Đáp án Đề thi online: Bài tập tự luyện số 2

Câu 1 [328572]: Một ly nước hình trụ có chiều cao

và bán kính đáy

bằng Bạn Nam đổ nước vào ly cho đến khi mực nước cách đáy ly

thì dừng lại. Sau đó, Nam lấy các viên đá lạnh hình cầu có cùng bán kính

thả vào ly nước. Bạn Nam cần dùng ít nhất bao nhiêu viên đá để nước trào ra khỏi ly?

A, 4

B, 7

C, 5

D, 6

Phần không chứa nước là khối trụ có bán kính đáy

và chiều cao

Thể tích phần này là:

Thể tích mỗi viên bi thả vào trong ly nước là:

Để nước trào ra ngoài thì bạn Nam cần thả vào ly

viên bi sao cho thì

Do đó cần thả ít nhất 5 viên bi vào ly để nước trào ra khỏi ly. Chọn C. Đáp án: C

Câu 2 [327531]: Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ

xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là

thỏa mãn

(tham khảo hình vẽ). Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng

thể tích khối trụ

bằng

A,

B,

C,

D,

Thể tích của khối

và

lần lượt là:

và

Lại có:

Chọn C. Đáp án: C

Câu 3 [328573]: Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính

vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đề tiếp xúc với đường sinh của hình trụ ( tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối trụ là

, thể tích của mỗi khối cầu bằng

A,

B,

C,

D,

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Sử dụng công thức thể tích hình trụ và hình cầu.
Dựa vào mối liên hệ giữa kích thước hình trụ và bán kính khối cầu.
✒️ Lời giải chi tiết:
Theo đề bài, chiều cao của hình trụ là

.
Đường kính của hình trụ là

bán kính hình trụ là

.
Thể tích khối trụ là

.

.
Theo giả thiết

.

.
Vậy thể tích của mỗi khối cầu là

.
🔑 Chọn đáp án: B. Đáp án: B

Câu 4 [328576]: [Đề thi THPT QG năm 2018] Cho mặt cầu

có bán kính bằng

hình trụ

có chiều cao bằng 4 và hai đường tròn đáy nằm trên

Gọi

là thể tích của khối trụ

và

là thể tích của khối cầu

Tính tỉ số

.

A,

.

B,

.

C,

.

D,

.

📌 Chú ý: Đây là bài toán tính tỉ số thể tích khối trụ và khối cầu nội tiếp.

💡 Phương pháp: Sử dụng công thức thể tích khối trụ và khối cầu, tính tỉ số.
✒️ Lời giải chi tiết:
Bán kính mặt cầu là

.
Chiều cao hình trụ là

.
Bán kính đáy hình trụ là

.
Thể tích khối trụ là

.
Thể tích khối cầu là

.
Suy ra

.
🔑 Chọn đáp án: B. Đáp án: B

Câu 5 [328578]: [Đề thi Sở giáo dục Hà Nội năm 2019] Cho khối cầu

có bán kính

. Một khối trụ có thể tích bằng

và nội tiếp khối cầu

. Chiều cao của khối trụ bằng

A,

B,

C,

D,

Chọn đáp án D.

Chuẩn hóa

.
Gọi

là bán kính của khối trụ và

là chiều cao của khối trụ

.
Mà

.

Vậy chiều cao khối trụ là

. Đáp án: D

Câu 6 [329093]: Cho mặt cầu tâm

, bán kính

Một hình nón có đỉnh là

ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho

Độ dài đường sinh

của hình nón bằng

A,

B,

C,

D,

Chọn đáp án C.
Tương tự Câu trên ta có:

Đáp án: C

Câu 7 [329095]: [Đề thi THPT QG năm 2017-mã 104] Cho mặt cầu tâm

bán kính

. Mặt phẳng

cách

một khoảng bằng

và cắt

theo giao tuyến là đường tròn

có tâm

Gọi

là giao điểm của tia

với

tính thể tích

của khối nón có đỉnh

và đáy là hình tròn

A,

B,

C,

D,

Chọn đáp án A.

Tia

cắt mặt cầu tại

nên

nằm giữa

và

.
Theo giả thiết ta có:

Bán kính đáy của khối nón

là

Do

cắt

tại

nên chiều cao hình nón là:

. Đáp án: A

Câu 8 [46008]: Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng

và

Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định gần nhất với kết quả nào dưới đây ?

A,

B,

C,

D,

Bể 1 có thể tích

Bể 2 có thể tích

Bể dự định làm có thể tích

Bài ra thì

Chọn D. Đáp án: D

Câu 9 [329038]: Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ). Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của bồn chứa nước là

Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị

A,

B,

C,

D, .

Gọi

là bán kính đáy hình trụ và là bán kính hình cầu

Đường sinh hình trụ là

Thể tích hình trụ là

Thể tích hình cầu là

Thể tích của bồn chứa là

Vậy diện tích xung quanh bồn nước là

Chọn đáp án D. Đáp án: D

Câu 10 [329039]: [Đề thi THPT QG năm 2018-Mã 101]. Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng

và chiều cao bằng

. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính

. Giả định

gỗ có giá

(triệu đồng),

than chì có giá

(triệu đồng). Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây ?

A,

(đồng).

B,

(đồng).

C,

(đồng).

D,

(đồng).

Chọn đáp án D.

Chiếc bút được làm từ hai phần: phần lõi có thể tích

và phần khối gỗ có thể tích

.
Thể tích lõi chì là thế tích khối trụ có bán kính đáy 1 mm và chiều cao 200 mm nên:

Đáy của chiếc bút là lục giác đều có diện tích

Thể tích của chiếc bút là

Thể tích khối gỗ là

Giá nguyên vật liệu làm bút chì là:

(đồng). Đáp án: D

Câu 11 [329041]: [Đề thi chuyên ĐH Vinh lần 2 năm 2017] Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát bằng thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với các kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này (phần không tô màu làm bằng thủy tinh). Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau

A,

B,

C,

D,

Thể tích của hình trụ là

Thể tích của hình cầu chứa cát là

Lượng thuỷ tinh cần phải làm là

Chọn đáp án B. Đáp án: B

Câu 12 [329045]: Người ta thả một viên billiards snooker có dạnh hình cầu với bán kính nhỏ hơn

vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình bẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng

và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng

Bán kính của viên billiards đó bằng

A,

B,

C,

D,

Thể tích mực nước ban đầu là

Gọi

là bán kính của viên bi
Chiều cao của mặc nước trong cốc sau khi thả viên bi là

Thể tích của nước và bi sau khi thả viên bi vào cốc là

Thể tích của viên bi là

Ta có

Giải phương trình với điều kiện

Chọn đáp án D. Đáp án: D

Câu 13 [329047]: Một bình đựng nước dạng hình nón (không nắp) đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài là

. Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm trên đường tròn đáy còn lại đều thuộc các đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón. Tính bán kính

của bình nước

A,

B,

C,

D,

Chọn đáp án D.

Gọi

và

lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón

và hình trụ

Ta có:

. Theo giả thiết ta có:

.
Thể tích nước tràn ra là thể tích hình trụ nên ta có:

Đáp án: D

Câu 14 [329048]: Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy, một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng đường kính đáy của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó (như hình vẽ ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh)

A, .

B,

C,

D,

Gọi

là bán kính đáy của hình trụ

Chiều cao của hình trụ là

Thể tích của khối trụ ban đầu là

Thể tích của viên bi là

Chiều cao của khối nón là

Thể tích của khối nón là

Thể tích nước còn lại trong cốc là

Tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu là

Chọn đáp án C. Đáp án: C

Câu 15 [329049]: Một bình đựng đầy nước có dạng hình nón (không có đáy). Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là

Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình dưới đây). Tính thể tích nước còn lại trong bình.

A,

B,

C,

D,

Chọn đáp án C.

Gọi bán kính khối cầu là

.
Thể tích nước tràn ra ngoài bằng thể tích của nửa khối cầu

Chiều cao của bình nước là

Bán kính đáy của hình nón là

và

.
Vậy thể tích nước còn lại là

Đáp án: C

Câu 16 [329050]: Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy 6 cm, chiều cao 15 cm chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra ngoài đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy cốc. Khi đó diện tích của bề mặt nước trong cốc bằng

A,

B,

C,

D,

Chọn đáp án C.

Dựng đứng cốc như hình vẽ, mặt nước cắt hình trụ theo thiết diện là tam giác

.
Hình chiếu vuông góc của mặt phẳng thiết diện xuống đáy là nửa đường tròn đường kính

Theo công thức về hình chiếu ta có:

trong đó

.
Lại có:

Vậy

. Đáp án: C

Câu 17 [329051]: Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng

chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi đảo lộn phễu lên thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu ? Biết rằng chiều cao của phễu bằng

.

A,

B,

C,

D,

Lời giải: Gọi

là thể tích của phễu. Khi đó thể tích nước trong bình là

và thể tích phần không chưa nước là

. Ta có:

;

( với

là chiều cao cần tính ) Suy ra

(với

là chiều cao cần tìm). Chọn D. Đáp án: D

Câu 18 [8807]: Một khối pha lê gồm một hình cầu

có bán kính

và một hình nón

có bán kính và đường sinh lần lượt là

thỏa mãn

và

xếp chồng lên hau (hình vẽ). Biết tổng diện tích mặt cầu

và diện tích toàn phần của hình nón

là

. Tính diện tích của khối cầu

.

A,

B,

C,

D,

Ta có

Diện tích của hình cầu là

Diện tích toàn phần của hình nón là

Tổng diện tích mặt cầu

và diện tích toàn phần của hình nón

là

nên ra có

Diện tích của mặt cầu là

Chọn đáp án C. Đáp án: C

Câu 19 [329097]: Cho hình nón

có bán kính đáy bằng

và chiều cao bằng

Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Tìm bán kính của mặt cầu đó

A,

B,

C,

D,

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Áp dụng công thức bán kính mặt cầu ngoại tiếp mô hình 5 theo mối liên hệ giữa chiều cao và bán kính đáy.
✒️ Lời giải chi tiết:
Theo mô hình 5 ta có công thức:

.
Thay

vào công thức trên ta được:

.
🔑 Chọn đáp án: B Đáp án: B

Câu 20 [329046]: Bạn An có một cốc giấy hình nón có đường kính đáy là 10 cm và độ dài đường sinh là

Bạn dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho toàn bộ viên kẹo nằm trong cốc (không phần nào của viên kẹo cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu?

A,

B,

C,

D,

Gọi

là mặt phẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy của hình nón. Khi đó

cắt hình cầu (viên kẹo) theo thiết diện là đường tròn lớn. Viên kẹo có đường kình lớn nhất khi và chỉ khi đường tròn lớn là đường tròn nội tiếp tam giác

Nửa chu vi tam giác

là

Diện tích tam giác

là

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

:

do đó đường kính

Đáp án: A

Câu 21 [663557]: Người ta chế tạo ra một món đồ chơi trẻ em ( như hình vẽ bên) theo công đoạn như sau:

- Trước hết người ta chế tạo ra một hình trụ tròn xoay bằng thủy tinh trong suốt có chiều cao bằng

, bán kính hình tròn đáy của hình trụ bằng

.
- Bên trong hình trụ người ta chế tạo ra một khối tròn xoay bằng thủy tinh trong suốt có đáy trùng với một hình tròn đáy của hình trụ, đỉnh của nón là tâm hình tròn đáy còn lại của hình trụ.
- Bên trong hình trụ và bên ngoài khối nón người ta đặt vào hai khối cầu bằng thủy tinh trong suốt có bán kính bằng nhau, hai khối cầu này tiếp xúc với cạnh bên và mặt đáy của hình trụ đồng thời tiếp xúc ngoài với khối nón.
-Phần còn lại bên ngoài khối nón, bên ngoài hai khối cầu và bên trong hình trụ người ta đổ đầy nước. Bỏ qua bề dày của các lớp vỏ thủy tinh, hỏi thể tích của nước cần đổ gần với giá trị nào sau đây?

A,

.

B,

.

C,

.

D,

.

Chọn B

Gọi

là đỉnh của hình nón,

là thiết diện qua trục của hình trụ đi qua

(hình vẽ). Gọi

lần lượt là chiều cao hình trụ , bán kính đáy của hình trụ và bán kính của hình cầu.
Ta có:
+ Thể tích khối trụ là

.
+ Thể tích khối nón là

.
+

là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

và

.
Do đó thể tích của hai khối cầu là

.
Thể tích của nước cần đổ là

. Đáp án: B

Câu 22 [1045718]: Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón tiếp xúc với nhau, một khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón còn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng