Quay lại
Đáp án
Câu 1 [396456]: Trong không gian với hệ tọa độ mặt cầu đi qua 4 điểm và có tâm là Tính
Điền đáp án: -2.
Giải hệ phương trình

Câu 2 [597071]: Trong không gian , cho tứ diện đều có và hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là . Gọi là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . Tính .
Điền đáp án: 22.
Gọi

là tứ diện đều nên tâm của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện


.
Câu 3 [1015555]: Điền số thích hợp vào chỗ trống.
Trong không gian hệ tọa độ cho mặt phẳng và các điểm Mặt cầu đi qua các điểm và tiếp xúc với mặt phẳng có tâm là điểm Biết điểm có tung độ dương, tung độ của điểm bằng __________.
Đáp số: 2.
Gọi phương trình mặt cầu có dạng
Tâm
Mặt cầu đi qua các điểm nên ta có :







+
+(Loại )
Vậy tung độ của điểm là
Câu 4 [597072]: Trong không gian tọa độ , cho mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng và đi qua ba điểm , , . Tọa độ tâm của mặt cầu là
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn B.
Gọi tâm và phương trình mặt cầu .
Do .
Ta có:

.
Vậy . Đáp án: B
Câu 5 [159444]: Trong không gian tọa độ , cho mặt cầu Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm Biết các tiếp diện của mặt cầu tại hai điểm vuông góc với nhau. Tính
Điền đáp án: 98.
17-5 hình 7.png
Ta có: mặt cầu
Gọi các tiếp diện của mặt cầu tại hai điểm lần lượt là và
Ta có:
là hình vuông
Câu 6 [597081]: Trong không gian , cho các điểm . Gọi là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng đồng thời đi qua các điểm . Biết rằng hỏi bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp: Lập phương trình mặt cầu theo dạng tổng quát, dùng điều kiện đi qua các điểm đã cho và tiếp xúc với mặt phẳng để thiết lập hệ, sau đó giải và chọn nghiệm thỏa điều kiện.
✒️ Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt cầu tâm có dạng , điều kiện .
Mặt cầu đi qua và tiếp xúc với mặt phẳng nên .
Thiết lập hệ điều kiện:
.
.
.
.
Từ .
Thế vào các phương trình còn lại suy ra , .
Thế vào được .
.
Với .
Với .
Do điều kiện nên chọn .
🔑 Điền đáp án:
Câu 7 [597073]: Trong không gian tọa độ , mặt cầu đi qua điểm và cắt các tia lần lượt tại các điểm khác thỏa mãn tam giác có trọng tâm là điểm . Tọa độ tâm của mặt cầu là điểm . Tính .
Điền đáp án: 36.
Gọi tọa độ các điểm trên ba tia lần lượt là với .
Vì là trọng tâm tam giác .
Gọi phương trình mặt cầu cần tìm là .
Vì qua các điểm nên ta có hệ:
.
Câu 8 [597075]: Trong không gian , gọi là mặt cầu đi qua điểm và tiếp xúc với các trục tại các điểm , , trong đó . Bán kính của là . Tính
Điền đáp án: 20 hoặc 500.
Gọi là tâm của mặt cầu .
Vì tiếp xúc với các trục tại các điểm
Mặt cầu có phương trình: với .
Vì đi qua , , , nên ta có: .
TH1: Từ .
Thay vào : (nhận). .
TH2: Từ .
Thay vào: (vô nghiệm).
TH3: Từ , .
Thay vào: (vô nghiệm).
TH4: Từ , .
Thay vào: (vô nghiệm).
Vậy mặt cầu có bán kính và với bán kính
Câu 9 [59136]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm và . Gọi là điểm khác sao cho đôi một vuông góc với nhau và là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . Tính .
Điền đáp án: -1.
Phương trình trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là đường thẳng qua điểm và vuông góc với mặt phẳng là
Khi đó và đều thuộc đường thắng
Gọi ta có:


Gọi
Câu 10 [596891]: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu và đường thẳng Hai mặt phẳng chứa và tiếp xúc với tại và . Tọa độ trung điểm của . Tính .
Điền đáp án: 8.
Mặt cầu có tâm , bán kính
Đường thẳng có vectơ chỉ phương
Gọi là hình chiếu của trên , ta có

Vì nên


Phương trình tham số của đường thẳng là
Khi đó, trung điểm của nằm trên nên

Mặt khác, ta có:

Câu 11 [597082]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Mặt phẳng đi qua và cắt các trục lần lượt tại các điểm sao cho là trực tâm của tam giác . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .
Mặt phẳng cắt các trục lần lượt tại các điểm , , .
Do là trực tâm tam giác nên .
Khi đó phương trình mặt phẳng : .
Mà
.
Ta có: , , , .
là trực tâm tam giác
.
Thay vào ta được:, khi đó .
Vậy , , .
Giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có phương trình là
Vì 4 điểm thuộc mặt cầu nên ta có hệ phương trình:
.
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:, có tâm và bán kính .
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tự diện là.
Câu 12 [597076]: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu và hình nón có đỉnh và nhận làm trục đối xứng với là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón cắt mặt cầu tại sao cho . Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón .
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn đáp án: A.

Gọi hình chiếu vuông góc của trên là .
Dễ thấy , mặt cầu có tâm và bán kính .
Có

.
Nhận thấy mặt cầu đồng tâm với mặt cầu và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón chính là mặt cầu tâm có bán kính .
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
. Đáp án: A
Câu 13 [597077]: Trong không gian , cho hai điểm , . Viết phương trình mặt cầu có tâm là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác và tiếp xúc với mặt phẳng .
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn đáp án B.
Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Ta áp dụng tính chất sau : “Cho tam giác với là tâm đường tròn nội tiếp, ta có , với , , ”.
Ta có ,
.
.

.
Mặt phẳng có phương trình .
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên mặt cầu có bán kính .
Vậy phương trình mặt cầu là: . Đáp án: B
Câu 14 [597083]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , . Hai mặt cầu có phương trình và cắt nhau theo đường tròn . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa và tiếp xúc với ba đường thẳng .
A, .
B, .
C, Vô số.
D, .
Chọn đáp án C.
Giả sử mặt cầu có tâm và tiếp xúc với ba đường thẳng .
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên .
Ta có: tiếp xúc với ba đường thẳng


là tâm đường tròn nội tiếp hoặc tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác .
có phương trình là hay .

Tọa độ các điểm thuộc trên thỏa mãn hệ phương trình:

.
Do đó, phương trình chứa mặt phẳng chứa là .
Vì .
Ta có: đều.
Gọi là trọng tâm tam giác và là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Thay tọa độ của điểm vào phương trình mặt phẳng , ta có: .
Gọi là đường thẳng vuông góc với tại .
Vì .
Khi đó:
Mặt cầu tâm bán kính tiếp xúc với ba đường thẳng , , .
Vậy có vô số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa và tiếp xúc với ba đường thẳng . Đáp án: C
Câu 15 [597087]: Trong không gian , cho mặt cầu ( là tham số) và đường thẳng . Biết đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt sao cho . Giá trị của là


Gọi là trung điểm đoạn thẳng .
Mặt cầu có tâm , bán kính .
Đường thẳng đi qua và có 1 véc tơ chỉ phương .
Ta có:

.
Ta có:
.
Câu 16 [597090]: Trong không gian với hệ trục cho hai đường thẳng và . Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng và . (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp:
Xác định đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng để tìm bán kính nhỏ nhất của mặt cầu tiếp xúc.
Dùng điều kiện vuông góc của vectơ chỉ phương để lập hệ phương trình tìm tọa độ hai điểm tương ứng.
Tính bán kính mặt cầu rồi suy ra diện tích mặt cầu.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi lần lượt thuộc sao cho là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng.
Gọi là trung điểm thì mặt cầu tâm , bán kính tiếp xúc với hai đường thẳng là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
Tọa độ theo tham số của lần lượt là và .
Suy ra .
Hai vectơ chỉ phương của là và .
Do và nên và .


Suy ra và .
Khi đó nên .
Suy ra .
Diện tích mặt cầu là .
🔑 Điền đáp án: .
Câu 17 [597091]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng và . Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng và
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án C.
Đường thẳng có vectơ chỉ phương .
Đường thẳng có vectơ chỉ phương .
Để phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng và khi và chỉ khi:
Tâm mặt cầu nằm trên đoạn thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng và , đồng thời là trung điểm của đoạn thẳng vuông góc chung.
Gọi điểm thuộc ; gọi điểm thuộc với là đoạn vuông góc chung của và .
Ta có .
là đoạn thẳng vuông góc chung

.
Gọi điểm là tâm mặt cầu , do đó điểm là trung điểm .
.
Suy ra mặt cầu : . Đáp án: C
Câu 18 [597095]: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau . Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng là:
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn đáp án C.
Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với là mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của .
Lấy .
là đoạn vuông góc chung khi và chỉ khi
.
Khi đó .
Suy ra tâm , bán kính . Đáp án: C
Câu 19 [597094]: Trong không gian cho hình chóp đều có tọa độ đỉnh , thể tích và . Đường thẳng có phương trình là . Gọi là mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng tại và tiếp xúc với cạnh . Khi đó bán kính mặt cầu bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp:
Sử dụng các mối quan hệ hình học trong khối chóp đều và mặt cầu ngoại tiếp, kết hợp công thức thể tích để xác định cạnh đáy, từ đó thiết lập phương trình tính bán kính mặt cầu.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi lần lượt là tâm mặt cầu , tâm tam giác và trung điểm của .
Ta có .
.
Thể tích khối chóp nên
.
.
vì .
Khi đó và .
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên và .
Ta có hệ thức
và .
.
.
.
Giải ra được .
🔑 Điền đáp án: 3,27
Câu 20 [597086]: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các mặt phẳng , . Gọi là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời cắt mặt phẳng theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng và cắt mặt phẳng theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng . Biết rằng chỉ có đúng một mặt cầu thỏa mãn yêu cầu, giá trị bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp: Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và điều kiện tồn tại duy nhất mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi là tâm mặt cầu.
Ta có và .
Gọi là bán kính mặt cầu .
Theo đề bài: .
.
.
Để tồn tại đúng một mặt cầu thì phương trình có nghiệm kép.
.
.
🔑 Điền đáp án: .