo giao tuyến là đường tròn sao cho khối nón có đỉnh là tâm của đáy là có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng có phương trình dạng tính
Điền đáp án: -4.
Mặt cầu có tâm và bán kính
Điểm
Điểm
Mặt phẳng có dạng
Gọi là khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng và là bán kính của đường tròn
Khi đó khối nón có đỉnh và đáy là đường tròn có thể tích là:

Đặt ,().
và
(vì ).
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạt giá trị lớn nhất khi hay thể tích khối nón đạt giá trị lớn nhất khi
Mà nên

Vậy
Câu 5 [58273]: Trong không gian cho điểm và mặt phẳng . Biết điểm thuộc , điểm thuộc sao cho chu vi tam giác nhỏ nhất. Hỏi giá trị nhỏ nhất đó là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.

đối xứng với qua (P): ta có: và .
đối xứng với qua ta có .
Khi đó: (Theo tính chất đường gấp khúc).
. Đáp án: A
Câu 6 [57953]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và điểm . Mặt phẳng đi qua và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Biết phương trình mặt phẳng có dạng . Tính .
Điền đáp án: 0.


Mặt cầu có tâm , bán kính .
Ta có : nằm trong mặt cầu ( ).

Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng ,ta có : .

Gọi là bán kính đường tròn giao tuyến của và mặt cầu ,ta có: .
nhỏ nhất lớn nhất .

Do đó là mặt phẳng đi qua và có một véc tơ pháp tuyến

Câu 7 [53369]: Trong không gian với hệ tọa độ , gọi là mặt phẳng đi qua và cắt các tia lần lượt tại sao cho thể tích của khối tứ diện là nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án D.
Gọi và vói .
Phương trình mặt phẳng là .
Ta có đôi một vuông góc với nhau nên
.
Vì .
Theo bất đẳng thức Cosi ta có .
Khi đó .
Dấu xảy ra khi . . Đáp án: D
Câu 8 [53397]: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm Mặt phẳng thay đổi đi qua lần lượt cắt các tia tại Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện là bao nhiêu?
Điền đáp án: 9.
Giả sử
đi qua


Theo bất đẳng thức Co-si ta có:



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy
Câu 9 [59138]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và mặt cầu có phương trình . Từ một điểm kẻ đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm . Khi nhỏ nhất, tổng bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: -1.
Xét mặt cầu
Tâm và bán kính .
Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng là
không cắt ( ).
Tam giác vuông tại , có nên nhỏ nhất khi nhỏ nhất hay là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng .
Phương trình đường thẳng là .
Điểm .
Mặt khác
Câu 10 [59226]: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm Mặt phẳng thay đổi nhưng luôn qua và cắt các tia lần lượt tại và (với không trùng ). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Điền đáp án: 128.
Mặt phẳng cắt các tia nên phương trình .
Với điểm
.
Mặt khác

Ta có:
với .
Vậy .
Câu 11 [808979]: Trong không gian cho hai điểm và đường thẳng . Gọi là điểm di động thuộc mặt phẳng sao cho và là điểm di động thuộc . Tìm giá trị nhỏ nhất của
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.
Ta có: là điểm di động thuộc mặt phẳng nên suy ra
Mà nên suy ra
Ta lại có:


Suy ra tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng là một đường tròn có tâm và bán kính với đường tròn là giao tuyến giữa mặt cầu đường kính và mặt phẳng
Gọi
Mà ta có là điểm di động thuộc nên với

Giá trị nhỏ nhất của bằng 2
Dấu bằng xảy ra khi Đáp án: A
Câu 12 [57938]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và các điểm . Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm sao cho thiết diện của mặt phẳng và mặt cầu có diện tích nhỏ nhất. Khi đó phương trình (P) có dạng . Tính giá trị của
Điền đáp án: -3.

Xét có tâm , bán kính .

Gọi là hình chiếu của trên .
Ta có
với là hình chiếu của trên

là vectơ pháp tuyến của , mà

là trung điểm của .

:

Câu 13 [81996]: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm . Giả sử là hai điểm di động trên mặt phẳng sao cho và thẳng hàng. Gọi lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác . Khi đó tổng có giá trị bằng bao nhiêu?
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn đáp án A.

Ta có: .
Kẻ
và điểm cố định
Ta có:
Đáp án: A
Câu 14 [58264]: Trong không gian tọa độ , cho các điểm và hai điểm thay đổi trên mặt phẳng sao cho . Giá trị nhỏ nhất của bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: 28.
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên mặt phả̉ng .
Gọi là giao điểm của và
Ta có: Vì là trung điểm của nên là trung điểm của và
Ta có:

.
Câu 15 [971972]: Trong không gian tọa độ cho hai điểm và Xét hai điểm và thay đổi thuộc mặt phẳng sao cho Giá trị lớn nhất của bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn D
25.png
Dễ thấy , nằm hai phía của mặt phẳng .
Gọi đối xứng với qua mặt phẳng suy ra , .
Gọi và lần lượt là hình chiếu của và lên mặt phẳng , ta có , . Do đó .
Dựng suy ra . Vậy .
Ta đi tìm giá trị lớn nhất của .
Do nằm trên mặt phẳng , nên .
Suy ra nằm trên mặt phẳng chứa , song song với .
Mà nên quỹ tích là đường tròn .
Kẻ .
Có .
Dấu "=" xảy ra khi nằm giữa .
Vậy GTLN của là .
Đáp án: D
Câu 16 [58265]: Trong không gian , cho mặt cầu và hai điểm . Gọi là điểm thuộc mặt cầu . Giá trị nhỏ nhất của bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.

