Quay lại
Đáp án
A. TÔ TRÊN PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1093820]: Gọi là tập hợp tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng. Khi đó tập hợp bằng
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: là tiệm cận đứng của hàm số nếu và (Nghĩa là: a là nghiệm của mẫu thức và không là nghiệm của tử thức).
✒️ Lời giải chi tiết:
Hàm số có tử thức là và mẫu thức là
Ta thấy chỉ có một nghiệm duy nhất là
Do đó, để hàm số có tiệm cận đứng thì không phải là nghiệm của

Vậy tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
🔑 Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 2 [1093821]: Cho hình chóp có đáy là tứ giác lồi, và vuông góc với mặt phẳng Biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy thỏa mãn Thể tích của khối chóp bằng
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Thể tích khối chóp được tính theo công thức , trong đó là diện tích đáy và là chiều cao.
Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc được tính bởi .
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy là góc do .
Chiều cao khối chóp là .

✒️ Lời giải chi tiết:
Tứ giác có nên diện tích đáy là .
Thay và ta được .
Vì nên là hình chiếu của trên mặt phẳng đáy.
Góc giữa và là .
Trong tam giác vuông có .
Thay và ta được .
Thể tích khối chóp là .
🔑 Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 3 [1093822]: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật tâm và Phát biểu nào sau đây là đúng?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Sử dụng định lí: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
✒️ Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết đề bài: là hình chữ nhật tâm là trung điểm AC và BD.
Xét tam giác có: cân tại
là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của

Tương tự, ta có
Từ và suy ra
🔑 Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 4 [1093823]: Tổng các nghiệm của phương trình bằng
A, 1.
B, 2.
C, 0.
D, 3.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Với phương trình mũ có cùng cơ số với thì ta có .
Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai (nếu có nghiệm) được tính theo hệ thức Vi-ét .
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có phương trình .
Vì cơ số nên phương trình trở thành .
Chuyển vế ta được .
Giải phương trình bậc hai trên, ta có hoặc .
Tổng các nghiệm của phương trình là .
🔑 Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 5 [1093824]: Bạn Minh định làm một vật thể có dạng hình trụ tròn xoay với bán kính đáy bằng 2 cm sao cho diện tích xung quanh của hình trụ bằng tổng diện tích hai mặt đáy của nó. Thể tích của khối trụ này bằng
A,
B,
C,
D,

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Diện tích xung quanh hình trụ được tính bởi .
Diện tích hai mặt đáy của hình trụ là .
Dựa vào điều kiện đề bài cho để tìm chiều cao , sau đó áp dụng công thức thể tích .
✒️ Lời giải chi tiết:
Bán kính đáy hình trụ là .
Diện tích xung quanh hình trụ là .
Diện tích hai mặt đáy là .
Theo đề bài nên .
Suy ra .
Thể tích khối trụ là .

🔑 Chọn đáp án C.

Đáp án: C
Câu 6 [1093825]: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm trên các trục tọa độ Phương trình mặt phẳng là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Xác định tọa độ các hình chiếu vuông góc của điểm lên các trục tọa độ.
Mặt phẳng đi qua ba điểm cắt trục , , có phương trình dạng .
✒️ Lời giải chi tiết:
Điểm .
Hình chiếu của lên trục là .
Hình chiếu của lên trục là .
Hình chiếu của lên trục là .
Mặt phẳng có dạng .
Biến đổi tương đương ta được .
🔑 Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 7 [1093826]: Cho hàm số Tập nghiệm của phương trình là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số .
Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp .
Giải phương trình tích bằng cách cho từng thừa số bằng , lưu ý với mọi .
✒️ Lời giải chi tiết:
Cho hàm số .
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích ta có .
Đặt nhân tử chung ra ngoài được .
Giải phương trình ta có .
Vì với mọi nên phương trình tương đương với .
Giải ra được .
Tập nghiệm của phương trình là .
🔑 Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 8 [1093827]: Cho cấp số nhân với công bội Đặt Để đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của là
A, –2025.
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là .
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai với , giá trị nhỏ nhất đạt tại đỉnh Parabol có hoành độ .
✒️ Lời giải chi tiết:
Cho cấp số nhân có .
Khi đó .
Ta có .
Thay vào biểu thức ta được .
Rút gọn được .
Biểu thức là hàm bậc hai theo với hệ số nên đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh Parabol.
Giá trị tại đó là .
Rút gọn được .
🔑 Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 9 [1093828]: Tập nghiệm của bất phương trình là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Với bất phương trình dạng ta cần xét điều kiện xác định .
Nếu thì bất phương trình tương đương .
Sau khi giải, kết hợp nghiệm tìm được với điều kiện xác định để suy ra tập nghiệm cuối cùng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét bất phương trình .
Điều kiện xác định là nên .
Vì cơ số nên bất phương trình tương đương với .
Ta có nên .
Giải được .
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm là .
🔑 Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 10 [1093829]: Cho đồ thị của hàm số như hình bên và diện tích hai phần tô đậm lần lượt là và Giá trị của bằng
A, 7.
B, –7.
C, 5.
D, 13.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Mối liên hệ giữa tích phân và diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục hoành và hai đường thẳng , .
Nếu trên đoạn thì .
Nếu trên đoạn thì .
Sử dụng tính chất cộng đoạn của tích phân .
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét tích phân trên đoạn , chia tại điểm .
Trên đoạn , đồ thị nằm phía trên trục hoành nên .
Trên đoạn , đồ thị nằm phía dưới trục hoành nên .
Áp dụng tính chất cộng đoạn của tích phân ta có .
Thay các giá trị đã biết được .
🔑 Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 11 [1093830]: Phương trình có tập nghiệm là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Phương trình lượng giác cơ bản của hàm số sin có dạng thì nghiệm là với .
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét phương trình .
Theo công thức nghiệm cơ bản của hàm số sin, ta có với .
Chuyển vế sang vế phải ta được .
Rút gọn được .
Tập nghiệm của phương trình là .
🔑 Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 12 [1093831]: Xét hai biến cố độc lập thỏa mãn và Xác suất của biến cố bằng
A, 0,14.
B, 0,44.
C, 0,76.
D, 0,9.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Hai biến cố và độc lập thì và cũng độc lập.
Công thức xác suất biến cố hợp là .
Nếu và độc lập thì .
Xác suất của biến cố đối là .
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có nên .
Vì và độc lập nên và cũng độc lập, do đó .
Với suy ra .
Áp dụng công thức xác suất biến cố hợp ta có .
🔑 Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 13 [1093832]: Biểu đồ dưới đây thể hiện chi phí hoạt động của 4 công ty A, B, C, D cho ba hạng mục: Nhân sự, đầu tư và vận hành trong năm 2024 (đơn vị: tỉ đồng).

Chọn ngẫu nhiên một công ty trong các công ty đó. Xác suất để công ty được chọn ra có chi phí trung bình của ba hạng mục lớn hơn 154 tỉ đồng là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Tính chi phí trung bình của mỗi công ty theo công thức .
So sánh chi phí trung bình với để xác định số công ty thỏa mãn điều kiện.
Tính xác suất theo công thức .
✒️ Lời giải chi tiết:
Chi phí trung bình của công ty A là .
Chi phí trung bình của công ty B là .
Chi phí trung bình của công ty C là .
Chi phí trung bình của công ty D là .
So sánh với ta thấy chỉ có hai công ty B và D có chi phí trung bình lớn hơn .
Chọn ngẫu nhiên một trong bốn công ty nên xác suất cần tìm là .
🔑 Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 14 [1093833]: Cho hàm số có đạo hàm trên và hàm số có đồ thị như hình bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Hàm số đồng biến trên một khoảng khi với mọi thuộc khoảng đó.
Trên đồ thị, điều này tương ứng với phần đồ thị của hàm số nằm phía trên trục hoành .
✒️ Lời giải chi tiết:
Quan sát đồ thị hàm số , ta xác định các khoảng mà đồ thị nằm phía trên trục hoành.
Từ hình vẽ, đồ thị nằm phía trên trục hoành trên khoảng .
Ngoài ra, đồ thị còn nằm phía trên trục hoành trên khoảng nhưng khoảng này không trùng với các phương án cho trước.
Do đó, trong các phương án đã cho, chỉ có khoảng thỏa mãn điều kiện đồng biến của hàm số .
🔑 Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 15 [1093834]: Giá trị của để hai mặt phẳng và vuông góc với nhau là
A, –1.
B, 1.
C, –4.
D, 4.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Hai mặt phẳng và vuông góc khi và chỉ khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau.
Điều này tương đương với điều kiện tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng .
✒️ Lời giải chi tiết:
Từ phương trình hai mặt phẳng ta xác định được vectơ pháp tuyến của là .
Vectơ pháp tuyến của là .
Để hai mặt phẳng vuông góc thì .
Ta có .
Rút gọn được .
Suy ra .
Do đó .
🔑 Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 16 [1093835]: Hàm số có một nguyên hàm là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản và .
Nguyên hàm của một hiệu bằng hiệu các nguyên hàm tương ứng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Cần tìm họ nguyên hàm của hàm số .
Ta có .
Tính được và .
Nên một nguyên hàm là .
Chọn ta được .
🔑 Chọn đáp án D. Đáp án: D
Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17 [1093836]: Trong không gian với hệ tọa độ có hai trạm phát sóng wifi với ranh giới vùng phủ sóng của trạm thứ nhất, trạm thứ hai lần lượt cho bởi các mặt cầu Coi mặt đất là một phần của mặt phẳng tọa độ đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là mét.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Vùng phủ sóng trên mặt đất là giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng có phương trình .
Nếu mặt cầu có tâm và bán kính thì vùng phủ sóng trên mặt đất là đường tròn có tâm và bán kính .
Khoảng cách giữa hai tâm phủ sóng trên mặt đất được tính theo công thức .
Thời gian di chuyển ngắn nhất được xác định bởi .
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét mệnh đề a).
Trạm có tâm và .
Hình chiếu của xuống mặt đất là , khoảng cách từ tâm đến mặt đất là .
Bán kính vùng phủ sóng trên mặt đất là
.
Suy ra mệnh đề a) đúng.
Xét mệnh đề b).
Trạm có tâm và .
Khoảng cách từ tâm đến mặt đất là .
Bán kính vùng phủ sóng trên mặt đất là
.
Suy ra mệnh đề b) đúng.
Xét mệnh đề c).
Tâm hai vùng phủ sóng trên mặt đất lần lượt là và .
Khoảng cách giữa hai tâm là
.
Do đó mệnh đề c) sai vì không bằng .
Xét mệnh đề d).
Khoảng cách ngắn nhất giữa hai vùng phủ sóng là
.
Với vận tốc thì thời gian di chuyển ít nhất là
.
Do đó mệnh đề d) sai vì không bằng .
🔑 Điền đáp án: a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
Câu 18 [1093837]: Người ta mô phỏng cách chế tạo một chi tiết máy như sau: Về nửa đường tròn đường kính và một dây cung song song với Quay hình thang quanh đường thẳng để tạo thành chi tiết máy có dạng khối tròn xoay.
Xét hệ tọa độ với O là trung điểm của đoạn thẳng (như hình minh họa bên), đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là centimét. Giả sử với
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).

💡 Phương pháp:
Sử dụng hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Nửa đường tròn có tâm , bán kính .
Phương trình nửa đường tròn là với .
Xác định các điểm , , , với và .
Khi quay hình thang quanh trục , thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức và khai thác tính đối xứng qua trục .

✒️ Lời giải chi tiết:
a) Vì điểm nằm trên đường tròn tâm bán kính nên tọa độ của thỏa mãn .
Suy ra .
Mệnh đề cho là không đúng.
⇒ Mệnh đề a) sai.

b) Xét đường thẳng đi qua và .
Vectơ chỉ phương của là .
Hệ số góc của là .
Phương trình đường thẳng là .
⇒ Mệnh đề b) đúng.

c) Do hình thang đối xứng qua trục nên thể tích khối tròn xoay bằng hai lần thể tích phần bên phải trục .
Phần từ đến tạo thành hình trụ có thể tích .
Phần từ đến tạo thành hình nón cụt với bán kính biến thiên .
Thể tích phần này là .
Do đó thể tích toàn phần là V=2\pi\left(\int_0^a b^2\,dx+\int_a^3\dfrac{b^2}{(a-3)^2}(x-3)^2\,dx\right). Công thức trong mệnh đề đã cho thiếu hệ số .
⇒ Mệnh đề c) sai.

d) Ta có V=2\pi\left(ab^2-\dfrac{b^2(a-3)}{3}\right). Thay suy ra V=2\pi(9-a^2)\dfrac{2a+3}{3}. Xét hàm trên .
.
Giải được .
Khi đó V_{\max}\approx2\pi\cdot7{,}31\cdot1{,}86\approx85{,}39. Vì nên khẳng định “giá trị lớn nhất nhỏ hơn ” là không đúng.
⇒ Mệnh đề d) sai.

🔑 Chọn đáp án: a) S, b) Đ, c) S, d) S
B. VIẾT TRÊN TỜ GIẤY THI Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
Câu 19 [1093838]: Chọn ngẫu nhiên ba số nguyên dương khác nhau đôi một không vượt quá 12. Hỏi xác suất để ba số được chọn ra là độ dài ba cạnh của một tam giác bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp:
Giả sử ba số được chọn là với .
Ba số là độ dài ba cạnh của một tam giác khi và chỉ khi .
Ta cố định số lớn nhất , sau đó đếm số cặp thỏa mãn và .
Cộng tất cả các trường hợp theo từng giá trị của .
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét lần lượt từng giá trị của .
Với :
Chỉ có cặp , nhưng không lớn hơn , nên không thỏa mãn.
Số bộ: .
Với :
Các cặp là , , .
Chỉ có thỏa mãn vì .
Số bộ: .
Với :
Các cặp là , , , , , .
Thỏa mãn điều kiện là và .
Số bộ: .
Với :
Các cặp thỏa mãn là , , , .
Số bộ: .
Với :
Các cặp thỏa mãn là , , , , , .
Số bộ: .
Với :
Các cặp thỏa mãn là , , , , , , , , .
Số bộ: .
Với :
Đếm được cặp thỏa mãn điều kiện .
Số bộ: .
Với :
Đếm được cặp thỏa mãn điều kiện .
Số bộ: .
Với :
Đếm được cặp thỏa mãn điều kiện .
Số bộ: .
Với :
Đếm được cặp thỏa mãn điều kiện .
Số bộ: .
Cộng tất cả các trường hợp:
.
Xác suất cần tìm là .
🔑 Kết luận Xác suất để ba số được chọn là độ dài ba cạnh của một tam giác (làm tròn đến hàng phần trăm) là .
Câu 20 [1093839]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu Xét hai điểm thuộc sao cho và Hỏi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp: Đưa phương trình mặt cầu về dạng chuẩn để xác định tâm và bán kính.
Dùng các điều kiện hình học với hai điểm trên mặt cầu, kết hợp công thức khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong không gian.
✒️ Lời giải chi tiết: Phương trình mặt cầu được viết lại là .
Suy ra tâm và bán kính .
Gọi , . Khi đó nên .
Điều kiện cho .
Vì thuộc mặt cầu nên trung điểm của thỏa mãn .
Do đó nên .
Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng .
Thay các giá trị thu được .
🔑 Kết luận Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng .
Câu 21 [1093840]: Bạn An dự định làm một chiếc hộp có dạng hình lăng trụ tam giác đều sao cho thể tích của khối lăng trụ đó bằng 40 cm³. Bạn An muốn sơn màu tất cả các mặt của chiếc hộp đó. Hỏi tổng diện tích của tất cả các mặt được sơn màu nhỏ nhất là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn, thí sinh chỉ điền kết quả sau khi làm tròn theo yêu cầu, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp:
Gọi là độ dài cạnh đáy, là chiều cao của khối lăng trụ tam giác đều.
Biểu diễn thể tích theo , từ đó rút theo .
Lập công thức tổng diện tích bề mặt theo .
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị nhỏ nhất của .
✒️ Lời giải chi tiết:
Diện tích đáy của lăng trụ là .
Thể tích lăng trụ là .
Suy ra .
Tổng diện tích bề mặt là .
Thay vào biểu thức , ta được .
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương và .
Suy ra .
Giá trị nhỏ nhất của là .
🔑 Kết luận
Tổng diện tích bề mặt nhỏ nhất của khối lăng trụ tam giác đều, làm tròn đến hàng đơn vị, là 77.
Câu 22 [1093841]: Bác Dũng gửi tiết kiệm vào một tài khoản ngân hàng theo kì hạn 1 tháng. Biết rằng số tiền trong tài khoản sau tháng được tính bằng công thức (triệu đồng) và bác Dũng không rút tiền khỏi ngân hàng trong suốt quá trình gửi. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng, số tiền trong tài khoản đó của bác Dũng vượt quá 52 triệu đồng?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp: So sánh số tiền trong tài khoản sau tháng với mốc triệu đồng.
Giải bất đẳng thức mũ theo biến , sau đó lấy giá trị nguyên nhỏ nhất của thỏa mãn điều kiện.
✒️ Lời giải chi tiết: Số tiền trong tài khoản sau tháng là (triệu đồng).
Điều kiện đề bài yêu cầu là .
Hay .
Lấy logarit hai vế suy ra .
Suy ra .
Vì là số tháng nguyên nên giá trị nhỏ nhất thỏa mãn là .
🔑 Kết luận Ít nhất sau tháng, số tiền trong tài khoản của bác Dũng vượt quá triệu đồng.
Phần IV (3 điểm). Thí sinh trình bày đầy đủ lời giải từ câu 5 đến câu 7.
Câu 23 [1093842]: Một trường học có 60% học sinh là nữ, 40% học sinh là nam. Sau khi thống kê kết quả học tập cuối năm, người ta thấy rằng trong số học sinh nữ có 45% đạt kết quả học tập xếp loại tốt, trong số học sinh nam có 40% đạt kết quả học tập xếp loại tốt. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường. Tính xác suất để học sinh đó là nam, biết rằng học sinh đó đạt kết quả học tập xếp loại tốt (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.

💡 Phương pháp: Sử dụng công thức xác suất có điều kiện (định lí Bayes). Trước hết tính xác suất để một học sinh bất kì đạt học tập xếp loại tốt, sau đó suy ra xác suất học sinh là nam khi biết học sinh đó đạt loại tốt.

✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi M là biến cố “học sinh được chọn là nam”, N là biến cố “học sinh được chọn là nữ”, T là biến cố “học sinh đạt kết quả học tập xếp loại tốt”.
Ta có , .
Xác suất học sinh nam đạt loại tốt là .
Xác suất học sinh nữ đạt loại tốt là .
Xác suất để một học sinh bất kì đạt loại tốt là .
Suy ra .
Theo công thức xác suất có điều kiện, ta có .
Thay số vào được .
Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được .

🔑 Kết luận: Xác suất để học sinh được chọn là nam, biết rằng học sinh đó đạt học tập xếp loại tốt, xấp xỉ 37%
Câu 24 [1093843]: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình thoi cạnh bằng cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy bằng 45°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.

💡 Phương pháp: Phân tích hình học đáy để xác định độ dài các đường chéo và chiều cao hình chóp. Sau đó đặt hệ trục tọa độ phù hợp, xác định vectơ chỉ phương của hai đường thẳng chéo nhau và áp dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng tích hỗn tạp vectơ.

✒️ Lời giải chi tiết:
Đáy là hình thoi cạnh , nên . Do và nên tam giác là tam giác đều cạnh .
Gọi là giao điểm của hai đường chéo và . Khi đó , , , .
Vì vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa với mặt phẳng đáy bằng nên trong tam giác vuông ta có .

Đặt hệ trục tọa độ sao cho trùng với mặt phẳng , trùng trục . Khi đó:
, , .
Do và nên .
Vectơ chỉ phương của là .
Vectơ chỉ phương của là .
Lấy .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và được tính bởi công thức:
.
Ta có .
Suy ra .
Đồng thời .
Do đó .

🔑 Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
Câu 25 [1093844]: Cho hàm số có đạo hàm trên và đồ thị hàm số được cho bởi hình bên. Giả sử và Xét hàm số Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn biết rằng
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.
💡 Phương pháp: Tính đạo hàm , dùng giả thiết so sánh với để xét dấu trên các khoảng. Từ đó suy ra tính đơn điệu của , so sánh giá trị tại các điểm biên để tìm giá trị nhỏ nhất.
✒️ Lời giải chi tiết:
Cho trên đoạn .
Ta có .
Theo giả thiết:
Với thì , nên , suy ra . Do đó đồng biến trên .
Với thì , nên="" ,="" suy="" ra="" . do đó nghịch biến trên .
Suy ra tăng từ đến và giảm từ đến . Vì vậy giá trị nhỏ nhất của trên chỉ có thể đạt tại một trong hai đầu mút hoặc .
Ta có nên .
Mặt khác .
Xét hiệu .
Ta có . Dựa vào đồ thị , diện tích phần hình phẳng nằm dưới đường trên nhỏ hơn diện tích phần nằm trên trên , nên ta có :

.="" Suy ra

🔑 Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đạt tại và bằng