Câu 1 [678158]: Cho hình chóp 
có đáy 
là tam giác vuông cân tại 
, 
, 
vuông góc với mặt phẳng đáy và 
. Gọi 
là trung điểm của 
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
bằng
có đáy là tam giác vuông cân tại , , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Gọi là trung điểm của . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn đáp án C.
Gọi
là trung điểm 
Ta có
Kẻ
tại 
Vì
Mà
Ta có:
Xét tam giác
vuông tại 
ta có:
Đáp án: C
Câu 2 [1041422]: Cho hình chóp 
có đáy là hình chữ nhật, 
, 
, 
vuông góc với mặt phẳng đáy và 
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
, 
bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
có đáy là hình chữ nhật, , , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Khoảng cách giữa hai đường thẳng , bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,44.
Gọi
là tâm hình chữ nhật và M là trung điểm 
ta có:
Do đó
Ta có:
đôi một vuông góc nên
Gọi
là tâm hình chữ nhật và M là trung điểm ta có:
Do đó
Ta có:
đôi một vuông góc nên
Câu 3 [677679]: Cho hình chóp 
có đáy là tam giác vuông tại 
, 
vuông góc với mặt phẳng đáy và 
(minh họa như hình vẽ). Gọi 
là trung điểm của 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
bằng
có đáy là tam giác vuông tại , vuông góc với mặt phẳng đáy và (minh họa như hình vẽ). Gọi là trung điểm của Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Gọi
là trung điểm cạnh 
, khi đó mặt phẳng 
.Ta có
.Gọi
là đường cao trong tam giác vuông 
, ta có 
Lại có
, suy ra 
.Kẻ
.Vậy
.Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 4 [333490]: Cho hình chóp 
có đáy 
là tam giác đều cạnh 
có 
với 
thuộc cạnh 
sao cho 
Góc giữa 
và mặt phẳng 
bằng 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
là
có đáy là tam giác đều cạnh có với thuộc cạnh sao cho Góc giữa và mặt phẳng bằng Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án B.
Kẻ
Kẻ
Vì
Đáp án: B
Kẻ
Kẻ
Vì
Đáp án: B
Câu 5 [1041423]: Cho hình chóp 
có tam giác 
vuông tại 
, 
, 
, 
, 
. Gọi 
là trung điểm của 
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
có tam giác vuông tại , , , , . Gọi là trung điểm của . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,65.
Gọi
là trung điểm của 
Ta có :
Kẻ
Ta có
Ta có
Xét tam giác
vuông tại 
có 
là đường cao
Vậy
Gọi
là trung điểm của
Ta có :
Kẻ
Ta có
Ta có
Xét tam giác
vuông tại có là đường cao
Vậy
Câu 6 [1041424]: Cho hình chóp 
có đáy 
là hình thoi cạnh 
, 
. Tam giác 
cân tại 
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
, biết góc giữa đường thẳng 
và mặt đáy bằng 
. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
có đáy là hình thoi cạnh , . Tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và , biết góc giữa đường thẳng và mặt đáy bằng . Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. 
Điền đáp án: 0,85.
Vì
Có
đều
Kẻ
Mà
Câu 7 [325146]: Cho hình chóp 
có đáy 
là hình vuông cạnh 
. Cạnh bên 
vuông góc với đáy 
. Góc giữa 
và mặt đáy bằng 
. Gọi 
là trung điểm 
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
.
có đáy là hình vuông cạnh . Cạnh bên vuông góc với đáy . Góc giữa và mặt đáy bằng . Gọi là trung điểm . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án D.
Gọi
góc giữa 
và mặt đáy là góc 
Ta có:
Kẻ
Kẻ
+)
Đáp án: D
Gọi
góc giữa và mặt đáy là góc
Ta có:
Kẻ
Kẻ
+)
Đáp án: D
Câu 8 [1041425]: Cho tứ diện 
có 
đôi một vuông góc với nhau và 
. Gọi 
là trung điểm của đoạn thẳng 
, khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
có đôi một vuông góc với nhau và . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng , khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,67.
