Câu 1 [1041757]: Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian Oxyz. Một đội gồm ba drone giao hàng 
đang có tọa độ là 
Gọi 
lần lượt là khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng trên. Tính 
(kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
đang có tọa độ là Gọi lần lượt là khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng trên. Tính (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một đội gồm ba drone giao hàng
đang có tọa độ là 
- Gọi
lần lượt là khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng trên.
b) Yêu cầu:
- Tính
(kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng công thức độ dài của vecto.
Phần 3. Giải chi tiết
Điền đáp án: 31,5.
a) Đề cho:
- Một đội gồm ba drone giao hàng
đang có tọa độ là - Gọi
lần lượt là khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng trên. b) Yêu cầu:
- Tính
(kết quả làm tròn đến hàng phần mười).Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng công thức độ dài của vecto.
Phần 3. Giải chi tiết
Điền đáp án: 31,5.
Câu 2 [877447]: Trong không gian với hệ trục 
(đơn vị trên mỗi trục là 1 m), một flycam bay với vận tốc có độ lớn và hướng không đổi. Tại thời điểm 
, flycam ở vị trí 
và sau 10 phút nó ở vị trí 
.
(đơn vị trên mỗi trục là 1 m), một flycam bay với vận tốc có độ lớn và hướng không đổi. Tại thời điểm , flycam ở vị trí và sau 10 phút nó ở vị trí . 
a) Sai.
, 
.Ta có
.Suy ra
, 
cùng phương.
3 điểm 
, 
, 
thẳng hàng.Do đó flycam bay qua vị trí
.b) Sai.
Flycam ở vị trí
và sau 10 phút nó ở vị trí 
.c) Đúng.
Độ lớn của vận tốc flycam là
(m/phút).d) Đúng.
Tại thời điểm
, flycam ở vị trí 
và sau 15 phút flycam ở vị trí 
.
.
.Vậy
.
Câu 3 [716845]: Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm 
đến điểm 
trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là 
Tính 
đến điểm trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là Tính
Điền đáp án: 1595.
Vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo là
Vì hướng của máy bay không đổi nên 
và 
cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ 
đến 
gấp đôi thời gian bay từ 
đến 
nên 
Do đó
Mặt khác,
nên 
Từ đó
Vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo là
Vì hướng của máy bay không đổi nên và cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ đến gấp đôi thời gian bay từ đến nên Do đó
Mặt khác,
nên Từ đó
Câu 4 [1041758]: Trong một mô hình vườn rau muống thông minh, các học sinh lắp đặt hệ thống vòi phun tự động. Mỗi vòi phun được gắn trên trụ cao 
tại vị trí 
, phun nước theo hướng vectơ 
Mặt đất là mặt phẳng 
tán cây được mô hình bằng mặt phẳng 
tại vị trí , phun nước theo hướng vectơ Mặt đất là mặt phẳng tán cây được mô hình bằng mặt phẳng
a) Đúng.
Do vòi phun được gắn trên trụ cao
tại vị trí 
phun nước theo hướng vectơ 
b) Đúng.
Ta có:
c) Đúng.
Ta có:
( loại vì 
)
Tia nước không thể chạm mặt phẳng tán cây 
d) Sai.
Vecto chỉ phương của tia nước là
Vecto pháp tuyến của mặt đất là
Góc giữa tia nước và mặt đất là 
Do vòi phun được gắn trên trụ cao
tại vị trí phun nước theo hướng vectơ b) Đúng.
Ta có:
c) Đúng.
Ta có:
( loại vì ) Tia nước không thể chạm mặt phẳng tán cây d) Sai.