Ta có: có tâm và bán kính .
Đồng thời .
Gọi là trung điểm của và .
Gọi là trung điểm .
Ta có:
. Đáp án: A
Câu 17 [59218]: Trong không gian cho mặt cầu có tâm bán kính bằng 4 và mặt cầu có tâm bán kính bằng 2. là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu , . Đặt lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm đến . Giá trị bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: 9.
Do nên 2 mặt cầu cắt nhau.
Giả sử cắt tại ta có
là trung điểm của
.
Khi đó
Mặt khác
Do đó chọn
Đặt


Mặt khác:
.
Câu 18 [43310]: Trong không gian tọa độ cho mặt phẳng các điểm ( và nằm trên mặt phẳng ) và mặt cầu là một đường kính thay đổi của sao cho và bốn điểm tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.

+) Sử dụng kết quả: Tứ diện biết và . Thể tích tứ diện là
+) Mặt cầu ( ) có tâm và bán kính .
Ta có:
và .
Áp dụng công thức (*)


Vậy thể tích lớn nhất của tứ diện bằng , khi . Đáp án: A
Câu 19 [907311]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và các điểm , . Gọi và lần lượt là hai mặt phẳng chứa tất cả các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ đến và từ đến . Tìm tọa độ điểm nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng và sao cho diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất.
A, .
B, .
C, . .
D, .


- lần lượt là hai mặt phẳng chứa tất cả các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ đến
-Giả sử điểm là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ
luôn nhìn dưới một góc vuông
luôn nằm trên mặt cầu có đường kính là : có tâm là




Hiệu 2 phương trình mặt cầu ta được phương trình mặt phẳng giao giữa hai mặt cầu:

Tương tự, ta tìm được phương trình mặt phẳng
Lại có: nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng nên ta tìm được phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng là:

Gọi là hình chiếu của trên

Để đạt giá trị nhỏ nhất thì Suy ra, phải là đường vuông góc chung của và :


Có: là đường vuông góc chung của và


Đáp án: C. Đáp án: C
Câu 20 [903623]: Trong không gian , cho hình nón có đỉnh và đường tròn đáy có tâm , bán kính không đổi. Hình trụ có một đường tròn đáy tâm , đường tròn đáy còn lại có tâm và đường tròn này nằm trên mặt xung quanh của hình nón . Khi có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn tâm có phương trình . Tính
Điền đáp án: 30.

Xét mặt phẳng qua trục của hình nón, cắt hình nón và hình trụ theo tam giác và hình chữ nhật (như hình). Đặt () .
Khi đó hình trụ có chiều cao , bán kính .
Trong mp : và đồng dạng nên .
Thể tích khối trụ là:


Dấu bằng xảy ra khi .
Khi có thể tích lớn nhất thì
Khi đó mặt phẳng chứa đường tròn đáy tâm và nhận haylàm VTPT nên có phương trình .
Mà theo giả thiết mp đó có phương trình , do đó .
Vậy .
Câu 21 [1091525]: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − y + 2z −1= 0, các điểm A(0;1;1), B(1;0;0) (A và B nằm trên mặt phẳng (P)) và mặt cầu (S) :( x − 2)2 +( y +1)2 +( z − 2)2 = 4. CD là một đường kính thay đổi của (S) sao cho CD song song với (P) và bốn điểm A, B,C, D tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.

+) Sử dụng kết quả: Tứ diện biết và . Thể tích tứ diện là
+) Mặt cầu ( ) có tâm và bán kính .
Ta có:
và .
Áp dụng công thức (*)


Vậy thể tích lớn nhất của tứ diện bằng , khi . Đáp án: A
Câu 22 [870217]: Trong không gian tọa độ cho 4 điểm và đường thẳng Điểm trong không gian thỏa mãn và khoảng cách lớn nhất từ đến đường thẳng là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.
Ta có:


thuộc mặt cầu có tâm



thuộc mặt cầu có tâm
Từ (1) và (2)
Phương trình đường thẳng đi qua điểm và có VTCP là
Giao điểm của và là điểm
thuộc đường tròn tâm , bán kính
Ta có:


Lấy Đáp án: A
Câu 23 [906093]: Trong không gian , cho điểm và đường thẳng Gọi là mặt cầu tâm và cắt tại 2 điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác bằng Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm và cắt theo giao tuyến là đường tròn Xét các khối nón có đỉnh là tâm của và đáy là Biết rằng khi thể tích của khối nón lớn nhất thì mặt phẳng có phương trình dạng Tính
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án B.
Lấy



Mặt cầu có tâm , bán kính

Ta có:

Đặt


là cực đại của hàm số


Đáp án: B
Câu 24 [57844]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm và mặt phẳng . Gọi trên mặt phẳng sao cho nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án D.
Ta có:


Chọn điểm sao cho .
Khi đó . nhỏ nhất khi nhỏ nhất, là hình chiếu của trên mặt phẳng
Điểm M thỏa mãn hệ
Đáp án: D