Câu 1 [694450]: Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline (là đường thẳng) từ vị trí cao m của tháp một này sang vị trí cao m của tháp hai trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị: mét), toạ độ của và lần lượt là và . Bạn Tuấn đang đứng ở mặt đất vị trí có toạ độ hỏi khi du khách ở độ cao bao nhiêu mét trên cáp treo sẽ cách bạn Tuấn một khoảng nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 2 [693130]: Một quả bóng hình cầu có bán kính đang được treo trong một góc của tường nhà (hai bờ tường vuông góc), một điểm cố định nằm trên mép của hai bờ tường và cách mặt đất sợi dây treo bóng có độ dài và đây cũng là độ dài ngắn nhất nối điểm với mặt xung quanh của quả bóng. Biết rằng quả bóng tiếp xúc với hai bên bờ tường và điểm thấp nhất của quả bóng cách mặt đất Hỏi đường kính của quả bóng là bao nhiêu centimet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 3 [1015556]: Trong không gian toạ độ các khu vực được xác định như sau:
- Khu vực nằm trên mặt đất và cách trung tâm thành phố km.
- Khu vực nằm trên tòa nhà cao tầng và ở độ cao m.
- Khu vực nằm trên một đỉnh đồi ở độ cao m.
Gọi vị trí đặt trạm phát sóng là sao cho khoảng cách từ đến ba khu vực trên là bằng nhau và có khoảng cách đến chúng là nhỏ nhất. Tính

Câu 4 [1045112]: Trong không gian với đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Một hạt chuyển động với vận tốc không đổi từ điểm sau đó bay thẳng và va chạm với mặt phẳng tại điểm , 6 giây sau hạt đập thẳng và va chạm với điểm thuộc mặt phẳng và cuối cùng từ hạt bay thẳng đến vị trí điểm . Hỏi quãng đường hạt chuyển động từ điểm đến điểm ngắn nhất là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Câu 5 [1045113]: Trong không gian Oxyz (đơn vị: mét), các vector lần lượt là các vector đơn vị trên các trục Một con chim ưng đang bay lượn trên bầu trời. Một trạm quan trắc cố định được đặt tại điểm đang quan sát con chim đó. Tại thời điểm (giây) kể từ lúc bắt đầu quan sát, con chim đang ở vị trí . Vận tốc của chim thay đổi theo thời gian t (giây) bởi công thức (m/s), với C là hằng số dương. Sau 5 giây, chim đã bay được quãng đường 30 mét. Biết rằng hướng bay của chim luôn song song với vector Tại vị trí mà trạm quan trắc gần con chim nhất thì nó đã bay được bao nhiêu giây kể từ thời điểm quan sát (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 6 [1045114]: Xét một chiếc bàn phẳng, có hai viên bi hình cầu được đặt trên mặt bàn. Gắn hệ trục tọa độ sao cho mặt phẳng trùng với mặt bàn, trục hướng thẳng đứng lên trên so với mặt bàn và mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với . Ban đầu 2 viên bi này đứng yên trên mặt bàn, tâm của chúng lần lượt trùng với các điểm và . Tại một thời điểm, người ta đồng thời tác động cho 2 viên bi lăn về phía nhau trên mặt bàn theo cùng một đường thẳng với tốc độ không đổi là và (viên bi nhỏ hơn có tốc độ lớn hơn). Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi tác động thì hai viên bi va chạm với nhau? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 7 [1012531]: Trong không gian với hệ toạ độ (đơn vị mỗi trục là km), một UAV (thiết bị bay không người lái) thực hiện nhiệm vụ trinh sát, bay theo một đường thẳng có phương trình: Ngoài ra, có một vệ tinh viễn thám đang chuyển động theo một đường tròn. Biết rằng quỹ đạo vệ tinh nằm trên đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu và mặt phẳng Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa UAV và vệ tinh trong suốt quá trình hoạt động (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của km).

