PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [808651]: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như hình vẽ
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
có bảng biến thiên như hình vẽHàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Phương pháp: Dựa vào bảng biến thiên:
- Nếu
thì hàm số đồng biến trên khoảng 
- Nếu
thì hàm số nghịch biến trên khoảng 
- Nếu
thì hàm số không đổi trên khoảng 
Cách giải: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
Kết Luận: Chọn đáp án D. Đáp án: D
- Nếu
thì hàm số đồng biến trên khoảng - Nếu
thì hàm số nghịch biến trên khoảng - Nếu
thì hàm số không đổi trên khoảng Cách giải: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
Kết Luận: Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 2 [321650]: Cho hàm số 
có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Hàm số
đồng biến trong khoảng nào?
có bảng xét dấu đạo hàm như sau Hàm số
đồng biến trong khoảng nào? A, 
B, 
C, 
D, 
Phương pháp: Dựa vào bảng biến thiên:
- Nếu
thì hàm số đồng biến trên khoảng 
- Nếu
thì hàm số nghịch biến trên khoảng 
- Nếu
thì hàm số không đổi trên khoảng 
Cách giải: Quan sát bảng xét dấu, để ý khoảng làm cho
là 
và 
Kết luận: Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
và 
.
Chọn đáp án A. Đáp án: A
- Nếu
thì hàm số đồng biến trên khoảng - Nếu
thì hàm số nghịch biến trên khoảng - Nếu
thì hàm số không đổi trên khoảng Cách giải: Quan sát bảng xét dấu, để ý khoảng làm cho
là và Kết luận: Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
và .Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 3 [520156]: Cho hàm số bậc bốn 
có đồ thị trong hình vẽ bên.Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
có đồ thị trong hình vẽ bên.Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn B
Từ đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến trên
. Đáp án: B
Từ đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến trên
. Đáp án: B
Câu 4 [233367]: [Đề thi TN THPT 20022]: Cho hàm số 
có đạo hàm 
với mọi 
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
có đạo hàm với mọi Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Ta có: 
suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 
Đáp án: C
suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng Đáp án: C
Câu 5 [323810]: Hàm số 
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
đồng biến trên khoảng nào sau đây? A, 
B, 
C, 
và 
và D, 
Đáp án C
Hàm số nhất biến
đơn điệu trên từng khoảng xác định. Đáp án: C
Hàm số nhất biến
đơn điệu trên từng khoảng xác định. Đáp án: C
Câu 6 [508464]: Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số 
A, 
B, 
và 
và C, 
và 
và D, 
và 
và
1.Phương pháp: Đạo hàm, lập bảng biến thiên, xét dấu sự đồng biến, nghịch biến.
2.Cách giải:
Ta có:
Bảng xét dấu của
:
3. Kết luận: Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng
và 
Chọn đáp án D. Đáp án: D
2.Cách giải:
Ta có:
Bảng xét dấu của
:
3. Kết luận: Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng
và
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 7 [360114]: Cho hàm số 
có đạo hàm trên 
và hàm số 
có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số
đồng biến trên khoảng:
có đạo hàm trên và hàm số có đồ thị như hình vẽ bên.Hàm số
đồng biến trên khoảng: A, 
B, 
C, 
D, 
1.Phương pháp: Từ đồ thị hàm 
tìm sự biến thiên của hàm 
Gợi ý: xét đồ thị hàm
nửa phía trên trục 
giá trị dương 
, nửa phía dưới trục 
nhận giá trị âm 
.
2.Cách giải: Xét đồ thị hàm số
, ta có:
khi 
và 
khi 
và 
Từ đó ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số
đồng biến trên mỗi khoảng 
và 
3. Kết luận: Xét các đáp án A, B, C, D ta thấy đáp án B thỏa khoảng đồng biến của hàm.
Chọn đáp án B. Đáp án: B
tìm sự biến thiên của hàm
Gợi ý: xét đồ thị hàm
nửa phía trên trục giá trị dương , nửa phía dưới trục nhận giá trị âm .
2.Cách giải: Xét đồ thị hàm số
, ta có:
khi và
khi và
Từ đó ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số
đồng biến trên mỗi khoảng và
3. Kết luận: Xét các đáp án A, B, C, D ta thấy đáp án B thỏa khoảng đồng biến của hàm.
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 8 [233366]: [TN THPT 2022]: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng 
A, 
B, 
C, 
D, 
Phương pháp: Dựa vào bảng biến thiên:
- Nếu
thì hàm số đồng biến trên khoảng 
- Nếu
thì hàm số nghịch biến trên khoảng 
- Nếu
thì hàm số không đổi trên khoảng 
Cách giải:
Ta có:
nên hàm số 
đồng biến trên 
Kết luận: Chọn đáp án D. Đáp án: D
- Nếu
thì hàm số đồng biến trên khoảng - Nếu
thì hàm số nghịch biến trên khoảng - Nếu
thì hàm số không đổi trên khoảng Cách giải:
Ta có:
nên hàm số đồng biến trên Kết luận: Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 9 [280797]: Cho hàm số 
có đạo hàm 
với mọi 
. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
có đạo hàm với mọi . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
1.Phương pháp: Tìm nghiệm của đạo hàm, lập bảng biến thiên, xét dấu hàm đồng biến, nghịch biến.
2.Cách giải:
Ta có
(Vì
là nghiệm bội chẵn nên xét dấu trên bảng biến thiên qua nghiệm không đổi dấu ).
Ta có bảng biến thiên sau:
3. Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
.
Chọn đáp án D. Đáp án: D
2.Cách giải:
Ta có
(Vì
là nghiệm bội chẵn nên xét dấu trên bảng biến thiên qua nghiệm không đổi dấu ).
Ta có bảng biến thiên sau:
3. Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
.
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 10 [2726]: Hàm số 
đồng biến trên khoảng
đồng biến trên khoảng A, 
và 
và B, 
và 
và C, 
và 
và D, 
và 
và
1. Phương pháp: Để xét sự đồng biến của hàm số, ta thực hiện xét dấu 
của hàm số.
2. Cách giải:
Ta có :
Do đó hàm số đồng biến trên
và 
3. Kết luận:
Chọn đáp án A.
Đáp án: A
của hàm số.2. Cách giải:
Ta có :
Do đó hàm số đồng biến trên
và 3. Kết luận:
Chọn đáp án A.
Đáp án: A
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a),b),c),d) ở mỗi câu học sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 11 [860303]: Cho hàm số 
a) Hàm số 
xác định khi mẫu số 
Vậy tập xác định của hàm số
là 
Suy ra mệnh đề a) sai.
b) Phương pháp: Sử dụng công thức đạo hàm của tổng và công thức đạo hàm
Ta có
Vậy mệnh đề b) đúng.
c) Từ kết quả phần b) ta có
So sánh với điều kiện xác định:
ta thấy 2 nghiệm đều thỏa mãn.
Vậy phương trình
có hai nghiệm thực phân biệt (
và 
).
Suy ra mệnh đề c) đúng.
d) Từ kết quả phần a, b, c ta có bảng xét dấu của
như sau:
Từ bảng xét dấu, ta thấy hàm số đồng biến trên
Vậy mệnh đề d) đúng.
xác định khi mẫu số Vậy tập xác định của hàm số
là Suy ra mệnh đề a) sai.
b) Phương pháp: Sử dụng công thức đạo hàm của tổng và công thức đạo hàm
Ta có
Vậy mệnh đề b) đúng.
c) Từ kết quả phần b) ta có
So sánh với điều kiện xác định:
ta thấy 2 nghiệm đều thỏa mãn. Vậy phương trình
có hai nghiệm thực phân biệt ( và ).Suy ra mệnh đề c) đúng.
d) Từ kết quả phần a, b, c ta có bảng xét dấu của
như sau:Từ bảng xét dấu, ta thấy hàm số đồng biến trên
Vậy mệnh đề d) đúng.