Vecto chỉ phương của tia nước là
Vecto pháp tuyến của mặt đất là
Góc giữa tia nước và mặt đất là
Câu 5 [693087]: Một vật dụng bằng sắt đang nằm trên mặt sàn có tay cầm dài 
nối với một ống trụ dày 
và có đường kính đáy bằng 
Nếu không giữ thì sẽ luôn có một lực làm vật rung động, để vật đứng yên thì người ta đã nối một đoạn dây từ điểm 
(là một điểm nằm trên đường tròn chính giữa của ống trụ to) đến điểm 
nằm trên bờ tường. Trên hệ trục 
xét gốc tọa độ là điểm gắn ống trụ với bờ tường, bờ tường là mặt phẳng 
trục 
là trục của hình trụ, điểm 
nằm chính giữa ống trụ to, điểm 
có hoành độ âm, cao độ dương và 
tạo với trục 
một góc 
độ, các số liệu được cho như hình vẽ, đơn vị trên các hệ trục tính theo cm. Biết rằng lực căng 
trên đoạn dây 
có độ lớn bằng 
nối với một ống trụ dày và có đường kính đáy bằng Nếu không giữ thì sẽ luôn có một lực làm vật rung động, để vật đứng yên thì người ta đã nối một đoạn dây từ điểm (là một điểm nằm trên đường tròn chính giữa của ống trụ to) đến điểm nằm trên bờ tường. Trên hệ trục xét gốc tọa độ là điểm gắn ống trụ với bờ tường, bờ tường là mặt phẳng trục là trục của hình trụ, điểm nằm chính giữa ống trụ to, điểm có hoành độ âm, cao độ dương và tạo với trục một góc độ, các số liệu được cho như hình vẽ, đơn vị trên các hệ trục tính theo cm. Biết rằng lực căng trên đoạn dây có độ lớn bằng
a) Đúng.
Ta có
Suy ra hình chiếu của
lên mặt phẳng 
có toạ độ là 
b) Sai.
Theo giả thiết, ta có
Mà
suy ra 
c) Sai.
+) Vì
Suy ra tung độ của điểm 
bằng 60.
+) Gọi
là hình chiếu của 
lên mặt phẳng 
Xét tam giác vuông
ta có: 
Suy ra hoành độ của điểm
bằng 
+) Ta có
Suy ra cao độ của điểm 
bằng 
Suy ra
Suy ra
d) Sai.
Kiến thức cần dùng: Nếu 2 vectơ
cùng hướng thì suy ra 
Vì
là vectơ lực tác dụng lên đoạn dây 
nên 
cùng hướng với 
Áp dụng cho 2 vectơ
ta có 
Ta có
Suy ra hình chiếu của
lên mặt phẳng có toạ độ là b) Sai.
Theo giả thiết, ta có
Mà
suy ra c) Sai.
+) Vì
Suy ra tung độ của điểm bằng 60. +) Gọi
là hình chiếu của lên mặt phẳng Xét tam giác vuông
ta có: Suy ra hoành độ của điểm
bằng +) Ta có
Suy ra cao độ của điểm bằng Suy ra
Suy ra
d) Sai.
Kiến thức cần dùng: Nếu 2 vectơ
cùng hướng thì suy ra Vì
là vectơ lực tác dụng lên đoạn dây nên cùng hướng với Áp dụng cho 2 vectơ
ta có
Câu 6 [856842]: Một chiếc máy bay không người lái bay lên tại một điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay cách điểm xuất phát về phía Bắc 55 km và về phía Tây 20 km, đồng thời cách mặt đất 1,5km. Khi đó, khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát bằng bao nhiêu kilômét? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Cách giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của máy bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét.
Khi đó tọa độ của máy bay là điểm
.
Khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát bằng:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của máy bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét.
Khi đó tọa độ của máy bay là điểm
.Khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát bằng:
Câu 7 [360644]: Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình vẽ).
Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm
trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí 
cần tìm toạ độ. Như vậy, điểm 
là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.
Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:
Trong không gian với hệ toạ độ
cho bốn vệ tinh 
Toạ độ của điểm 
trong không gian biết khoảng cách từ vệ tinh đến điểm 
lần lượt là 
Tính 
bằng bao nhiêu?
Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm
trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí cần tìm toạ độ. Như vậy, điểm là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho. Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:
Trong không gian với hệ toạ độ
cho bốn vệ tinh Toạ độ của điểm trong không gian biết khoảng cách từ vệ tinh đến điểm lần lượt là Tính bằng bao nhiêu?
Theo bài ra ta có: 
và 
Ta có:
Đáp án: 2.
và Ta có:
Đáp án: 2.
