Quay lại
Đáp án
A. TÔ TRÊN PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1079806]: Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A, 5.
B, 3.
C, 2.
D, 4.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: 4.
🔑 Chọn đáp án: 4. Đáp án: D
Câu 2 [1081337]: Cho hai số thực a, b tùy ý và hàm số liên tục trên Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” nên câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”.
✍️ Hướng dẫn giải:
Xét mệnh đề
Mệnh đề này đúng vì tích phân có hai cận bằng nhau luôn bằng
Xét mệnh đề với
Mệnh đề này đúng vì tích phân của hằng số bằng hằng số nhân độ dài khoảng
Xét mệnh đề
Mệnh đề này đúng vì đổi chỗ hai cận tích phân thì giá trị tích phân đổi dấu
Xét mệnh đề
Mệnh đề này sai
Vì là biến lấy tích phân nên không thể đưa ra ngoài dấu tích phân
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Câu 3 [395564]: Trong không gian vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
A,
B,
C,
D,
Chọn D

Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là Đáp án: D
Câu 4 [1037691]: Cho phương trình Tổng các nghiệm thuộc của phương trình là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Phương trình
Giải phương trình

Xét đoạn
Các nghiệm của phương trình trong đoạn là ;
Tổng các nghiệm là:
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 5 [1078365]: Tập tập tất cả các số thực x thỏa mãn là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:

Tập tập tất cả các số thực x thỏa mãn là:
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 6 [1037779]: Tìm số số hạng của cấp số cộng biết số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 262 và tổng số hạng cuối là 519.
A, 50.
B, 51.
C, 52.
D, 53.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Cấp số cộng có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 262 và tổng 2 số hạng cuối là 519





🔑 Chọn đáp án: 52. Đáp án: C
Câu 7 [1081508]: Cho là hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng và Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quanh hình quanh trục Ox bằng
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”.
✍️ Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là .
Ta có .
.

Trên đoạn ta có .
Suy ra thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục hoành là
.
.
.
.
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 8 [1038249]: Một vườn thú ghi lại tuổi thọ (đơn vị: năm) của 20 con hổ và thu được kết quả như sau:

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện ở bảng:
Cỡ mẫu của mẫu số liệu là:
Tứ phân vị thứ nhất nằm ở vị trí thứ: nằm ở nhóm .
🔑 Chọn đáp án: . Đáp án: C
Câu 9 [1080031]: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Đồ thị hàm số
Điều kiện xác định của hàm số là:

nên là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 10 [1081446]: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và được tính bởi công thức
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”.
✍️ Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
Ta có trục xét dấu của hàm số là

Suy ra diện tích hình phẳng đó là

Chọn đáp án: Đáp án: B
Câu 11 [1080155]: Bảng biến thiên sau là của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào bảng biến thiên:
là tiệm cận đứng của hàm số.
là tiệm cận ngang của hàm số.
Bảng biến thiên trên là của hàm số
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 12 [1038531]: Cho hai biến cố ngẫu nhiên A và B. Biết rằng và Tỉ số bằng
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào các dữ kiện: Hai biến cố ngẫu nhiên A và B.

Kết hợp với dữ kiện: và

🔑 Chọn đáp án: 2. Đáp án: A
Câu 13 [1038190]: Khảo sát chiều cao của 31 bạn học sinh ( đơn vị cm), ta có bảng tần số ghép nhóm.

Số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trong bảng trên là
A, 161,875.
B, 161,7.
C, 161,95.
D, 162,5.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện ở bảng:
Nhóm chứa trung vị là là nhóm thứ , ,,, .
.
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 14 [557132]: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại biết số đo góc nhị diện bằng Thể tích của khối lăng trụ là
A,
B,
C,
D,

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Xác định chiều cao của lăng trụ dựa vào quan hệ vuông góc và góc cho trước, sau đó áp dụng công thức thể tích lăng trụ .
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có và .
.
Suy ra góc nhị diện .
Do đó .
Diện tích đáy tam giác là .
Thể tích khối lăng trụ là .
.
🔑 Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 15 [1038406]: Có 2 chiếc hộp đựng bi. Hộp thứ nhất đựng 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi. Xác suất để 2 viên bi lấy ra cùng màu là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Có 2 chiếc hộp đựng bi. Hộp thứ nhất đựng 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi.

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 16 [58452]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu và đường thẳng Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm Tính độ dài đoạn
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Xác định tâm và bán kính mặt cầu, tính khoảng cách từ tâm đến đường thẳng, sau đó dùng công thức độ dài dây cung.
✒️ Lời giải chi tiết:
Mặt cầu có dạng
.
Đường thẳng có vectơ chỉ phương .
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên , khi đó .
Ta có .
Điều kiện
.
Độ dài dây cung được tính bởi
.
🔑 Chọn đáp án A. Đáp án: A
Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17 [405676]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và đường thẳng
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Dựa vào công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, công thức xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như điều kiện hình học của mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng cho trước để xét tính đúng sai của từng mệnh đề.
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét mệnh đề a) ta thấy mệnh đề đã cho là đúng.
Xét mệnh đề b).
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là
.
Giá trị này khác kết luận đã cho nên mệnh đề b) sai.
Xét mệnh đề c).
Đường thẳng có vectơ chỉ phương , mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Gọi là góc giữa và , ta có
.
.
Do đó mệnh đề c) sai.
Xét mệnh đề d).
Vì mặt phẳng chứa và vuông góc với nên nhận hai vectơ chỉ phương là và .
Suy ra một vectơ pháp tuyến của là
.
Mặt phẳng đi qua nên có phương trình
.
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng là
.
Mệnh đề d) đúng.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng
Câu 18 [1093778]: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Dựa vào bảng biến thiên để xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số, vị trí tương đối giữa đồ thị và đường thẳng tiệm cận, đồng thời sử dụng điều kiện tiệm cận đứng, tiệm cận ngang để suy ra dấu của các hệ số trong biểu thức hàm số.
✒️ Lời giải chi tiết:
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là và đường tiệm cận ngang là .
Do đó khẳng định (a) đúng và khẳng định (b) sai.
Từ bảng biến thiên suy ra trên khoảng đồ thị hàm số luôn nằm phía trên đường thẳng .
.
.
Do đó khẳng định (c) sai.
Từ bảng biến thiên ta thấy .
.
Vì là tiệm cận đứng nên do .
Vì là tiệm cận ngang nên .
Suy ra âm và .
Do đó khẳng định (d) sai.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai
B. VIẾT TRÊN TỜ GIẤY THI Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
Câu 19 [28250]: Một chuyến xe buýt có sức chứa tối đa 60 hành khách. Giả sử một chuyến xe chở hành khách thì giá cho mỗi hành khách là đơn vị nghìn đồng. Xác định doanh thu lớn nhất có thể xảy ra của chuyến xe buýt đó (Viết đáp số với đơn vị triệu đồng và làm tròn đến hàng phần mười).
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp:
Lập hàm doanh thu theo biến , tìm cực trị của hàm số trên đoạn xác định bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng , sau đó so sánh các giá trị tại điểm tới hạn và biên để suy ra doanh thu lớn nhất.
✒️ Lời giải chi tiết:
Doanh thu là
.
Ta có đạo hàm
.
Giải phương trình ta được
.
Rút gọn
.
.
Giải phương trình được
hoặc .
Xét các giá trị cần thiết
.
Suy ra doanh thu lớn nhất đạt được là .
🔑 Điền đáp án: 1,6
Câu 20 [1093779]: Một nhà máy có hai xưởng sản xuất: xưởng I chiếm 65% tổng sản phẩm, xưởng II chiếm 35%. Biết rằng tỉ lệ sản phẩm đạt chất lượng tốt của xưởng I là 90% và xưởng II là 85%. Xét 1 sản phẩm không đạt chất lượng. Xác suất đó là sản phẩm do xưởng II sản xuất là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp:
Sử dụng công thức xác suất Bayes để tính xác suất sản phẩm thuộc xưởng II khi biết sản phẩm không đạt chất lượng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi là biến cố “sản phẩm lấy ra không đạt chất lượng”.
Gọi là biến cố “sản phẩm do xưởng I sản xuất”, khi đó là biến cố “sản phẩm do xưởng II sản xuất”.
Theo giả thiết ta có
.
.
Xác suất sản phẩm không đạt chất lượng là
.
.
Xác suất sản phẩm do xưởng II sản xuất khi biết sản phẩm không đạt chất lượng là
.
.
🔑 Điền đáp án:
Câu 21 [1093780]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và hai mặt phẳng Gọi là hai đường thẳng cùng vuông góc với d lần lượt tại A và B. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng chứa và bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp: Tìm giao điểm của đường thẳng với hai mặt phẳng và , xác định mặt phẳng chứa hai đường thẳng cùng vuông góc với , sau đó tính khoảng cách từ đến .
✒️ Lời giải chi tiết:
Đường thẳng .
Giao điểm thoả mãn .
Giao điểm thoả mãn .
Vectơ chỉ phương của là .
Vectơ pháp tuyến của và là .
Do và nên vectơ chỉ phương của là .
Vì nên cũng có vectơ chỉ phương .
Mặt phẳng chứa và nên chứa hai vectơ chỉ phương và .
Vectơ pháp tuyến của là .
Phương trình mặt phẳng đi qua là .
Khoảng cách từ đến là .
🔑 Điền đáp án:
Câu 22 [1038576]: Điền kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm thích hợp vào chỗ trống.
Theo thống kê ở các gia đình có hai con thì xác suất để con thứ nhất và con thứ hai đều là trai là 0,27 và hai con đều là gái là 0,23; còn xác suất con thứ nhất và con thứ hai có một trai và một gái là bằng nhau. Chọn ngẫu nhiên một gia đình thì gặp gia đình có con thứ nhất là gái, xác suất để con thứ hai là trai là __________.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Theo thống kê ở các gia đình có hai con thì xác suất để con thứ nhất và con thứ hai đều là trai là 0,27 và hai con đều là gái là 0,23.
• Chọn ngẫu nhiên một gia đình thì gặp gia đình có con thứ nhất là gái.
Gọi A là biến cố "con thứ nhất là con gái” và B là biến cố "con thứ hai là con trai .