Câu 8 [1045115]: Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai mặt cầu và mặt cầu và đường thẳng Các điểm di chuyển và lần lượt thuộc mặt cầu mặt cầu , đường thẳng (tham khảo hình vẽ). Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 9 [1045116]: Trong không gian với hệ trục tọa độ , hai trạm phát sóng di động được đặt lần lượt tại hai vị trí và (đơn vị: km). Vùng phủ sóng của trạm là một hình cầu có tâm , bán kính ; còn vùng phủ sóng của trạm là một hình cầu có phương trình . Hai vùng phủ sóng này giao nhau tạo thành một đường tròn nằm trên mặt phẳng . Hai thiết bị giám sát và hoạt động trong khu vực giao nhau này và luôn duy trì khoảng cách giữa chúng là 1 km. Có hai thiết bị thu phát sóng di động được đặt lần lượt tại hai vị trí và . Tính tổng khoảng cách nhỏ nhất từ trạm phát sóng đến thiết bị và từ trạm phát sóng đến thiết bị (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 10 [1045117]: Ở trung tâm nghiên cứu có một thiết bị được đặt trên một quả đồi thuộc vùng rừng núi để đo các thông số về thời tiết khí tượng của vùng đó (nhiệt độ, áp suất khí quyển, độ ẩm, mây, gió, mua...). Cấu tạo bên ngoải của thiết bi gồm hai mặt cầu cắt nhau là có tâm , bản kính bằng 4 m và mặt cầu có tâm , bán kính bằng . Để đo các thông số cần thiết, người ta lắp đặt một tấm thiết bị điện từ hình chữ nhật (R) luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu và có thể đi chuyển quanh các chỏm cầu để truyền tín hiệu tới hộp điều hành (đường truyền không dây). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian với độ dài đơn vị trên mỗi trục toạ độ là và là vị trí hộp điều hành thiết bị thì và . Khi khoảng cách từ O đến tẩm thiết bi điện từ ngắn nhất là lúc đường truyền tín hiệu tốt nhất. Khoảng cách ngắn nhất này bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm, tham khảo mô tả thiết bị như hình trên).

Câu 11 [1045118]: Trong không gian với hệ trục tọa độ , giả sử mặt đất trùng với mặt phẳng . Một bóng đèn trang trí dạng khối cầu có tâm và bán kính được treo cố định lên trần nhà (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là ). Một con kiến bò tùy ý trên bóng đèn và một con kiến khác bò tùy ý trên mặt đất, giả sử vectơ tạo bởi tọa độ vị trí của 2 con kiến luôn cùng phương với đường thẳng (coi mỗi con kiến là một điểm). Biết lúc 2 con kiến gần nhau nhất có khoảng cách bằng . Bán kính của khối cầu có độ dài bao nhiêu

Câu 12 [1045119]: Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí trên một hòn đảo nhỏ trong không gian (đơn vị trên mỗi trục được tính bằng ), được sử dụng làm trạm cứu hộ, cứu nạn trên biển. Tàu du lịch đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường được mô tả bời đường thẳng Tàu chở hàng C đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường vận tải được mô tả bởi đường thẳng . Do thời tiết xấu, nên hai tàu và gặp sự cố và cần được tiếp cận khẩn cấp. Trạm cứu hộ điều một tàu cứu hộ xuất phát từ để lần lượt tiếp cận tàu du lịch trước, sau đó đến tàu chở hàng . Xét vị trí tối ưu của tàu du lịch dừng lại và tàu chở hàng dừng lại sao cho tổng quãng đường tàu cứu hộ cần đi là nhỏ nhất. Khi đó hãv tính ?

Câu 13 [1045120]: Tại một công ty xăng dầu, người kĩ sư xây dựng cần thiết kế một bồn chứa xăng hình cầu (như hình vẽ). Trên bản thiết kế, trong hệ trục tọa độ , bồn chứa hình cầu có tâm , bán kính . Mặt đất chính là mặt phẳng . Từ điểm người kĩ sư thiết kế một cầu thang thứ nhất đi thẳng lên đến mặt cầu tại điểm thuộc mặt cầu, sao cho cầu thang là đường thẳng tiếp xúc mặt cầu tại điểm (hoành độ điểm thỏa ). Biết rằng đường thẳng tạo với mặt đất một góc nhọn có . Sau đó người kĩ sư thiết kế một cầu thang thứ hai có dạng cung tròn đi dọc theo mặt cầu, đi từ điểm lên tới đỉnh cao nhất của mặt cầu so với mặt đất. Gọi là tổng độ dài của cả hai cầu thang được thiết kế. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của (không tính kích thước của nguyên vật liệu được sử dụng để làm hai đoạn cầu thang nói trên) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).