Câu 8 [1041759]: RLK-MTs Valdai, hệ thống radar chuyên dụng của Nga dùng để phát hiện, ngăn chặn và vô hiệu hóa các máy bay không người lái nhỏ. Nó được thiết kế để phát hiện máy bay không người lái của đối phương ở khoảng cách lên đến 15 km và hạ gục chúng bằng các biện pháp đối phó điện tử (sử dụng module triệt tiêu tín hiệu điều khiển và điều hướng) ở cự ly từ 2 km trở xuống. Trong không gian 
(đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một cơ sở quân sự có một nhà kho chứa vũ khí bí mật đặt tại điểm 
và sử dụng một hệ thống RLK-MTs Valdai đặt tại điểm 
đề bảo vệ. Một máy bay không người lái (drone) của quân địch đang ở tại điểm 
, được điều khiển tiến thẳng đến vị trí điểm 
và sẽ phát nổ tại 
nếu không bị ngăn cản.
(đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một cơ sở quân sự có một nhà kho chứa vũ khí bí mật đặt tại điểm và sử dụng một hệ thống RLK-MTs Valdai đặt tại điểm đề bảo vệ. Một máy bay không người lái (drone) của quân địch đang ở tại điểm , được điều khiển tiến thẳng đến vị trí điểm và sẽ phát nổ tại nếu không bị ngăn cản.
a) Sai.
Khi drone ở tại điểm 
thì drone nằm trong vùng kiểm soát của hệ thống radar.
b) Sai.
Phương trình di chuyển của drone là phương trình đường thẳng
là
Do C nằm dưới mặt đất nên C nằm trên đoạn đường di chuyển của drone được.
c) Sai.
Phương trình đường thẳng
là
Phương trình đường tròn tâm
, bán kính 
là
Xét giao điểm của đường tròn tâm
với đường thẳng 
:
Khoảng cách của giao điểm đến kho chứa bí mật là
d) Đúng.
Ta có:
Hình chiếu vuông góc kẻ từ 
xuống 
sẽ nằm ngoài đoạn thẳng 
Khoảng cách ngắn nhất từ drone đến rada là 
Khi drone ở tại điểm thì drone nằm trong vùng kiểm soát của hệ thống radar.b) Sai.
Phương trình di chuyển của drone là phương trình đường thẳng
là Do C nằm dưới mặt đất nên C nằm trên đoạn đường di chuyển của drone được.
c) Sai.
Phương trình đường thẳng
là Phương trình đường tròn tâm
, bán kính làXét giao điểm của đường tròn tâm
với đường thẳng : Khoảng cách của giao điểm đến kho chứa bí mật là
d) Đúng.
Ta có:
Hình chiếu vuông góc kẻ từ xuống sẽ nằm ngoài đoạn thẳng Khoảng cách ngắn nhất từ drone đến rada là
Câu 9 [717151]: Với hệ trục tọa độ 
sao cho 
nằm trên mặt nước, mặt phẳng 
là mặt nước, trục 
hướng lên trên (đơn vị đo: mét), một con chim bói cá đang ở vị trí cách mặt nước 
cách mặt phẳng 
lần lượt là 
và 
phóng thẳng xuống vị trí con cá, biết con cá cách mặt nước 
cách mặt phẳng 
lần lượt là 
và 
Tọa độ điểm 
lúc chim bói cá vừa tiếp xúc với mặt nước là 
Tính 
sao cho nằm trên mặt nước, mặt phẳng là mặt nước, trục hướng lên trên (đơn vị đo: mét), một con chim bói cá đang ở vị trí cách mặt nước cách mặt phẳng lần lượt là và phóng thẳng xuống vị trí con cá, biết con cá cách mặt nước cách mặt phẳng lần lượt là và Tọa độ điểm lúc chim bói cá vừa tiếp xúc với mặt nước là Tính
Điền đáp án: 21.
Từ giả thiết và hình vẽ ta suy ra:
+) Vị trí của con chim bói cá là điểm
+) Vị trí của con cá là điểm
Điểm
là vị trí lúc chim bói cá vừa tiếp xúc với mặt nước. Vì điểm 
nên 
Ta có
Để
thẳng hàng thì 
Vậy
Từ giả thiết và hình vẽ ta suy ra:
+) Vị trí của con chim bói cá là điểm
+) Vị trí của con cá là điểm
Điểm
là vị trí lúc chim bói cá vừa tiếp xúc với mặt nước. Vì điểm nên
Ta có
Để
thẳng hàng thì
Vậy
Câu 10 [774977]: Cơn bão Yagi gây thiệt hại nghiêm trọng về người và tài sản cho nước ta, trong đó nặng nề nhất là tại thôn Làng Nủ, xã Phúc Khánh, huyện Bảo Yên, tỉnh Lào Cai, lũ quét và sạt lở đất đã vùi lấp 40 ngôi nhà. Cả nước đã chung tay ủng hộ và xây dựng lại nhà sàn cho người dân Làng Nủ theo thiết kế như hình vẽ dưới đây.
Giả sử áp dụng hệ trục tọa độ
như hình vẽ (đơn vị trên các trục là mét). Xét một bên của mái nhà gồm có một hình chữ nhật 
và một hình thang 
với các điểm 
và điểm 
là trung điểm 
Biết góc giữa hai vectơ 
và 
bằng 
Tìm 
(viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Giả sử áp dụng hệ trục tọa độ
như hình vẽ (đơn vị trên các trục là mét). Xét một bên của mái nhà gồm có một hình chữ nhật và một hình thang với các điểm và điểm là trung điểm Biết góc giữa hai vectơ và bằng Tìm (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Điền đáp án: 45.
Ta có
là hình chữ nhật và 
là trung điểm của 
nên 
và 
đối xứng nhau qua mặt phẳng 
Ta có
suy ra 
Tương tự, trong hình thang
, có A đối xứng với G qua mặt 
Ta có
suy ra 
Ta có
nên tọa độ điểm 
Suy ra
Áp dụng công thức tính góc giữa 2 vectơ, ta có
Vậy góc giữa hai vectơ
và 
bằng 
Ta có
là hình chữ nhật và là trung điểm của nên và đối xứng nhau qua mặt phẳng Ta có
suy ra Tương tự, trong hình thang
, có A đối xứng với G qua mặt Ta có
suy ra Ta có
nên tọa độ điểm Suy ra
Áp dụng công thức tính góc giữa 2 vectơ, ta có
Vậy góc giữa hai vectơ
và bằng
Câu 11 [1041760]: Trong không gian với hệ trục tọa độ 
(đơn vị trên mỗi trục là mét), một thiết bị phát sóng wifi được đặt tại vị trí 
Vùng phủ sóng của thiết bị là một hình cầu có bán kính 
Một người sử dụng điện thoại đứng ở vị trí 
Sau đó, người đó di chuyển đến vị trí 
Tìm giá trị nguyên của 
sao cho cả hai vị trí 
và 
đều có thể bắt được tín hiệu wifi từ thiết bị.
(đơn vị trên mỗi trục là mét), một thiết bị phát sóng wifi được đặt tại vị trí Vùng phủ sóng của thiết bị là một hình cầu có bán kính Một người sử dụng điện thoại đứng ở vị trí Sau đó, người đó di chuyển đến vị trí Tìm giá trị nguyên của sao cho cả hai vị trí và đều có thể bắt được tín hiệu wifi từ thiết bị.
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một thiết bị phát sóng wifi được đặt tại vị trí
- Vùng phủ sóng của thiết bị là một hình cầu có bán kính
- Một người sử dụng điện thoại đứng ở vị trí
- Sau đó, người đó di chuyển đến vị trí
b) Yêu cầu:
-Tìm giá trị nguyên của
sao cho cả hai vị trí 
và 
đều có thể bắt được tín hiệu wifi từ thiết bị.
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Để cả hai vị trí
và 
đều có thể bắt được tín hiệu wifi từ thiết bị thì 
Phần 3. Giải chi tiết
Phương trình đường tròn tâm
bán kính 10 m là
Để cả hai vị trí
và 
đều có thể bắt được tín hiệu wifi từ thiết bị thì
Điền đáp án: 1.
a) Đề cho:
- Một thiết bị phát sóng wifi được đặt tại vị trí
- Vùng phủ sóng của thiết bị là một hình cầu có bán kính
- Một người sử dụng điện thoại đứng ở vị trí
- Sau đó, người đó di chuyển đến vị trí
b) Yêu cầu:
-Tìm giá trị nguyên của
sao cho cả hai vị trí và đều có thể bắt được tín hiệu wifi từ thiết bị.Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Để cả hai vị trí
và đều có thể bắt được tín hiệu wifi từ thiết bị thì Phần 3. Giải chi tiết
Phương trình đường tròn tâm
bán kính 10 m là Để cả hai vị trí
và đều có thể bắt được tín hiệu wifi từ thiết bị thì Điền đáp án: 1.
