Quay lại
Đáp án
A. TÔ TRÊN PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1093845]: Tất cả các nghiệm của phương trình là
A,
B,
C,
D,
Phương trình có dạng . Theo công thức nghiệm cơ bản, khi và chỉ khi:

Ở đây, . Thay vào công thức trên, ta có:

Chia cả hai vế cho 2 để tìm :

Vậy đáp án đúng là C. Đáp án: C
Câu 2 [1093846]: Xét một dãy các số lẻ có số hạng đầu là 5, số hạng cuối là số liền sau hơn số liền trước 2 đơn vị. Tổng các số hạng của dãy số đó bằng
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Xét dãy các số lẻ có số hạng đầu là , số hạng cuối là với , mỗi số hạng liền sau hơn số hạng liền trước đơn vị nên đây là một cấp số cộng.
Dãy số có số hạng đầu , số hạng cuối , công sai .
✒️ Lời giải chi tiết:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát .
Ta có .
Suy ra .
Do đó .
Nên .
Tổng các số hạng của dãy số được tính theo công thức .
Suy ra .
Ta được .
Nên .
🔑 Chọn đáp án A Đáp án: A
Câu 3 [1093847]: Bất phương trình có cùng tập nghiệm với bất phương trình nào sau đây?
A,
B,
C,
D,

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Đối với bất phương trình dạng :
• Nếu thì (giữ nguyên chiều).
• Nếu thì (đảo chiều).
🎤 Lời giải chi tiết:
Ta có bất phương trình: .
Biến đổi vế phải về cùng cơ số :

Bất phương trình tương đương với:

Vì và nên cơ số .
Khi bỏ cơ số, ta phải đổi chiều bất phương trình:


