A. TÔ TRÊN PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1037692]: Số nghiệm của phương trình trên đoạn
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Phương trình
Giải phương trình

Kết hợp với dữ kiện:

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Câu 2 [1037780]: Cho dãy số xác định bởi Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.
A,
B,
C,
D,
Đính chính: Nhóm tác giả xin gửi lời xin lỗi chân thành đến các em học sinh. Trong quá trình biên soạn tài liệu, không tránh khỏi có sơ sót. Các em sửa lại đề bài như trên web. Sai sót này sẽ được sửa trong lần tái bản sau. Cảm ơn các em!
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Dãy số xác định bởi

Đặt
Khi đó

là một cấp số nhân có công bội


🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Câu 3 [1078375]: Tập nghiệm S của bất phương trình
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: S là tập nghiệm của bất phương trình
Logarit hóa cơ số 3 cả 2 vế ta có:

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 4 [1079814]: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A, 1.
B, 2.
C, 0.
D, 5.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất ;trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào bảng biến thiên:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 5.
🔑 Chọn đáp án: 5. Đáp án: D
Câu 5 [1080032]: Đồ thị hàm số nào dưới đây có đường tiệm cận xiên?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Xét các hàm số:
Điều kiện xác định của hàm số là:

nên là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 6 [1081351]: Cho hàm số có đạo hàm trên đoạn Tính tích phân
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” nên câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”.
✍️ Hướng dẫn giải:
Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân

Tính tích phân thứ nhất


Tính tích phân thứ hai theo công thức Newton–Leibniz


Cộng hai kết quả

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Câu 7 [1080146]: Bảng biến thiên sau là của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ:
+) nên hàm số có một đường tiệm cận đứng là
+) nên hàm số có một đường tiệm cận ngang là
Vậy phương trình hàm số là
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 8 [151428]: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì được thiết diện là hình vuông có cạnh bằng .
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Sử dụng công thức tính thể tích vật thể dựa trên diện tích thiết diện vuông góc với trục tọa độ bằng tích phân xác định.
✒️ Lời giải chi tiết:
Vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng nên cận tích phân là từ đến .
Thiết diện vuông góc với trục tại vị trí là hình vuông có cạnh bằng .
.
Thể tích của vật thể được tính bởi công thức .
.
Nguyên hàm của .
.
.
.
🔑 Chọn đáp án: C. Đáp án: C
Câu 9 [899206]: Phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm và có một vectơ chỉ phương
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thông qua tích có hướng của hai vectơ chỉ phương, sau đó viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm đã cho.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi là mặt phẳng cần tìm và vectơ pháp tuyến của .
Ta có .
nên .
Mặt phẳng song song với vectơ nên .
.
.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến và đi qua điểm .
.
.
🔑 Chọn đáp án: A. Đáp án: A
Câu 10 [57448]: Trong không gian với hệ tọa độ cho các điểm và đường thẳng Gọi là mặt cầu đi qua và có tâm thuộc đường thẳng Đường kính mặt cầu bằng
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Gọi tâm mặt cầu thuộc đường thẳng đã cho, sử dụng điều kiện hai điểm thuộc mặt cầu để thiết lập phương trình xác định tham số, từ đó tìm bán kính và đường kính.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi là mặt cầu cần tìm, có tâm .
Mặt cầu đi qua hai điểm nên .
.
.
.
.
.
.
Bán kính mặt cầu là .
đường kính của mặt cầu là .
🔑 Chọn đáp án: D. Đáp án: D
Câu 11 [319354]: Cho khối hộp chữ nhật . Thể tích khối hộp là
A, .
B, .
C, .
D, .
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Dựa vào mối quan hệ giữa các cạnh trong hình hộp chữ nhật, xác định độ dài cạnh còn thiếu rồi áp dụng công thức tính thể tích khối hộp.
✒️ Lời giải chi tiết:

Ta có .
Thể tích khối hộp là .
.
🔑 Chọn đáp án: A. Đáp án: A
Câu 12 [1080693]: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số và hai đường thẳng bằng
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.
✍️ Hướng dẫn giải:
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên đoạn , công thức là

Trong trường hợp này, , và khoảng là

Diện tích cần tìm là

Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta cần xét dấu của biểu thức





Ta có BBT:

Vậy trên đoạn

trên đoạn

Do đó, diện tích hình phẳng là

Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 13 [1038261]: Tiền công nhật của 65 nhân viên trong xí nghiệp tư nhân được thông kê như sau (đơn vị: nghìn đồng).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện ở bảng:

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

🔑 Chọn đáp án: 243,4. Đáp án: B
Câu 14 [1038532]: Trong số 40 học sinh lớp 12A, có 22 em đăng kí thi ngành Kinh tế, 25 em đăng kí thi ngành Luật, 3 em không đăng kí thi cả hai ngành này. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, biết rằng em đó đăng kí thi ngành luật. Xác suất để em đó đăng kí thi ngành Kinh tế là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Lớp 12A có 40 học sinh, có 22 em đăng kí thi ngành Kinh tế, 25 em đăng kí thi ngành Luật, 3 em không đăng kí thi cả hai ngành này. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, biết rằng em đó đăng kí thi ngành luật.
Số em học sinh đăng kí cả luật và kinh tế là:
Gọi A là biến cố: “Em đó đăng kí ngành kinh tế”
B là biến cố: “Em đó đăng kí ngành luật”
Ta có:
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: B
Câu 15 [1065568]: Cân nặng (kg) của 50 quả mít trong đợt thu hoạch của một trang trại được thống kê trong bảng dưới đây:

Khối lượng trung bình của 50 quả mít trên bằng
A, 8,82 kg.
B, 8,52 kg.
C, 9,12 kg.
D, 8,72 kg.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Áp dụng công thức tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm dựa trên giá trị đại diện và tần số của mỗi nhóm.
✒️ Lời giải chi tiết:
Tổng số phần tử của mẫu số liệu là .
Giá trị đại diện của mỗi nhóm là trung bình cộng hai đầu mút của khoảng.
Với khoảng ta có .
Với khoảng ta có .
Với khoảng ta có .
Với khoảng ta có .
Với khoảng ta có .
Ta tính tổng .
Số trung bình cộng của mẫu số liệu là .
.
🔑 Chọn đáp án: D. Đáp án: D
Câu 16 [792254]: Có 2 thùng đựng táo. Thùng thứ nhất có 10 quả táo (6 quả tốt và 4 quả hỏng). Thùng thứ 2 có 8 quả táo (5 quả tốt và 3 quả hỏng). Lấy ra ngẫu nhiên mỗi thùng 1 quả. Tính xác suất để 2 quả lấy được có ít nhất 1 quả tốt.
A,
B,
C,
D, Đáp án khác.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Tính xác suất bằng cách lấy tổng số trường hợp thuận lợi chia cho tổng số trường hợp có thể xảy ra.
✒️ Lời giải chi tiết:
Số cách lấy ra ngẫu nhiên mỗi thùng 1 quả là
Gọi là biến cố “2 quả lấy được có ít nhất 1 quả tốt”.
Suy ra là biến cố “Lấy được 2 quả hỏng”.
Số cách lấy được 2 quả hỏng (lấy 1 quả hỏng từ thùng 1 và lấy 1 quả hỏng từ thùng 2) là


🔑 Chọn đáp án: B. Đáp án: B
Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17 [1106126]: Cho hàm số
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Biến đổi hàm phân thức bằng phép chia đa thức để xác định tiệm cận.
Tính đạo hàm và giải phương trình để xét cực trị.
Xét điều kiện để đồ thị có điểm tọa độ nguyên.
✒️ Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho .
Tập xác định .
Ta biến đổi hàm số:
.
Suy ra đạo hàm:
.
Giải phương trình :
.
Ta có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt và không trùng .
hàm số có hai điểm cực trị nên mệnh đề a) đúng.
Xét mệnh đề b):
Từ , để nguyên với nguyên thì phải là ước của .
Các ước nguyên của .
.
Có 4 điểm có tọa độ nguyên nên mệnh đề b) sai.
Xét mệnh đề c):
.
đồ thị có tiệm cận đứng , mệnh đề c) đúng.
Xét mệnh đề d):
Từ , khi thì .
tiệm cận xiên là , mệnh đề d) đúng.
🔑 Điền đáp án: a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
Câu 18 [405670]: Trong không gian toạ độ cho đường thẳng và mặt phẳng
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Dùng mối liên hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến để xét góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Dựng mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng cho trước bằng tích có hướng.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai.
b) Đúng.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
.
c) Sai.
Đường thẳng có vectơ chỉ phương .
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Gọi là góc giữa thì
.
.
d) Sai.
Vectơ chỉ phương của và vectơ pháp tuyến của .
Mặt phẳng chứa và vuông góc với có vectơ pháp tuyến
.
Mặt phẳng đi qua có phương trình
.
Khoảng cách từ đến
.
🔑 Điền đáp án: a) S, b) Đ, c) S, d) S
B. VIẾT TRÊN TỜ GIẤY THI Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
Câu 19 [1080220]: Một sợi dây kim loại được treo giữa hai bức tường cách nhau 2 mét như hình vẽ. Độ cao so với mặt đất của mỗi điểm trên sợi dây này được cho bởi hàm số trong đó x (mét) là khoảng cách từ mỗi điểm trên sợi dây đến bức tường phía bên trái.

Sợi dây sẽ gần với mặt đất một khoảng ngắn nhất là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Độ cao so với mặt đất của mỗi điểm trên sợi dây này được cho bởi hàm số trong đó x (mét) là khoảng cách từ mỗi điểm trên sợi dây đến bức tường phía bên trái.




Bảng biến thiên:

🔑 Điền đáp án: 1,89.
Câu 20 [1106127]: Trong không gian Oxyz, cho biết phương trình mặt phẳng Biết giá trị của bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp:
Viết phương trình mặt phẳng theo dạng đoạn chắn.
Sử dụng điều kiện vuông góc giữa hai mặt phẳng thông qua vectơ pháp tuyến.
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tìm tham số.
✒️ Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt phẳng .
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Do nên .
Khoảng cách từ đến .
Suy ra .
Do nên .
🔑 Điền đáp án:
Câu 21 [1038637]: Điền kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm thích hợp vào chỗ trống.
Một lớp có 3 tổ sinh viên: tổ I có 12 người, tổ II có 10 người và tổ III có 15 người. Chọn ngẫu nhiên ra một nhóm sinh viên gồm 4 người. Biết trong nhóm có đúng một sinh viên tổ I, xác suất để trong nhóm đó có đúng một sinh viên tổ III là __________.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Một lớp có 3 tổ sinh viên: tổ I có 12 người, tổ II có 10 người và tổ III có 15 người.
• Chọn ngẫu nhiên ra một nhóm sinh viên gồm 4 người.
• Trong nhóm có đúng một sinh viên tổ I.
Gọi A là biến cố: “Trong nhóm có đúng 1 sinh viên tổ 1”
B là biến cố: Trong nhóm có đúng 1 sinh viên tổ 3”


🔑 Điền đáp án: 0,29.
Câu 22 [1106128]: Một hộp có 30 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đó, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên thêm một viên bi trong hộp đó.
Gọi A là biến cố "Lần thứ hai lấy được viên bi trắng"; B là biến cố "Lần thứ nhất lấy được viên bi đen". Khi đó bằng (với là phân số tối giản). Giá trị của bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp:
Xác định rõ các biến cố liên quan.
Sử dụng định nghĩa xác suất có điều kiện .
Tính xác suất dựa trên số phần tử thuận lợi và tổng số phần tử sau khi điều kiện xảy ra.
✒️ Lời giải chi tiết:
Hộp ban đầu có bi trắng và bi đen nên tổng số bi là viên.
Gọi là biến cố: lần thứ nhất lấy được bi đen.
Gọi là biến cố: lần thứ hai lấy được bi trắng.
Do lấy bi không hoàn lại nên khi xảy ra, số bi trong hộp thay đổi.
Sau lần thứ nhất lấy bi đen, số bi đen còn lại là viên.
Số bi trắng vẫn là viên.
Tổng số bi còn lại trong hộp là viên.
Xác suất để lần thứ hai lấy được bi trắng khi đã biết lần thứ nhất lấy được bi đen là .
Rút gọn phân số ta được .
Suy ra , .
🔑 Điền đáp án:
Phần IV (3 điểm). Thí sinh trình bày đầy đủ lời giải từ câu 5 đến câu 7.
Câu 23 [25972]: Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.
💡 Phương pháp: Xét điều kiện xác định của phương trình, đưa phương trình về dạng đơn giản hơn bằng công thức logarit, sau đó đặt ẩn phụ để giải phương trình đại số.
✒️ Lời giải chi tiết:
Điều kiện xác định của phương trình là .
.
Sử dụng công thức .
Phương trình đã cho trở thành .
.
Đặt với điều kiện .
.
Phương trình trở thành .
.
Giải phương trình bậc hai ta được .
Với ta có .
Với ta có .
Hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện .
Tổng các nghiệm của phương trình là .
🔑 Điền đáp án: .
Câu 24 [6527]: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng .
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.
💡 Phương pháp: Quy bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thích hợp, sau đó tiếp tục quy về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng đó và sử dụng công thức hình học.
✒️ Lời giải chi tiết:

Quy khoảng cách giữa về khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Trong đó .
Tiếp tục quy về khoảng cách từ đến đường thẳng trong mặt phẳng , khi đó khoảng cách cần tìm chính là .
Do tam giác đều nên đóng vai trò là đường cao của tam giác đều .
Ta có .
.
Xét tam giác vuông có cạnh là khoảng cách cần tìm, áp dụng hệ thức lượng ta được
.
.
.
.
🔑 Điền đáp án: .
Câu 25 [1081591]: Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2 m được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ toạ độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho như hình vẽ thì các đường cong OA có phương trình Tính giá trị ab biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm diện tích mặt sàn.
✍️ Hướng dẫn giải:
Mặt sàn là hình vuông cạnh nên diện tích toàn phần là .
Diện tích trang trí màu sẫm chiếm diện tích mặt sàn nên bằng .
Xét một cánh trang trí trong góc phần tư thứ nhất, diện tích được giới hạn bởi hai đường trên đoạn .
Diện tích một cánh là
.
Tính tích phân:
.
Diện tích hình trang trí gồm cánh nên
.
Theo giả thiết nên
.
Mặt khác, đồ thị đi qua điểm nên
.
Giải hệ
.
Suy ra .
🔑 Đáp án: .