Câu 12 [850161]: Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng 
với 
là hình chữ nhật và 
là tam giác cân tại 
Gọi 
là trung điểm của 
Các kích thước của kho chứa lần lượt là 
m;
m; 
m; 
m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm 
thuộc đoạn 
sao cho 
m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây. Khi đó:
với là hình chữ nhật và là tam giác cân tại Gọi là trung điểm của Các kích thước của kho chứa lần lượt là m;m; m; m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm thuộc đoạn sao cho m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây. Khi đó: 
a) Kẻ
Vì
là hình chiếu của 
lên 
nên
Suy ra
b) Vì
nên 
Ta có
Suy ra
Vậy
c) Gọi
là trung điểm của 
Ta có:
Suy ra
lần lượt là hình chiếu của 
lên 
Suy ra
Mà
là trung điểm của 
nên 
Vậy độ dài đoạn cáp tối thiểu từ
đến 
sau đó nối thẳng đến camera là
(m)d)
(m) .
(m).Suy ra
Diện tích lợp tôn mái nhà là
Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là
đồng).
Câu 13 [856361]: Một chiếc máy quay phim có trọng lượng 300 N được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt 
và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là 
(Hình vẽ bên dưới). Giả sử 
khi đó 
bằng
và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là (Hình vẽ bên dưới). Giả sử khi đó bằng
Điền đáp án: 150.
Theo giả thiết, ta có các điểm
.
Suy ra
Suy ra
.
Do đó,
.
Vì vậy, tồn tại hằng số
sao cho:
.
Suy ra
.
Mặt khác, ta có:
,
Trong đó
là trọng lực tác dụng lên máy quay.
Suy ra
, tức là 
.
Suy ra
;
Vậy
.
Theo giả thiết, ta có các điểm
.Suy ra
Suy ra
.Do đó,
.Vì vậy, tồn tại hằng số
sao cho: .Suy ra
.Mặt khác, ta có:
,Trong đó
là trọng lực tác dụng lên máy quay.Suy ra
, tức là .Suy ra
;Vậy
.
Câu 14 [878361]: Trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đơn vị đo lấy theo kilômét, tại cùng một thời điểm theo dõi ban đầu: máy bay thứ nhất ở tọa độ 
, bay theo hướng vectơ 
với tốc độ không đổi 
và máy bay thứ hai ở tọa độ 
, bay theo hướng 
với tốc độ không đổi 
. Biết rằng khoảng cách an toàn tối thiểu giữa hai máy bay là 5 hải lý (khoảng 
). Nếu hai máy bay tiếp tục duy trì hướng và tốc độ bay như trên thì sau ít nhất bao nhiêu phút (kể từ thời điểm theo dõi ban đầu), hai máy bay vi phạm khoảng cách an toàn (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
, bay theo hướng vectơ với tốc độ không đổi và máy bay thứ hai ở tọa độ , bay theo hướng với tốc độ không đổi . Biết rằng khoảng cách an toàn tối thiểu giữa hai máy bay là 5 hải lý (khoảng ). Nếu hai máy bay tiếp tục duy trì hướng và tốc độ bay như trên thì sau ít nhất bao nhiêu phút (kể từ thời điểm theo dõi ban đầu), hai máy bay vi phạm khoảng cách an toàn (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Phương pháp:
Tìm tọa độ hai máy bay sau t giờ sau đó lập phương trình khoảng cách tối thiểu.
Cách giải:
Đặt
là điểm di chuyển của máy bay thứ nhất
Gọi
(giờ) là thời điểm mà hai máy bay bay sau t giờ vi phạm khoảng cách an toàn
Ta có khoảng cách so với điểm ban đầu là
Tương tự ta đặt điểm
là điểm di chuyển của máy bay thứ hai
Khi đó
suy ra
Vì khoảng cách tối thiểu để hai máy bay an toàn là 9,3 nên
(giờ)
Vậy sau ít nhất 8,42 phút thì vi phạm khoảng cách an toàn.
