Quay lại
Đáp án
A. TÔ TRÊN PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1081343]: Tính tích phân
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” nên câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”.
✍️ Hướng dẫn giải:
Ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân

Do đó
Tách tích phân

Ta có
Và
Do đó
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Câu 2 [1037628]: Tập xác định của hàm số là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số
Tập xác định của hàm số là:
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 3 [1038110]: Số đôi giày bán ra trong Quí II năm 2023 của cửa hàng chị Hoa được thống kê trong bảng sau.

Mốt của mẫu số liệu trên là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện ở bảng:
Cỡ giày số 39 có số đôi giày được bán ra (tần số) là 74 cao nhất trong mẫu số liệu.

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 4 [1079805]: Cho hàm số có đạo hàm Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A, 0.
B, 1.
C, 2.
D, 3.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số có đạo hàm

Hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.
🔑 Chọn đáp án: 1. Đáp án: B
Câu 5 [1077431]: bằng
A, 1.
B,
C, 2.
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Câu 6 [1081221]: Hàm số có một nguyên hàm là hàm số trên khoảng K nếu
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: là nguyên hàm của hàm số suy ra
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: B
Câu 7 [1037774]: Viết ba số xen giữa 2 và 22 để ta được một cấp số cộng có 5 số hạng.
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Cấp số cộng có 5 số hạng có số hạng đầu tiên là 2 và số hạng thứ 5 là 22




🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 8 [1078371]: Tập nghiệm của bất phương trình là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Bất phương trình


Tập nghiệm của bất phương trình là:
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 9 [1083011]: Trong không gian cho hai đường thẳng và Giá trị của tham số m để hai đường thẳng và vuông góc với nhau là
A, –2.
B, –1.
C, 1.
D, 0.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: và suy ra và
Kết hợp với dữ kiện: Hai đường thẳng và vuông góc với nhau nên
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: B
Câu 10 [7698]: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh , đường chéo . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.

💡 Phương pháp:
Tính diện tích đáy của lăng trụ. Dựa vào tam giác vuông tạo bởi cạnh đáy và đường chéo bên để suy ra chiều cao, sau đó áp dụng công thức thể tích lăng trụ.
✒️ Lời giải chi tiết:
Đáy là tam giác đều cạnh nên diện tích đáy là .
Xét tam giác , do lăng trụ đứng nên vuông tại .
Ta có và .
Áp dụng định lý Pitago: .
.
Thể tích lăng trụ là .
🔑 Điền đáp án: D Đáp án: D
Câu 11 [212398]: Cho khối nón đỉnh có bán kính đáy bằng Gọi và là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho Biết khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng bằng thể tích của khối nón đã cho bằng
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.

💡 Phương pháp:
Dựng các đường vuông góc cần thiết để xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, suy ra chiều cao khối nón rồi áp dụng công thức thể tích.
✒️ Lời giải chi tiết:
Vẽ tại là trung điểm .
Vẽ tại .
Ta có và .
Mà .
Do là trung điểm nên .
Xét vuông tại :
.
Xét vuông tại , áp dụng hệ thức lượng:
.
.
Thể tích khối nón:
.
🔑 Chọn đáp án: D Đáp án: D
Câu 12 [1078398]: Tập nghiệm của phương trình là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Phương trình
Điều kiện xác định của phương trình là:

Tập nghiệm của phương trình là:
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 13 [360645]: Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là:
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Dựa vào dạng tổng quát của phương trình mặt phẳng thì một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
✒️ Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng .
So sánh với dạng ta có .
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
🔑 Chọn đáp án: B Đáp án: B
Câu 14 [280731]: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Tam giác vuông cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi là số đo của góc nhị diện Tính
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Sử dụng tính chất trung điểm trong hình học không gian để đưa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng về góc giữa hai đường thẳng, sau đó áp dụng công thức lượng giác trong tam giác vuông.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi lần lượt là trung điểm của .
.
Suy ra .
Khi đó .
Xét vuông tại , ta có
.
Mà .
.
🔑 Chọn đáp án: D
nhidein6.png Đáp án: D
Câu 15 [1079142]: Cho hàm số có đồ thị Tiếp tuyến của tại giao điểm của và trục hoành có phương trình là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số với trục hoành là:
📒 Nhắc lại kiến thức: Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có dạng với hệ số góc
Dựa vào dữ kiện:
Với suy ra tiếp tuyến của đồ thị hàm số là:

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Câu 16 [15704]: Tìm tham số để hàm số đạt cực tiểu tại .
A,
B,
C, và
D, Không tồn tại
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Dùng điều kiện cực trị của hàm số tại kết hợp đạo hàm bậc hai để xác định tham số .
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có , .
Điều kiện để hàm số có cực tiểu tại là
.
.
Giải phương trình hoặc .
Kết hợp điều kiện .
🔑 Chọn đáp án A. Đáp án: A
Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17 [861535]: Có hai cây cột, một cây cao 16 m và một cây cao 24 m đứng cách nhau 30 m. Chúng được giữ bằng hai sợi dây, gắn vào một cọc duy nhất nối từ mặt đất đến đỉnh mỗi cột (tham khảo hình vẽ sau).

Gọi là khoảng cách từ chân cột cao 16 m đến cọc . Khi đó
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Tính độ dài các đoạn thẳng theo từ đó lập biểu thức tổng chiều dài các sợi dây. Áp dụng bất đẳng thức Minkowski để tìm giá trị nhỏ nhất.
✒️ Lời giải chi tiết:

a) Khoảng cách từ chân cây cột cao m đến cọc là (m) nên khẳng định là đúng.
b) Ta có (m) nên khẳng định là đúng.
c) Ta có (m).
Suy ra tổng chiều dài hai sợi dây là
.
d) Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có
.
Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi .
Do đó tổng chiều dài hai sợi dây nhỏ nhất bằng m nên khẳng định trong ý d) là sai.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai
Câu 18 [696305]: Trong một bể hình lập phương cạnh có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40 cm, 44 cm, 48 cm. Chọn hệ trục toạ độ như hình 2 (đơn vị mỗi trục là cm).
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Chọn hệ trục tọa độ phù hợp, xác định tọa độ các điểm. Sử dụng kiến thức vectơ, phương trình mặt phẳng và công thức tính góc giữa hai mặt phẳng để xét từng mệnh đề.
✒️ Lời giải chi tiết:

a) Đúng.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có , , .
b) Sai.
Ta có .
Vì là hình bình hành nên .


.
Khoảng cách từ đến đáy bể là m cm nên mệnh đề sai.
c) Sai.
Đáy bể nằm trong mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Ta có , .
.
Mặt phẳng đi qua có phương trình
.
.
d) Đúng.
Góc giữa đáy bể và mặt phẳng nằm ngang là góc giữa và .
.
.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng
B. VIẾT TRÊN TỜ GIẤY THI Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
Câu 19 [1037719]: Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm. Tổng của các phần tử trong S bằng __________.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số nguyên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Phương trình có nghiệm

Để phương trình có nghiệm thì:

Kết hợp với dữ kiện: S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có nghiệm

Tổng các nghiệm của phương trình là:
🔑 Điền đáp án:
Câu 20 [322603]: Trong không gian cho hai điểm và mặt phẳng Xét là điểm thay đổi thuộc giá trị nhỏ nhất của bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp:
Sử dụng phương pháp điểm trung gian có trọng số. Đưa biểu thức về dạng rồi suy ra giá trị nhỏ nhất khi nhỏ nhất, tức là khi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi là điểm thỏa mãn .
.
Xét .
.
.
Do nên
.
hay là hình chiếu vuông góc của lên .
Khi đó .
.
🔑 Điền đáp án:
Câu 21 [1081518]: Điền kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất thích hợp vào chỗ trống.
Khi cắt một vật thể hình chiếc nêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ mặt cắt là tam giác vuông có một góc 45° và độ dài một cạnh góc vuông là

Thể tích của vật thể bằng __________ dm3.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Vì mặt cắt là tam giác vuông có một góc 45° nên mặt cắt là tam giác vuông cân.
Do đó diện tích của mặt cắt là:
Thể tích vật thể là:
🔑 Điền đáp án: 5,3.
Câu 22 [135871]: Một gia đình có 3 đứa trẻ. Biết rằng có ít nhất 2 đứa trẻ là con trai và xác suất sinh con trai và con gái là như nhau ở mỗi lần sinh. Xác suất để gia đình có 2 đứa trẻ là con trai và 1 đứa trẻ là con gái bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp:
Xét không gian mẫu gồm các khả năng sinh con trai hoặc con gái là như nhau. Sử dụng xác suất có điều kiện với công thức .
✒️ Lời giải chi tiết:
Vì gia đình có 3 đứa trẻ nên không gian mẫu gồm 8 phần tử:
(trai,trai,trai), (gái,gái,gái), (gái,trai,trai), (trai,gái,trai), (trai,trai,gái), (trai,gái,gái), (gái,trai,gái), (gái,gái,trai).
Gọi là biến cố: “Có đúng 2 đứa trẻ là con trai và 1 đứa trẻ là con gái”.
Gọi là biến cố: “Có ít nhất hai đứa trẻ là con trai”.
Ta có và .
Do nếu xảy ra thì chắc chắn xảy ra nên .
.
Suy ra .
🔑 Điền đáp án:
Phần IV (3 điểm). Thí sinh trình bày đầy đủ lời giải từ câu 5 đến câu 7.
Câu 23 [1099545]: Một cốc thủy tinh đựng đầy nước có chiều cao 10 cm và thể tích là Người ta thả vào cốc một viên bi sắt hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy cốc nước, viên bi sắt ngập toàn bộ trong nước.

Tìm lượng nước bị tràn ra ngoài.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.
💡 Phương pháp:
Sử dụng công thức thể tích hình trụ để xác định bán kính đáy cốc nước.
Từ đó suy ra bán kính viên bi sắt hình cầu ⇒ tính thể tích viên bi.
Dựa vào nguyên lí bảo toàn thể tích chất lỏng để xác định lượng nước tràn ra ngoài.
✒️ Lời giải chi tiết:
Cốc nước có dạng hình trụ với chiều cao cm và thể tích .
Áp dụng công thức thể tích hình trụ ⇒ .
Suy ra ⇒ .
Viên bi sắt là hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy cốc ⇒ bán kính viên bi là .
Thể tích viên bi sắt là .
Thay vào ⇒ .
Tính gần đúng ⇒ .
Cốc nước ban đầu đầy nước ⇒ khi thả ngập viên bi, thể tích nước tràn ra ngoài đúng bằng thể tích viên bi.
Do đó lượng nước tràn ra ngoài là .
🔑 Kết luận: .
Câu 24 [1081555]: Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của hai xe A và B khởi hành cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên cùng một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe A là một đường Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của xe B là một đường thẳng ở hình vẽ.

Hỏi sau khi đi được 3 giây khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét?
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào đồ thị, ta xác định vận tốc của hai xe:


Quãng đường đi được của mỗi xe là nguyên hàm của vận tốc:


Tính quãng đường sau 3 giây:


Khoảng cách giữa hai xe sau 3 giây:

🔑 Đáp án:
Câu 25 [1099547]: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số như hình vẽ.

Tìm số điểm cực trị của hàm số thuộc khoảng
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.
💡 Phương pháp:
Tính đạo hàm của hàm số đã cho ⇒ giải phương trình .
Phân tích điều kiện nghiệm dựa vào đồ thị hàm số ⇒ xác định số nghiệm và bản chất nghiệm.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có: .
Do đó:
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra:

Phương trình có .
Nên phương trình có 2 nghiệm là
Và .
Cả 2 nghiệm đều thuộc và khác các nghiệm trên.
Vậy phương trình có 5 nghiệm trong đó có 1 nghiệm bội ba và 4 nghiệm đơn thuộc .
🔑 Kết luận: điểm cực trị