Câu 12 [860304]: Cho hàm số 
có đạo hàm 
với mọi 
có đạo hàm với mọi
a) 
Vậy phương trình
có hai nghiệm thực phân biệt 
và 
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Thay
vào biểu thức của 
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Ta có bảng xét dấu của
như sau:
Dựa vào bảng xét dấu trên, ta thấy hàm số
đồng biến trên khoảng 
Suy ra mệnh đề c) đúng.
d) Phương pháp: Ta dựa vào tính đơn điệu của hàm số.
Dựa vào bảng xét dấu ở ý c) ta thấy
trên khoảng 
nên hàm số 
nghịch biến trên khoảng này.
Do đó, với
ta có 
Suy ra mệnh đề d) đúng.
Vậy phương trình
có hai nghiệm thực phân biệt và Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Thay
vào biểu thức của Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Ta có bảng xét dấu của
như sau:Dựa vào bảng xét dấu trên, ta thấy hàm số
đồng biến trên khoảng Suy ra mệnh đề c) đúng.
d) Phương pháp: Ta dựa vào tính đơn điệu của hàm số.
Dựa vào bảng xét dấu ở ý c) ta thấy
trên khoảng nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.Do đó, với
ta có Suy ra mệnh đề d) đúng.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 13 [597948]: Một chất điểm chuyển động theo phương trình 
trong đó 
tính bằng giây và 
tính bằng mét. Theo dõi 
giây đầu tiên chuyển động của chất điểm người ta nhận thấy trong một khoảng thời gian liên tục từ 
(giây) đến 
(giây), 
thì chất điểm có vận tốc giảm. Giá trị lớn nhất của 
bằng bao nhiêu?
trong đó tính bằng giây và tính bằng mét. Theo dõi giây đầu tiên chuyển động của chất điểm người ta nhận thấy trong một khoảng thời gian liên tục từ (giây) đến (giây), thì chất điểm có vận tốc giảm. Giá trị lớn nhất của bằng bao nhiêu?
Nhắc lại kiến thức: Theo ứng dụng của đạo hàm, ta có 
Từ dữ kiện bài toán, ta thấy hàm số
nghịch biến trên khoảng 
Do đó, để xác định được giá trị của 
ta xét hàm số 
trên khoảng 
Ta có:
với 
(nhận), ta có bảng biến thiên sau:
Vận tốc giảm khi
đến 
Giá trị lớn nhất 
Điền đáp án: 22.
Từ dữ kiện bài toán, ta thấy hàm số
nghịch biến trên khoảng Do đó, để xác định được giá trị của ta xét hàm số trên khoảng Ta có:
với (nhận), ta có bảng biến thiên sau:Vận tốc giảm khi
đến Giá trị lớn nhất Điền đáp án: 22.
Câu 14 [860305]: Điện trở của một loại vật liệu là 
(tính bằng 
) được xác định theo nhiệt độ môi trường 
(tính theo độ 
) thông qua công thức 
Tìm nhiệt độ 
để kể từ nhiệt độ 
trở lên thì điện trở 
luôn tăng.
(tính bằng ) được xác định theo nhiệt độ môi trường (tính theo độ ) thông qua công thức Tìm nhiệt độ để kể từ nhiệt độ trở lên thì điện trở luôn tăng.
Giả thiết cho “kể từ nhiệt độ 
trở lên thì điện trở 
luôn tăng” tức 
với mọi 
Ta có
Áp dụng công thức đạo hàm
Ta có 
Để
luôn tăng, thì 
(vì mẫu số luôn dương)
Suy ra kể từ
thì điện trở 
luôn tăng.
Điền đáp án: 10.
trở lên thì điện trở luôn tăng” tức với mọi
Ta có
Áp dụng công thức đạo hàm
Ta có
Để
luôn tăng, thì
(vì mẫu số luôn dương)
Suy ra kể từ
thì điện trở luôn tăng.
Điền đáp án: 10.
PHẦN IV. Câu tự luận
Câu 15 [879517]: Cho hàm số 
a) Chứng minh rằng
b) Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
a) Chứng minh rằng
b) Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
a) Phương pháp: Sử dụng quy tắc đạo hàm của một thương 
Tập xác định:
Ta có
Suy ra điều cần chứng minh.
b)
Để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến, chúng ta cần xét dấu của đạo hàm
trên 
Bước 1: Tính đạo hàm
Từ kết quả phần a) ta có
Bước 2: Tìm nghiệm phương trình
Bước 3: Lập bảng xét dấu của
Ta có bảng xét dấu
như sau:
Dựa vào bảng xét dấu trên, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
hàm số nghịch biến trên khoảng 
và 
Tập xác định:
Ta có
Suy ra điều cần chứng minh.
b)
Để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến, chúng ta cần xét dấu của đạo hàm
trên Bước 1: Tính đạo hàm
Từ kết quả phần a) ta có
Bước 2: Tìm nghiệm phương trình
Bước 3: Lập bảng xét dấu của
Ta có bảng xét dấu
như sau:Dựa vào bảng xét dấu trên, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
hàm số nghịch biến trên khoảng và
Câu 16 [879518]: Quãng đường đi được của một vật chuyển động thẳng tính từ lúc bắt đầu chuyển động cho đến khi dừng hẳn được cho bởi phương trình: 
trong đó 
tính bằng giây và 
tính bằng mét.
a) Tính tốc độ của vật tại thời điểm
giây.
b) Tính quãng đường vật đi được tính từ lúc bắt đầu cho đến khi dừng hẳn.
c) Tốc độ của vật tăng trong khoảng thời gian nào?
trong đó tính bằng giây và tính bằng mét. a) Tính tốc độ của vật tại thời điểm
giây.b) Tính quãng đường vật đi được tính từ lúc bắt đầu cho đến khi dừng hẳn.
c) Tốc độ của vật tăng trong khoảng thời gian nào?
a) Nhắc lại kiến thức: Tốc độ của vật là đạo hàm của hàm quãng đường 
theo thời gian 
Kí hiệu tốc độ là 
Khi đó
Tại thời điểm
giây, tốc độ của vật là:
b) Vật dừng hẳn khi tốc độ của vật bằng 0, tức
Vì các hệ số của phương trình (*) có dạng
nên phương trình (*) có nghiệm 
(loại vì 
và 
Do đó, vật dừng hẳn tại thời điểm
Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu (
) cho đến khi dừng hẳn (
) là 
Vậy quãng đường vật đi được tính từ lúc bắt đầu cho đến khi dừng hẳn là 162 m.
c) Yêu cầu bài toán tương đương với tìm khoảng thời gian hàm tốc độ của vật đơn điệu tăng (đồng biến). Ta thực hiện các bước như sau:
Khảo sát
trên nửa khoảng 
Bước 1: Tính đạo hàm
Ta có
Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình
Bước 3: Lập bảng xét dấu của
Ta có bảng xét dấu của
như sau:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên nửa khoảng
Vậy tốc độ của vật tăng trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 4 giây.
theo thời gian Kí hiệu tốc độ là Khi đó
Tại thời điểm
giây, tốc độ của vật là:b) Vật dừng hẳn khi tốc độ của vật bằng 0, tức
Vì các hệ số của phương trình (*) có dạng
nên phương trình (*) có nghiệm (loại vì và Do đó, vật dừng hẳn tại thời điểm
Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu (
) cho đến khi dừng hẳn () là Vậy quãng đường vật đi được tính từ lúc bắt đầu cho đến khi dừng hẳn là 162 m.
c) Yêu cầu bài toán tương đương với tìm khoảng thời gian hàm tốc độ của vật đơn điệu tăng (đồng biến). Ta thực hiện các bước như sau:
Khảo sát
trên nửa khoảng Bước 1: Tính đạo hàm
Ta có
Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình
Bước 3: Lập bảng xét dấu của
Ta có bảng xét dấu của
như sau:Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên nửa khoảng
Vậy tốc độ của vật tăng trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 4 giây.