Kết hợp với dữ kiện: Xác suất con thứ nhất và con thứ hai có một trai và một gái là bằng nhau.

Chọn ngẫu nhiên một gia đình thì gặp gia đình có con thứ nhất là gái, xác suất để con thứ hai là trai là:

🔑 Điền đáp án: 0,52.
Phần IV (3 điểm). Thí sinh trình bày đầy đủ lời giải từ câu 5 đến câu 7.
Câu 23 [1100153]: Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.
💡 Phương pháp:
Biến đổi phương trình logarit về dạng tích quen thuộc, sau đó đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai.
✒️ Lời giải chi tiết:
Phương trình đã cho


Đặt , phương trình trở thành



Với




Với

(vô nghiệm)
🔑 Kết luận: có 1 nghiệm là
Câu 24 [1082852]: Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông tâm cạnh cạnh bên tạo với đáy một góc 60°. Gọi là điểm thuộc cạnh sao cho Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng
✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào dữ kiện: Mặt đáy là hình vuông cạnh nên
Kết hợp với dữ kiện: Cạnh bên của chóp tạo với đáy góc nên
Xét tam giác vuông tại nên
Ta có các tỉ số khoảng cách: và

Dựng .
Ta có
Xét tam giác vuông tại có là đường cao:

Vậy
Câu 25 [1081482]: Cho là diện tích các hình phẳng được mô tả trong hình vẽ.

Biết tỉ số và phân số tối giản, tính tổng
✍️ Hướng dẫn giải:
Xét hai đồ thị và .
Diện tích là phần diện tích giới hạn bởi hai đồ thị trên đoạn .
.
Diện tích gồm diện tích dưới đồ thị trên đoạn và diện tích dưới đồ thị trên đoạn .
.
.
.
.
🔑 Đáp án: .