Vì tứ diện
có 
đôi một vuông góc với nhau, nên ta chọn hệ trục tọa độ 
như hình vẽ (với 
là gốc tọa độ, đường thằng 
nằm trên trục 
nằm trên trục 
và 
nằm trên trục 
).
vì 
vì 
vì 
Vì
là trung điểm của 
nên 
Ta có
và 
Vì tứ diện
có đôi một vuông góc với nhau, nên ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ (với là gốc tọa độ, đường thằng nằm trên trục nằm trên trục và nằm trên trục ). vì vì vì Vì
là trung điểm của nên Ta có
và
Câu 9 [325145]: Cho hình chóp 
có đáy là hình chữ nhật, biết 
và 
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi 
là trung điểm cạnh 
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
bằng
có đáy là hình chữ nhật, biết và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là trung điểm cạnh . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Dựng
gọi 
là trọng tâm tam giác 
suy ra 
Mà đương cao
trong tam giác vuông 
có độ dài là: 
Áp dụng công thức nhanh:
Với
suy ra 
Đáp án: C
Câu 10 [790189]: Cho hình lăng trụ đứng 
có đáy 
là tam giác vuông tại 
. Gọi 
là trung điểm 
. Cho biết 
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
bằng
có đáy là tam giác vuông tại . Gọi là trung điểm . Cho biết . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án C.
Chuẩn hóa
tam giác 
vuông tại 
nên 
Tách chóp
, áp dụng công thức 1-ckh ta có:
trong đó 
, 
và 
nên 
(do tam giác 
vuông tại 
)
Suy ra
Đáp án: C
Chuẩn hóa
tam giác vuông tại nên Tách chóp
, áp dụng công thức 1-ckh ta có: trong đó , và nên (do tam giác vuông tại )Suy ra
Đáp án: C
Câu 11 [790190]: Cho hình lăng trụ đứng 
có đáy 
là tam giác vuông có 
. Gọi 
là trung điểm cạnh 
. Tính theo 
khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
có đáy là tam giác vuông có . Gọi là trung điểm cạnh . Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn đáp án B.
Ta có:
Tách chóp
áp dụng công thức 1-ckh ta có
trong đó 
và 
nên 
Suy ra
Đáp án: B
Ta có:
Tách chóp
áp dụng công thức 1-ckh ta có trong đó và nên Suy ra
Đáp án: B
Câu 12 [1041426]: Cho tứ diện 
có 
, góc giữa đường thẳng 
và mặt phẳng 
bằng 
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
có , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,62.
Thầy xin phép sửa đề bài:
thành 
Gọi
là chân đường cao của tứ diện 
Ta có:
Lại có:
Mà
là hình chữ nhật.
Mặt khác:
Chọn hệ trục
như hình vẽ.
Ta có:
Thầy xin phép sửa đề bài:
thành Gọi
là chân đường cao của tứ diện Ta có:
Lại có:
Mà
là hình chữ nhật.Mặt khác:
Chọn hệ trục
như hình vẽ.Ta có:
Câu 13 [1041427]: Cho hình chóp 
có đáy là tam giác vuông tại 
, 
vuông góc với mặt phẳng đáy và 
. Gọi 
là trọng tâm của 
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
có đáy là tam giác vuông tại , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Gọi là trọng tâm của . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,29.
Gọi
là trung điểm của 
Trong
dựng 
Vì
Kẻ
ta có 
Kẻ
Ta có
\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S'{A^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow AK = \frac{6}{7}.
\Rightarrow d\left( {G,\left( {S'BC} \right)} \right) = \frac{1}{3}AK = \frac{2}{7} \approx 0,29.
Gọi
là trung điểm của
Trong
dựng
Vì
Kẻ
ta có
Kẻ
Ta có
\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S'{A^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow AK = \frac{6}{7}. \Rightarrow d\left( {G,\left( {S'BC} \right)} \right) = \frac{1}{3}AK = \frac{2}{7} \approx 0,29.