Tìm tọa độ hai máy bay sau t giờ sau đó lập phương trình khoảng cách tối thiểu.
Cách giải:
Đặt
là điểm di chuyển của máy bay thứ nhấtGọi
(giờ) là thời điểm mà hai máy bay bay sau t giờ vi phạm khoảng cách an toànTa có khoảng cách so với điểm ban đầu là
Tương tự ta đặt điểm
là điểm di chuyển của máy bay thứ haiKhi đó
suy ra
Vì khoảng cách tối thiểu để hai máy bay an toàn là 9,3 nên
(giờ)Vậy sau ít nhất 8,42 phút thì vi phạm khoảng cách an toàn.
Câu 15 [696475]: Chiếc nón lá có dạng hình nón 
được đặt trong không gian với hệ trục toạ độ 
biết đỉnh của chiếc nón là điểm 
và 
là các điểm nằm trên mặt xung quanh của chiếc nón, điểm 
nằm trên đường tròn đáy. Diện tích xung quanh của chiếc nón bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
được đặt trong không gian với hệ trục toạ độ biết đỉnh của chiếc nón là điểm và là các điểm nằm trên mặt xung quanh của chiếc nón, điểm nằm trên đường tròn đáy. Diện tích xung quanh của chiếc nón bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Điền đáp án : 
Ta có:
.
Dễ thấy
đôi một vuông góc tại 
.
Lấy điểm
thỏa 
và 
, suy ra 
nằm trên đường tròn đáy hình nón.
Vậy đáy hình nón là đường tròn ngoại tiếp tam giác
Các tam giác
là các tam giác bằng nhau và đều vuông cân tại đỉnh 
nên tam giác 
là tam giác đều cạnh bằng 
Từ đó ta tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
bằng
Diện tích xung quanh của hình nón
là
Ta có:
.Dễ thấy
đôi một vuông góc tại .Lấy điểm
thỏa và , suy ra nằm trên đường tròn đáy hình nón.Vậy đáy hình nón là đường tròn ngoại tiếp tam giác
Các tam giác
là các tam giác bằng nhau và đều vuông cân tại đỉnh nên tam giác là tam giác đều cạnh bằng Từ đó ta tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
bằng Diện tích xung quanh của hình nón
là
Câu 16 [693092]: Một ống phun nước có hình dạng như hình vẽ dưới. Để giữ cho ống nước được cân bằng không bị nghiêng kỹ sư sử dụng ba đoạn thép để nối các điểm 
với mặt đất, các đoạn thép 
có độ lớn lực căng lần lượt bằng 
và 
Trong hệ tọa độ 
coi gốc tọa độ là chân ống nước, trục 
hướng lên trời, mặt đất là mặt phẳng 
các thông số được cho như hình vẽ, đơn vị trên các hệ trục tọa độ tính bằng mét. Coi đường kính ống không đáng kể, độ lớn vectơ hợp lực của ba sợi thép tác động lên ông nước là bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
với mặt đất, các đoạn thép có độ lớn lực căng lần lượt bằng và Trong hệ tọa độ coi gốc tọa độ là chân ống nước, trục hướng lên trời, mặt đất là mặt phẳng các thông số được cho như hình vẽ, đơn vị trên các hệ trục tọa độ tính bằng mét. Coi đường kính ống không đáng kể, độ lớn vectơ hợp lực của ba sợi thép tác động lên ông nước là bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Điền đáp án: 2311.
Giả sử lực tác dụng lên 3 đoạn dây
lần lượt là 
Suy ra hợp lực
(Áp dụng công thức: Cho 2 vectơ
cùng hướng, ta có 
)
+) Vì
và 
cùng hướng nên ta suy ra 
Tương tự, ta sẽ thấy
cùng hướng 
cùng hướng 
+) Ta có
+) Ta có
+) Ta có
Suy ra độ lớn của vectơ hợp lực là
Giả sử lực tác dụng lên 3 đoạn dây
lần lượt là Suy ra hợp lực
(Áp dụng công thức: Cho 2 vectơ
cùng hướng, ta có )+) Vì
và cùng hướng nên ta suy ra Tương tự, ta sẽ thấy
cùng hướng cùng hướng +) Ta có
+) Ta có
+) Ta có
Suy ra độ lớn của vectơ hợp lực là