Quay lại
Đáp án
A. TÔ TRÊN PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1079037]: Hàm số có đạo hàm là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Áp dụng công thức:
Vậy đạo hàm của hàm số là
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 2 [396695]: Tích phân bằng
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số và tính tích phân xác định bằng cách lấy giá trị cận trên trừ cận dưới.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có .
.
.
.
🔑 Chọn đáp án: A. Đáp án: A
Câu 3 [1037595]: Rút gọn biểu thức: ta được kết quả là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Áp dụng công thức cộng:
❶
❷
❸
❹
❺
❻
Dựa vào dữ kiện: Biểu thức


Thay vào biểu thức:



🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 4 [52990]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm . Mặt phẳng đi qua hai điểm và song song với đường thẳng có phương trình là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Xác định hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng, từ đó tìm vectơ pháp tuyến rồi viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm đã cho.
✒️ Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng đi qua hai điểm và nên nhận vectơ làm vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng song song với đường thẳng đi qua và nên nhận vectơ làm vectơ chỉ phương.
Ta có .
Ta có .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích có hướng của hai vectơ chỉ phương:
.
.
.
.
.
Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến .
.
.
.
🔑 Chọn đáp án: A. Đáp án: A
Câu 5 [1106500]: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ bước giải để xác định tham số sao cho hàm số nghịch biến trên .
💡 Phương pháp:
- Lập đạo hàm của hàm số .
- Xét điều kiện để hàm số nghịch biến trên : .
- Giải bất phương trình theo và của tam thức bậc hai.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có:
Trường hợp 1: . Hàm số nghịch biến trên → thỏa mãn.
Trường hợp 2: . Hàm số nghịch biến trên khi:



Kết hợp trường hợp : .
🔑 Điền đáp án: B Đáp án: B
Câu 6 [1030286]: Cho dãy số Phát biểu nào sau đây đúng?
A, Dãy số trên bị chặn.
B, Dãy số trên không bị chặn.
C, Dãy số trên bị chặn trên.
D, Dãy số trên bị chặn dưới.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Dãy số
Ta có
Dãy số bị chặn dưới bởi 0.
Lại có
Dãy số không bị chặn trên
Suy ra dãy là dãy bị chặn dưới
🔑 Chọn đáp án: Dãy số trên bị chặn dưới. Đáp án: D
Câu 7 [1082953]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho biết cùng chiều với và có Toạ độ của vectơ là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: cùng chiều với nên với
Kết hợp với dữ kiện:
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Câu 8 [1037501]: Số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Nhị thức
📒 Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

Số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức là:
🔑 Chọn đáp án: –10. Đáp án: A
Câu 9 [1081229]: Họ nguyên hàm của hàm số là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”, Suy ra câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”.
✍️ Hướng dẫn giải:
Phương pháp: Khai triển biểu thức về dạng đa thức rồi tính nguyên hàm từng hạng tử bằng công thức nguyên hàm lũy thừa.
Lời giải chi tiết: Ta có .
Áp dụng hằng đẳng thức .
Suy ra .
Xét .
Ta tính .
Ta tính .
Ta tính .
Do đó họ nguyên hàm là .
Kết luận: Nguyên hàm cần tìm là .
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Câu 10 [1077635]: Giới hạn có giá trị bằng
A,
B, –3.
C, –18.
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 11 [1079811]: Giá trị cực tiểu của hàm số là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số
Điều kiện xác định của hàm số là: .


Giá trị cực tiểu của hàm số là
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 12 [805922]: Cho cấp số cộng có số hạng tổng quát là Tìm công sai của cấp số cộng.
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng).
Mức độ: Thông hiểu.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Xét hiệu để xác định công sai của cấp số cộng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có .
.
.
Suy ra là công sai của cấp số cộng.
🔑 Chọn đáp án: A. Đáp án: A
Câu 13 [1079893]: Giá trị lớn nhất của hàm số là
A, 2.
B, 3.
C, 4.
D, 5.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số

🔑 Chọn đáp án: 2. Đáp án: A
Câu 14 [805832]: Một lớp có học sinh, trong đó có học sinh tên Anh. Trong một lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên hai học sinh trong lớp lên bảng. Xác suất để hai học sinh tên Anh lên bảng bằng
A, .
B, .
C, .
D, .
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Sử dụng công thức xác suất cổ điển .
✒️ Lời giải chi tiết:
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố gọi hai học sinh tên Anh lên bảng.
Ta có .
.
.
🔑 Chọn đáp án: C. Đáp án: C
Câu 15 [1078237]: Cho hai hàm số với a, b là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là và như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hai hàm số với a, b là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là và như hình vẽ.
Kết hợp với hình vẽ:
Hàm số là hàm đồng biến (vì có đồ thị đi lên).
Hàm số là hàm nghịch biến (vì có đồ thị đi xuống).
Suy ra
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: B
Câu 16 [1082825]: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng Biết góc giữa SC và mặt phẳng bằng 60°. Khoảng cách h từ điểm B đến mặt phẳng là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào dữ kiện: nên
Kết hợp với dữ kiện: Đáy là hình vuông cạnh nên

Dựng tại
Xét có và nên suy ra
Xét có và nên suy ra
Có
Xét tam giác vuông tại có đường cao nên hay
Vậy
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17 [1037710]: Cho phương trình lượng giác
📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai” dạng bảng. Khi trả lời câu hỏi này, học sinh cần chú ý đến các phát biểu theo thứ tự từ trên xuống dưới. Rất có thể các phát biểu trước là gợi ý để trả lời các phát biểu sau. Thí sinh cần chọn hoặc đúng hoặc sai cho tất cả các ý trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Phương trình lượng giác
Giải phương trình lượng giác





Phương trình có nghiệm là:
Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng
Xét khoảng
Với họ nghiệm ta có:

Vì nên ta có nghiệm:
Với họ nghiệm ta có:

Vì nên ta có nghiệm:
Số nghiệm của phương trình trong khoảng là hai nghiệm.
🔑 Đáp án: Sai – Sai – Đúng – Đúng.
Câu 18 [380491]: Trong không gian cho ba điểm và
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp: Sử dụng vectơ để kiểm tra tính vuông góc của tam giác, xác định trọng tâm, diện tích và góc của tam giác trong không gian.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có và .
và .
.
vuông tại .
Trọng tâm tam giác là .
Vì vuông tại nên .
Vì vuông tại nên .
Hoặc xét và .
.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
B. VIẾT TRÊN TỜ GIẤY THI Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
Câu 19 [1081616]: Một chiếc ly bằng thủy tinh đang chứa nước bên trong được tạo thành khi quay một phần đồ thị hàm số xung quanh trục Oy. Người ta thả vào chiếc ly một viên bi hình cầu có bán kính R thì mực nước dâng lên phủ kín viên bi đồng thời chạm tới miệng ly. Biết điểm tiếp xúc của viên bi và chiếc ly cách đáy của chiếc ly 8 cm (như hình vẽ).

Thể tích nước có trong ly là bao nhiêu cm3 (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:

Đặt hệ trục toạ độ như hình trên với là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung, còn là điểm tiếp xúc giữa đường tròn và đồ thị hàm số
Dựa vào dữ kiện: Điểm tiếp xúc của viên bi và chiếc ly cách đáy của chiếc ly 8 cm nên
Mặt cắt của viên bi là hình tròn tâm bán kính nên:

Dựa vào hình vẽ: Phần hình tròn tiếp xúc với đồ thị hàm số có phương trình khi đó tại thì



Lại có đồ thị hàm số suy ra
Suy ra
Dựa vào dữ kiện: Khi thả vào chiếc ly một viên bi hình cầu có bán kính R thì mực nước dâng lên phủ kín viên bi đồng thời chạm tới miệng ly nên thể tích nước trong bi bằng thể tích của ly trừ đi thể tích của viên bi.
Kết hợp với dữ kiện: Ly được được tạo thành khi quay một phần đồ thị hàm số xung quanh trục tung nên thể tích nước trong ly là:

🔑 Điền đáp án:
Câu 20 [1038222]: Điền kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm thích hợp vào chỗ trống.
Bảng sau đây thống kê điểm thi giữa kì I môn Toán của học sinh lớp 12A5 trường THPT A năm học 2023 – 2024:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là __________.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện ở bảng:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

🔑 Điền đáp án: 8,01.
Câu 21 [1079859]: Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.
Gọi lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số Giá trị của biểu thức bằng __________.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số nguyên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số
Tập xác định của hàm số là:



🔑 Điền đáp án: 7.
Câu 22 [1083067]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Số đo góc bằng bao nhiêu độ?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: và suy ra và
Kết hợp với dữ kiện: Đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng nên
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc phụ với góc giữa hai vectơ và nên:

🔑 Điền đáp án:
Phần IV (3 điểm). Thí sinh trình bày đầy đủ lời giải từ câu 5 đến câu 7.
Câu 23 [1106502]: Đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị là và . Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng AB.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.
💡 Phương pháp:
- Tính đạo hàm của hàm số để tìm các điểm cực trị.
- Từ các điểm cực trị và , lập phương trình đường thẳng qua .
- Dùng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: .
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có:
Giải
Khi
Khi
Phương trình đường thẳng qua và : hệ số góc
Sử dụng phương trình điểm-slope:
Khoảng cách từ đến :
🔑 Đáp án:
Câu 24 [1038659]: Trong một kho rượu có 30% là rượu loại I. Chọn ngẫu nhiên một chai rượu đưa cho ông Tùng, một người sành rượu, để nếm thử. Biết rằng, một chai rượu loại I có xác suất 0,9 để ông Tùng xác nhận là loại I; một chai rượu không phải loại I có xác suất 0,95 để ông Tùng xác nhận đây không phải là loại I. Sau khi nếm, ông Tùng xác nhận đây là rượu loại I. Tính xác suất để chai rượu đúng là rượu loại I.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Trong một kho rượu có 30% là rượu loại I.
• Chọn ngẫu nhiên một chai rượu đưa cho ông Tùng, một người sành rượu, để nếm thử.
• Biết rằng, một chai rượu loại I có xác suất 0,9 để ông Tùng xác nhận là loại I; một chai rượu không phải loại I có xác suất 0,95 để ông Tùng xác nhận đây không phải là loại I.
• Sau khi nếm, ông Tùng xác nhận đây là rượu loại I.
Gọi:
A là biến cố: “Ông Tùng nhận đây là rượu loại I”
B là biến cố: “Chai rượu đúng là loại I”
Xác suất cần tìm là:
Câu 25 [1080310]: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho đồ thị hàm số mô tả chuyển động của hai tàu đánh cá A và B (đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng km). Biết quỹ đạo chuyển động của hai tàu luôn thuộc về hai nhánh khác nhau của đồ thị Tính khoảng cách ngắn nhất (đơn vị km) có thể đạt được giữa hai tàu đánh cá A và B (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào dữ kiện:

• Đồ thị hàm số mô tả chuyển động của hai tàu đánh cá A và B.

• Quỹ đạo chuyển động của hai tàu luôn thuộc về hai nhánh khác nhau của đồ thị .

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là và đường tiệm cận xiên

Giả sử thuộc vào nhánh ; thuộc vào nhánh









Đặt





Ta có: và do





.