🔑 Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 4 [1093848]: Cho hàm số có đạo hàm trên Biết hàm số có đồ thị như hình bên. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A, Hàm số đạt cực đại tại và đạt cực tiểu tại
B, Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm và
C, Hàm số đạt cực đại tại hai điểm và
D, Hàm số đạt cực tiểu tại và đạt cực đại tại
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
🔍 Phương pháp: Dựa vào đồ thị hàm số đạo hàm .
Điểm cực trị của hàm số là điểm tại đó và đổi dấu khi đi qua điểm đó.
Nếu đổi dấu từ âm sang dương thì hàm số đạt cực tiểu.
Nếu đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số đạt cực đại.
✍️ Lời giải chi tiết: Quan sát đồ thị hàm số trong hình vẽ.
Đồ thị cắt trục hoành tại và , đây là các nghiệm của phương trình .
Tại , đồ thị đi từ phía dưới trục hoành lên phía trên trục hoành nên đổi dấu từ âm sang dương.
Nên hàm số đạt cực tiểu tại .
Tại , đồ thị đi từ phía trên trục hoành xuống phía dưới trục hoành nên đổi dấu từ dương sang âm.
Do đó hàm số đạt cực đại tại .
Chọn đáp án D Đáp án: D
Câu 5 [1093849]: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất , ta thực hiện phép chia đa thức tử số cho mẫu số để đưa hàm số về dạng .
Khi đó, đường thẳng chính là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét hàm số .
Thực hiện phép chia đa thức cho .
Ta được .
Suy ra .
Xét giới hạn .
Do đó, đồ thị hàm số có đường thẳng là tiệm cận xiên.
🔑 Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 6 [1093850]: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn và Giá trị của tích phân bằng
A, 7.
B,
C, 3.
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Sử dụng hai tính chất cơ bản của tích phân xác định.
Tính chất đổi cận: .
Tính chất nối cận: .
✒️ Lời giải chi tiết:
Từ giả thiết bài cho: .
Áp dụng tính chất đổi cận, ta có .
Lại có .
Yêu cầu bài toán là tính .
Áp dụng tính chất nối cận với điểm trung gian là , ta có .
Thay các giá trị đã biết vào biểu thức, ta được .
🔑 Chọn đáp án C Đáp án: C
Câu 7 [1093851]: Cho hàm số Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Đối với hàm số bậc nhất trên bậc nhất có dạng với và .
Tiệm cận đứng là đường thẳng .
Tiệm cận ngang là đường thẳng .
Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường tiệm cận, có tọa độ .
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét hàm số .
Tiệm cận đứng được xác định bằng cách cho mẫu số bằng .
Ta có nên .
Tiệm cận ngang là đường thẳng có tung độ bằng tỉ số hệ số của ở tử và mẫu.
Suy ra .
Giao điểm của hai đường tiệm cận và là điểm .
Do đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm .
🔑 Chọn đáp án A Đáp án: A
Câu 8 [1093852]: Người ta muốn làm một chi tiết máy có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D quanh trục với D là hình giới hạn bởi parabol và đường thẳng là trục đối xứng của (xem hình vẽ minh họa bên). Biết a cắt tại hai điểm cách nhau 8 cm và khoảng cách từ đỉnh của đến a bằng 4 cm. Thể tích chi tiết máy bằng bao nhiêu?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Thiết lập hệ tọa độ sao cho đỉnh của Parabol trùng với gốc tọa độ và trục đối xứng trùng với trục .
Phương trình Parabol khi đó có dạng hay tương đương .
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục được tính bởi công thức .
✒️ Lời giải chi tiết:
Chọn hệ trục tọa độ sao cho đỉnh của là và trục đối xứng là trục .
Khi đó phương trình Parabol có dạng hay .
Khoảng cách từ đỉnh đến đường thẳng bằng cm nên phương trình đường thẳng là .
Đường thẳng cắt tại hai điểm cách nhau cm nên tung độ hai giao điểm là và .
Thay tọa độ điểm vào phương trình ta được .
Suy ra .
Do đó phương trình Parabol là .
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục là
.
Thay vào tích phân ta được .
Tính tích phân .
Vậy thể tích khối tròn xoay là cm.
🔑 Chọn đáp án D Đáp án: D
Câu 9 [1093853]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng Một vectơ pháp tuyến của (P) là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Mặt phẳng có phương trình tổng quát thì một vectơ pháp tuyến của nó là .
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét mặt phẳng .
Hệ số của là .
Hệ số của là .
Hệ số của không xuất hiện nên .
Do đó một vectơ pháp tuyến của là .
Các vectơ cùng phương với cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Ta có là một vectơ pháp tuyến thỏa mãn yêu cầu.
🔑 Chọn đáp án C Đáp án: C
Câu 10 [1093854]: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và mặt cầu (S) có phương trình Một điểm thay đổi trên mặt cầu (S). Độ dài đoạn thẳng lớn nhất là
A, 2.
B, 13.
C, 8.
D, 28.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Để tìm độ dài lớn nhất của đoạn thẳng với là điểm cố định và di động trên mặt cầu tâm bán kính , ta thực hiện như sau:
Xác định tâm và bán kính từ phương trình mặt cầu .
Tính độ dài đoạn thẳng .
Áp dụng công thức cực trị:
Độ dài nhỏ nhất .
Độ dài lớn nhất .
Về mặt hình học, giá trị lớn nhất đạt được khi nằm trên đường thẳng và nằm giữa và .
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét mặt cầu có phương trình .
Suy ra tâm mặt cầu là .
Bán kính mặt cầu là .
Xét điểm .
Độ dài đoạn thẳng được tính bởi:
.
.
Độ dài lớn nhất của đoạn thẳng là:
.
🔑 Chọn đáp án C Đáp án: C
Câu 11 [1093855]: Bạn Long định gấp một cái hộp có dạng hình lăng trụ tứ giác đều với tổng diện tích tất cả các mặt là Thể tích cái hộp mà bạn Long định gấp lớn nhất bằng bao nhiêu?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Lập biểu thức thể tích theo một biến và dùng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi cạnh đáy của hình hộp là với và chiều cao là với .
Diện tích hai đáy là .
Diện tích xung quanh là .
Thể tích hình hộp là .
Theo đề bài, tổng diện tích các mặt bằng nên ta có .
Chia cả hai vế cho ta được .
Suy ra .
Thay vào công thức thể tích ta có .
Suy ra .
Xét đạo hàm .
Cho .
Suy ra .
Thay vào biểu thức thể tích ta được .
Suy ra .
Khi thì nên hình hộp đạt thể tích lớn nhất là hình lập phương cạnh .
🔑 Chọn đáp án: B. Đáp án: B
Câu 12 [1093856]: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số trục trục và đường thẳng Diện tích của hình (H) là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên đoạn , trục hoành và hai đường thẳng , được tính theo công thức .
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét hàm số .
Cận trái là trục nên .
Cận phải là đường thẳng .
Vì với mọi nên bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Thiết lập tích phân diện tích .
Tính tích phân được .
🔑 Chọn đáp án A Đáp án: A
Câu 13 [1093857]: Bác An thống kê thời gian tập thể dục mỗi ngày trong một tháng của mình ở bảng sau:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là
A, 15.
B, 10.
C, 14,25.
D, 13,75.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Để tính khoảng tứ phân vị , ta thực hiện các bước sau:
Xác định tổng số đại lượng bằng cách cộng các tần số của các nhóm.
Tìm tứ phân vị thứ nhất bằng cách xác định nhóm có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng .
Áp dụng công thức .
Tìm tứ phân vị thứ ba bằng cách xác định nhóm có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng .
Áp dụng công thức .
Trong đó là đầu mút trái của nhóm, là tần số tích lũy trước đó, là tần số nhóm, là độ rộng nhóm.
Tính khoảng tứ phân vị theo công thức .
✒️ Lời giải chi tiết:
Tổng số ngày là .
Vị trí của là .
Nhóm chứa là nhóm vì có .
.
Vị trí của là .
Nhóm chứa là nhóm vì có .
.
.
Chọn đáp án D Đáp án: D
Câu 14 [1093858]: Cho hai biến cố độc lập và thỏa mãn Xác suất điều kiện là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Để giải bài toán này, ta cần nắm vững định nghĩa về các biến cố độc lập.
Định nghĩa: Hai biến cố và được gọi là độc lập nếu việc biến cố này xảy ra không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.
Tính chất: Nếu và là hai biến cố độc lập thì:


Nói cách khác, xác suất có điều kiện của khi biết (hoặc ) xảy ra chính bằng xác suất không điều kiện của .
✒️ Lời giải chi tiết:
Phân tích giả thiết:
Đề bài cho và là hai biến cố độc lập.
Cho biết xác suất có điều kiện .
Áp dụng tính chất biến cố độc lập:
Vì và độc lập nên .
Do đó .
Do và độc lập nên và cũng là hai biến cố độc lập.
Khi đó:
.
Thay giá trị đã tìm được:
.
🔑 Chọn đáp án A Đáp án: A
Câu 15 [1093859]: Biểu đồ hình bên thống kê nhiệt độ lúc 13 giờ mỗi ngày trong tháng 7 và tháng 8 năm 2024 tại một trạm quan trắc. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi biểu đồ trên là
A, 32,5.
B,
C,
D, 32,56.
📌 Chú ý:Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện như sau.
Xác định nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất.
Áp dụng công thức tính mốt:
.
Trong đó là đầu mút trái của nhóm chứa mốt, là tần số nhóm chứa mốt, là tần số nhóm đứng trước, là tần số nhóm đứng sau, là độ rộng nhóm.
✒️ Lời giải chi tiết:
Dựa vào biểu đồ cột, cột cao nhất có tần số bằng .
Nhóm chứa mốt là .
Suy ra .
.
với nhóm .
với nhóm .
Độ rộng nhóm .
Áp dụng công thức:
.
.
.
🔑 Chọn đáp án B Đáp án: B
Câu 16 [1093860]: Một hộp chứa 6 tấm thẻ màu xanh và 4 tấm thẻ màu đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Bình lấy ra ngẫu nhiên lần lượt từng thẻ từ hộp cho tới khi lấy được tấm thẻ đỏ thì dừng lại. Xác suất để Bình phải lấy thẻ ít nhất 3 lần là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý:Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Để tính xác suất biến cố “Bình phải lấy thẻ ít nhất lần”, ta sử dụng biến cố đối.
Gọi là số lần lấy thẻ.
Biến cố có biến cố đối là , tức là lấy thẻ đỏ ở lần thứ nhất hoặc lần thứ hai.
Do đó áp dụng công thức:
.
✒️ Lời giải chi tiết:
Tổng số thẻ trong hộp là thẻ xanh và thẻ đỏ, tổng cộng thẻ.
Xác suất lấy được thẻ đỏ ở lần thứ nhất:
.
Xác suất lấy được thẻ đỏ ở lần thứ hai là trường hợp lần lấy thẻ xanh và lần lấy thẻ đỏ.
Xác suất lần lấy thẻ xanh là .
Sau khi lấy thẻ xanh, trong hộp còn thẻ, trong đó có thẻ đỏ nên xác suất lấy thẻ đỏ ở lần là .
Suy ra:
.
Xác suất Bình phải lấy thẻ ít nhất lần là:
.
.
🔑Chọn đáp án B Đáp án: B
Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17 [1093861]: Cho hàm số
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Tính đạo hàm của hàm số đã cho.
Giải phương trình để xét điểm cực trị.
Xét dấu trên các khoảng xác định để lập bảng biến thiên.
Dựa vào bảng biến thiên, tiệm cận và hình dạng đồ thị để đối chiếu với hình vẽ.
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét hàm số .
Tập xác định là .
a) Ta có .
Mệnh đề a) đúng.
b) Giải phương trình .
Ta có .
Suy ra .
Suy ra .
Do đó hoặc .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và .
Nên mệnh đề b) đúng.
c) Xét dấu .
Với thì nên .
Với thì nên .
Với thì nên .
Với thì nên .
Tại hàm đạt cực đại .
Tại hàm đạt cực tiểu .
Khi thì , khi thì .
Bảng biến thiên cho trong mệnh đề là phù hợp.
Nên mệnh đề c) đúng.
d) Hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên .
Đồ thị gồm hai nhánh, nhánh trái đi qua điểm cực đại và nhánh phải đi qua điểm cực tiểu .
Hình vẽ trong mệnh đề không biểu diễn đúng đầy đủ các đặc điểm trên.
Nên mệnh đề d) sai.
🔑Chọn đáp án: a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
Câu 18 [1093862]: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng : Xét các vectơ và
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Trích xuất vectơ chỉ phương của đường thẳng từ phương trình chính tắc.
Trích xuất vectơ pháp tuyến của mặt phẳng từ phương trình tổng quát.
So sánh các vectơ đề bài cho với các vectơ vừa tìm được.
Tính tích vô hướng theo công thức .
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng công thức .
✒️ Lời giải chi tiết:
Cho đường thẳng và mặt phẳng .
Xét các vectơ và .
a) Từ phương trình chính tắc của , ta lấy được một vectơ chỉ phương là .
Ta thấy trùng với đã cho.
Nên mệnh đề a) đúng.
b) Từ phương trình của , ta có một vectơ pháp tuyến là .
Ta có .
Do đó cùng phương với nên cũng là vectơ pháp tuyến của .
Nên mệnh đề b) sai vì đề bài khẳng định không là vectơ pháp tuyến.
c) Ta tính .
Giá trị này khác .
Nên mệnh đề c) sai.
d) Gọi là góc giữa và .
Ta có và .
Suy ra .
Do đó .
Làm tròn đến hàng đơn vị được , không phải .
Nên mệnh đề d) sai.
🔑 Chọn đáp án: a) Đ, b) S, c) S, d) S
B. VIẾT TRÊN TỜ GIẤY THI Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày suy luận.
Câu 19 [1093863]: Thống kê số người nhiễm virus trong vòng 21 ngày ở một cộng đồng, người ta nhận thấy số người nhiễm virus vào ngày thứ là Ta xem là một hàm số xác định trên và là tốc độ nhiễm virus tại thời điểm Tốc độ nhiễm virus lớn nhất vào ngày thứ bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp: Xác định hàm tốc độ nhiễm virus bằng đạo hàm của hàm số người nhiễm.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm tốc độ trên đoạn đã cho bằng cách xét đạo hàm cấp hai và so sánh tại điểm tới hạn và hai đầu mút.
✒️ Lời giải chi tiết: Hàm số biểu diễn số người nhiễm virus là .
Tốc độ nhiễm virus tại thời điểm là .
Đạo hàm của hàm tốc độ là .
Giải phương trình ta được , suy ra .
Xét các giá trị trên đoạn , ta có .
.
.
So sánh các giá trị trên, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại .
🔑 Kết luận Tốc độ nhiễm virus lớn nhất vào ngày thứ .
Câu 20 [1093864]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng đi qua điểm và nhận hai vectơ làm cặp vectơ chỉ phương. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng tích có hướng của hai vectơ chỉ phương đã cho.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm đã biết và có vectơ pháp tuyến tương ứng.
Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng để tính kết quả.
✒️ Lời giải chi tiết: Hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng là và .
Vectơ pháp tuyến của là .
Ta có .
.
.
Suy ra .
Mặt phẳng đi qua điểm nên có phương trình .
Rút gọn được phương trình mặt phẳng là .
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là .
Tính được .
🔑 Kết luận Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng .
Câu 21 [1093865]: Một nghiên cứu cho thấy có các tin nhắn trên một mạng viễn thông X là tin nhắn quảng cáo. Trong các tin nhắn quảng cáo, tin nhắn có chứa chữ “sale”. Trong các tin nhắn không quảng cáo, tin nhắn có chứa chữ “sale”. Chọn ngẫu nhiên 1 tin nhắn trên mạng viễn thông X. Biết rằng tin nhắn đó có chứa chữ “sale”, xác suất để nó là tin quảng cáo bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp: Gọi là biến cố “tin nhắn là tin quảng cáo”, là biến cố “tin nhắn có chứa chữ sale”.
Xác định các xác suất đã cho , , , .
Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất .
✒️ Lời giải chi tiết: Ta có nên .
Xác suất tin nhắn có chữ sale khi là quảng cáo là .
Xác suất tin nhắn có chữ sale khi không là quảng cáo là .
Theo công thức xác suất đầy đủ, .
Suy ra .
Theo công thức Bayes, .
Làm tròn đến hàng phần trăm được .
🔑 Kết luận Xác suất tin nhắn là quảng cáo khi biết nó có chứa chữ sale là .
Câu 22 [1093866]: Một đoàn tàu gồm 3 toa đỗ trên sân ga. Có 9 hành khách lần lượt lên tàu, mỗi người chọn ngẫu nhiên 1 trong 3 toa. Mỗi toa tàu đều có thể chứa đến 9 hành khách. Biết rằng toa tàu nào cũng có ít nhất 2 hành khách, xác suất để mỗi toa có đúng 3 hành khách là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp: Gọi là biến cố “mỗi toa có đúng khách”, là biến cố “mỗi toa có ít nhất khách”.
Tính số cách thỏa mãn và .
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện .
✒️ Lời giải chi tiết: Số cách xếp khách vào toa sao cho mỗi toa có đúng người là .
Xét các cách phân chia khách vào toa sao cho mỗi toa có ít nhất người.
Trường hợp có cách.
Trường hợp có hoán vị, mỗi hoán vị có cách, nên có cách.
Trường hợp có hoán vị, mỗi hoán vị có cách, nên có cách.
Tổng số cách thỏa mãn là .
Xác suất có điều kiện là .
Làm tròn đến hàng phần trăm được .
🔑 Kết luận Xác suất để mỗi toa có đúng khách khi biết mỗi toa có ít nhất khách là .
Phần IV (3 điểm). Thí sinh trả lời tự câu 5 đến câu 7. Đối với mỗi câu, thí sinh viết quá trình và kết quả suy luận.
Câu 23 [1093867]: Giải phương trình:
Điều kiện:
Phương trình



(thõa mãn điều kiện)
Câu 24 [1093868]: Cho hình lăng trụ đứng tam giác Biết rằng và số đo của góc nhị diện bằng Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

+ Gọi M là trung điểm của Do tam giác cân tại và lăng trụ là lăng trụ đứng nên và Vậy
+ Xét tam giác có và nên
+ Xét tam giác vuông tại có
+ Do cắt tại trung điểm nên ta có:
+ hay Vậy
Câu 25 [1093869]: Một nhà thiết kế dự định thiết kế một logo cho một công ty (xem hình minh họa bên). Đường viền của logo bao gồm nửa đường tròn đường kính bằng 4 cm, hai cung và lần lượt là một phần của các parabol đỉnh và đỉnh trục đối xứng của mỗi parabol vuông góc với đường thẳng BC. Tính diện tích của logo đó, biết tam giác là tam giác vuông cân tại

Chọn hệ trục Oxy, đơn vị trên hai trục đều là cm (như hình vẽ). Gọi là đường tròn có tâm bán kính
Vì parabol có đúng một điểm chung với trục nên phương trình của có dạng
Mặt khác, cắt trục tại nên
Diện tích cần tìm là: