Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [51042]: Trong không gian , cho điểm . Độ dài đoạn thẳng bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có
Chọn đáp án B.
Đáp án: B
Câu 2 [51085]: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và Tìm tọa độ vectơ
A,
B,
C,
D,
Ta có: và

Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 3 [863963]: Trong không gian với hệ toạ độ cho hai điềm và Tìm toạ độ trung điểm của đoạn thẳng
A,
B,
C,
D,
Chọn B.
Ta có: Đáp án: B
Câu 4 [543205]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và Đoạn có độ dài bằng
A, .
B, .
C, .
D, .
. Đáp án: A
Câu 5 [863965]: Trong không gian với hệ toạ độ cho tam giác biết Tìm toạ độ trong tâm của tam giác
A,
B,
C,
D,
Chọn C
Ta có: Đáp án: C
Câu 6 [863970]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho điểm Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác
A,
B,
C,
D,
Gọi là trọng tâm của tam giác theo công thức ta có Vậy Đáp án: D
Câu 7 [371963]: Cho Tích vô hướng có giá trị là
A,
B,
C,
D,
Đáp án: D
Câu 8 [51382]: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và Tìm tọa độ điểm thỏa mãn
A,
B,
C,
D,
Giả sử
Ta có

Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 9 [51081]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm và Tìm để tam giác vuông tại
Ta có
Do đó tam giác vuông tại khi
Câu 10 [51372]: Trong không gian , cho tam giác có Số đo của góc là
A,
B,
C,
D,
Ta có
Ta thấy vuông cân tại
Suy ra
Chọn đáp án A. Đáp án: A
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu học sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 11 [863971]: Trong không gian cho tam giác có
a) Sai.. Ta có:


b) Đúng. Xét
Vậy tam giác vuông tại
c) Sai . Chu vi tam giáclà
d) Sai. Do tam giác vuông tại nên
Câu 12 [713212]: Một thiết kế cơ khí được biểu diễn trong không gian như hình bên dưới với độ dài đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 1 m, là một đoạn dây cáp được kéo căng.
a) Đúng.
Tọa độ điểm là
b) Đúng.
c) Sai.
nên
d) Đúng.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 13 [597949]: Trong không gian cho tam giác có Số đo của góc bằng bao nhiêu độ?
Ta có:
Suy ra
Suy ra góc
Câu 14 [863972]: Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 10 phút. Sau đúng 5 phút tính từ lúc máy bay ở vị trí thì máy bay ở vị trí Tính
Gọi là vị trí của máy bay tại thời điểm 5 phút sau khi xuất phát từ
Ta có ;
Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ A đến B gấp đôi thời gian bay từ A đến T nên

Suy ra
Câu 15 [380495]: Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía nam và 1 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc và 1,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 km. Chọn hệ trục toạ độ với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng trùng với mặt đất với trục hướng về phía nam, trục hướng về phía đông và trục hướng thẳng đứng lên trời (hình vẽ), đơn vị đo lấy theo kilômét. Xác định khoảng cách giữa hai khinh khí cầu theo kilômét (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Gọi A là tọa độ của khinh khí cầu 1 trong hệ trục tọa độ Oxyz
Gọi B là tọa độ của khinh khí cầu 2 trong mặt phẳng Oxy
Khoảng cách giữa hai điểm AB là
PHẦN IV. Câu tự luận
Câu 16 [879694]: Trong không gian với hệ tọa độ cho
a) Chứng minh rằng ba điểm không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác
c) Tính chu vi tam giác
d) Tính

a)Chứng minh rằng ba điểm không thẳng hàng.
Gợi ý: Ba điểm thẳng hàng khi cùng phương
Hay
Ta có:


Vậy không tồn tại một giá trị k thỏa mãn cả 3 phương trình, nên cùng phương và 3 điểm không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm
Gợi ý: Tọa độ trọng tâm được tính bằng công thức:

Thay tọa độ các điểm , , vào công thức:
,,.
Vậy, tọa độ trọng tâm của tam giác là
c) Tính chu vi tam giác



Vậy chu vi tam giác là
d)
Câu 17 [879695]: Trong không gian cho
a) Tìm toạ độ trung điểm của
b) Tìm điểm trên mặt phẳng sao cho nhỏ nhất.
Cho và .
a)Ta có: Tọa độ trung điểm



Vậy, tọa độ trung điểm của là
b) Tìm điểm trên mặt phẳng sao cho nhỏ nhất.
Ta có




Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta biến đổi biểu thức về dạng tổng các bình phương:

Vì và với mọi , giá trị nhỏ nhất của đạt được khi và .
Điều này xảy ra khi: . .
Khi đó, giá trị nhỏ nhất của là . Điểm cần tìm có tọa độ là .
Câu 18 [879696]: Xét hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một điểm trong cùng một ngày. Chiếc thứ nhất đang ở vị trí cách điểm xuất phát 2 km về phía Nam và 1 km về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. Chiếc thứ hai đang ở vị trí nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía Bắc và 1,4 km về phía Tây đồng thời cách mặt đất 1 km. Chọn hệ trục tọa độ với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng trùng với mặt đất, trục hướng về phía Nam, trục hướng về phía Đông và trục hướng thẳng đứng lên trời (như hình vẽ). Lấy đơn vị đo trên mỗi trục là km.



a) Tìm tọa độ của khinh khí cầu thứ nhất.
b) Tìm khoảng cách giữa hai khinh khí cầu.
c) Tìm toạ độ điểm nằm trên mặt đất sao cho tổng khoảng cách từ đến hai khinh khí cầu là ngắn nhất?
1.Phương pháp:
C1:Dựa vào mô tả vị trí và hệ trục tọa độ đã cho để xác định tọa độ và
C2:Tính khoảng cách giữa hai điểm: Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
C3:Đây là bài toán tối ưu khoảng cách. Vì nằm trên mặt đất (), ta sẽ sử dụng phương pháp đối xứng.
2.Cách giải:
a)Tìm tọa độ của khinh khí cầu thứ nhất.
Chiếc thứ nhất đang ở vị trí cách điểm xuất phát 2 km về phía Nam suy ra và 1 km về phía Đông nên , đồng thời cách mặt đất 0.5 km nên
Vậy tọa độ của khinh khí cầu thứ nhất là .
Tương tự ta có tọa độ khinh khí cầu thứ hai là
b) Tìm khoảng cách giữa hai khinh khí cầu.
Khoảng cách giữa hai khinh khí cầu là độ dài đoạn thẳng .

c) Tìm tọa độ điểm nằm trên mặt đất sao cho tổng khoảng cách từ đến hai khinh khí cầu là ngắn nhất.
Để tổng khoảng cách là ngắn nhất, ta sử dụng phương pháp đối xứng.
Tìm điểm đối xứng với qua mặt phẳng :
Tổng nhỏ nhất khi và chỉ khi nằm trên đoạn thẳng .
Điểm chính là giao điểm của đoạn thẳng và mặt phẳng ().


Phương trình đường thẳng là:
Tìm giao điểm với mặt phẳng ():
Thay vào phương trình tham số để tìm tọa độ :
3. Kết luận:
a) Tọa độ của khinh khí cầu thứ nhất là
b) Khoảng cách giữa hai khinh khí cầu là km.
c) Tọa độ điểm nằm trên mặt đất sao cho tổng khoảng cách từ đến hai khinh khí cầu là ngắn nhất là .