Câu 14 [306887]: Cho hình lăng trụ đứng 
có độ dài cạnh bên bằng 
đáy là tam giác 
vuông cân tại 
; 
Gọi là 
trung điểm của cạnh 
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
có độ dài cạnh bên bằng đáy là tam giác vuông cân tại ; Gọi là trung điểm của cạnh Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn đáp án A.
Ta có
.
Gọi
là trung điểm của 
suy ra 
// 
, góc giữa 
và 
bằng góc giữa 
và 
. Ta có 
, 
, 
.
Suy ra
.
.
Vậy
. Đáp án: A
Ta có
.Gọi
là trung điểm của suy ra // , góc giữa và bằng góc giữa và . Ta có , , . Suy ra
..Vậy
. Đáp án: A
Câu 15 [790191]: Cho hình lăng trụ 
có đáy là tam giác đều cạnh 
(tham khảo hình vẽ). Gọi 
là trung điểm của 
tam giác 
đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa 
và 
bằng
có đáy là tam giác đều cạnh (tham khảo hình vẽ). Gọi là trung điểm của tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa và bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án C.
Gọi
là trung điểm của 
thì 
Mà
Tam giác
đều
Do
Áp dụng công thức 1-ckh tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng 
trong khối chóp 
Ta có:
trong đó 
Do
Đáp án: C
Gọi
là trung điểm của thì
Mà
Tam giác
đều
Do
Áp dụng công thức 1-ckh tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng trong khối chóp Ta có:
trong đó
Do
Đáp án: C
Câu 16 [1041428]: Cho hình chóp 
có đáy 
là hình vuông cạnh 1, 
và 
vuông góc với mặt đáy, gọi 
là trung điểm 
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
có đáy là hình vuông cạnh 1, và vuông góc với mặt đáy, gọi là trung điểm . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,58.
Chọn hệ trục tọa độ
sao cho: 
Ta có
Chọn hệ trục tọa độ
sao cho:
Ta có
Câu 17 [1041429]: Cho hình lăng trụ đều 
có tất cả các cạnh có độ dài bằng 2 (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
có tất cả các cạnh có độ dài bằng 2 (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Thầy xin phép chỉnh sửa: 
thành 
Điền đáp án: 0,89.
Gọi
là điểm đối xứng của 
qua 
là hình bình hành
Vì
là lăng trụ đều
Có
cân tại 
Gọi
là trung điểm 
Xét tam giác
có 
lần lượt là trung điểm của 
Trong mặt phẳng
dựng 
Từ (1) và (2)
Từ (3) và (4)
Trong tam giác
vuông tại 
ta có :
thành Điền đáp án: 0,89.
Gọi
là điểm đối xứng của qua là hình bình hànhVì
là lăng trụ đềuCó
cân tại Gọi
là trung điểm Xét tam giác
có lần lượt là trung điểm của Trong mặt phẳng
dựng Từ (1) và (2)
Từ (3) và (4)
Trong tam giác
vuông tại ta có :
Câu 18 [325142]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 
, 
Gọi M là trung điểm của cạnh CD, biết 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và 
là:
, Gọi M là trung điểm của cạnh CD, biết Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và là: A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án D
Gọi
là trung điểm của 
Mà
là trung điểm của 
Kẻ
+)
+)
Đáp án: D
Gọi
là trung điểm của
Mà
là trung điểm của
Kẻ
+)
+)
Đáp án: D
Câu 19 [325144]: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 
Hình chiếu vuông góc của 
trên mặt phẳng 
là điểm 
thuộc cạnh 
sao cho 
Góc giữa 
và mặt phẳng 
bằng 
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
theo 
Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là điểm thuộc cạnh sao cho Góc giữa và mặt phẳng bằng Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án A.
Ta có:
Dựng hình thoi
(với 
là đỉnh thứ 4 của hình thoi)
Vậy
Gọi
là trung điểm của 
(
đều).
Từ
dựng
Ta có:
Từ
dựng 
Vậy
Ta có:
Đáp án: A
Ta có:
Dựng hình thoi
(với là đỉnh thứ 4 của hình thoi)Vậy
Gọi
là trung điểm của ( đều).Từ
dựngTa có:
Từ
dựng Vậy
Ta có:
Đáp án: A
Câu 20 [1041430]: Cho hình chóp 
, có 
, đáy là tam giác đều cạnh 1. Biết thể tích khối chóp 
bằng 
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
, có , đáy là tam giác đều cạnh 1. Biết thể tích khối chóp bằng . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,86.
Do hình chóp
đều
là đường cao của hình chóp (
là trọng tâm tam giác đều
).
Kẻ
tại 
là đoạn vuông góc chung của 
và
Ta có
Do hình chóp
đều
là đường cao của hình chóp ( là trọng tâm tam giác đều).
Kẻ
tại
là đoạn vuông góc chung của và
Ta có
Câu 21 [1041431]: Cho hình chóp 
có đáy là tam giác đều cạnh bẳng 
, góc giữa 
và mặt phẳng 
là 
. Hình chiếu của 
lên mặt phẳng 
là điểm 
thuộc cạnh 
sao cho 
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
có đáy là tam giác đều cạnh bẳng , góc giữa và mặt phẳng là . Hình chiếu của lên mặt phẳng là điểm thuộc cạnh sao cho . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 2,9.
Ta có:
Dựng hình thoi
(với 
là đỉnh thứ 4 của hình thoi)
Vậy
Gọi
là trung điểm của 
(
đều).
Từ
dựng
Ta có:
Từ
dựng 
Vậy
Ta có:
Ta có:
Dựng hình thoi
(với là đỉnh thứ 4 của hình thoi)
Vậy
Gọi
là trung điểm của ( đều).
Từ
dựng
Ta có:
Từ
dựng
Vậy
Ta có:
Câu 22 [335709]: Cho hình chóp 
có đáy là hình thoi, tam giác 
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết 
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
có đáy là hình thoi, tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án A.
Gọi
Vì
là trung điểm của 
Kẻ
+)
+)
+)
Đáp án: A
Gọi
Vì
là trung điểm của Kẻ
+)
+)
+)
Đáp án: A
Câu 23 [1041432]: Cho hình chóp 
có đáy 
là tam giác đều cạnh 
, mặt bên 
là tam giác cân với 
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi 
là trung điểm của 
và 
là trung điểm của 
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
có đáy là tam giác đều cạnh , mặt bên là tam giác cân với và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là trung điểm của và là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Điền đáp án: 0,39.
Gọi
là trung điểm 
Vì
nên 
Chọn hệ trục tọa độ
với 
Ta có:
; 
Khi đó:
Gọi
là trung điểm
Vì
nên
Chọn hệ trục tọa độ
với
Ta có:
;
Khi đó:
Câu 24 [1041433]: Cho tứ diện 
có các cạnh 
vuông góc với nhau đôi một và 
Gọi 
là đường thẳng chứa trong mặt 
sao cho khoảng cách từ điểm 
đến 
là nhỏ nhất và khoảng cách lớn nhất giữa hai đường thẳng 
và 
là 
Tính 
có các cạnh vuông góc với nhau đôi một và Gọi là đường thẳng chứa trong mặt sao cho khoảng cách từ điểm đến là nhỏ nhất và khoảng cách lớn nhất giữa hai đường thẳng và là Tính
Điền đáp án: 13.
Gọi
là hình chiếu vuông góc của 
lên 
Khi đó ta có
là trực tâm của tam giác 
Với mọi đường thẳng
nằm trong 
thì 
Do đó đường thẳng
thỏa mãn phải đi qua điểm 
Kẻ
khi đó 
là hai điểm cố định lần lượt nằm trên 
và 
Khoảng cách giữa
và 
là độ dài đoạn vuông góc chung nên 
Dấu bằng xảy ra khi
Ta có
Ta có:
Gọi
là hình chiếu vuông góc của lên
Khi đó ta có
là trực tâm của tam giác
Với mọi đường thẳng
nằm trong thì
Do đó đường thẳng
thỏa mãn phải đi qua điểm
Kẻ
khi đó là hai điểm cố định lần lượt nằm trên và
Khoảng cách giữa
và là độ dài đoạn vuông góc chung nên
Dấu bằng xảy ra khi
Ta có
Ta có: