PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [23326]: Đồ thị sau đây là của hàm số nào?
A, 
B, 
C, 
D, 
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy
+)
và 
nên hệ số 
+) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm cực trị
Gọi hàm số cần tìm có dạng
Khi đó
Chọn đáp án D. Đáp án: D
+)
và nên hệ số +) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm cực trị
Gọi hàm số cần tìm có dạng
Khi đó
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 2 [28044]: Bảng biến thiên ở bên dưới là của hàm số nào?
A, 
B, 
C, 
D, 
Dựa vào dấu của khoảng ngoài cùng là 
mang dấu ( - ) nên ta suy ra hệ số 
âm. Suy ra loại A và C.
Kiểm tra đáp án B: ta có
có 2 nghiệm là 
Suy ra B đúng. Đáp án: B
mang dấu ( - ) nên ta suy ra hệ số âm. Suy ra loại A và C.Kiểm tra đáp án B: ta có
có 2 nghiệm là Suy ra B đúng. Đáp án: B
Câu 3 [861077]: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?
A, 
B, 
C, 
D, 
Nhìn dạng đồ thị thấy 
suy ra loại B, D.
Mặt khác hàm số không có cực trị nên loại A. Đáp án: C
suy ra loại B, D. Mặt khác hàm số không có cực trị nên loại A. Đáp án: C
Câu 4 [909764]: [Đề thi TN THPT 2021]: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
A, 
B, 
C, 
D, 
Dựa vào dạng đồ thị của các hàm số
Chọn đáp án B Đáp án: B
Chọn đáp án B Đáp án: B
Câu 5 [360118]: [Trích SGK Cánh Diều]: Đồ thị hàm số 
là đường cong nào sau đây?
là đường cong nào sau đây? A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có: 
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên dễ thấy đồ thị của hàm số đã cho là đáp án B Đáp án: B
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên dễ thấy đồ thị của hàm số đã cho là đáp án B Đáp án: B
Câu 6 [677907]: [Đề thi TN THPT 2020]: Cho hàm số bậc ba 
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình 
là
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn A.
Số nghiệm thực của phương trình
chính là số giao điểm của đồ thị hàm số 
và đường thẳng 
.
Từ hình vẽ suy ra
nghiệm. Đáp án: A
Số nghiệm thực của phương trình
chính là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng . Từ hình vẽ suy ra
nghiệm. Đáp án: A
Câu 7 [677865]: [Đề thi TN THPT 2020]: Số giao điểm của đồ thị hàm số 
với trục hoành là
với trục hoành là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn C
Xét phương trình hoành dộ giao điểm
.
Vậy có 3 giao điểm. Đáp án: C
Xét phương trình hoành dộ giao điểm
. Vậy có 3 giao điểm. Đáp án: C
Câu 8 [975576]: Đồ thị hàm số 
cắt trục tung tại điểm
cắt trục tung tại điểm A, 
B, 
C, 
D, 
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có hoành độ 
Cho
Vậy tọa độ giao điểm là
Chọn D. Đáp án: D
Cho
Vậy tọa độ giao điểm là
Chọn D. Đáp án: D
Câu 9 [861079]: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số 
có toạ độ là
có toạ độ là A, 
B, 
C, 
D, 
1.Phương pháp:
Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba
, ta sử dụng công thức tìm hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của phương trình 
.
2.Cách giải:Cho hàm số
.
.
.
.
Tìm tung độ tâm đối xứng
bằng cách thay 
vào hàm số 
Vậy, tâm đối xứng của đồ thị hàm số là
.
3. Kết luận: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số
có tọa độ là 
.
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba
, ta sử dụng công thức tìm hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của phương trình .2.Cách giải:Cho hàm số
....Tìm tung độ tâm đối xứng
bằng cách thay vào hàm số Vậy, tâm đối xứng của đồ thị hàm số là
.3. Kết luận: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số
có tọa độ là .Chọn đáp án B. Đáp án: B
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a),b),c),d) ở mỗi câu học sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 10 [861081]: Cho hàm số 
1.Phương pháp:
1.1) Đạo hàm, tìm nghiệm của đạo hàm, lập bảng biến thiên, tìm điểm cực trị của hàm.
1.2) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết tọa độ ba đỉnh:
.
2.Cách giải:
Cho hàm số
.
a)Đúng.
b)Đúng. Cho
:
Phương trình
có hai nghiệm thực phân biệt là 
và 
.
c)Đúng. Ta có các nghiệm của
là 
và 
.
Lập bảng biến thiên:
Giá trị cực tiểu là
.
Điểm cực tiểu là
.
Giá trị cực đại là
.
Điểm cực đại là
.
Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số
là 
.
d)Đúng. Gọi
và 
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 
Diện tích tam giác
có thể tính bằng công thức 
:
.
3. Kết luận:
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là
b) Phương trình
có hai nghiệm thực phân biệt.
c) Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số
là 
d) Gọi
và 
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 
thì diện tích tam giác 
bằng 2.
a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng.
1.1) Đạo hàm, tìm nghiệm của đạo hàm, lập bảng biến thiên, tìm điểm cực trị của hàm.
1.2) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết tọa độ ba đỉnh:
.
2.Cách giải:
Cho hàm số
.
a)Đúng.
b)Đúng. Cho
:
Phương trình
có hai nghiệm thực phân biệt là và .
c)Đúng. Ta có các nghiệm của
là và .
Lập bảng biến thiên:
Giá trị cực tiểu là
.
Điểm cực tiểu là
.
Giá trị cực đại là
.
Điểm cực đại là
.
Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số
là .
d)Đúng. Gọi
và là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Diện tích tam giác
có thể tính bằng công thức :
.
3. Kết luận:
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là
b) Phương trình
có hai nghiệm thực phân biệt.
c) Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số
là
d) Gọi
và là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số thì diện tích tam giác bằng 2.
a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng.
Câu 11 [861082]: Cho hàm số 
có đồ thị như hình vẽ.
có đồ thị như hình vẽ.
a) SAI
Điểm cực đại của đồ thị hàm số là
b) ĐÚNG
c) ĐÚNG
Ta có:
Hàm số có hai điểm cực trị là
và 
nên 
(định lí vi-et).
d) SAI
Với
và đồ thị hàm số đi qua các điểm 
; 
nên ta có hệ phương trình
Khi đó đồ thị hàm số đi qua điểm 
Điểm cực đại của đồ thị hàm số là
b) ĐÚNG
c) ĐÚNG
Ta có:
Hàm số có hai điểm cực trị là
và nên (định lí vi-et).
d) SAI
Với
và đồ thị hàm số đi qua các điểm ; nên ta có hệ phương trình
Khi đó đồ thị hàm số đi qua điểm
Câu 12 [695037]: Một con tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 
so với bề mặt của Mặt Trăng. Trong khoảng thời gian 
giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao 
của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gần đúng) bởi hàm 
, trong đó 
là khoảng thời gian tính bằng giây và 
là độ cao tính bằng kilômét.
so với bề mặt của Mặt Trăng. Trong khoảng thời gian giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gần đúng) bởi hàm , trong đó là khoảng thời gian tính bằng giây và là độ cao tính bằng kilômét.
a) Đúng.
Ta có:
b) Đúng.
Ta có:
c) Sai.
Ta có:
Con tàu ngày càng tiến ra xa Mặt trăng.
d) Sai.
Xét hàm số
Bảng biến thiên:
Theo bảng biến thiên ta thấy khoảng cách con tàu gần với Mặt trăng nhất là
Ta có:
b) Đúng.
Ta có:
c) Sai.
Ta có:
Con tàu ngày càng tiến ra xa Mặt trăng.d) Sai.
Xét hàm số
Bảng biến thiên:
Theo bảng biến thiên ta thấy khoảng cách con tàu gần với Mặt trăng nhất là
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 13 [717148]: Cho hàm số 
Biết rằng đồ thị của hàm số trên có điểm cực trị là 
Khi đó giá trị 
bằng bao nhiêu?
Biết rằng đồ thị của hàm số trên có điểm cực trị là Khi đó giá trị bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: 9.
Ta có
Thử lại
Với
, ta có 
có đồ thị hàm số có điểm cực trị là 
.
Vậy
Ta có
Thử lại
Với
, ta có có đồ thị hàm số có điểm cực trị là .
Vậy
Câu 14 [15767]: [Đề Tham Khảo 2017]: Biết 
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 
Tính giá trị biểu thức 
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số Tính giá trị biểu thức
Ta có 
Lại có
Từ
và 
Suy ra
Lại có
Từ
và Suy ra
Câu 15 [816390]: Một máy bay loại nhỏ bắt đầu hạ cánh, đường bay của nó khi gắn với hệ trục toạ độ 
(đơn vị mỗi trục là dặm) được mô phỏng bởi hàm số 
như hình vẽ, với điểm 
là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay tiếp đất tại vị trí gốc toạ độ 
là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
(đơn vị mỗi trục là dặm) được mô phỏng bởi hàm số như hình vẽ, với điểm là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay tiếp đất tại vị trí gốc toạ độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Lưu ý: Trên đề bài các em sửa gốc tọa độ 
thành 
Vì sách lần đầu tái bản nên không tránh được những sai sót, các thầy cô sẽ hoàn thiện hơn trong những tái bản tiếp theo. Cảm ơn các em!
1.Phương pháp:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm hàm số
dựa trên các thông tin về điểm cực trị và điểm máy bay tiếp đất. Sau đó, sử dụng hàm số đã tìm được để tính độ cao của máy bay tại vị trí yêu cầu.
2.Cách giải:
Cho hàm số
.
B1: Ta có:
B2: Đồ thị hàm số đi qua điểm cực tiểu
Và
B3: Đồ thị hàm số đi qua điểm cực đại
:
Từ đó ta có hệ:
Vậy, các hệ số là
, 
, 
, 
.
Hàm số mô phỏng đường bay:
.
Tính độ cao của máy bay khi cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm:
Tính
:
3. Kết luận:
Vậy độ cao của máy bay khi cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm là:
Điền đáp án: 0,84.
thành Vì sách lần đầu tái bản nên không tránh được những sai sót, các thầy cô sẽ hoàn thiện hơn trong những tái bản tiếp theo. Cảm ơn các em!
1.Phương pháp:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm hàm số
dựa trên các thông tin về điểm cực trị và điểm máy bay tiếp đất. Sau đó, sử dụng hàm số đã tìm được để tính độ cao của máy bay tại vị trí yêu cầu.2.Cách giải:
Cho hàm số
.B1: Ta có:
B2: Đồ thị hàm số đi qua điểm cực tiểu
Và
B3: Đồ thị hàm số đi qua điểm cực đại
:Từ đó ta có hệ:
Vậy, các hệ số là
, , , .Hàm số mô phỏng đường bay:
.Tính độ cao của máy bay khi cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm:
Tính
:3. Kết luận:
Vậy độ cao của máy bay khi cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm là:
Điền đáp án: 0,84.
PHẦN IV. Câu tự luận
Câu 16 [879595]: Trong khoảng thời gian 365 ngày, một nhóm nghiên cứu đã quan sát sự phát triển của một quần thể sinh vật X. Kết quả nghiên cứu chỉ ra rằng, sau 
(ngày) kể từ khi quan sát, số cá thể sinh vật X trong quần thể được ước lượng bởi hàm số bậc ba
(con), 
và ngày thứ 270 là ngày có số lượng cá thể sinh vật X nhiều nhất với 55740 con.
a) Ban đầu, số lượng cá thể sinh vật X trong quần thể là bao nhiêu con.
b) Tìm các giá trị
c) Số lượng cá thể sinh vật X được ước lượng trong quần thể vào ngày thứ 300 là bao nhiêu?
(ngày) kể từ khi quan sát, số cá thể sinh vật X trong quần thể được ước lượng bởi hàm số bậc ba (con), và ngày thứ 270 là ngày có số lượng cá thể sinh vật X nhiều nhất với 55740 con.a) Ban đầu, số lượng cá thể sinh vật X trong quần thể là bao nhiêu con.
b) Tìm các giá trị
c) Số lượng cá thể sinh vật X được ước lượng trong quần thể vào ngày thứ 300 là bao nhiêu?
1.Phương pháp:
a) Tính giá trị của hàm số tại .
b) Tìm các giá trị
và .
c) Tính số lượng cá thể vào ngày thứ 300: Thay giá trị và các giá trị
đã tìm được vào hàm số để tính toán.
2.Cách giải: Cho hàm số
(con), với 
.
a) Số lượng cá thể ban đầu tương ứng với
.
(con).
b) Đầu tiên, tính đạo hàm bậc nhất của
:
.
Theo đề bài, ngày thứ 270 là ngày có số lượng cá thể sinh vật X nhiều nhất, điều này có nghĩa là
và 
.
Điều kiện
:
Điều kiện
:
Từ (1) và (2), ta có hệ:
Vậy, các giá trị của
và 
là 
và 
.
c) Hàm số
sau khi tìm được là:
.
Tính
: 
(con).
3. Kết luận:
a) Ban đầu, số lượng cá thể sinh vật X trong quần thể là:
(con).
b) Các giá trị của
và 
là 
và 
c) Số lượng cá thể sinh vật X được ước lượng trong quần thể vào ngày thứ 300 là
(con).
a) Tính giá trị của hàm số tại .
b) Tìm các giá trị
và .
c) Tính số lượng cá thể vào ngày thứ 300: Thay giá trị và các giá trị
đã tìm được vào hàm số để tính toán.
2.Cách giải: Cho hàm số
(con), với .
a) Số lượng cá thể ban đầu tương ứng với
.
(con).
b) Đầu tiên, tính đạo hàm bậc nhất của
:.
Theo đề bài, ngày thứ 270 là ngày có số lượng cá thể sinh vật X nhiều nhất, điều này có nghĩa là
và .
Điều kiện
:
Điều kiện
:
Từ (1) và (2), ta có hệ:
Vậy, các giá trị của
và là và .
c) Hàm số
sau khi tìm được là:.
Tính
: (con).
3. Kết luận:
a) Ban đầu, số lượng cá thể sinh vật X trong quần thể là:
(con).
b) Các giá trị của
và là và
c) Số lượng cá thể sinh vật X được ước lượng trong quần thể vào ngày thứ 300 là
(con).